【文档说明】高中数学新教材人教A版必修第一册 5.2 三角函数的概念 教案 （1） 含答案【高考】.docx，共(8)页，106.942 KB，由小赞的店铺上传

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-1-【新教材】5.2.2同角三角函数的基本关系教学设计（人教A版）本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识

的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。课程目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．数学学科素养1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2

.逻辑推理：“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．教学方法：以学生为

主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引

入新课阅读课本182-183页，思考并完成以下问题-2-1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.商数关系：sinαcosα＝tan_αα≠kπ＋π2，k∈Z.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的

正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos

215°＝1，sin2π19＋cos2π19＝1等．四、典例分析、举一反三题型一应用同角三角函数关系求值例1(1)若3sin5=−，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．【答案】(1)当α是第三象限角时，cosα＝－45，tan

α＝34.α是第四象限角时，cosα＝45，tanα＝-34(2)如果α是第二象限角，那么sinα＝1517，tanα＝－158.如果α是第三象限角，sinα＝－1517，tanα＝158.【解析】(1)∵sinα＝－35，α是第三、第四象限角，当α是第三象限角

时，cosα＝－1－sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝34.α是第四象限角时，-3-cosα＝1－sin2α＝45，tanα＝sinαcosα＝-34(2)∵cosα＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二

象限角，那么sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158

.解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两

组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．跟踪训练一1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【答案】角α的终边在第二象限时，cosα＝－1010，sinα＝31010

；当角α的终边在第四象限时，cosα＝1010，sinα＝－31010.【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±1010.又由sinα＝－3cosα，可

知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－1010，sinα＝31010；当角α的终边在第四象限时，cosα＝1010，sinα＝－31010.-4-题型二三角函数式的化简、求值例2(1)化简：1－2sin130

°cos130°sin130°＋1－sin2130°；(2)若角α是第二象限角，化简：tanα1sin2α－1.【答案】（1）1；（2）-1.【解析】(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130

°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα×|cosα||sinα|，因为α是第二象限角，所以si

nα>0，cosα<0，所以原式＝sinαcosα×|cosα||sinα|＝sinαcosα×－cosαsinα＝－1.解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2、对含有根号的，常把

根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练二1．化简

：(1)cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)sinθ－cosθtanθ－1.【答案】(1)1；(2)cosθ.【解析】(1)原式＝cos36°－sin236°sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin

36°cos36°－sin36°2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1.(2)原式＝sinθ－cosθsinθcosθ－1＝cosθsinθ－cosθsinθ－cosθ＝cosθ.题型三三角函数式的证明-5-例3求证：

cos1sin.1sincosxxxx+=−.【答案】见解析【解析】22cos0,sin1,1sin0cos(1sin)=(1sin)(1sin)cos(1sin)1sincos(1sin)cos1sincosxxxxxxxxxxxxxxx−++−++=−+=+=

=证明：由知所以，于是左边右边所以，原式成立.解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)

比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．跟踪训练三1．求证：1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝1＋tanx1－tanx.【答案】见解析【解析】证明：右边＝1

＋sinxcosx1－sinxcosx＝cosx＋sinxcosx－sinx＝cosx＋sinx2cosx－sinxcosx＋sinx＝1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝左边，∴原等式成立．题型四“sinα±cosα”同

“sinαcosα”间的关系例4已知sinα＋cosα＝15，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．【答案】(1)－1225；(2)75.【解析】证明：(1)∵sinα＋cosα＝

15，∴(sinα＋cosα)2＝125，-6-∴1＋2sinαcosα＝125，即sinαcosα＝－1225.(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.又∵0＜α＜π，且si

nαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75.解题方法（“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系）1、已知sinθ±cosθ求sinθcosθ，只需平方便

可．2、已知sinθcosθ求sinθ±cosθ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sinθ±cosθ的正负．跟踪训练四1.已知sinα＋cosα＝713，α∈(0，π)，则tanα＝．2.已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2

，计算下列各式的值：(1)3sinα－cosα2sinα＋3cosα；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.1、【答案】－125.【解析】法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝713，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝49169，即2sinαc

osα＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1713.②由①②解得sinα＝1213，cosα＝－513，所以tanα＝sinαcosα＝－125.法二：(弦化切)同法一

求出sinαcosα＝－60169，sinαcosαsin2α＋cos2α＝－60169，tanαtan2α＋1＝－60169，-7-整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－512或tanα＝

－125.由sinα＋cosα＝713＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－125.2.【答案】（1）89；(2)1310.【解析】由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tan

α＝3.（1）法一(换元)原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二(弦化切)原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＋1＝tan2α－2tanα

tan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本184页练习及184页习题5.2.学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用初学时一部分学

生感到困难，5.2.2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系例3例4例1例2-8-经多例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。