【文档说明】4.2.1指数函数的概念(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第一册)(解析版).docx，共(15)页，990.152 KB，由管理员店铺上传

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4.2.1指数函数的概念一、指数函数概念1、形如y=ax为指数函数。如例1这个类型。2.指数函数必过定点（0,1），如例3。【典型例题】【例1】下列函数中指数函数的个数是（）①23xy=②13xy+

=③x134xy=④()21xya=−（a为常数，12a，1a）⑤3yx=⑥4xy=−⑦()4xy=−A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可.【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；对②：其指数为1x+，不是

x，故不是指数函数；对③xx133=44xy=，故是指数函数对④：满足指数函数的定义，故是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是

；综上，是指数函数的只有③④，故选：B.【例2】已知指数函数()yfx=的图像经过点(1,2)−，那么这个函数也必定经过点（）A．1(2,)4−B．1(1,)2−C．(1,2)D．1(3,)8【答案】D【分析】先求出指数函数的解析式，再对选项进

行判断即可.【详解】设()xfxa=，(0a且1)a1(1)2fa−==12a=即1()2xfx=因为21311111(2)4,(1)2,(1),(3)22228ffff−−−==−=====所以D正确故

选D【例3】已知函数11()(04xfxaa+=−，且a≠1）的图象过定点（m，n），则mn1681=（）A．32B．23C．827D．278【答案】D【分析】根据指数函数的图象与性质，求出()fx的图象所过定点，再计算1681mn

的值．典例精讲【详解】解：函数11()(04xfxaa+=−，且1)a中，令10x+=，得1x=−，所以13(1)144yf=−=−=，所以()fx的图象过定点31,4−，所以1m=−，34n=；所以334416168127()()()8181168m

n−===．故选：D．【对点实战】1、下列函数是指数函数的是A．()2xy=B．(8)xy=−C．12xy−=D．2yx=【答案】A【详解】指数函数形如(0,1)xyaaa=,所以选A2.函数f(x)=(a2﹣3

a+3)ax是指数函数，则a的值为（）A．1B．3C．2D．1或3【答案】C【分析】根据指数函数的定义，系数等于1即可列方程求解.【详解】因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，故可得2331aa−+=解得1a=或2a=，当1a=时，不是指数函数，舍去.故选：C.3.函数2019

2020(0,1)xyaaa+=+的图像恒过定点__________.【答案】()2019,2021−【分析】根据01(0,1)aaa=,结合条件,即可求得答案.【详解】01(0,1)aaa=.函数20192020(0,1)xyaaa+=+的图像恒过定点()2019

,2021−，故答案为:()2019,2021−.二、指数函数图像指数函数图像，关键两点。如例41、单增单减讨论。如例4。2、“一点一线”伴随。例7.此处重点。【典型例题】【例4】函数yxa=+与1xy

a=，其中0a，且1a，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数yxa=+是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数yxa=+的图象是正确

的，从而可得a的范围，进而可得指数函数1xya=的图象【详解】解：对于A，C，由于函数yxa=+是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；对于B，若函数yxa=+的图象是正确的，则1a，所以101a，所以函数1xya=是正确的，所以

B正确；对于D，若函数yxa=+的图象是正确的，则01a，所以11a，所以函数1xya=是增函数，所以D错误，故选：B【例5】函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0；B．a＞1，b＞0；C

．0＜a＜1，b＞0；D．0＜a＜1，b＜0【答案】D【分析】由函数的单调性得到0＜a＜1，再根据函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，分析出b的范围.【详解】由f(x)＝a

x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选：D.【例6】（多选题）已知()xxfxeke−=+（k

为常数），那么函数()fx的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k=时，()xxfxee−=+为偶函数，当1k=−时，()xxfxee−=−为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选

项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k=时，()xxfxee−=+为偶函数，当0x时，1xte=且单调递增，而1ytt=+在1)[,t+上单调递增，故函数()xxfxee−=+在0)[,x+上单调递增，故选项C正确，D错误；当1k=−时，()xxfxee−=

−为奇函数，当0x时，1xte=且单调递增，而1ytt=−在1)[,t+上单调递减，故函数()xxfxee−=−在0)[,x+上单调递减，故选项B正确，A错误.故选:AD．【例7】已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点

，则实数a的取值范围是________【答案】(0,1).【分析】作出函数y＝|2x－2|的图象和直线y＝2a，由图象可得结论．【详解】函数y＝|2x－2|的图象如图所示．要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1.故答案为：(0,1)．【对点实战】4.在同一直角坐标系中

，函数()afxx=与()xgxa−=在)0,+上的图象可能是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.【详解】()afxx=为幂函数，()1()−==xxgaax为指数函数A.()1()−==xxgaax过定点(

0,1)，可知101a，1a，()afxx=的图象符合，故可能.B.()1()−==xxgaax过定点(0,1)，可知101a，1a，()afxx=的图象不符合，故不可能.C.()1()−==xxgaax过定点(0,1)，可知11a，01a，()afxx=的图象不符合

，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A5.已知函数()xfxab=+(0,1)aa的图象如图所示，则ba的值是_______________.【答案】14【分析】根据题意可得011abb

+=+=−，解方程组即可求解.【详解】由题意可得：()fx的图像过点()()1,0,0,1−，011abb+=+=−，解得22ab==−，2124ba−==.故答案为：14三、图像变换利用画图软件，讲清楚如下变换。利用指数函数讲解图像变换时，要牢牢把握住“一点一线”这个重要的

图像特征。1fxfx+afxfx+b平移变换：左右，或者上下、（）（）左加右减。如左图。2、（）（）上加下减。如右图。1fxfxfxfx|xyy||xx|yy轴翻折，轴翻折，=x翻折轴翻折：轴

下方（负的）翻上去。如左下图。轴翻折：轴左侧擦除。右侧翻到左侧，成为偶函数。如右下图。翻折变换：、（）（）2、（）（）1fx-fyxfxf-xxxyx轴对称，轴对称轴对称：轴下方（负的）对称上去，上方对称下去。如左下轴对称：左右对称。如右下图。对称变换：、（）（）2、（）（）【典型例题】

【例8】与函数13xy=的图像关于y轴对称的函数解析式是______.【答案】3xy=【分析】设点P(x.y)是对称的函数图像上的任意一点，则其关于y轴的对称点为（-x,y）,代入函数13xy=化简即得解.【详解】设点P(x.y)是对称

的函数图像上的任意一点，则其关于y轴的对称点为（-x,y）,所以331xxy−==.所以对称的函数解析式是3xy=.故答案为3xy=【例9】函数y＝a|x|(a>1)的图像是()A．B．C．D．

【答案】B【解析】因为||0x，所以1xa，且在(0,)+上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B．【对点实战】6.函数()xfx=的图像与1()xgx=的图像关于A．原点对称B．x轴对称C．y轴对

称D．直线yx=−对称【答案】C【分析】利用点的对称性说明，设点(,)xy在()fx图象上，证明(,)xy−在()gx的图象上，即可得解．【详解】设点(),xy为函数()xfx=的图像上任意一点，因为()1xxgxy−−===，所以点(),xy−为()gx的图像上的点．因为

点(),xy与点(),xy−关于y轴对称，所以函数()xfx=的图像与()1xgx=的图像关于y轴对称，故选C．7.若函数()33xxfxa−=+为R上的奇函数，则实数a=________.【答案】1−．【分析】由(0)0f=求得a，再代入检验函数为奇函数即可．【详解】()f

x定义域是R，∵()fx为奇函数，∴(0)10fa=+=，1a=−，此时()33xxfx−=−，()33()xxfxfx−−=−=−，()fx是奇函数，故答案为：1−四、定义域和值域1.指数函数求值域，一般情况下，要满足a0x这个隐含结论。2.讨论底数是比1大还是比1小

，确定单调性3.复杂的函数形式，需要通过复合函数来判断。特别是内外函数的“同增异减”性质。【典型例题】【例10】函数()2−=xfx在区间[2−，1]上的最小值是（）A．12−B．12C．2−D．2【答案】B【分析】利用指数

函数的单调性，求出函数的最值即可.【详解】函数()2−=xfx在区间[2−，1]上单调递减，(2)4f−=，f（1）12=，故函数()2−=xfx在区间[2−，1]上的最小值为12，故选：B.【例11】若函数()1,121,14xxxfxax=

+的值域为(),a+，则a的取值范围为（）A．1,4+B．11,42C．1,12D．1,14【答案】B【分析】分段求解指数函数的值域，结合已知条件，即可容易求得参数范围.【详解】当1x时，()1

,212xfx+=当1x时，()114,4xfxaaa+=+函数()fx的值域为(),a+114212aa+，即11,42a故选：B【例12】已知函数22()2,[0,3]xxfxx−

+=，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.【答案】218【分析】先求2()2gxxx=−+值域，再根据2xy=单调性求()fx最值.【详解】因为函数22()2(1)1gxxxx=−+=−−+在[0,1)上单调递增

，在(1,3]上单调递减，且(0)0,(3)3gg==−，(1)1g=()[3,1]gx−，因为函数2xy=单调递增，()1228gx，即函数()fx的最大值为2，最小值为18.故答案为：2；18【例13】函数222

1xxy−=+的值域为_______．【答案】(2,1)−【分析】将2221xxy−=+变形为3121xy=−+，然后利用观察法求解即可【详解】解：()1232212121213xxxxxy−+−===−+++，因为20x，所以211x+，所以10121x+，则

33021x−−+，所以321121x−−+，即21y−，所以函数的值域为(2,1)−【对点实战】8.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是（）A．(－89，8]B．[－89，8]C．(19，9)D．[19，9]【答案】A【分析

】利用指数函数的单调性求出函数的值域.【详解】y＝3－x－1，x∈[－2，2)上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－89＜y≤8.故选:A.9.函数f(x)=131x+的值域是（）A．(-∞，1)B．(0，1)C．(1，+∞)D．(-∞，1)∪(1，+∞)【答案

】B【分析】根据3x的范围，利用不等式法，即可求得函数值域.【详解】∵3x+1>1，∴0<131x+<1，∴函数的值域为(0，1).故选：B.10.定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a

，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]长度的最小值为________.【答案】2【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a，]b的长度的最小值．【详解】∵函数f(x)＝3|x|的定义域为

[a，b]，值域为[1，9]，又20231339===，，∴0∈[a，b].2和－2至少有一个属于区间[a，b]，故区间[a，b]的长度最小时为[－2，0]或[0，2]，即区间[a，b]长度的最小值为2.故答案为：2．五、指数函数的重要应用：可构造中心对称函数以下这些函数，授课时画图并

用定义法证明---1+11.-+3.4+1-1xxxxxxxxaaaaaaaa（奇函数）；2.（偶函数）；（奇）；.（奇）【典型例题】【例14】已知函数()2121xxfx−=+，下面说法正确的有（）A．()fx的图像关于原点对称B．()fx的图像关于y轴对称C．()fx的值

域为()1,1−D．12,xxR，且()()121212,0fxfxxxxx−−【答案】ACD【分析】判断()fx的奇偶性即可判断选项AB，求()fx的值域可判断C，证明()fx的单调性可判断选项D，即可得正确选项.【详解】21()21xxfx-=+的定义域为R关于原点

对称,()()2122112()()2112212xxxxxxxxfxfx--------====-+++，所以()fx是奇函数，图象关于原点对称，故选项A正确，选项B不正确；212122()1212121xxxxxfx+−−===−+++，因为20x，所以211x+，所以10121x+，

22021x−−+，所以211121x−−+，可得()fx的值域为()1,1−，故选项C正确；设任意的12xx，则()()()12122112122222222()()1(1)212121212121xxxxxxxxfxfx-=---=-=++-++++，因为

1210x+，2210x+，12220xx−，所以()()()121222202121xxxx−++，即12())0(fxfx−，所以()()12120fxfxxx−−，故选项D正确；故选：ACD

【例15】.设函数()3,()9xxgxhx==（1）解关于x的方程()11()2(1)0hxgxh−+=；（2）令()()()3gxFxgx=+，求1220182019()()()()2020202020202020FFFF++++L的值.【答案】（1）2x=或3log2x=（2）

20192【解析】【分析】（1）根据题意,将()()3,9xxgxhx==代入原方程化简可得关于x的方程,利用换元法令3xt=,转化为关于t的一元二次方程,解方程即可求得x的值.（2）根据解析式,分析并计算可知()()1FxFx+−为定值,即可求值.【详解】（1）因为函数()()3

,9xxgxhx==代入()()()11210hxgxh−+=可得9113290xx−+=令3xt=则211180tt−+=解得2t=或9t=即32x=或39x=解得2x=或3log2x=（2）根据题意()()()3333xxgxFxgx==++则()113313333xxxFx−−−==++

所以()()33113333xxxFxFx+−=+=++且12121312233F==+所以1220182019()()()()2020202020202020FFFF++++L120192201810091011101

02020202020202020202020202020FFFFFFF=+++++++L111112=+++++L20192=【例16】已知函数()2()12

1xfxaxaR=+++，则()()20212021ff+−=（）A．22021a−+B．2aC．4D．4042【答案】C【分析】直接代入解析式化简可得答案.【详解】因为()2()121xfxaxaR=+++，所以()()20212021ff+−=2021202122

20211202112121aa−+++−+++20212021202122222112=++++202120212(21)221+=++22=+4=.故选：C【对点实战】11.已知函数()142xfx=+，则12320192

02020212021202120212021fffff+++++=_____________.【答案】505【分析】利用()()24114242xxfxf

x++−==+配对计算．【详解】()114142424xxxfx−−==++，∴()()24114242xxfxfx++−==+，故123201920201101050520212021202120212

0212fffff+++++==.12.已知()gx为指数函数，且()ygx=的图象过定点(2,9)，函数1()()1()gxfxgx−=+.（1）求函

数()gx的解析式；（2）判断()fx的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）若对任意的[0,5]t，不等式()()222240ftktft++−−恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）()3xgx=；（2）奇函

数，减函数，理由见解析；（3）2k．【分析】（1）利用待定系数法可求得结果；（2）利用奇函数的定义可判断出()fx为奇函数；根据复合函数的单调性规律可得()fx为减函数；（3）利用奇偶性和单调性转化为不等式2240tkt+−在[0,5

]上恒成立，再分离参数，利用基本不等式可得解.【详解】（1）设()xgxa=(0,1)aa，依题意得(2)9g=，即29a=，则3a=，所以故()3xgx=.（2）13()13xxfx−=+，1331

()()1331xxxxfxfx−−−−−===−++，所以()fx为奇函数；因为133122()1133131xxxxxfx−+−==−=−++++，且31xy=+为增函数，所以()fx为减函数；（3）由（2）可知()fx为奇函数且为减函数，所以对任意的[0,5

]t，不等式()()222240ftktft++−−恒成立可化为222(2)(24)(24)ftktftft+−−−=+恒成立，可化为22224tktt++，即2240tkt+−在[0,5]上恒成立，当0t=时

，不等式显然恒成立，当05t时，得2442tkttt+=+恒成立，因为4424tttt+=。当且仅当2t=时，等号成立，所以24k，得2k.综上所述：2k六、竞赛与自主招生【典型例题】【例17】（多选题）若

实数x，y满足5454yxxy−=−则下列关系式中可能成立的是（）A．xy=B．1xyC．01xyD．0yx【答案】ACD【分析】构造函数()45,()54xxfxxgxx=+=+，得出函数(),()fxgx都

是单调递增函数，结合图象，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，实数,xy满足5454yxxy−=−，可化为4554xyxy+=+，设()45,()54xxfxxgxx=+=+，由初等函数的性质，可得(),()

fxgx都是单调递增函数，画出函数(),()fxgx的图象，如图所示，根据图象可知，当0x=时，()()001fg==；当1x=时，()()119fg==，当xy=时，()()fxgy=，所以5454yxxy−

=−成立；当1xy时，()()fxgy，所以B不正确；当01xy时，()()fxgy=可能成立，所以C正确；当0yx时，此时()()fxgx，所以()()fxgy=可能成立，所以是正确的.故选：ACD.【例18】已知()()22112xxfxx+=+在)(201

8,00,2018−上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】【详解】()fx的图象关于（0，1）对称，故()()maxmin2MNfxfx+=+=.故答案为：B