【文档说明】河北省保定市定州市2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.930 MB，由envi的店铺上传

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高二年级期中考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（共8题，每题5分）1.直线10xy++=的倾斜角是（）A.4−B.4C.2D.34【答案】D【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题10xy++=的斜率1

k=−,故倾斜角的正切值为-1,又)0,,故34=故选：D【点睛】本题主要考查了直线斜率为直线倾斜角的正切值,属于基础题型.2.已知方程2212xymm+=−表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A.()0,2B.()0,

1C.()1,2D.()2,+【答案】C【解析】【分析】利用椭圆焦点在y轴上的标准方程的结构特征，得到关于m的不等式组，解之即可得解.【详解】因为方程2212xymm+=−表示焦点在y轴上的椭圆，所以2002mmmm−−，解得12m.故选：C.3.在四面体OABC中

，记OAa=，OBb=，OCc=，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则MN=（）A.111222abc++B.111222abc−++C.111222abc−+D.111222abc+−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意得：

11111()22222MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++，故选：B.4.若直线10axy−+=与以()2,1A−−，()1,3B−为端点的线段有公共点（含端点），则a的取值范围为（）A.1,4−B.4,1−C.(),41,−

−+D.(),14,−−+【答案】C【解析】【分析】求出10axy−+=过定点()0,1E，画出图形，求出1AEk=，4BEk=−，数形结合得到BEak或AEak，即4a−或1a.【详解】101axyyax−+==+经过定点()0,1E，斜率为a，画出图形，如下：其中

11120AEk−−==−−，31410BEk−−==−−，直线10axy−+=与以()2,1A−−，()1,3B−为端点的线段有公共点（含端点），则BEak或AEak，即4a−或1a.故选：C5.已知直线l的一个方向向量是()1,2,1

a=−，平面的一个法向量是()1,1,1n=−，则l与的位置关系是（）A.l⊥B.//lC.l与相交但不垂直D.//l或l【答案】D【解析】【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判

断得解.【详解】因为()1,2,1a=−，()1,1,1n=−，所以()()1121110an=−++−=，则an⊥，又a是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，所以//l或l.故选：

D.6.若直线l与圆221:430Cxyy+−+=相切，且点()3,2−到直线l的距离为3，则这样的直线的条数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，分类讨论直线l的斜率不存在与存在两种情况，利用直线与圆相切的性质与点线距离公式得到

关于,kb的方程组，进而分析得其解的个数即可得解.【详解】圆221:430Cxyy+−+=可化为22(2)1xy+−=，圆心为(0,2)，半径为1，因为直线l与圆221:430Cxyy+−+=相切，当直线l的斜率不

存在时，则直线l的方程为1x=−或1x=，当直线l的方程为1x=−时，点()3,2−到直线l的距离为4，不满足题意；当直线l的方程为1x=时，点()3,2−到直线l的距离为2，不满足题意；当直线l的斜率存在

时，设直线l的方程为ykxb=+，即0kxyb−+=，则有2202113231kbkkbk−+=+++=+，即()()()2222213291bkkbk−+=+++=+，即()()223292kbb++=−+，解得314kb=−或342kb=+，

当314kb=−时，有2232114kk−+−=+，解得0k=或247k=；当342kb=+时，有2232412kk−++=+，整理得2524120kk++=，此时22445120=−，即方程有两个解，且不为0

k=或247k=；综上，k的取值有四种情况，对应的b也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条.故选：A.7.已知圆C过点()3,2A，()0,1B−，设圆心(),Cab，则22ab+的最小值为（）A.2B.2C.22D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意由半径相等，结合两点距离公式

得到2ab+=，再利用基本不等式即可得解.【详解】根据题意，得CACB=，又()3,2A，()0,1B−，(),Cab，所以()()()2222321abab−+−=++，化简得2ab+=，故()()22222224abababab+++=+=，则

222ab+，当且仅当1ab==时，等号成立，所以22ab+的最小值为2.故选：B.8.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别1F，2F，M是椭圆上一点，直线2MF与y轴负半轴交于点N，若110MFNF=，且22:2:3MFNF=，则椭圆的离心率为（）A.3

3B.12C.55D.66【答案】C【解析】【分析】根据题意设22MFm=，从而得到所需线段关于m的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得,ac关于m的表示，进而得解.【详解】因为22:2:3MFNF=，不妨设()220MFmm=，则23NFm=，由椭圆的定义与对称性可得122

MFam=−，123NFNFm==，5MNm=，因为110MFNF=，所以22212MFNFMN+=，则()()()2222235ammm−+=，解得3am=，则14MFm=，故1124cos5MFFMFMN==，则在12FMF中，由22

2121212122cosFFMFMFMFMFFMF=+−，得222441642425cmmmm=+−，解得355cm=，所以椭圆的离心率为55ca=.故选：C.二、多项选择题（共3题，每题6分）9.已知1F，2F分别是椭圆22:195xyC+=

的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的焦距为6B.12PFF的周长为10C.椭圆C的离心率为49D.12PFF面积的最大值为25【答案】BD【解析】【分析】利用椭圆方程得到,,abc，利用椭圆的定义与性质，逐一分析判

断各选项即可得解.【详解】对于A，因为椭圆22:195xyC+=，所以3,5,2abc===，所以椭圆C的焦距为24c=，故A错误；对于B，由椭圆的定义可知1226PFPFa+==，所以12PFF的周长为12126410PFPFFF++=+=，故B正确；对于

C，椭圆C的离心率为23ca=，故C错误；对于D，当点P为椭圆的短轴的一个端点时，点P到x轴的距离最大，此时12PFF面积取得最大值，为1211452522FFb==，故D正确.故选：BD.10.在三棱锥PABC−中，△PAC为边长为2的正三角形，2AB=，90BAC=，设

二面角PACB−−的大小为，PAB=，G为PBC△的重心，则下列说法正确的是（）A.若30=，则2PB=B.若14PB=，则150=C.若90=，则PB与AC所成的角为60D.若90=，则43AG=【答案】ABD【解析】【分析】取AC中点O，过O作//

OMAB且2OMAB==，连接OPMB，，则M平面ABC.取OA，OP，OM为基底向量，则根据题意知0OAOP=，0OAOM=.对于A项，根据30=，得3OMOP=，用基底向量表示PB，再求模长即可；对于

B项，根据模长公式建立等式，可得3OPOM=−，再用向量的数量积公式求夹角即可；对于C项，若90=，则0OMOP=，分别用基底向量表示PB，AC，并求模长，再利用向量法求异面直线的夹角即可；对于D项，若90=，则

ABPA⊥，根据已知条件可证AB⊥平面PAC，从而OM⊥平面PAC，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用三角形重心公式求得G的坐标，再求模长即可.【详解】如图，取AC中点O，过O作//OMAB且2OMAB==，连接OPMB，，则M平面ABC.因为△PAC为正三角形

，所以OPAC⊥，3OP=，因为90BAC=，所以BAAC⊥，所以OMAC⊥，所以二面角PACB−−的平面角为POM，则POM=.以OA，OP，OM为基底向量，则0OAOP=，0OAOM=.对于A项，若30=，即30POM=，所以23cos3OMO

PPOM==.因为PBPOOAABOPOAOM=++=−++，所以()22222222PBOPOAOMOPOAOMOPOAOPOMOAOM=−++=++−−+=，故A正确；对于B项，由A知22222214PBOPOAOMOPOAOPOMOAOM=++−−+=，所以314

214OPOM++−=，所以3OPOM=−，所以32cos3=−，解得3cos2=−，所以150=，故B正确；对于C项，若90=，即90POM=，所以0OMOP=.由A知PBOPOAOM=

−++，又2ACOA=−，所以()()222222PBACOPOAOMOAOPOAOAOMOA=−++−=−−=−,22222222PBOPOAOMOPOAOPOMOAOM=++−−+=，2AC=，设PB与AC所成

角为，则2coscos,4PBACPBACPBAC===，所以PB与AC所成的角不是60，故C错误；对于D项，若90=，即90PAB=，所以ABPA⊥，又ABAC⊥，PAACA=，PAAC，平面PAC

，所以AB⊥平面PAC，又//OMAB，所以OM⊥平面PAC，则OAOMOP，，三线两两垂直，建立如图坐标系.则()0,1,0A−，()0,0,3P，()2,1,0B−，()0,1,0C，则根据三角形重心坐标公式得23,0,33G，所

以23,1,33AG=，所以2222341333AG=++=，故D正确.故选：ABD.11.已知曲线()22*:20NmCxyxm+−=，则下列说法正确的是（）A.02xB.曲线C关于直线1x=对称C.曲线C围成的封

闭图形的面积不大于πD.曲线C围成的封闭图形的面积随m的增大而增大【答案】ABD的【解析】【分析】利用曲线的方程得到关于x的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，从而判断B；分析曲线22:20mCxyx+−=与曲线()212:20mCxyx++−=上的两个横坐标相同的点的纵

坐标大小关系，从而得到曲线C围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD.【详解】对于A，因为曲线()22*:20NmCxyxm+−=，所以2202myxx=−，解得02x，故A正确；对于B，因为曲线()22*:20

NmCxyxm+−=，可化为()2211mxy−+=，设点(),ab是曲线C上任一点，则其关于1x=对称的点为()2,ab−，将()2,ab−代入曲线C方程，得()()22222111mmabab−−+=−+=，所以曲线C关于直线1x=对称，故B正确；对于CD，因为()2211mxy

−+=，所以21my，则1y，设点(),ab是曲线22:20mCxyx+−=上任一点，则1b，点(),ar是曲线()212:20mCxyx++−=上的一点，则1r，则()2211mab−+=，()()22111mar+−+=，故()212mmbr+=

，易知当01r时，xyr=在其定义域内单调递减，所以()212mmrr+（当且仅当1r=或0r=时，等号成立），故()2212mmmbrr+=，又()2*Nmyxm=在)0,+上单调递增，所以br，故当m增大时，横

坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，又曲线C围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，即曲线C围成的封闭图形的面积随m的增大而增大，故D正确，又当1m=时，曲线C为()2211xy−+=，即其图形是半径为1的圆，此时其面积为2π1π=，

则曲线C围成的封闭图形的面积不小于π，故C错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题CD选项解决的关键在于，分析得两曲线22:20mCxyx+−=与()212:20mCxyx++−=上的点的情况，从而得到其围成

的封闭图形的面积情况，由此得解.三、填空题（共3题，每题5分）12.若圆22:(2)(3)4Cxy−++=上存在两点关于直线10axy+−=对称，则a的值为________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得圆心(2,3)C−在直线10axy+−=上，从而列式得解.【详解】圆22

:(2)(3)4Cxy−++=的圆心为(2,3)C−圆心，半径为2，圆上存在两点关于直线10axy+−=对称，则圆心在直线上，所以2310a−−=，解得2a=.故答案为：2.13.已知点()0,1,1A，()0,0,1B，𝐶(1,1,

0)，则点A到直线BC的距离是______.【答案】63##163【解析】【分析】利用空间向量中点到线的距离公式，结合向量数量积与模的坐标表示即可得解.【详解】因为点()0,1,1A，()0,0,1B，𝐶(1,1,0)，所以()0,

1,0AB=−，()1,1,1BC=−，则1ABBC=−，1,3ABBC==，所以点A到直线BC的距离是()22cos,dABABABBC=−21cos,ABABBC=−21ABBCABABBC=−

211113−=−63=.故答案为：63.14.过椭圆2217xy+=上一点P作圆22:(3)1Cxy+−=的两条切线，切点为A，B，当ABPC最大时，点P的纵坐标为________．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】根据给定条件

，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求||PC最大值问题.【详解】圆22:(3)1Cxy+−=的圆心(0,3)C，半径1r=，由,PAPC切圆C于点,AB知，PCAB⊥，则22||1PACABPCSPAACPC===−，因此ABPC最大，当且仅当||PC最大，设00

(,)Pxy，220077xy=−，则22220000013570||(3)66166()222PCxyyyy=+−=−−+=−++，当且仅当012y=−时取等号，所以点P的纵坐标为12−.故答案为：12−四、解答题（共5题，共77分）15.已知直线:220lxy−+=，

圆22:(3)5Cxy−+=.（1）求与直线l平行且与圆C相切直线方程；（2）设直线1ll⊥，且1l与圆C相交于A，B两点，若4305AB=，求直线1l的方程.【答案】（1）210xy−−=或2110xy−−=；（2）220xy+−=或240xy+−=【解析】【分析】（1）根据

题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得c，从而得解；（2）根据题意假设直线1l的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线1l的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解.的【小问1详解】依题意，设所求直线方程为20xyc−+=，因为所求直线与圆22:(3)5Cxy−+=相切，且圆

心为()3,0，半径为5，|230|55c−+=，解得1c=−或11c=−，所求直线方程为210xy−−=或2110xy−−=；【小问2详解】依题意，设直线1l的方程为20xym++=，因为直线1l与圆C相交于A，B两点，430||

5AB=，圆心()3,0到直线1l的距离为22305555−=，|3|555m+=，解得2m=−或4m=−，直线1l的方程为220xy+−=或240xy+−=.16.设椭圆2222:1(0)xyCabab

+=，1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，A是C上一点，且1AF与x轴垂直，直线2AF与C的另一个交点为B.（1）若直线AB的倾斜角为3π4，求椭圆C的离心率；（2）若直线AB在y轴上的截距为1，且23ABFB=，求a，b.【答案】（1）21−（2）52a=，5b=

【解析】【分析】（1）根据条件求出A的坐标，利用直线AB的的倾斜角，建立关于,ac的齐次方程，解之即可得解；（2）根据题意，结合线段的数量关系求得B的坐标，代入椭圆方程，解之即可得解.【小问1详解】依题意，设椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=的半焦距为c，则()()12,0,,0FcFc−，则由题意可知，点A在第二象限，设()(),0Acnn−，将(),Acn−代入22221xyab+=，得22221cnab+=，解得2bna=，则2,bAca−，因为直线AB的倾斜角为3π4，所以21AFABkk==

−，则201bacc−=−−−，则22bac=，所以222−=acac，即2220caca+−=，则2210ccaa+−=，即2210ee+−=，解得21e=−或21e=−−（舍去），所以椭圆C的离心率为21−.【小问2详解】记直线AB与y轴的交点为()0,1D，易知1

//ODAF，且122AFOD==，故22ba=，则22ba=，22222cabaa=−=−，因为2||3ABFB=，所以222AFFB=，则22DFFB=，即()2,0Fc是()0,1D与B的中点，所以()2,1Bc−，

将()2,1Bc−代入椭圆方程，得222411cab+=，所以()2242112aaaa−+=，解得52a=，故225ba==，即5b=，所以52a=，5b=.17.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为AB，BC的中点，点G在棱1AA上，且112AG

GA=．（1）证明：1D，G，E，F四点共面．（2）设平面1DGEF与棱1CC的交点为H，求1DH与平面11DABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2613.【解析】【分析】（1）建立空间

直角坐标系，利用共面向量定理，结合向量的坐标运算计算推理得证.（2）结合（1）的信息，求出点H的坐标及平面11DABC法向量，利用线面角的向量求法求解.【小问1详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令6AB=，则1(0,0,6),(6,3,0

),(3,6,0),(6,0,2)DEFG，则1(3,3,0),(0,3,2),(6,3,6)EFEGED=−=−=−−，于是123(6,6,0)(0,9,6)(6,3,6)EFEGED+=−+−=−−=，即向量1,,EF

EGED共面，又向量1,,EFEGED有公共点E，所以1D，G，E，F四点共面.【小问2详解】设(0,6,)Ht，则1(0,6,6)DHt=−，由点H平面1DGEF，得1DHEFEG=+，即(0,6,6)(3,3,

0)(0,3,2)t−=−+−，则0363362t=−=−−=，解得0,2,2t==−=，即(0,6,2)H，1(0,6,4)DH=−，而(6,0,0),(6,6,0)AB，则1(6,0,6),(0,6,0)ADAB=−=

，设平面11DABC的法向量(,,)nxyz=，则166060nADxznABy=−+===，令1x=，得(1,0,1)n=，令1DH与平面11DABC所成的角为，则111||426sin|cos,|13||||2213nDHn

DHnDH====，所以1DH与平面11DABC所成角的正弦值为2613.18.球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧

的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．（1）在正四棱柱1111ABCDABCD−（底面为正方形的直棱柱）中，1AB=，12AA=，求顶点A，B在该正四棱柱外接球上的球面距离．（2）如图1，在直角梯形ABCD中，BCAD∥，90BCD=，112BCAD==，3DC=．现将ABD△沿边BD

折起到P，如图2，使得点P在底面BCD的射影H在CD上．①求点P到底面BCD的距离；②设棱锥PBCD−的外接球为球O，求P，C两点在球O上的球面距离．参考数据：27π2cos1003=，47π1cos10011=．【答案】（1）π3；（2）①263；②5322π400.【解析】【分析】

（1）求出线段AB所对的正四棱柱1111ABCDABCD−外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长.（2）①根据给定条件可得⊥BC平面PCD，再在直角三角形中求出PH；②利用球的截面性质确定球心，求出球半径，进而求出球面距离.【小问1详解】

正四棱柱1111ABCDABCD−的外接球直径222111(2)2AC=++=，球半径1R=，因此球心与点,AB构成正三角形，弦AB所对球过,AB的大圆圆心角为π3，弧长为π3，所以顶点A，B在该正四棱柱外接球上的球面距离为π3.【小问2详解】①在直角梯形ABCD中

，//BCAD，90BCD=，112BCAD==，3DC=，221(3)2BDAD=+==，9060ADBBDC=−=，则ABD△为正三角形，棱锥PBCD−中，PH⊥平面BCD，而BC平面BCD，则BCPH⊥

，又BCCD⊥，,,PHCDHPHCD=平面PCD，则⊥BC平面PCD，而PC平面PCD，因此PCBC⊥，223PCPBBC=−=，在PCD△中，112cos3PDPDHCD==，2sin3PDH=，26sin3PHP

DPDH==，所以点P到底面BCD的距离为263.②取BD中点1O，则1O为BCD△外接圆圆心，令正PBD的外接圆圆心为2O，连接1112,,,,BOOHOOOOOB，则1211333OOPO==，2OO⊥

平面PBD，1OO⊥平面BCD，在于是1//OOPH，121122cossin3PHOOOPOHPO===，在12RtOOO中，121126cos4OOOOOOO==，因此棱锥PBCD−的外接球半径R，有222211118ROBOOOB==

+=，球O的弦PC所对大圆的圆心角为COP，222113214cos112114RPCCOPR−−===−，即COP是钝角，而47π1cos10011=，则47π53π100100πCOP−==，COP在大圆中所对劣弧长为53π5322π100400R=，所以P，C两点在球O上

的球面距离为5322π400.19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，()2,0A，()0,3B，()2,3C，()0,3D−，点P在线段OA上，点Q在线段AC上，且OPCQtOACA==，设直线BQ与DP交于点M．（1）证明：当t变化时，点M始终在某个椭圆W上运动，并

求出椭圆W的方程．（2）过点()4,0E作直线与椭圆W交于S，T不同的两点，再过点𝐹(1,0)作直线ST的平行线与椭圆W交于G，H不同的两点．①证明：ESETFGFH为定值．②求EGH面积的取值范围．【答案】（1）22143xy+=（2）①证明

见解析；②913(0,)8【解析】【分析】（1）求出直线BQ与DP的方程，消去参数t即可得到椭圆W的方程；（2）①分别联立方程224143xmyxy=++=与221143xmyxy=++=，借助韦达定理，表示出ESET与FGFH，进一步求解即可；②将EGHS

转化为EFGEFHSS+，再借助韦达定理，可转化为m的函数，根据m的范围求函数值域即可.小问1详解】解：设点(,)Qxy，依题意可知CQtCA=，即(2,3)(0,3)xyt−−=−，所以23(1)xyt==−，即(2,3(1))Qt−；同

理可得(2,0)Pt.于是直线BQ的斜率为3(1)3322BQtkt−−==−，所以BQ的直线方程为332ytx=−+，直线DP的方程为123xyt+=−，即332yxt=−，设直线BQ与DP的交点M坐标为(,)xy，由332332ytxyxt=−+=−可得

22333(3)(3)()224yytxxt+−=−=−，整理可得22143xy+=，【所以当t变化时，点M始终在椭圆W：22143xy+=上运动.【小问2详解】①证明：设直线ET的方程为4xmy=+，联立224143xmyxy=++=，消

去x得，22(34)24360mymy+++=，因直线ET与椭圆W交于两点11(,)Sxy，22(),Txy，所以22(24)436(34)0mm=−+，即2m−或2m，由韦达定理可知1222434myym+=−+，1223634yym=+，又2212

1,1ESymETym=+=+，所以2212236(1)(1)34mESETyymm+=+=+，设直线GH的方程为1xmy=+，直线ET与椭圆W交于两点33(,)Gxy，44(,)Txy,联立221143xmyxy=++=，消去x得，22(34)1890mymy++−=，

同理可得：3421834myym+=−+，342934yym−=+223429(1)(1)34mFGFHyymm−+=+=+,所以4ESETFGFH=（定值）.又当直线ET的方程为0y=时，直线GH与直线ET重合不符合题意.故4ES

ETFGFH=（定值）.②因为341()2EGHEFGEFHSSSEFyy=+=+，又因为3429034yym−=+，所以22343434222133(18)(9)()44222(34)34EGHmSEFyyyyyymm−

−=−=+−=−++，为整理可得2223118(34)EGHmSm+=+，令231nm=+，因为24m，所以13n，所以2222311139(34)692566mnmnnnn+==+++++，又因为当2m→+时，96nn++→+，所以222310(34)mm+→+，所以2

2231913018(34)8EGHmSm+=+，即EGH面积的取值范围为913(0,)8.【点睛】关键点睛：（1）在得到直线BQ与DP的方程后整体消参是比较简捷的方法；（2）将直线ET的方程设为4xmy=+，直线GH的方程设为1xmy=+，在后续运算中能

比较简捷运算量稍小，给EGHS转化为EFGEFHSS+提供了便利条件.