【文档说明】安徽省“五校联盟”2021届高三第二次联考数学（理科）试卷含解析.doc，共(23)页，1.313 MB，由小赞的店铺上传

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2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．已知a，b∈

R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为（）A．2B．3C．4D．53．下列说法中错误的是（）A．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”B．在△ABC中，A＜B⇔sinA＜sinB⇔cosA＞cosBC．已知某

6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立4．某三棱锥的三视图如图所示，已知

网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A．2B．C．D．5．已知平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．36．电影《流浪地球》中反复

出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违

法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数

模型f（x）＝．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车

[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．87．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以

连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把2

0200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A．64B．72C．80D．908．设a＝log54，b＝ln2，c＝π0.1，则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．a＜c＜b9．f（x）＝2

f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1，则y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+3y+7＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x+3y﹣7＝010．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，当内角C最大且b

＝3时，△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，AB＝BF2，cos∠ABF2＝，则双曲线的离心率为（）A．2B．

C．D．12．已知函数，x1、x2、x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件

的实数x2有且只有1个；③f（x）在上单调递增；④ω的取值范围是．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的

最小值是．14．若二项式的展开式的各项系数之和为﹣1，则含x﹣1项的系数是．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为．16．已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，将△AB

D沿着BD折叠，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．

已知数列{an}，Sn是an的前n项的和，且满足，数列{bn}是等差数列，b2+b6＝a4，a5﹣b4＝2b6．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）设数列{Sn}的前n项和为Tn，设，求{cn}的前n

项的和Dn．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，CD＝CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM∥平面APN．（1）求证：BM⊥AN；（2）

求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．19．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，点F（﹣1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M．（1）求点M的轨迹方程E．（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A

在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x＝1交于点N，求证：动直线NH过定点．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯

（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1﹣p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局

时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲

、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，，求P甲：P乙．（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖

金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．21．已知函数f（x）＝ex（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．（1

）若函数f（x）在x＝﹣1处取极小值，求实数m的值；（2）设m＝0，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标

方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求

x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1

或x＞1，即A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式变形得：log2x＞0＝log21，解得：x＞1，即B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|x＞1}，故选：B．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为（）A．2B．

3C．4D．5解：由（1+i）（1﹣bi）＝a，得（1+b）+（1﹣b）i＝a，则，得a＝2，b＝1．∴．故选：A．3．下列说法中错误的是（）A．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”B．在△ABC中，A＜B⇔sinA＜sinB⇔cosA＞cos

BC．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立解：命题“∀x＞1，x2﹣x＞0

”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”满足命题的否定形式，所以A确；A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a＝2rsinA，b＝2rsinB，故sinA＞sinB．由同角三角函数的基本关系可得cosA＜cosB，所以B正确；这6个数的平均数为3，方差为2现又加入一个新数据

3，此时这7个数的平均数为3，方差为2×＝，所以C不正确；从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以D正确；故选：C．4．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1

，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A．2B．C．D．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD；如图所示：所以：CD＝2，BC＝2，BD＝2，，AD＝2，AB＝2，所以，，．故选：C．5．已知平面向量＝（，﹣1），||＝，且

（+2）•（﹣）＝2，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．3解：平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，＝2，可得＝2，则|﹣|＝＝＝．故选：A．6．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规

范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后

或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型f（x）＝．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考

数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．8解：由散点图可得该人喝一

瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，得，解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，∵n∈N*，∴n的值为6．故选：B．7．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几

乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20

200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A．64B．72C．80D．90解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零，第一步，选百位和个位数字，共有9种选法；第二步，选

中间数字，有10种选法；故3位回文数有9×10＝90个，故选：D．8．设a＝log54，b＝ln2，c＝π0.1，则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．a＜c＜b解：∵0＝log51＜log54＜log55＝1，∴0＜a＜1，∵0＝ln1＜ln2＜

lne＝1，∴0＜b＜1，又∵＝＝＝＝＝，且ln5＜lne2＝2，∴，∴0＜b＜a＜1，∵π0.1＞π0＝1，∴c＞1，∴b＜a＜c，故选：B．9．f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1，则y＝f（x）

在（2，f（2））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+3y+7＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x+3y﹣7＝0解：取x＝2，得f（2）＝2f（2）﹣1，可得f（2）＝1，对函数f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1求导，得f'（x）＝﹣2f'（4﹣x）﹣2x

+2，∴f'（2）＝﹣2f'（2）﹣2，得f'（2）＝﹣，由此可得曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k＝﹣．∴所求切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简2x+3y﹣7＝0，故选：D．10．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，当内角C最大且b＝3时，△ABC的面积

等于（）A．B．C．D．解：因为，由正弦定理得a+b＝，两边平方，得a2+2ab+b2＝，所以9（a2+b2﹣c2）＝5a2+5b2﹣8ab，由余弦定理得cosC＝＝（2）＝，当且仅当，即a＝b时取等号，此时cosC取得最小值，C取得最大值，三角形ABC中，sinC＝

，△ABC的面积S＝＝＝2．故选：C．11．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，AB＝BF2，cos∠ABF2＝，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．解：

设|AF2|＝m，由双曲线的定义可得|AF1|＝m﹣2a，由|AB|＝|BF2|，可得m﹣2a＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，即有m＝4a，因为△ABF2为等腰三角形，所以cos∠ABF2＝cos（π﹣2∠F1AF2）＝﹣cos2∠F1AF2＝1﹣2cos2∠F1AF2＝，解得cos∠F1AF

2＝，在△F1AF2中，cos∠F1AF2＝＝＝，化为c＝a，即有e＝＝．故选：D．12．已知函数，x1、x2、x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，

给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在上单调递增；④ω的取值范围是．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵ω＞0，当x∈[0，π]时，．设进行替换，作出函数y＝cost的图象如下图所示：由于函数y＝f（x）在

[0，π]上满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，即函数y＝cost在上有且只有3个零点，由图象可知，解得，结论④不正确；由图象知，y＝cost在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；当时，，由知，所以y＝cost在上递增，则函

数y＝f（x）在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是﹣1．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，1），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝

﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．14．若二项式的展开式的各项系数之和为﹣1，则含x﹣1项的系数是﹣672．解：由题意令x＝1代入二项式可得：（1+a）7＝﹣1，则1+a＝﹣1，所以a＝﹣2，所以二项式（x2﹣）7的展开式的通项公式为T＝C

，令14﹣3r＝﹣1，解得r＝5，所以含x﹣1的系数为C＝﹣21×32＝﹣672，故答案为：﹣672．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|

，则线段AB的中点到y轴的距离为．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，可得p＝2，即有抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，设直线AB的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4m

y﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①由|AF|＝3|FB|，可得＝3，即有0﹣y1＝3（y2﹣0），②由①②解得m＝±，可得AB的中点的横坐标为2m2+1＝2×+1＝．所以线段AB的中

点到y轴的距离为．故答案为：．16．已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．解：将△ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AE⊥B

D，CE⊥BD，所以∠AEC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，所以∠AEC＝120°；△ABD与△BCD是边长为4的等边三角形．分别记三角形△ABD与△BCD的重心为G、F，则，；即EF＝EG；因为△ABD与△BCD都

是边长为4的等边三角形，所以点G是△ABD的外心，点F是△BCD的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF⊥平面BCD，OG⊥平面ABD，所以△OGE与△OFE都是直角三角形，且OE为公共边，所以Rt△OGE与Rt△OFE全等

，因此，所以；因为AE⊥BD，CE⊥BD，AE∩CE＝E，且AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC；又OE⊂平面AEC，所以BD⊥OE，连接OB，则外接球半径，所以外接球表面积为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～2

1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{an}，Sn是an的前n项的和，且满足，数列{bn}是等差数列，b2+b6＝a4，a5﹣b4＝2b6．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2

）设数列{Sn}的前n项和为Tn，设，求{cn}的前n项的和Dn．解：（1）n＝1时，a1＝1；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）＝2an﹣2an﹣1，则an＝2an﹣1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列

，所以；由{bn}是等差数列，设公差为d，由2b4＝b2+b6＝a4＝8，a5﹣b4＝16﹣4＝2b6，得b4＝4，b6＝6，所以2d＝6﹣4，即d＝1，所以bn＝n；（2）由（1）可得，Tn＝（2+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2，＝，所以Dn＝﹣（+）+（+）﹣（+）﹣…+（

﹣1）n（+）＝﹣2+（﹣1）n•．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，CD＝CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM∥平面APN．（1）求证：BM⊥AN；（2）求直线AP与平面AB

C所成角的正弦值．【解答】（1）证明：⇒CD⊥BM，又∵正△ABC中，AM＝MC⇒BM⊥AC，∴⇒BM⊥面ACD，∴BM⊥AN，（1分）（2）解：连接MD交AN于G，连接PG，作PH⊥BC于H，连接AH，∵⇒PH⊥平面AB

C，∴∠PAH为AP与平面ABC所成角，（1分）又∵AN，DM都是△ACD的中线，∴G为△ACD的重心．（1分）又∵⇒BM∥PG，∴P为BD的三等分点，（1分）∴Rt△AHP中：PH＝1，，（1分）∴（1分）法二：建立如

图空间直角坐标系：（1分）∵，∴P（3﹣3λ，3λ，0）（1分）设面APN的法向量为，∴，（1分）令x＝1，则，∴，（1分）∴P（2，1，0），（1分）又∵面ABC的法向量为：，（1分）∴．19．已知圆

C：（x﹣1）2+y2＝16，点F（﹣1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M．（1）求点M的轨迹方程E．（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x＝1交于

点N，求证：动直线NH过定点．解：（1）由圆（x﹣1）2+y2＝16，可得圆心C（1，0），半径r＝4，因为|FC|＝2＜4，所以点F在圆C内，又由点M在线段PF的垂直平分线上，所以MF＝MP，所以MC+MF＝MP+MC＝PC＝4，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以F，C为焦点的

椭圆，其中a＝2，c＝1，b2＝3，所以点M的轨迹方程为．证明：（2）设直线GH的方程为x＝my+4，G（x1，y1），H（x2，y2），A（﹣2，0），B（2，0），将x＝my+4代入，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，，，∵

相交，∴△＞0，设直线AG的方程为，令x＝1得，∴N（1，）∵＝﹣＝﹣＝0，所以直线NH恒过（2，0）．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡

和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，

谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1﹣p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续

进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，，求P甲：P乙．（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当

k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．解：（1）设比赛再继续进行X局甲赢得全

部奖金，则最后一局必然甲赢．由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金．当X＝2时，甲以4：1赢，所以；当X＝3时，甲以4：2赢，所以；当X＝4时，甲以4：3赢，所以．所以，甲赢的概率为．所以，P甲：P乙＝243：13；（2）设比赛继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢

．当Y＝3时，乙以4：2赢，P（Y＝3）＝（1﹣p）3；当Y＝4时，乙以4：3赢，；所以，乙赢得全部奖金的概率为P（A）＝（1﹣p）3+3p（1﹣p）3＝（1+3p）（1﹣p）3．于是甲赢得全部奖金的概率f（p）＝1﹣（1+3p）（1

﹣p）3．求导，f'（p）＝﹣3（1﹣p）3﹣（1+3p）⋅3（1﹣p）2（﹣1）＝12p（1﹣p）2．因为，所以f'（p）＞0，所以f（p）在上单调递增，于是．故乙赢的概率为，故事件A是小概率事件．21．已知函数f（x）＝ex（x2+mx+m2），g（x）＝a

x2+x+axlnx．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取极小值，求实数m的值；（2）设m＝0，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．解：（1）f′（x）＝ex[x2+（m+2）x+m2+m]，由题意得f

′（﹣1）＝0，即m＝±1，当m＝1时，f′（x）＝ex（x+1）（x+2），此时f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，符合题意；当m＝﹣1时，f′（x）＝ex（x+1）x，此时f（x）在（﹣∞，﹣1）上单

调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，不符合题意．综上可得，m＝1．（2）由f（x）≥g（x）得xex﹣1﹣a（x+lnx）≥0，指数化得不等式ex+lnx﹣1﹣a（x+lnx）≥0恒成立，令t＝x+lnx，则∀t∈R，不等式et﹣at﹣1≥0恒

成立，令h（t）＝et﹣at﹣1，t∈R，则h′（t）＝et﹣a，当a≤0时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，h（﹣1）＝+a﹣1＜0，不符合题意；当a＞0时，令h′（t）＝0，得x＝lna，当x∈（

﹣∞，lna）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，所以h（t）min＝h（lna）＝a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，即lna+﹣1≤0，令φ（a）＝lna+﹣1，则φ′（

a）＝，所以φ（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以a＝1．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲

线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数

m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程是：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4；直线l的直角坐标方程为：y＝x﹣m，∴圆心（

2，0）到直线l的距离（弦心距）为d＝＝，圆心（2，0）到直线y＝x﹣m的距离为：即＝，∴|m﹣2|＝1，解得m＝1或m＝3；…（2）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2＝4，其参数方程为（θ为参数）；又M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y＝2+2cosθ+2sinθ＝2+

2sin（θ+），∴x+y的取值范围是．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|＝，当x≥1时，

不等式化为x+2＜2，解得x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，不等式化为3x＜2，解得x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，不等式化为﹣x﹣2＜2，解得x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣；综上可得，原不等式的解集为（﹣4，）；（2）关于x的不等式f（x）

≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min＝﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3；所以a的取值范围是[﹣1，3]．