【文档说明】重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期12月学习能力摸底数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.928 MB，由管理员店铺上传

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重庆市第十八中学高2025届高二上期12月学习能力摸底数学试题考试说明：1.考试时间120分钟；2.试题总分150分；3.试卷页数4页.一、单项选择题：本大题共8小题，每小題5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.平行于直线12yx=−且过点(2,1)的直线方

程为（）A.230xy−−=B.250xy+−=C.20xy+=D.240xy+−=【答案】D【解析】【分析】根据平行线斜率的性质，结合代入法进行求解即可.【详解】与直线12yx=−平行的直线l可设为：()102yxbb=−+，直线l过点(

2,1)，所以有11122224022bbyxxy=−+==−++−=，故选：D2.已知(3,2,1),(2,,0)abm=−−=，若ab⊥，则m的值为（）A.3B.4−C.3−D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直时，数量积等于0，列出相应方程，求得答案.【详解】由题意可得

0ab=，故322(1)00m−+−=，则3m=，故选：A3.已知数列na的前n项和是2n，则45aa+=（）A20B.18C.16D.14【答案】C.【解析】【分析】由4553aaSS+=−直接代值运算即可.【详解】设数列na的前n项和为nS，则2nSn=，故224

5535316aaSS+=−=−=.故选：C.4.曲线221106xymm+=−−（6m）与曲线22159xynn+=−−（59n）的（）A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.顶点相同【答案】A【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的

方程结合椭圆和双曲线的性质分析判断.【详解】因为6m，则1060−−mm，可知221(6)106xymmm+=−−表示焦点在x轴上的椭圆，其焦距为2(10)(6)4mm−−−=，又因为59n，则509−−nn，可知曲线221(59

)59xymmm+=−−表示焦点在y轴上的双曲线，其焦距为2(9)(5)4mm−+−=，所以其焦距相等，离心率、焦点和顶点均不相同.故选：A.5.已知点()3,0A，点P为圆221xy+=上的动点，则AP的中点的轨迹方程是（）A.()22

34xy++=B.()2231xy−+=C.223122xy++=D.223124xy−+=【答案】D【解析】【分析】设AP的中点(),Bxy，则()23,2Pxy−，代入圆的方程化简可得答案.【详解】设AP的中点(

),Bxy，则()23,2Pxy−，因为点P为圆221xy+=上的动点，所以()222341xy−+=，即223124xy−+=.故选：D.6.已知双曲线2213xy−=的右焦点为F，以F为圆心，过

坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于点O、A，则OA=（）A.3B.2C.23D.3【答案】C【解析】【分析】求出以F为圆心，过坐标原点O的圆的方程，求出直线OA截圆F所得弦长，即为所求.【详解】对于双曲线2213xy−=，3a=，1b=，则22312cab=+=

+=，则点()2,0F，以F为圆心，过坐标原点O的圆的方程为()2224xy−+=，双曲线渐近线方程为33yx=，即30xy=，圆心F到双曲线渐近线的距离为2113d==+，则222224123OAd=−=−=.故选：C.7.已知O为坐标原点，抛物线22xpy=（0

p）的焦点为F，抛物线上的点P满足92PFp=，POF的面积为22，则该抛物线的准线方程为（）A.12y=−B.1y=−C.=2y−D.4y=−【答案】B【解析】【分析】根据焦半径公式可得()22,4Ppp，再根据POF的面积为22可得p，进而可得准线方程.【详解】

设()00,Pxy，由92PFp=可得0922pyp+=，解得04yp=，故2208xp=，解得022xp=，故()22,4Ppp.又22POFS=，故1222222pp=，解得2p=故抛物线的准线方程为1y=−.故选：B8.双

曲线：22221xyab−=（0ba）的左、右焦点分别为1F，2F，焦距为2c，若直线()33yxc=+与双曲线的一个交点M满足21122MFFMFF=，则该双曲线的离心率为（）A.31+B.312+C.32+D.322+【答案】A【解析】.【分析】由直线的方程，可得12

MFMF⊥，进而得到21212MFFFc==，13MFc=，再利用双曲线的定义，以及双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】由题意直线()33yxc=+过点1F且倾斜角为o30，则o1230MFF=，又21122MFF

MFF=，o2160MFF=，可得o1290FMF=，因为122FFc=，所以21212MFFFc==，13MFc=，由双曲线定义，122MFMFa−=，即32cca−=，解得31==+cea.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，

有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M的方程为22860xyxy+−+=，则下列说法正确的是（）A.圆M过坐标原点B.圆M的圆心为()4,3−C.圆M的半径为

5D.圆M被y轴截得的弦长为6【答案】ACD【解析】【分析】对于A：代入()0,0O即可判断；对于BC：将一般方程化为标准方程即可判断；对于D：根据题意结合垂径定理求弦长.【详解】把()0,0O代入可得0

0=，即方程成立，所以圆M过坐标原点，故A正确；由22860xyxy+−+=整理得()()224325xy−++=，可知圆M的圆心为()4,3−，圆M的半径为5，故B错误，C正确；因为圆心到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为222546−=，故D正确；故选

：ACD.10.对于数列na，若11a=，42a=，22nnaa+=+（*nN），则下列说法正确的是（）A.20a=B.数列na是单调递增数列C.数列21na−是等差数列D.数列1nnaa++是等差

数列【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据42a=，22nnaa+=+分析即可；对B，根据12aa判断即可；对CD，根据等差数列的定义判断即可.【详解】对A，由题意42a=，422aa=+，故20a=，故A正确；对B，因为11a=，20a=，12aa，故B错误；对C，()()*2121212

112Nnnnnaaana−+−+−−=−=，故数列21na−是等差数列，故C正确；对D，()()()2*121N2nnnnnnaaaanaa+++++−==+−，故数列1nnaa++是等差数列，故D正确.故选：ACD11.如图，在棱长为

2的正方体1111ABCDABCD−中，点P满足APABAD=+，其中0,1，0,1，则（）A.存在点P，使得1AP⊥平面11BCCBB.存在点P，使得1AP⊥平面1BDCC.当15AP=时，CP的最小值为221−D.当

15AP=时，CP最大值为221+的【答案】BC【解析】【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点P的坐标，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以点A为坐标原点，AB、AD

、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()2,0,0B、()2,2,0C、()0,2,0D、()10,0,2A、()12,0,2B、()12,2,2C、()10,2,2D，因为()()()2,0,00,2,02,2,0APABAD

=+=+=uuuruuuruuur，其中、0,1，对于A选项，()12,2,2AP=−uuur，()10,0,2CC=，则1140APCC=−uuuruuur，所以，1AP与1CC不垂直，故不存在点P

，使得1AP⊥平面11BCCB，A错；对于B选项，()2,2,0BD=−uuur，()10,2,2BC=，若存在点P，使得1AP⊥平面1BDC，则111440440BCAPBDAP=−=

=−+=，解得1==，即当点P与点C重合时，1AP⊥平面1BDC，B对；对于CD选项，2214445AP=++=uuur，可得2214+=，又因为0,1，0,1，设1cos2=，1si

n2=，其中π02，则()cos,sin,0P，则()()()222cos2sin94sincos942sin4πCP=−+−=−+=−+uur，因为π02，则ππ3π444+，所以，2πsin124+

，所以，min942221CP=−=−uur，当且仅当ππ42+=时，即当π4=时，CP取最小值，max294252CP=−=uur，当且仅当44ππ+=或3π4时，即当0=或π2时，CP取最大值，C对D错.故选：

BC.12.在平面直角坐标系xOy中，方程21xy+=对应的曲线为E，则（）.A.曲线E关于原点中心对称B.曲线E上的点到原点距离的最小值为1C.曲线E是封闭图形，其围成的面积小于πD.曲线E上的点到直线2xy+=距离的最小值为328【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A结合中心对称的概念即

可判断；对于选项B，设曲线E上任意一点为(),xy，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项C，作出曲线E的图象与曲线221xy+=的图象即可判断；对于选项D，结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A，因为当点(),xy满足方程21xy+=时，点(),xy−−也满足方程，

则可得到曲线E关于原点中心对称，所以选项A正确；对于选项B，设曲线E上任意一点为(),xy，则其到原点的距离的平方为22xy+，且2222213311244xyyyyyy+=−+=−+=−+，即曲线E上的点到原点距离的最小值为32，所以选项B错误；对于

选项C，21xy+=则21yx=−，故当0y时21yx=−，当0y时21yx=−.作出21yx=−如图，易得0,1y，则E上的点(),xy满足2221xyxy++=，故21xy+=围成的图形在圆221xy+=内

，故21xy+=围成的面积小于π，所以选项C正确；对于选项D，到直线2xy+=取距离最小值的点(),Qxy显然满足,0xy，故21xy+=，其到直线2xy+=距离为221221222xxdxxyx+=−−−+−+==2133

22482x−+=，此时13,24Q，故选项D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线1:320lxy++=与直线2:310lxy+−=之间的距离为________.【答案】32【解析】

【分析】直接代入公式即可求距离.【详解】解：两直线间的距离()()22213231d−−==+.故答案为:32.【点睛】本题考查了两直线间距离的求解.代入公式求直线的距离时，一定要确保两条直线,xy的系数相

同.14.如图所示､点12,,ABB为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的顶点，F为C的右焦点，若12ABBF⊥，则椭圆C的离心率为__________.【答案】512−【解析】【分析】利用椭圆得到顶点和右焦点的坐标，然后利用垂直可得2bac=，利用222abc=+可得21

ee=+，求解即可【详解】由椭圆2222:1(0)xyCabab+=可得()()()()12,0,0,,0,,,0AaBbBbFc−，所以12,ABBFbbkkac==−，因为12ABBF⊥，所以121

ABBFbbkkac==−−，即2bac=，所以2222abcacc=+=+，所以21ee=+，因为01e，所以512e−=故答案为：512−15.数列na满足1110nnnnaaaa++−++=，12a=，*nN，若12n

nTaaa=，*nN，则2023T=______.【答案】3【解析】【分析】根据题意分析可知数列na是以周期为4的周期数列，结合周期性分析求解.【详解】因为1110nnnnaaaa++−++=，显然1na=不合题意，则111n

nnaaa++=−，可得121131aaa+==−−，2321112+==−−aaa，3431113+==−aaa，454121+==−aaa，所以数列na是以周期为4的周期数列，且12341aaaa=

，所以50543202331233+====TaaaTT.故答案为：3.16.在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2100xy+−=相切，则圆C面积的最小值为______.【答案】5π【解析】

【分析】根据题意分析可知当圆心在原点到直线的垂线中点上时，圆C的面积最小，结合点到直线的距离分析求解.【详解】由题意可知：圆心C到原点的距离与到直线的距离相等，所以圆C的面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，因为()0,0O到直线21

00xy+−=的距离10255d==，则圆C的半径最小值为5，即面积的最小值为5π．故答案为：5π.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是棱1

BB，1CC的中点，1ABAD==，12AA=.（1）求直线CE与1AF所成角的余弦值；（2）求点1A到平面CDE的距离.【答案】（1）63（2）22【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量法求出异面直线的夹角即可；（2）利用空间向量求点到面的距离；【小问1详解

】以A为原点，1,,ABADAA所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()11,1,0,0,1,0,1,0,1,1,1,1,0,0,2CDEFA可得()()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0,1,0,1=

−=−==−CEAFDCEAuuruuuruuuruuur，则11126cos,323−===−CEAFCEAFCEAFuuruuuruuruuuruuruuur，因为异面直线所成的角时锐角或直角

，则直线CE与1AF所成角的余弦值为63【小问2详解】设平面CDE的法向量(),,nxyz=，则00nCEyznDCx=−+===，令1y=，则0,1xz==，可得()0,1,1n=，所以点1A到平面CDE的距离为11222==uuurrrEAnn.18

.如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标为()2,0A−，()2,0B，()1,3C，()1,3D−.（1）求线段BC的中垂线的方程；（2）设过点1,02T的直线与四边形ABCD的外接圆交于M，N两点，若19MN=，求直线MN的方程.【答案】（1）330xy−+=（

2）210x+=或6830xy−+=.【解析】【分析】（1）求出中点坐标，再利用垂直得到斜率，写出点斜式方程并化简即可；（2）求出圆心坐标，再分直线MN斜率不存和存在讨论即可.【小问1详解】因为()2,0B，()1,3C，则线段BC

的中点坐标为33,22，30312BCk−==−−，则中垂线的斜率为13，则线段BC中垂线的方程为313232yx−=−，即330xy−+=.【小问2详解】由题意得CD的方程为3y=，则//ABCD，且ABCD，

则四边形ABCD为梯形，又因为223110AD=+=，()2231210BC=+−=，则ADBC=，则四边形ABCD为等腰梯形，则其外接圆圆心位于y轴正半轴上，由（1）线段BC的中垂线的方程为330xy−+=，令0

x=，则1y=，则圆心坐标为()0,1，半径()()222210025rBO==−+−=,则外接圆的方程为()2215xy+−=，在的设圆心到直线MN的距离为d，则22219rd−=，即22519d−=，12d=（负舍），当直线MN的方程的斜率不存在时，此时直线MN的方程为12x=−

，即210x+=，圆心到直线的距离12d=，符合题意，当直线MN的方程的斜率存在时，设直线MN的方程为12ykx=+，即220kxyk−+=，则有221244kk−+=+，解得34k=，则此时直线方程为332024xy−+=，即6830xy−+=.综上直线MN的

方程为210x+=或6830xy−+=.19.已知点()1,2P在抛物线()2:20Cypxp=上.（1）求抛物线C的方程；（2）设A、B是抛物线C上异于原点O的两个动点，若0OAOB?uuruuur，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.【答案

】（1）24yx=（2）()0,4【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线C的方程，求出p的值，即可得出抛物线C的方程；（2）分析可知，直线AB不与y轴重合，设直线AB的方程为xmyt=+，设点(

)11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，根据0OAOB?uuruuur可求得t的取值范围，即为所求.【小问1详解】解：将点P的坐标代入抛物线C的方程，可得222p=，得2p=，故抛物线C的方程为24yx=.【小问2详

解】解：若直线AB的斜率为零，则直线AB与抛物线C只有一个交点，不合乎题意，设直线AB的方程为xmyt=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，联立24xmytyx=+=可得2440ymyt−−=，216160mt=+，即20mt+，由韦达定理可得124yy

m+=，124yyt=-，所以，()21221212124016yyOAOBxxyyyytt=+=+=−，解得04t，满足0，因此，直线AB在x轴上的截距的取值范围()0,4.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别

式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待

求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.如图，在四面体ABCD−中，AD⊥平面BCD，BCCD⊥，2AD=，22BD=.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上.（1）若PQ∥平面BCD，求

CQCA的值；（2）若二面角CBMD−−的大小为60，求四面体ABCD−的体积.【答案】20.1421.233【解析】【分析】（1）以BD的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C的坐标，然后算出PQ和平面B

CD的法向量，结合线面平行分析求解即可；（2）算出平面BMC的一个法向量，利用二面角CBMD−−的大小为60°求出C的坐标即可.【小问1详解】如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Ox

yz−，则()1(0,2,2),(0,2,0),(0,2,0),0,2,1,0,0,2−ABDMP，设点C的坐标为()00,,0xy，可得()()000010,0,,,,0,,2,22===−−uuuruuur

uurOPOCxyCAxy设()()00,0,,2,21==−−uuuruurxyCQCA，则()()0000,2,2=+=−+−uuuruuuruuurOQOCCQxxyy，()00001,2,22−+−−=−=uuu

ruuuruuurPQOyyQxxOP，因为平面BCD的法向量()0,0,1n=，若PQ∥平面BCD，则1022==−uuurrPQn，解得14=，所以14==CQCA.【小问2详解】设(,,)mxyz=为平面BMC的一个法向量由()00,2,1CMxy=−−，(0,22,1)

BM=可得()0020220xxyyzyz−+−+=+=，取1y=−，得002,1,22ymx+=−.又因为平面BDM的一个法向量为1(1,0,0)=n，由题意可得：010121002||1

|cos,|229+===++ururururururymnxmnmnyx，整理得20023yx+=.①又因为BCCD⊥，所以0CBCD=，故()()0000,2,0,2,00xyxy

−−−−−=，即22002xy+=.②联立①②，解得0002xy==−（舍去）或006222xy==，即62,,022C，所以四面体ABCD−的体积116232223223ABCDV−=

=.21.已知点()2,0A−，()2,0B，动点P与点A，B连线的斜率之积为34.（1）求点P的轨迹方程；（2）设直线PA，PB与直线1x=分别交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过两定点.【答案】（1）()221,243xyx−=（2）以MN为直径

的圆过两定点5,02和1,02−，证明见解析【解析】【分析】（1）设点(),Pxy，再根据题意列式化简求解即可；（2）先根据对称性判断以MN为直径的圆过的两定点在x轴上，再设()00,Pxy，表达出

,MN的坐标，再设定点为(),0Qa，根据0QMQN=，结合()00,Pxy满足的方程代入化简即可.【小问1详解】设点(),Pxy，由题意()32224yyxxx=+−，即224312yx=−，化简可得22143xy

−=，故点P的轨迹方程为()221,243xyx−=【小问2详解】由对称性可得，当P取关于x轴对称的两个位置时，所成的以MN为直径的两个圆也关于x轴对称，故若以MN为直径的圆过两定点，则定点必在x轴上，设为(),0Qa.设()00,Pxy，()1,Mm，()1,Nn则由AMAPkk=可得002

12ymx=++，即0032ymx=+，故0031,2yMx+，同理00212ynx=−−，故001,2yNx−−.则0QMQN=，故000031,1,022yyaaxx−−−=+−，即()22020

3104yax−−=−.又2200143xy−=，故2200443yx−=，则()29104a−−=，解得52a=或12a=−.即以MN为直径的圆过两定点5,02和1,02−【点睛】方法点睛：（1）轨迹方程的一般求法：设动点坐标，根据题意列式化简即

可；（2）当题中仅有一个动点时，可考虑设点坐标，根据点坐标将题意转化为表达式，最后代入动点满足的方程化简；（3）动圆过定点问题一般定点在轴上，先根据对称性判断定点所在轴，再设定点，根据直径所对的角为直角，结合垂直向量的数量积为0计算.22.如图,O为坐

标原点,椭圆1:C()222210xyabab+=的左右焦点分别为12,FF,离心率为1e;双曲线2:C22221xyab−=的左右焦点分别为34,FF,离心率为2e,已知1232ee=,且2431FF=−.(1)求12,CC的方程;(2)过1F点作1C的不垂直于

y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与2C交于,PQ两点时,求四边形APBQ面积的最小值.【答案】(1)2212xy+=，2212xy−=(2)2【解析】【详解】试题分析:(1)利用椭圆和双曲线,

,abc之间的关系可以用,ab分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题目1232ee=和2431FF=−即可得到,ab之间的两个方程,联立方程消元即可求出,ab的值,得到双曲线和椭圆的标准方程.(2)利用(1)求出焦点1F的坐标,设出弦AB的直线的方程1xny

=−,联立直线与椭圆消x得到关于y的一元二次方程,再利用根与系数的关系得到,AB两点纵坐标之间的和与积,进而得到M点的纵坐标带入AB直线即可得到M的横坐标,进而求出直线OM的方程,即为直线PQ的方程,联立直线PQ的方程0得到n的取值范围和求出点,P

Q的坐标得到PQ的长度,利用点到直线的距离得到,AB到直线PQ的距离表达式,进而用n表示四边形的面积,利用不等式的性质和n的取值范围即可得到面积的最小值.(1)由题可得2212221,1bbeeaa=−=+,且22122FFab=−,因为1232ee

=,且222224FFabab=+−−,所以22223112bbaa−+=且222231abab+−−=−2ab=且1,2ba==,所以椭圆1C方程为2212xy+=,双曲线2C的方程为2212xy−=.(2)由(1)可得()11,0F−,因为直线AB不垂直于y轴,所

以设直线AB的方程为1xny=−,联立直线与椭圆方程可得()222210nyny+−−=,则222ABnyyn+=+,212AByyn−=+,则22mnyn=+,因为(),MMMxy在直线AB上,所以

2222122Mnxnn−=−=++,则直线PQ的方程为2MMynyxyxx==−,联立直线PQ与双曲线可得222202nxx−−−=2242xn=−,2222nyn=−则22022nn−−,则22224222nPQxyn+=+=−,设点A到直线P

Q的距离为d,则B到直线PQ的距离也为d,则22224AABBnxynxydn+++=+,因为,AB在直线PQ的两端,所以()()220BBAAnxynxy++,则22224AABBnxynxydn+++=+=()2224AABBnxynxyn+−++,又因为,AB在直线1xn

y=−上,所以()22224ABnyydn+−=+()()222222422144ABABnyyyynnn++−+==++,则四边形APBQ面积222221322122nnn+==−+−−,因为2022n−,所以当20n=时,四边形APBQ面积的最小值为2.考点：弦长双曲线椭圆

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