【文档说明】2021学年人教A版高中数学必修4章末测评：第3章 三角恒等变换.docx，共(14)页，107.421 KB，由小赞的店铺上传

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章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.62B.32

C.54D．1＋34C[∵cos75°＝sin15°，∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.]2．化简cos2π4－α－sin2π4－α得()A．sin2αB．－sin2αC．c

os2αD．－cos2αA[原式＝cos2π4－α＝cosπ2－2α＝sin2α.]3．若sinx·tanx<0，则1＋cos2x等于()A.2cosxB．－2cosxC.2sinxD．

－2sinxB[因为sinx·tanx<0，所以x为第二、三象限角，所以cosx<0，所以1＋cos2x＝2cos2x＝2|cosx|＝－2cosx．]4．若tanα＝2，则2cos2α＋3sin2α－sin2α的值为()A.25B．－25C．5D．

－5A[2cos2α＋3sin2α－sin2α＝2cos2α＋6sinαcosα－3sin2α＝2cos2α＋6sinαcosα－3sin2αsin2α＋cos2α＝2＋6tanα－3tan2αtan2α＋1＝25.故选A.]5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－

β)＝5，则tan2α的值为()A．－47B.47C.18D．－18A[tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]6．函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2

,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32B[f(x)＝sinx－cosxcosπ6－sinxsinπ6＝sinx－32cosx＋12sinx＝332sinx－12cosx＝3sinx－π6，∵x∈R，∴x－π6∈

R，∴f(x)∈[－3，3]．]7．在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[在△ABC中，tanA＋B2＝sinC＝sin(A＋B)＝2sinA＋B2cosA＋B2，∴2cos2A＋B

2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝π2，即△ABC为直角三角形．]8．函数f(x)＝(1－cos2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值等于()A.14B.12

C．1D．0B[原式＝14－14cos4x，所以最大值是A＝12，T＝π2，所以f(AT)＝fπ4＝12.]9．已知tanα和tanπ4－α是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，

b，c的关系是()A．b＝a＋cB．2b＝a＋cC．c＝a＋bD．c＝abC[由根与系数的关系得：tanα＋tanπ4－α＝－ba，tanαtanπ4－α＝ca，tanα＋π4－α＝tanα＋tanπ4－α1－

tanαtanπ4－α＝－ba1－ca＝1，得c＝a＋b.]10．已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3等于()A．－34B．－14C.34D.14B[∵a⊥b，∴a

·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3＝0，即23sinα＋6cosα＝3，即sinα＋3cosα＝12，sinα＋4π3＝sinαcos4π3＋cosαsin4π3＝－12sinα－32cosα＝－12(sinα＋3cosα)

＝－12×12＝－14.]11．若ω≠0，函数f(x)＝tanωx－333＋tanωx图象的相邻两个对称中心之间的距离是π2，则ω的值是()A.π2B．±2C．2D．±1D[f(x)＝tanωx－333＋tanωx＝tanωx－tanπ333(1＋3tanωx)＝3tan

ωx－π3，由题意知函数f(x)的周期为π2×2＝π，所以π|ω|＝π，所以ω＝±1.]12．已知0<β<α<π2，点P(1,43)为角α的终边上一点，且sinαsinπ2－β＋cosαcosπ2＋β＝3314，则角

β＝()A.π12B.π6C.π4D.π3D[∵P(1,43)，∴|OP|＝7，∴sinα＝437，cosα＝17.又sinαcosβ－cosαsinβ＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，

∴cos(α－β)＝1314，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.∵0<β<π2，∴β＝π3.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在

题中的横线上)13．已知2tanα·sinα＝3，－π2＜α＜0，则cosα－π6的值是．0[∵2tanα·sinα＝3，∴2sinαcosα·sinα＝3，∴2sin2α＝3cosα，∴2(1－cos2α)＝3cosα，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα

＝12或cosα＝－2(舍)．又α∈－π2，0，∴α＝－π3，∴cosα－π6＝cos－π2＝0.]14．将函数y＝cos2x的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝f(x)sinx，则f(x)的表达式为．2c

osx[∵y＝cos2x，向右平移π4个单位，y＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x＝f(x)·sinx，∴f(x)＝sin2xsinx＝2cosx，故答案为f(x)＝2cosx．]15.3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝.－

43[原式＝3·sin12°cos12°－32(2cos212°－1)sin12°＝2312sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin(－48°)2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin4

8°12sin48°＝－43.]16．关于函数f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6，有下列说法：①y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间π24，13π24上单调递

减；④将函数y＝2cos2x的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是．(把你认为正确的说法的序号都填上)①②③[∵f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π2－π3＝cos2x－π3－si

n2x－π3＝2cos2x－π12，∴f(x)max＝2，即①正确．T＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f(x)的递减区间为2kπ≤2x－π12≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π24≤x≤kπ＋13π24(k∈Z)，k＝0时，π24≤x≤13π24

，即③正确．将函数y＝2cos2x向左平移π24个单位得y＝2cos2x＋π24≠f(x)，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin

θ－π6以及tanθ＋π4的值．[解]因为cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，所以sinθ＝－513，tanθ＝－512，所以sinθ－π6＝sinθcosπ6－cosθsinπ6＝－51

3×32－1213×12＝－53＋1226，tanθ＋π4＝tanθ＋tanπ41－tanθtanπ4＝－512＋11－－512×1＝717.18．(本小题满分12分)已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2

)求cos2x2cosπ4＋x·sinx的值．[解](1)∵sinx2－2cosx2＝0，则cosx2≠0，∴tanx2＝2∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x－sin2x2

22cosx－22sinxsinx＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)(cosx－sinx)sinx＝cosx＋sinxsinx＝1＋tanxtanx＝14.19．(本小题满分12分)已知cosα－β2＝－277，sinα2－β＝12

且α∈π2，π，β∈0，π2.求：(1)cosα＋β2的值；(2)tan(α＋β)的值．[解](1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2.∴sin

α－β2＝1－cos2α－β2＝217，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝32.∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sin

α2－β＝－277×32＋217×12＝－2114.(2)∵π4<α＋β2<3π4，∴sinα＋β2＝1－cos2α＋β2＝5714.∴tanα＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2

＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5311.20．(本小题满分12分)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(22＋sinx,22－cosx)，函数f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值．(2)若x∈－3π2，－π且f(x)＝1，求

cosx＋5π12的值．[解](1)因为m＝(cosx，sinx)，n＝(22＋sinx，22－cosx)，所以f(x)＝m·n＝cosx(22＋sinx)＋sinx(22－cosx)＝22(sinx＋cosx)＝4sinx＋π4，所以函数f(x)的最大值为

4.(2)因为f(x)＝4sinx＋π4＝1，所以sinx＋π4＝14，因为x∈－3π2，－π，所以x＋π4∈－5π4，－3π4，所以cosx＋π4＝－154，所以cosx＋5π12＝cos

x＋π4＋π6＝32cosx＋π4－12sinx＋π4＝－154×32－14×12＝－35＋18.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinx＋π3＋sinx－π3＋cosx.(1)求函数f(x)的最大

值；(2)若fx－π2＝－325，17π12＜x＜7π4时，求2sin2x－sin2xtanx＋1的值．[解]f(x)＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋sinxcosπ3－cosxsinπ3＋c

osx＝2sinxcosπ3＋cosx＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，∴f(x)的最大值为2.(2)fx－π2＝2sinx－π4，∴2sinx－π4＝－325，sin

x－π4＝－35，sinx22－cosx22＝－35，∴sinx－cosx＝－325两边平方得1－2sinxcosx＝1825，∴2sinxcosx＝725，∴(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝3225

，sinx＋cosx＝2sinx＋π4，当17π12＜x＜7π4，5π3＜x＋π4＜2π，sinx＋cosx＜0，∴sinx＋cosx＝－425，2sin2x－sin2xtanx＋1＝2sin2x－2sinxcosxsin

xcosx＋1＝2sinxcosx(sinx－cosx)sinx＋cosx＝725×－325－425＝21100.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝23，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2

的最大值．[解]过点B作BH⊥OA，垂足为H.设∠OAD＝θ0＜θ＜π2，则∠BAH＝π2－θ，OA＝23cosθ，BH＝sinπ2－θ＝cosθ，AH＝cosπ2－θ＝sinθ，∴B(23cosθ＋sin

θ，cosθ)，OB2＝(23cosθ＋sinθ)2＋cos2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ＝7＋43sin2θ＋π3.由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB2取得最大值7＋43.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxu

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