【文档说明】《九年级数学》考点02 中考常考题型-圆（提高）（解析版）.docx，共(42)页，813.902 KB，由管理员店铺上传

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1考点02中考常考题型——圆（提高）一、单选题（共15小题）1.（2020•赤峰一模）⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或外【答案】B【分析】本题

先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵点P的坐标为（3，4），∴由勾股定理

得，点P到圆心O的距离＝＝5，∴点P在⊙O上，故选B．【知识点】点与圆的位置关系、坐标与图形性质2.（2020•新田县三模）将一把直尺，含有60°的直角三角板和光盘如图摆放，已知点A为60°角与直尺交点，AB＝2，则光盘的直径是（）A．2B．2C

．4D．4【答案】D【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝2，∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝AC

＝2，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝2，∴光盘的直径为4，故选：D．2【知识点】切线的性质3.（2020•乐清市一模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标

分别为A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，1），D（1，1）．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是（）A．（﹣35，1）B．（﹣37，1）C．（39，﹣1）D．（﹣37

，﹣1）【答案】B【分析】先分别求出A1的坐标是（﹣1，﹣3），A2的坐标是（﹣5，1），A3的坐标是（1，7），A4的坐标是（9，﹣1），从中找出规律，依规律计算即可．【解答】解：从图中可以看出A1的坐标是（﹣1，﹣3）A2的坐标是（﹣5，1）A3的坐标是（1，7）A4的坐标

是（9，﹣1）18÷4＝4…2∴点A18的坐标是A2的坐标循环后的点．依次循环则A18的坐标在y轴上的是1，x轴上的坐标是可以用n＝﹣（1+2n）（n为自然数）表示．那么A18实际上是当n＝18时的数，所以﹣

（1+2×18）＝﹣37．A18的坐标是（﹣37，1），故选：B．【知识点】规律型：点的坐标、弧长的计算4.（2020•秦安县模拟）已知⊙O1与⊙O2交于A、B两点，且⊙O2经过⊙O1的圆心O1点，点C在⊙O1上．如图所示，∠AO2B＝80°，则∠ACB＝（）A．100°B．40°C

．80°D．70°【答案】D【分析】在优弧AB上取一点E，连接AE，BE，AO1，BO1．利用圆周角定理，圆内接四边形的性质即可解决问题．3【解答】解：在优弧AB上取一点E，连接AE，BE，AO1，BO1．∵∠AEB＝∠AO2B，

∠AO2B＝80°，∴∠AEB＝40°，∵∠AEB+∠AO1B＝180°，∴∠AO1B＝180°﹣∠AEB＝140°，∴∠ACB＝∠AO1B＝70°，故选：D．【知识点】相交两圆的性质5.（2020•广阳区一模）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC

于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．【解答】解：

连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵的长为π，∴＝，解得：R＝4，∴AB＝ADcos30°＝4，∴BC＝AB＝2，4∴AC＝BC＝6，∴

S△ABC＝×BC×AC＝×2×6＝6，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝6﹣＝6﹣．故选：D．【知识点】弧长的计算、扇形面积的计算6.（2020•罗湖区二模）如图菱形OABC中，∠A＝120°，OA＝1，将菱形

OABC绕点O顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣1【答案】B【分析】连接OB、OB′，阴影部分的面积等于扇形BOB′的面积减去两个△OCB的面积和扇形OCA′的面积．根据旋转角的度数可知：∠BOB′＝90°，已知了∠A

＝120°，那么∠BOC＝∠A′OB′＝30°，可求得扇形A′OC的圆心角为30°，进而可根据各图形的面积计算公式求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OB、OB′，过点A作AN⊥BO于点N，菱形OABC中，∠A＝120°，OA＝1，∴∠AOC＝60°，∠COA′＝

30°，∴AN＝，∴NO＝＝，∴BO＝，∴S△CBO＝S△C′B′O＝×AO•2CO•sin60°＝，S扇形OCA′＝＝，S扇形OBB′＝＝；5∴阴影部分的面积＝﹣（2×+）＝π﹣．故选：B．【知识点】扇形面积的计算、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质7.（2020•江汉区模拟）

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（）A．3B．C．6+D．6﹣【答案】D【分析】设AE＝x，则ED＝8

﹣x，易得四边形ABFE为矩形，则BF＝x，利用对称性质得FG＝BF＝x，则CG＝8﹣2x，再根据切线长定理得到EM＝ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，所以EG＝16﹣3x，在Rt△EFG中利用勾股定理得到42+x2＝（16﹣3x）2

，然后解方程可得到AE的长．【解答】解：设AE＝x，则ED＝8﹣x，∵EF⊥AD，∴四边形ABFE为矩形，∴BF＝x，∵点B关于EF的对称点为G点，∴FG＝BF＝x，∴CG＝8﹣2x，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD和BC为⊙O的切线，∵EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，∴EM＝

ED＝8﹣x，GM＝GC＝8﹣2x，∴EG＝8﹣x+8﹣2x＝16﹣3x，在Rt△EFG中，42+x2＝（16﹣3x）2，整理得x2﹣12x+30＝0，解得x1＝6﹣，x2＝6+（舍去），即AE的长为6﹣．故选：D．【知识点】切线的性质、轴对称的性质、矩形

的性质8.（2020•南沙区一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）6A．B．8C．D．【答案】D【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理

求出EC即可．【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【知识点】勾股定理、垂径定理9.（20

20•武昌区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】连接AC，BD，OD，由圆周角定理可知∠BCA＝∠BD

A＝90°，由圆内接四边形的性质可得∠BCF7＝∠BAD，根据相似三角形的判定定理可得Rt△BCF∽Rt△BAD，则有＝，即＝，又因为OD是⊙O的半径，AD＝CD，根据垂径定理的推论得OD垂直平分AC，则OD∥B

C，＝，并且有△EOD∽△EBC，则＝＝，＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6，可得到半径OD＝4，CE＝DE，又∠EDA＝EBC，∠E公共可得到△AED∽△CEB，则DE•EC＝AE•B

E，即有DE•DE＝4×12，可求出DE＝4，则CD＝2，则AD＝2，然后代入＝即可求出CF的长．【解答】解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的

内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∴Rt△BCF∽Rt△BAD，∴＝，即＝，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，∴△EOD∽△EBC，∴＝＝，＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，

BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共，∴△AED∽△CEB，∴DE•EC＝AE•BE，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，8∴CF＝．故选：A．【知识点】圆心角、弧、弦的

关系、圆内接四边形的性质10.（2020•沙坪坝区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】D

【分析】如图，取AB的中点O，连接AF，OF．证明△ABC是等边三角形，把问题转化为S阴＝S扇形OBF，由此即可解决问题．【解答】解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BF，∵CF＝BF，∴AC

＝AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，易证△CEF≌△BOF，∴S阴＝S扇形OBF＝＝，故选：D．9【知识点】扇形面积的计算、菱形的性质11.（2020•邹平县模拟）如图，在△ABC中，∠

B＝90°，AC＝10，作△ABC的内切圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，设AD＝x，△ABC的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，利用切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，AF＝AD＝

x，CE＝CF＝10﹣x，利用四边形ODBE为正方形得到DB＝BE＝OD＝r，根据三角形面积公式得到S＝r（AB+CB+AC）＝r2+10r，再根据勾股定理得到（x+r）2+（10﹣x+r）2＝102，则r2+10r＝﹣x2+10x，所以

S＝﹣x2+10x，从而可对各选项进行判断．【解答】解：连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，∵△ABC的内切圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，AF＝AD＝x，CE＝CF＝10﹣x，易得四边形O

DBE为正方形，∴DB＝BE＝OD＝r，∵S＝r（AB+CB+AC）＝r（x+r+r+10﹣x+10）＝r2+10r，∵AB2+BC2＝AC2，∴（x+r）2+（10﹣x+r）2＝102，∴r2+10r＝﹣x2+10x∴S＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25（

0＜x＜10）．10故选：A．【知识点】三角形的内切圆与内心、切线的性质、函数的图象12.（2020•海港区模拟）已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重

合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A．B．﹣2.2C．2.3

D．﹣2.3【答案】A【分析】画出图形分别求出点旋转6次点M的纵坐标，即可判断．【解答】解：如图，∵正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1∴第一次旋转后点M1纵坐标坐标为，第二次、第三次旋转后点M2（M3）的纵坐标为﹣，11四次旋转后点M4的纵坐标

为﹣﹣，第五次旋转后点M5的纵坐标为+，第六次旋转后的点M6的纵坐标为．故选：A．【知识点】规律型：点的坐标、坐标与图形变化-旋转、正多边形和圆13.（2020•武汉模拟）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接A

C，H是MC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的

中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝1

3﹣5＝8．故选：D．【知识点】圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理14.（2020•昆明模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q

，已知AD＝4，BC＝9，以下结论：①⊙O的半径为；②∠AOD＝∠BCP；③PB＝；④tan∠CEP＝．12其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】作DK⊥BC于K，连接OE，在Rt△CDK中，利用勾股定理求得DK＝12，由此判断①；可以证明AQ

＝QE，AO＝OB，由此得出结论判断②；根据PB＝计算即可判断③；根据tan∠CEP＝tan∠CBP＝计算即可判断④．【解答】解：作DK⊥BC于K，连接OE．∵AD、BC是切线，∴∠DAB＝∠ABK＝∠DKB＝90°，

∴四边形ABKD是矩形，∴DK＝AB，AD＝BK＝4，∵CD是切线，∴DA＝DE，CE＝CB＝9，在Rt△DKC中，∵DC＝DE+CE＝13，CK＝BC﹣BK＝5，∴DK＝＝12，∴AB＝DK＝12，∴⊙O半径为6．故①错误；∵DA＝DE

，OA＝OE，∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，∴AQ＝QE，∵AO＝OB，∴OD∥BE，故②正确；在Rt△OBC中，PB＝＝＝，故③正确；∵CE＝CB，∴∠CEB＝∠CBE，13∴tan∠CEP＝ta

n∠CBP＝＝＝，故④错误，∴②③正确，故选：B．【知识点】解直角三角形、切线的性质15.（2020•铁西区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连结CD．

过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若AF＝AB，则点D是AB的中点；③若＝1，则S△ABC＝9S△BDF；④当B、C、F、D四

点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（）A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④【答案】B【分析】由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG＝AB＝BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆

上时，由圆内接四边形的性质得到∠2＝∠ACB由于∠ABC＝90°，AB＝BC，得到∠ACB＝∠CAB＝45°，于是得到∠CFD＝∠AFD＝90°，根据垂径定理得到DF＝DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S△ABF＝S△ABC，又S△B

DF＝S△ABF，所以S△ABC＝6S△BDF，由此确定结论④错误．【解答】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△BFC，∴＝，又AB＝BC，∴＝．14故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，，∴

△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB，∵AF＝AB，∴AF＝AC，∴AF＝FC，∵＝，∴AG＝BC＝AB，∴BD＝AB，∴点D是AB的中点，故结论②正确；∵＝，AG＝BD，＝，∴＝，∴＝，AF＝AC，∴S△A

BF＝S△ABC，∴S△BDF＝S△ABF，∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝6S△BDF．故结论③错误；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2＝∠ACB，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴∠2＝45°，∴∠CFD

＝∠AFD＝90°，15∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵BG⊥CD，∴＝，∴DF＝DB，故④正确；故选：B．【知识点】等腰直角三角形、点与圆的位置关系、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系

、相似三角形的判定与性质二、填空题（共9小题）16.（2020•通州区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是．【答案】60°【分析】根据垂径定理求出＝，求出、、的度数，即可求出答案．【解答】解：∵AB

是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵＝，∴＝＝，即、、的度数是＝120°，∴∠ACD＝°＝60°，故答案为：60°．16【知识点】圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理17.（2020•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，已知正方形的

边长为2，以AD、BC的中点为圆心，边长的一半为半径画弧，图中阴影部分的面积是﹣（结果保留π）．【答案】4-π【分析】求出正方形的面积和一个圆的面积，即可求出答案．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴两个半圆的半径为1，∴阴影部分

的面积S＝S正方形ABCD﹣2×S半圆＝2×2﹣π×12＝4﹣π，故答案为：4﹣π．【知识点】正方形的性质、扇形面积的计算18.（2020•南海区一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交

于点O，则图中阴影部分的面积为﹣．【分析】先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝﹣1，进而得到S△OB1C＝（﹣1）2，再根据S△AB1C1＝，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．【解答】解：连结DC1，∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，

∴∠AC1B1＝45°，∵∠ADC＝90°，∴A，D，C1在一条直线上，17∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝﹣1，∴S△OB1C＝•OB1•CB1＝（﹣1）

2，∵S△AB1C1＝AB1•B1C1＝×1×1＝，∴图中阴影部分的面积＝﹣（﹣1）2﹣＝﹣2+．故答案为﹣2+．【知识点】扇形面积的计算、旋转的性质19.（2020•平阳县一模）婷婷在发现一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为

圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12cm，则该圆的半径为cm．【分析】连接OB，OP，根据等腰三角形的性质得到OB⊥AC，根据切线的性质得到OP⊥AQ，设该圆的半径为r，得到OB＝OP＝r，根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝CD

＝2r，AO＝r，求得AC＝2r，根据三角函数的定义得到sin∠PAO＝＝＝，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，根据矩形的性质得到HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，根据勾股定理得到AG＝＝12，根据三角函数的定义即可得到

结论．【解答】解：连接OB，OP，∵AB＝BC，O为AC的中点，∴OB⊥AC，∵AQ是⊙O的切线，∴OP⊥AQ，设该圆的半径为r，∴OB＝OP＝r，∵∠ABC＝120°，18∴∠BAO＝30°，∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝r，∴AC＝2r，∴sin∠P

AO＝＝＝，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，∴sin∠PAO＝＝＝，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，∴QG＝12，∴AG＝＝12，∴QH＝12﹣2r，DH＝2r﹣12，∴t

an∠QDH＝tan30°＝＝＝，解得r＝3+，∴该圆的半径为3+cm，故答案为：3+．【知识点】正多边形和圆、切线的性质20.（2020•新吴区二模）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分別与AB、

BC交于点G、H，且∠EOF=90°，有下列结论：①=②△OGH是等腰直角二角形；③四边形OGBH的面积不随点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4﹣．其中错误的是．（把你认为错误结论的序号填上）【答案】④【分析】连接OA、O

B，如图，利用正方形的性质得OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，根据等19角的余角相等得到∠AOG=∠BOH，则利用圆心角、弧、弦的关系可对①进行判断；根据“ASA”判断△AOG≌△BOH得到OG=OH，S△AOG=S△B

OH，则可对②③进行判断；由于△AOG≌△BOH，则AG=BH，利用等线段代换和等腰直角三角形的性质得△BGH的周长=AB+OG=4+OG，利用垂线段最短得到当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG=2，从而可对④进行判断．【解答】解：连接

OA、OB，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，∵∠EOF=90°，∴∠AOG=∠BOH，∴=，所以①正确；在△AOG和△BOH中，∴△AOG≌△BOH，∴OG=OH

，S△AOG=S△BOH，∴△OGH为等腰直角三角形，所以②正确；四边形OGBH的面积=S△AOB=×42=4，所以③正确；∵△AOG≌△BOH，∴AG=BH，∴△BGH的周长=BG+BH+GH=BG+AG+OG=AB+OG=4+OG，当OG⊥AB时，OG的长

最小，此时OG=2，∴△GBH周长的最小值为4+2，所以④错误．故答案为④．【知识点】圆周角定理、正多边形和圆、轴对称-最短路线问题21.（2020•武汉模拟）如图，在矩形ABCD中，，点P是BC边上的一动点（不与B，C重合），PQ⊥AP交边CD于点Q，若CQ的最大值为，则

AD的长为．【答案】2【分析】连接AQ，则点A，D，Q，P在以AQ为直径的⊙O上，由点P是BC上一动点，推出当⊙O与BC20相切于点P时，CQ最大，利用勾股定理求出AM即可解决问题．【解答】解：连接AQ，则

点A，D，Q，P在以AQ为直径的⊙O上，∵点P是BC上一动点，∴当⊙O与BC相切于点P时，CQ最大，连接PO并延长AD交于点M，则OM⊥AD，∵，∴，，在Rt△AOM中，，∴AD＝2AM＝2．【知识点】直线与圆的位置关系、勾股定理、矩形的性质22.（2020•锦江区模拟）如图，四边形ABCD

内接于以AC为直径的⊙O，AD＝，CD＝2，BC＝BA，AC与BD相交于点F，将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，连接CG交AB于E，则BE长为．【分析】根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝

＝，根据角平分线的性质得到FM＝FN，求得AF＝AC＝，根据折叠的性质得到∠GAE＝∠CAE，得到＝＝3，求得CG＝＝，过A作AH⊥EG于H，根据三角函数的定义得到EH＝EG﹣HG＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AC为

⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝，CD＝2，∴AC＝＝，21∵AB＝BC，∴∠1＝∠2，过F作FM⊥AD于M，FN⊥CD于N，∴FM＝FN，∴＝＝＝＝2，∴AF＝AC＝，∵将△ABF沿

AB翻折，得到△ABG，∴∠GAE＝∠CAE，∴＝＝3，∵AG＝AF＝，∵∠BAG＝∠BAC＝45°，∴∠GAC＝90°，∴CG＝＝，∴EG＝CG＝，∴tan∠CGA＝＝3，过A作AH⊥EG于H，∴HG＝AG•cos∠AGH＝×＝，AH＝AG•si

n∠AGH＝×＝1，∴EH＝EG﹣HG＝，∴AE＝＝，∵AB＝AC＝，∴BE＝AB﹣AE＝．故答案为：．【知识点】圆周角定理、翻折变换（折叠问题）、圆心角、弧、弦的关系2223.（2020•温州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝9，线段PQ位于边AB上（AP＜A

Q），PQ＝2，E为PQ中点，以E为顶点在矩形内作直角△EFG，其中∠EFG＝90°，EF＝1，sin∠FEQ═，当GF所在的直线与以CD为直径的圆相切时，AP的长度为．【分析】设以CD为直径的圆为⊙O，与FG相切于点H，FG与直线CD，

AB分别交于点N，M，与AD交于点K，连接OH，则OH⊥MN，因为EF＝1，sin∠FEQ═，可得EM＝，证明∠NKD＝∠AKM＝∠FEQ，因为AB＝16，可得OH＝8，ON＝10，所以DN＝2，得DK＝，设AP＝x，则AM＝AP+PE+EM＝x+，AK＝，根据，即可得出AP的长

．【解答】解：设以CD为直径的圆为⊙O，与FG相切于点H，FG与直线CD，AB分别交于点N，M，与AD交于点K，连接OH，则OH⊥MN，∵EF＝1，sin∠FEQ═，∴EM＝，∵AB∥CD，∴∠N＝∠KMA

，∵∠N+∠NKD＝90°，∠FEQ+∠KMA＝90°，∴∠NKD＝∠AKM＝∠FEQ，∵AB＝16，AD＝9，∴OH＝8，∴ON＝10，∴DN＝ON﹣OD＝10﹣8＝2，∴DK＝，设AP＝x，∵PE＝1，EM＝，∴AM＝AP+PE+EM＝x+，

∴AK＝，23∴，解得x＝．故答案为：．【知识点】切线的判定、解直角三角形、矩形的性质24.（2020•坪山区模拟）如图，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，则AB的长为．【分析】延长ED交A

B于点F，连接BD，将线段AB分为AF和BF两部分，分别计算：先证明△ADE≌△ADF，利用勾股定理得AE的长度，即为AF的长度，再证明△BFD∽△DEC，利用相似，列比例式求得BF，两者相加即可．【解答】解：如图，延长ED交AB于点F，连接BD，∵AD⊥DE∴∠ADE＝∠ADF＝90°∵D为

△ABC的内心∴∠DAE＝∠DAF∵AD＝AD∴△ADE≌△ADF（ASA）24∵AE＝AF，DE＝DF＝2∴AE＝＝∴AF＝∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝180°﹣（∠BAC

+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝90°+∠ABC＝90°+∠ABD＝90°+∠CBD＝90°+∠CDE∴∠ABD＝∠CBD＝∠CDE∵△ADE≌△ADF∠AFD＝∠AED∴∠BFD＝∠

DEC∴△BFD∽△DEC∴＝∴＝∴BF＝∴AB＝AF+BF＝+故答案为：+【知识点】三角形的内切圆与内心三、解答题（共11小题）25.（2020•梧州二模）如图，在△ABF中，以AB为直径的作⊙O，∠BAF的

平分线AD交⊙O于点D，AF与⊙O交于点E，过点B的切线交AF的延长线于点C（1）求证：∠FBC＝∠FAD；（2）若，求的值．25【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明．（2）连接DE．证明△AED∽△BFC即可解决问题．【解答】（1）证明：∵

AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AD平分∠BAF，∴∠BAD＝∠FAD，∵BC切⊙O于B点，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝∠FBC+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠FBC，∴∠FBC＝∠FDA．（2）

解：连接DE．∵∠ADB＝90°，AD平分∠BAF，∴△ABF是等腰三角形，∴∠ABD＝∠AFD，BF＝2FD，∵＝，∴＝，∵四边形AEDB内接于⊙O，∴∠AED+∠ABD＝180°，∵∠AFD+∠CFB＝180°，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AED＝∠CFB，∵∠FBC＝∠FAD，∴

△AED∽△BFC，∴＝＝．【知识点】切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质26.（2020•常德模拟）如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．26（1）试判断CD与圆O的位

置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，圆O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求AD的长．【分析】（1）连接OC，求出OC和AD平行，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可；（2）连接BC，解直角三角形求出BC和AC，

求出△BCA∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．【解答】解：（1）CD与圆O的位置关系是相切，理由是：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB，∵∠CAB＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，

∵OC为半径，∴CD与圆O的位置关系是相切；（2）连接BC，27∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵圆O的半径为3，∴AB＝6，∵∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，∵∠BCA＝∠CDA＝90°，∠

CAB＝∠CAD，∴△CAB∽△DAC，∴＝，∴＝，∴AD＝．【知识点】角平分线的性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理27.（2020•永昌县一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点

E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；（2）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BO

D的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：28∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C．∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：过O作OF⊥BD于F，如图2所示：∵∠

C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，∴∠BOD＝120°，在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，∴OF＝OD＝cm，，∴DF＝＝cm，∴BD＝2DF＝3cm，∴S△BOD＝×BD×O

F＝×3×＝cm2，S扇形BOD＝＝3πcm2，∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm2．29【知识点】扇形面积的计算、切线的判定28.（2020•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90

°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）已知BC＝4．填空．①当DE＝时，四边形DOCE为正方形；②当DE＝时，△BOD为等边三角形．【

分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE＝2；②若△BOD为等边

三角形，则∠DOE＝60°，则Rt△ODE中，则DE＝2．【解答】（1）证明：如图，连接CD，OE，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，在△COE与△DOE中，OD＝CC，OE＝OE，DE＝CE，∴△CO

E≌△DOE，∴∠OCE＝∠ODE＝90°，DE为⊙O的切线；（2）解：①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，∵BC＝4，∴DE＝2．②若△BOD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，∴∠DOE＝60°，30∴Rt△ODE中，DE＝OD

．故答案为：2，2．【知识点】圆的综合题29.（2020•宜兴市二模）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO＝30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点E的坐标；（2）当△PAE

是等腰三角形时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【分析】（1）由A，B的坐标及∠AEO＝30°可得OE＝3，即可求出点E

的坐标；（2）分三种情形①当EA＝EP时，EP1＝EA＝EP2＝6，求出t．②当PA＝PE时，设P3E＝P3E＝x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2＝x2，x＝，求出t即可．③当AE＝AP时，点P在点Q左边，不符合题意．（3）本小题分三种情况讨论：①当PA⊥AE时，⊙P与AE相

切；②当PA⊥AC时，⊙P与AC相切；③当PB⊥BC时，⊙P与BC相切；分别求出各种情况的t的值．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（6，0），∴OA＝3，OB＝6，∵∠AEO＝30°，∴OE＝OA＝3，∴点E的坐标为（，0）．（2）如图1中，当EA＝EP时

，EP1＝EA＝EP2＝6，此时t＝3﹣2或3+10，当PA＝PE时，设P3E＝P3E＝x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2＝x2，31∴x＝，此时t＝4+当AE＝AP时，点P在点Q左边，不符合

题意．综上所述，当△PAE是等腰三角形时，t的值为（3﹣2）s或（3）s或（4+）s．（3）由题意知，若⊙P与四边形AEBC的边相切，有以下三种情况：①如图2中，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切，∵∠AEO＝30°

，AO＝3，∴∠APO＝60°，∴OP＝，∴QP＝QO﹣PO＝4﹣，∵点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝4﹣（秒）．②如图3中，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切，∵QO＝4，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝4（秒），③如

图4中，当⊙P与BC相切时，32由题意，PA2＝PB2＝（10﹣t）2，PO2＝（t﹣4）2．于是（10﹣t）2＝（t﹣4）2+32．解得t＝（秒），综上所述，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4﹣）秒或4秒或秒．【知识点】圆的综合题30.（2020•云南模

拟）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．【分析】（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理

，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD＝CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥A

B，∴CE＝DE＝CD＝×4＝2，设OC＝x，∵BE＝2，33∴OE＝x﹣2，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝（x﹣2）2+（2）2，解得：x＝4，∴OA＝OC＝4，OE＝2，∴AE＝6，在Rt△AE

D中，AD＝，∴AD＝CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD＝CD，∴平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠O

CA，∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，即∠OCF＝∠OAF＝90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．【知识点】菱形的判定与性质、切线的判定与性质31.（2020•英德市一模）如图，在⊙O中，直径AB

垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD＝DP，OB＝3，求的长度；34（3）若DE＝4，AE＝8，求

线段EG的长．【分析】（1）连接OD，如图1，先证明∠ADO＝∠DAF得到OD∥AF，然后根据平行线的性质判断DF⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先证明∠P＝∠DAF＝∠DAB，然后根据三角形内角和计算出∠P＝30°，从而得到∠POD＝60°，然后根据弧长公式计算；（3）连接

DG，如图2，利用垂径定理得到DE＝CE＝4，设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x，利用勾股定理得到（8﹣x）2+42＝x2，解方程得到x＝5，所以CG＝2OA＝10，然后利用勾股定理先计算DG，再计算EG．【解答】（1）证明：连

接OD，如图1，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∵∠DAF＝∠DAB，∴∠ADO＝∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD＝DP∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，而∠P+∠DAF+∠DAB＝90°，∴∠P＝3

0°，∴∠POD＝60°，∴的长度＝＝π；（3）解：连接DG，如图2，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝4，∴CD＝DE+CE＝8，设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x，在Rt△ODE中，∵OE2+DE2＝OD2，∴（8﹣x）2+42＝

x2，解得：x＝5，∴CG＝2OA＝10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°，在Rt△DCG中，DG＝＝6，35在Rt△DEG中，EG＝＝2．【知识点】角平分线的性质、垂径定理、弧长的计算、切线的判定与性质32.（2

020•都江堰市模拟）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，sinB＝，点P为BC边上一动点，过点P作射线PE，交射线BA于点D，∠BPD＝∠BAC，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P交射线PD于点E，连接CE．（1）当⊙P与A

B相切时，⊙P的半径为（2）当点D在BA的延长线上，且BD＝n（5＜n＜）时，求线段CE的长（用含n的代数式表示）；（3）如果⊙O经过B、C、E三点且OP＝，请直接写出线段AD的长．【答案】3【分析】（1）BC＝

2ABcosB＝10×＝8，则PB＝8﹣r，sinB＝＝＝，即可求解；36（2）BP＝＝，（BD＝BP），PC＝BC﹣BP＝8﹣，EC＝2CN，即可求解；（3）分点M在BP上、点M在CP上两种情况分别求解．【解答】解：（1）如图1，设⊙P与AB相切时，切点为点H，连接

PH，则PH⊥AB，设⊙P的半径为r，sinB＝，则cosB＝BC＝2ABcosB＝10×＝8，则PB＝8﹣r，sinB＝＝＝，解得：r＝3，故答案为3；（2）∵AB＝AC，∠BPD＝∠BAC，∴△PBD、△ABC均为底角为α的等腰三角形，即sinα＝sinB＝，过点

P作PN⊥EC，则PC＝PE，∠EPN＝∠CPN＝α，∵BD＝n，则BP＝＝，（BD＝BP），PC＝BC﹣BP＝8﹣，EC＝2CN＝2×PCsinα＝2×（8﹣）×＝﹣；（3）作EC和BC的中垂线PN、AM交

于点O，37①当点M在BP上时，OP＝，在Rt△OPM中，PM＝OPcos∠MPO＝cosα＝1，则BP＝4+1＝5，而BD＝BP，则BD＝8，AD＝BD﹣AB＝8﹣5＝3；②当点M在CP上时，同理可得：BP＝4﹣1＝

3，则BD＝，则AD＝；故AD＝3或．【知识点】圆的综合题33.（2020•山西模拟）如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，与AC相交于点D．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕

迹，不写作法）①作∠BAC的平分线AE，交⊙O于点E；②连接BE并延长交AC于点F．探索与发现：（2）试猜想AF与AB有怎样的数量关系，并证明；（3）若AB＝10，sin∠FBC＝，求BF的长．【分析】（1）根据角平分线的

尺规作图的方法即可得出结论；（2）利用ASA判断出△ABE≌△AFE即可得出结论；（3）先利用同角的余角相等判断出∠BAE＝∠FBC，再在Rt△ABE中，求出BE，即可得出结论．38【解答】解：（1）如图1所示，AE就是所作的图形；（2）AF＝AB，∵AB是⊙O的直

径，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA），∴AB＝AF；（3）∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC＝90°，

∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FBC，∵sin∠FBC＝，∴sin∠BAE＝，在Rt△ABE中，AB＝10，sin∠BAE＝＝，∴BE＝AB＝2，∵AF＝AB，∠BAE＝∠FAE，∴BF＝2BE＝4．【知识点】圆的综合题34.（2020•

临清市一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若＝，AD＝4，求CE的长．39【分析】（1）连接OD，欲

证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）利用相似三角形的判定和性质得出AB，利用勾股定理求出BD，进而解答即可．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∴∠ODA＝∠DAC．∴OD∥AE．∵

DE⊥AE，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵OB是直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADB＝∠E．又∵∠BAD＝∠DAC，∴△ABD∽△ADE．∴．∴AB＝10．由勾股定理可知．连接DC，∴．∵A，C，D，B四点共圆．∴∠DCE＝∠B．∴△DCE∽△ABD．∴．

∴CE＝2．【知识点】勾股定理、圆周角定理、切线的判定、垂径定理35.（2020•清江浦区一模）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径40为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解

决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：

AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD＝；（2）连接CP，在CA

上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．

【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，41即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1

，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，42延长

OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2PA，∴2PA+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小

值为：BE＝＝13．【知识点】圆的综合题