【文档说明】2023广东省广州市华南师范大学附属中学高二上学期期中数学答案.docx，共(25)页，1.446 MB，由小赞的店铺上传

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华南师大附中2022-2023学年第一学期期中考试高二数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用照色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2.回答第I卷时，

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答家标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答第I卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第I卷一、单选题：本

大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知()()3,2,5,1,,1aby=−=−，若ab⊥，则y=（）A.4B.6C.5D.3【答案】A【解析】【分析

】等价转化为0ab=,利用空间向量的坐标运算得到关于y的方程，解之即可.【详解】由ab⊥得0ab=，又∵()3,2,5a=−，()1,,1by=−，3125(1)280abyy=−++−=−=,解得4m=,故选：A.2.己知m，n

是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（）A.若//,mn，则//mnB.若,⊥⊥，则//C.若//,//mm，则//D.若,mn⊥⊥，则//mn【答案】D【解析】【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的

正误.【详解】对于A，若//,mn，则//mn或异面，故A错误.对于B，若,⊥⊥，则//或,相交，故B错误.对于C，若//,//mm，则//或,相交，故C错误.对于D，由线面垂直的性质可得若,mn⊥⊥，则//mn，故D正确，故选：

D.3.直线310xy−+=的倾斜角为（）A.30°B.45°C.120°D.150°【答案】A【解析】【分析】根据题意得直线310xy−+=的斜率为33，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】解：将直线310xy−+=方程转化为斜截式方程得3333yx=+，所

以，直线310xy−+=的斜率为33，所以，直线310xy−+=的倾斜角为30?.故选：A4.过点()2,1A且与直线:2430lxy−+=平行的直线方程是（）A.20xy−=B.250xy+−=C.230xy−−=D.240xy+−=【答案】A【解析】

【分析】由题意，设所求直线为240xym−+=，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.【详解】因所求直线与直线l平行，所以设所求直线方程为：()2403xymm−+=，又所求直线过点()2,1A，代入可得22410m−+=，解得0m=，所以所求

直线为240xy−=，即20xy−=.故选：A5.直线()2200axbyabab+−−=+与圆2220xy+−=的位置关系为（）为A.相离B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C【解析】【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断

直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220xy+−=的圆心为（0，0），半径为2，所以圆心到直线()2200axbyabab+−−=+的距离为22abab++.因为222abab+，所以()()2222abab++所以圆心到直线的距离为222abab++，所以直线与圆相交或相切

；故选：C．6.设点()4,3A−，()2,2B−−，直线l过点()1,1P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A.1k或4k−B.1k或43k−C.41k−D.413k−−

【答案】B【解析】【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：因为1(3)41(2),11431(2)PAPBkk−−−−==−==−−−，所以当直线l过点()1,1P且与线段AB相交时，l的斜率k

的取值范围是1k或43k−，故选：B7.已知直三棱柱111ABCABC-中，ACBC⊥，1224ABACAA===，则异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为（）A.33B.133C.24D.134【答案】C【解析】【分析】把三棱柱补成

四棱柱，如图所示，即可知异面直线1AC与1BC所成角为11CAD（或其补角），再解三角形即可求出．【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得23BC=，易知该四棱柱为长方体，4CDAB==，异面直线1AC与1BC所成

角为11CAD（或其补角），114CDCD==，22111122ACAAAC=+=，2211114ADAAAD=+=，∴()2222221111111122442cos242224ACADCDCADACAD+−+−===.故选：C.

8.设椭圆2222xyab+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝3，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（）A.45B.23C.12D.15【答案】B【解析】【分

析】由正弦定理把R用c表示，r也用c表示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理结合椭圆定义可得mn．然后把12PFF△面积用两种方法表示，得出,ac的关系式，求得离心率．【详解】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得2R＝121

2||sinFFFPF＝2sin3c＝433c，∴R＝233c，r＝14R＝36c．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos3＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝22

4()3ac−，∴12FPFS＝12mnsin3＝223()3ac−，又12FPFS＝12(m+n+2c)•r＝3()6cac+，∴223()3ac−＝3()6cac+，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，解

得：e＝23或e＝﹣1（舍）．故选：B．二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知直线:20lxy+−=与圆22:(1)(1)4C

xy−++=交于,AB两点，则（）A.3AB=B.ABC的面积为3C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，根据

垂径定理以及弦长公式，可得答案．【详解】圆22:(1)(1)4Cxy−++=，即圆心坐标为(1,1)C−，半径2r=，如图所示：圆心(1,1)C−到直线:20lxy+−=的距离22|112|111d−−==+，22223ABrd=

−=，所以A选项错误；11123322ABCSdAB=鬃=创=，选项B正确；由1dr+=，作直线l的平行线，使两直线的距离为1，这样的平行线有两条，一条与圆相切，另一条过圆心与圆相交，可知圆上到直线l的距离为1的点共3个，C选项错误，D选项正确.故选：BD10.设椭

圆22:142xyC+=的左，右焦点分别为12,FF，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（）A.离心率2e=B.1PF的最小值为22−C.12FPF的大小可以是π3D.满足12PFF△为等腰三角形的点P有6个【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆方程可确定,,abc，根据

cea=可知A错误；由1minPFac=−可知B正确；当P为椭圆上下顶点时，()12maxπ2FPF=，由此可得C正确；当P为椭圆上下顶点时，可知12PFF△为等腰三角形，根据1,PFacac−+，可知112PFFF=，212PFFF=能成立，结合椭圆对称性可知D正确.

【详解】由椭圆方程知：2a=，2b=，222cab=−=；对于A，离心率22cea==，A错误；对于B，()1,0Fc−为椭圆左焦点，1min22PFac=−=−，B正确；对于C，当P为椭圆上下顶点时

，122PFPF==，1222FF=，2221212PFPFFF+=，12π2FPF=，则当P在椭圆上运动时，12π0,2FPF，则12FPF大小可以是π3，C正确；对于D，当P椭圆上下顶点时，122PFPF==，满足12PFF△为等腰三

角形；1,PFacac−+，即122,22PF−+，112222PFFFc===能成立，根据椭圆对称性知：此时有2点满足题意；同理可知：212PFFF=时，有2点满足题意；满足12PFF△为等腰三角形的点P有6个，D正确.故选：BCD.11.如图，在三

棱柱111ABCABC-中，M，N分别是1AB，11BC上的点，且12BMAM=，112CNBN=．设ABa=，ACb=，1AAc=，若90BAC=，1160BAACAA==，11ABACAA===，则下列说法中正确的是（）A.112333aMbNc=

++B.53MN=C.11ABBC⊥D.111cos,6ABBC=【答案】BD【解析】【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.【详解】111111233MNMAACCNBAACCB=++=++()()11233AAABACA

BAC=−++−为1111333ABAAAC=++111333abc=++，故A错误；由题可知1abc===，0ab=，12acbc==，∴()()22222115222999abMNcccabababc++++==+++=，∴53MN=，故B

正确；因为1ABca=+，1BCbac=+−，则()()()()11112211cos,ccABBCABBCAabaaBbaBCcc++−==++−22222222222ccccababccaabababca−++=+++++−−11263

3==，故C错误，D正确．故选：BD.12.在长方体1111ABCDABCD−中，1226BCABBB===，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形11ADDA内一动点（含边界），且直线1BF，EF与平面11ADDA所成角的大小相等，则（）A.1//AF平面11BCCB

B.三棱锥1FBBE−的体积为4C.存在点F，使得11//AFBED.线段1AF长度的取值范围为525,28【答案】ACD【解析】的【分析】选项A：由题意得到平面11//ADDA平面11BCCB，然后根

据面面平行的性质定理即可判断选项A；选项B：根据11FBBEABBEVV−−=即可判断选项B；选项C：作//EGCD交AD于G，连接FG，当F为AG中点时，满足11//AFBE；选项D：根据题意分析出当点F在点I或点H处时，线段1AF的长度取得最大值；

当点F在点K处时，线段1AF的长度取得最小值，从而可求出线段1AF的长度的取值范围为525,28.【详解】平面11//ADDA平面11BCCB，1AF平面11ADDA，1//AF∴平面11BCCB，故A正确；1111343632FBBEABBEVV−−==

=，故B错误；连接1AF，作//EGCD交AD于G，连接FG，11AB⊥平面11ADDA，11AFB为1BF与平面11ADDA所成的角，⊥EG平面11ADDA，EFG为EF与平面11ADDA所成角．直线1BF

，EF与平面11ADDA所成角的大小相等，11AFBEFG=，所以11111tantanABEGAFBEFGAFFG===，又11ABEG=，1AFFG=，所以点F在1AG的中垂线上，即点F在线段HI上运动，当点F与点K重合

时，11//AFBE，故C正确；126BCBB==，E为棱BC上靠近C的三等分点，13AA=，4AG=，15AG=，11cosAGKGAGAAGHG==，1258HGAI==，当点F在点I或点H处时，线段1AF的长度取得最大值，最大值为258；当点

F在点K处时，线段1AF的长度取得最小值，最小值为52，线段1AF的长度的取值范围为525,28，故D正确．故选：ACD．第II卷三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.13.已知直线:10lxy−+=，圆22:1Cxy+=，则圆C关于直线l对称的圆的方程为__

________.【答案】22(1)(1)1xy++−=【解析】【分析】设圆心C的对称点C的坐标，由直线l为线段CC中垂线，求出对称点C的坐标，可得对称圆的方程【详解】设圆心(0,0)C关于直线l对称圆心为(,)Cab，由直线l为线段CC中垂线，可得0010221abba++

−+==−，解得1a=−，1b=，得对称圆心为(1,1)C−，圆的半径为1，所以圆C关于直线l对称的圆的方程为22(1)(1)1xy++−=.故答案：22(1)(1)1xy++−=14.已知正四棱锥PABCD−，底面边长为4，高为2，则该四棱锥外

接球的体积为__________．【答案】36【解析】【分析】由题意，正四棱锥PABCD−的外接球的球心在它的高1PO上，构造直角1AOO△，令,POAOR==结合勾股定理，即得解【详解】为由题意得，正四棱锥PABCD−的外接球的球

心在它的高1PO上，记球心为O，则122222ACABAO===，令,POAOR==12,PO=则12OOR=−或12OOR=−（此时O在1PO的延长线上），在直角1AOO△中，2222211(22)

(2)RAOOOR=+=+−，解得3R=，所以球的体积为334433633VR===.故答案为：3615.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点分别为12,FF，过坐标原点的直线交E于,P

Q两点，且22PFFQ⊥，且221,2PFQSa=224PFFQ+=，则E的标准方程为____________.【答案】22142xy+=【解析】【分析】连接11,PFQF，根据12,OPOQOFOF==，22PFFQ⊥，得到四边形12PFQ

F是矩形，设12,PFmPFn==，由22222441122mnamncmna+==+==求解.【详解】如图所示：连接11,PFQF，因为12,OPOQOFOF==，所以四边形12PFQF是平行四边形，所以1222,PFQFPFQF

==，又因为22PFFQ⊥，所以平行四边形12PFQF是矩形，设12,PFmPFn==，由题意得22222441122mnamncmna+==+==，解得22ac==，则2222bac=−=，故答案为：22142xy+=.16.已知过()3,0P的直

线与圆22:(2)(1)4Cxy−+−=交于,AB两点，（A点在x轴上方），若3BPPA=，圆的切线//lAB.则直线AB与切线的l距离是__________.【答案】2233−和2233+【解析】【分析】设出直线

AB的方程，联立直线与圆的方程，由3BPPA=求解直线方程，根据圆心与切线关系判断直线AB与切线距离.【详解】因为()()2232014−+−，所以点()3,0P在圆C内，即P点在弦AB上，因为点P

在x轴上，点A在x轴上方，所以点B在x轴下方，则可作出图象如下图所示.则直线AB必不可能与y轴垂直，可设方程为3xmy=+，则()()223214xmyxy=+−+−=，整理得()()2212220mymy++−−=，由直线AB与圆C相交两个不同的点可得，该方

程有两个不相等的实数根，设()()1122,,,AxyBxy，由题意知210yy，则121222222,11myyyymm−+==−++，因为3BPPA=，所以21030yy−=−，即213yy−=，则12122221myyym−+=−=+，

即1211mym−=+，由10y可得1m，所以2212122123311myyymm−=−=−=−++，整理得2610mm−+=，解得12322,322mm=−=+，根据1m可得322m=+，则直线AB的方程为()3223xy=++，一般式为()32230yx+−+

=，则圆心()2,1C到直线AB距离为()()22322234222336233221d+−++===+++−，因为圆心()2,1C到与直线AB平行的圆的切线距离是半径2，所以直线AB到与其平行的圆的两条切线距离分别是2233−和22

33+.故答案为：2233−和2233+四、解答题：本大题共6小题，满分48分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.17.（1）已知直线1l的方程为240xy+−=，若直线2l在x轴上的截距为32，且12ll⊥，求直线2l的方程；（2）已知()2,1P−，若直线l过点P，且原点到直线l的

距离为22，求直线l的方程.【答案】（1）2x-y-3=0（2）x+y-1=0或x+7y+5=0【解析】【分析】（1）根据两直线垂直关系，求出2l的斜率，代入点斜式方程；（2）讨论直线l的斜率是否存在，分别设出直线方程，若斜率存在，根据距离求出斜率.【详解】（1）由已知得，直线1l的斜率为1

2−，所以直线2l的斜率为2.又直线经过点3,02，所以直线2l的点斜式方程为：322yx=−，即2x-y-3=0.（2）当直线l斜率不存在时，l方程为：x=2.原点到l的距离为2，与已知矛盾

，舍去；所以，直线l斜率存在，设为k，则直线的点斜式方程为：y+1=k(x-2)，可化为kx-y-2k-1=0.又原点到直线l的距离为22，即221221kk−−=+，解得k=-1或17k=−.代入直线方程整理可得，直线l的方程为x+y-1=0或x+7y+5=0.18.ABC的内

角,,ABC的对边分别为,,abc，已知(sinsin)()(sinsin)aABcbCB−=−+（1）求角C；（2）若7c=，ABC的面积为332，求ABC的周长．【答案】（1）π3（2）57+【解析】分析

】（1）由正弦定理可得222abcab+−=，再由余弦定理可得2221cos22abcCab+−==，即可求解角C；（2）结合（1）可得22()37ababc+−==，再由ABC的面积为332，可解得6ab=，进

而可得5ab+=，即可求解ABC的周长.【小问1详解】解：由已知(sinsin)()(sinsin)aABcbCB−=−+由正弦定理，得()()()aabcbcb−=−+，即222abcab+−=．所以2221cos22abcCab+−==，又(0,π)C，所以

π3C=；【小问2详解】解：由（1）知222abcab+−=．所以22()37ababc+−==，又1333sin242SabCab===，所以6ab=，所以2()7325abab+=+=，即5ab+=．

所以ABC的周长为57abc++=+.19.如图，四棱锥PABCD−中，2ABAD==，4CD=，ABCD∥，AD⊥平面CDP，E为PC中点.【（1）证明：BE∥平面PAD；（2）若⊥CP平面PAD，22CP=，求三棱锥DPBE−的体积.【答案】（

1）证明见解析（2）43【解析】【分析】（1）取PD中点F，连接EF，AF，然后可证明四边形ABEF是平行四边形，得到BEAF∥即可；（2）首先可得CPPD⊥，算出22PD=，然后利用DPBEBPDEVV−−=可算出答案.

【小问1详解】取PD中点F，连接EF，AF则EFCD∥且12EFCD=又∵ABCD∥且12ABCD=∴EFAB∥且EFAB=∴四边形ABEF是平行四边形∴BEAF∥∵BE平面PAD,AF平面PAD∴BE∥平面PAD【小问2详解】

∵⊥CP平面PAD,PD平面PAD，∴CPPD⊥又∵22CP=，2ABAD==，4CD=∴2222PDCDPC=−=因为AD⊥平面CDP，所以1142222323DPBEBPDEVV−−===20.已知圆C的圆心C在直线10xy−−=上，且与直线23100xy+−=相切于点(22)P

，.（1）求圆C的方程；（2）若过点3(2)Q，的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程.【答案】（1）()22113xy++=（2）3460xy−+=或2x=【解析】【分析】（1）求得过点()22P，与直线23100xy+−=垂直的直线方程，联立此直线方程与直线10xy−−=可求得圆心

，从而可得出答案；（2）分直线l斜率存在和不存在两种情况讨论，根据弦长即可得出答案.【小问1详解】解：过点()22P，与直线23100xy+−=垂直的直线m的斜率为32k=，所以直线m的方程为()3222yx−=−，即3220xy−−=.由3220

10xyxy−−=−−=，解得圆心()01C−，.所以半径()()22021213r=−+−−=.故圆C的方程为：()22113xy++=；【小问2详解】解：①若斜率存在，设过点()23Q，的直线l斜率为k，则直线l方程为：()32ykx−=−，即230kxyk−−+=，

圆心()01C−，到直线l的距离2241kdk−=+，又613ABr==，Q，222243131kk−+=+，整理得430k−=，解得34k=，此时直线l的方程为3460xy−+=；②若斜率不存在，直线方程为2x=，弦心距为2，半径13r=，弦长为22

2(13)26−=，符合题意，综上，直线l的方程为3460xy−+=或2x=.21.如图甲，在矩形ABCD中，222,ABADE==为线段DC的中点，ADEV沿直线AE折起，使得6DC=，如图乙.（1）求证：BE⊥平面ADE；

（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点H是线段AB的中点【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到DOAE⊥，DOOC⊥，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由B

EAE⊥，面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设出H的坐标(),2,0tt−，求出平面的法向量，从而列出方程，求出t的值，确定H点位置.【小问1详解】证明：连接BE，取线段AE的中点O，连接,DOOC，在RtADEV中，2DAD

E==，,1DOAEDO⊥=，在OEC△中，131,2,π24OEAEECOEC====，由余弦定理可得：221221252OC=++=，5OC=在DOC△中，2226,DCDOOC==+DOOC⊥，又,AEOCO=,AEOC平面AB

CE，DO⊥平面ABCE，又DO平面,ADE∴平面ADE⊥平面ABCE，在ABE中，2,22AEBEAB===，BEAE⊥∵平面ADE平面,ABCEAEBE=平面ABCE，BE⊥平面ADE.【小问2详解

】过E作DO的平行线l，以E为原点，,,EAEBl分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0DCAB−，平面ADE的法向量()10,1,0n=，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为2xy+=，设

H的坐标为(),2,0tt−，则()()1,1,0,2,1,1HCttDC=−−−=−−，设平面DHC的法向量为()2,,nxyz=，220,0nHCnDC==，所以()()110,20txtyxyz−−+−=−+−=，令1yt=+，则()

21,3,1,1,3xtztnttt=−=−=−+−，由已知1222212π21cos421(1)(1)(3)nntnnttt+===−+++−，解之得：1t=或9（舍去），所以点H是线段AB的中点.22.已知椭圆2222:1xyab+

=（0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，设点(0,)Ab，在12AFF中，1223FAF=，周长为423+.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点，若直线A

B与AC的斜率之和为1−，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆上的一个动点，试根据AEP面积S的不同取值范围，讨论AEP存在的个数，并说明理由.【答案】（1）2214xy+=；（2）过定点(2,1)−；（

3）见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)由题意布列关于ab，的方程组，从而得到椭圆方程；(2)设直线l方程：ykxm=+，联立方程可得：()()222148410kxkmxm+++−=，利用根与系数的关系及1ABACkk+=−

，得到21ykxmkxk=+=−−过定点()2,1−.（3）设直线:lyxt=−+与椭圆2214xy+=相切，5t=，两切线到:10AElxy+−=的距离分别为125151,22dd+−==，根据AEP面积S的不同取值范围

，讨论AEP存在的个数.试题解析：（1）由1223FAF=得：13FAO=，所以2323abc==………①又12AFF周长为423+，所以22423ac+=+………②解①②方程组，得21ab==所以椭圆方程为2214xy+=（2）设直线l方程：ykxm=+，交点()()11

22,,,BxyCxy()()2222214841044ykxmkxkmxmxy=++++−=+=()2121222418,1414mkmxxxxkk−+=−=++121211,ABACyykkxx−−==依题：1ABACkk+=−即：1212111yyxx−−+=−1122,,y

kxmykxm=+=+()12121212111211kxmkxmxxkmxxxx+−+−++=−+−=−21mk=−−21ykxmkxk=+=−−过定点()2,1−.（3）:10AElxy+−=，()()0,1,2,1,22AEAE−=设直线:lyxt=−+与椭圆2

214xy+=相切，2222521041405yxtxtxtxyt=−+−+−=+===得两切线到:10AElxy+−=的距离分别为125151,22dd+−==()1151225122AEPdS+==+()2151225122AEPdS+==−当51AEPS

+时，AEP个数为0个当51AEPS=+时，AEP个数为1个当5151AEPS−+时，AEP个数为2个当51AEPS=−时，AEP个数为3个当051AEPS−时，AEP个数为4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么

、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.获得更多资

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