【文档说明】2021高考数学（文）集训15　选考系列 .docx，共(11)页，103.256 KB，由小赞的店铺上传

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专题限时集训(十五)选考系列1．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2(1＋t2)2＝1，所以C的直角坐标方程为x2

＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cos

α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.[选修4－5：不等式选讲](2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋

ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥34.[证明](1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab＋bc＋ca＝12[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－12(a2＋b2＋c2)＜

0.(2)不妨设max{a，b，c}＝a，因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a＞0，b＜0，c＜0.由bc≤(b＋c)24，可得abc≤a34，故a≥34，所以max{a，b，c}≥34.2．[选修4－4：坐标系与参数方

程](2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C

上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的

任意一点．在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA

|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.[选修4－5：不等式选讲](2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|

(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞

，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．3．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·全国卷

Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD

︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0

≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或

3，2π3或3，5π6.[选修4－5：不等式选讲](2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－

a)2≥13成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解](1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y

＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43，当且仅当x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋

(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥(2＋a)23，当且仅当x＝4－a3，y＝1

－a3，z＝2a－23时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为(2＋a)23.由题设知(2＋a)23≥13，解得a≤－3或a≥－1.1．[选修4－4：坐标系与参数方程](2020·福清模拟)已知曲线

C1：x2＋(y－2)2＝4在伸缩变换x′＝2x，y′＝2y下得到曲线C2，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)把C1化为极坐标方程并求曲线C2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(ρ>0,0<α<π)与C1，C2交点为A，B，|AB|＝2，求α.[解](1)曲线C1：x2＋(

y－2)2＝4，转换为极坐标方程为：ρ＝4sinθ.伸缩变换x′＝2x，y′＝2y转换为：x＝x′2，y＝y′2，代入曲线C1：x2＋(y－2)2＝4，得到极坐标方程为ρ＝8sinθ.(2)把θ＝α代入ρ＝4sinθ，即ρ＝4sinα，转换为A(4s

inα，α)，同理B(8sinα，α)，由于0<α<π，所以|AB|＝|8sinα－4sinα|＝4sinα＝2，解得sinα＝12，故α＝π6或5π6.[选修4－5：不等式选讲](2020·安阳一模)

已知a，b，c∈R＋，∀x∈R，不等式|x－1|－|x－2|≤a＋b＋c恒成立．(1)求证：a2＋b2＋c2≥13；(2)求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2.[解](1)∵|x－1|－|x－2|≤|x－1－x＋2|＝1，∴a＋b＋c≥1.∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc

，c2＋a2≥2ac，∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac，∴3a2＋3b2＋3c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2≥1，∴a2＋b2＋c2≥13.(2)∵a2＋b2≥2ab,2()a2＋b2≥a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，即a2＋b2≥(a＋b)22，

两边开平方得a2＋b2≥22|a＋b|＝22(a＋b)．同理可得b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)．三式相加，得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)≥2.2．[选修

4－4：坐标系与参数方程](2020·汨罗一模)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为αα≠π2的直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建

立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－4cosθ＝0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点F且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求||FQ的值．[解](1)∵直线l的参数方程为

x＝tcosαy＝1＋tsinα(t为参数)，∴直线l的普通方程为y＝tanα·x＋1，由ρsin2θ－4cosθ＝0，得ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0，即y2－4x＝0，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.(2)∵直线l经过曲线C的焦点F()1，0，∴tanα＝－1，直线l

的倾斜角α＝3π4.∴直线l的参数方程为x＝1－22ty＝22t(t为参数)代入y2＝4x，得t2＋42t－8＝0,设A，B两点对应的参数为t1，t2.∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为t1＋t22＝－22.又点F()1，0，则||FQ＝t1＋t22

＝22.[选修4－5：不等式选讲](2020·石家庄二中模拟)已知两个正数a，b满足a＋2b＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若不等式||2x－4＋||x＋1＋1≥3a＋4b－2ab对任意的x∈

R恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)两个正数a，b满足a＋2b＝2，可得a＝2－2b，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝5b－452＋45，由a>0，b>0，可得2－2b>0，即有0<b<1，则当b＝45

时，a2＋b2的最小值为45.(2)不等式|2x－4|＋|x＋1|＋1≥3a＋4b－2ab对任意的x∈R恒成立，|2x－4|＋|x＋1|＋1＝|x－2|＋(|x－2|＋|x＋1|)＋1≥0＋|x－2－x－1|＋1＝4，当且仅当x＝2时取得等号，则|2x－4|＋

|x＋1|＋1的最小值为4，可得3a＋4b－2ab≤4，又2b＝2－a>0，即0<a<2，①再由3a＋4b－2ab＝3a＋2(2－a)－a(2－a)≤4，化为a2－a≤0，即0≤a≤1，②由①②可得0<a≤1.故实数a的取值范

围是(0,1]．3．[选修4－4：坐标系与参数方程](2020·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为x＝－1＋t1＋t，y＝t1＋t(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝123

＋sin2θ.(1)求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．[解](1)由x＝－1＋t1＋t＝(1＋t)－21＋t＝1－21＋t，y＝t1＋t＝(1＋t)－11＋t＝1－11＋t(t为参数)，得x≠1.消去参数t

，得l的普通方程为x－2y＋1＝0(x≠1)．将ρ2＝123＋sin2θ去分母得3ρ2＋ρ2sin2θ＝12，将y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2代入，得x24＋y23＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可设曲线C的参数方程为x＝2cosα，

y＝3sinα(α为参数)，则曲线C上的点到l的距离d＝|2cosα－23sinα＋1|12＋(－2)2＝4cosα＋π3＋15，当cosα＋π3＝1，即α＝－π3

＋2kπ，k∈Z时，dmax＝55＝5，此时，x＝2cos－π3＋2kπ＝1，y＝3sin－π3＋2kπ＝－32，(k∈Z)．所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为5，该点坐标为1，－32.[选

修4－5：不等式选讲](2020·长郡中学模拟)设函数f(x)＝|2x－1|.(1)若函数F(x)＝f(x)＋ax有最小值，求a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|－|x＋m|的解集为A，且

34，2⊆A，求实数m的取值范围．[解](1)F(x)＝f(x)＋ax＝(2＋a)x－1，x≥12，(a－2)x＋1，x<12，使F(x)有最小值的充要条件为2＋a≥0，a－2

≤0，即a∈[－2,2]．(2)由题意知：|2x－1|≤|2x＋1|－|x＋m|在34，2上恒成立，即|x＋m|≤2x＋1－(2x－1)．即|x＋m|≤2在x∈34，2上恒成立，则－2≤x＋m≤2.故(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，解得－114≤m≤

0.故实数m的取值范围为－114，0.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com