【文档说明】安徽省示范高中培优联盟2020年高二春季联赛试题+数学(文)含答案byde.doc,共(10)页,1.036 MB,由小赞的店铺上传
转载请保留链接:https://www.doc5u.com/view-e41e0419aaab850f57e8cd59ab32f16d.html
以下为本文档部分文字说明:
绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高二)数学(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,
务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净
后,再选涂其他答案标号。3.答第II卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸
上答题无效。4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)(1)已知全集U={x∈N*|x≤7},集合
M={1,3,5,7},集合N={3,4,5,6,7},则(UðM)∩N=(A){1,2,4,6}(B){3,5,7}(C){4,6}(D){2}(2)设复数z=12ii(其中i为虚数单位),则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第
四象限(3)在集合{1,2,3,4,5}中任取两个不同的数x,y,则事件x+y≤5的概率等于(A)0.3(B)0.4(C)37(D)0.5(4)“a<1”是“方程ax2+2x+1=0有两个不同实根”的(A)充分不必
要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为4
,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是(A)甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值(B)甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值(C)甲的六维能力指标值整体水平优于乙的六维能力指标值整体水平(D)
甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值(6)已知△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,点D,E分别是边BC和AC的中点,则ABBE=(A)294(B)-72(C)-2(D)72(7)圆C1:x2+y2=16与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的公共弦的长为(A
)125(B)165(C)245(D)325(8)关于函数f(x)=cos2x+3sinxcosx-12有下述三个结论:①f(x)在区间[4,2]上是减函数;②f(x)的图象关于直线x=-3对称;③f(x)在区间[4,π
]上的值域为[-1,32]其中正确结论的个数是(A)0(B)1(C)2(D)3(9)已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0=(A)2(B)-2(C)2或-2(D)3116(10)已知A(4,0),B(0,2),若点C(a,b)在线段AB(不含
端点)上,则11ab的最小值为(A)522(B)322(C)322(D)522(11)函数f(x)=sinx·11xxee的部分图象大致为(12)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸
片上的正六边形ABCDEF的中心为O,G、H、M、N、P、Q为圆O上的点,△GAB,△HBC,△MCD,△NDE,△PEF,△QAF分别是以AB,BC,CD,DE,EF,FA为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DE,EF,FA为折痕折起△GAB,△HBC,△MCD,△ND
E,△PEF,△QAF,使得G、H、M、N、P、Q重合,得到六棱锥。当正六边形ABCDEF的边长变化时,所得六棱锥体积(单位:cm3)的最大值为A.815B.8153C.415D.4153第II卷(非选择题共90
分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上.....作答,在试题卷上答题无效.........。二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡的相应位置。)(13)已知函数30ln0xxfxxx,,,若f(m)≥
2,则实数m的取值范围为。(14)已知长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆的面积为πab。现用随机模拟的方法来估计π的近似值,先用计算机产生n个数对(xi,yi),i=1,2,3……,n,其中xi,yi均为[0
,2]内的随机数,再由计算机统计发现其中满足条件214iixy的数对有m个,由此可估计π的近似值为。(15)以双曲线C:22221(0,0)xyabab的右焦点F为圆心,半焦距为半径作圆,与双曲线的渐近
线交于O,A,B三点。若△AOB的周长为7a,则双曲线C的离心率为。(16)已知对一切x>0,不等式1xex>a恒成立,则a的取值范围为。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤。)(17)(本题满分10分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,anan+l=4Sn-1。(I)求数列{an}的通项公式;(II)bn=121nnaa,求数列{bn}的前n项和Tn。(18)(本题满分12分)已知△ABC中,A、B、C的对
边分别为a、b、c,sinsintancoscosBCABC。(I)求角A;(II)若a=3,求b2+bc的取值范围。(19)(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠APC=90°,∠BPD=120°,PB=PD。(
I)求证:平面APC⊥平面BPD;(II)若AB=2AP=2,求三棱锥C-PBD的体积。(20)(本题满分12分)Fibonacci数列又称黄金分割数列,因为当n趋向于无穷大时,其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数1506182-.。已知Fibonacci数列的递推关系式为121
213nnnaaaaan,。(I)证明:Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列;(II)Fibonacci数列{an}的偶数项依次构成一个新数列,记为{bn},证明:{bn+1-H2·bn}为等比数列。(21)(本题
满分12分)已知椭圆C:22221(0)xyabab的离心率为32,且经过点M(1,32)。(I)求椭圆C的标准方程;(II)已知直线l不过点P(0,1),与椭圆C交于A、B两点,记直线PA、
PB的斜率分别为k1、k2,且满足k1+k2=1,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标。(22)(本题满分12分)已知函数f(x)=ex-ax。(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)证明:当a=3时,函数g(x)=f(x)-xlnx有且只
有两个零点。安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高二)数学(文科)试题答案选择题:1-12CABBACCDDACB1.C【解析】∵1,2,3,4,5,6,7U,2,4,6UMð,∴UMNð4,6.2.A【解析】1i2i1i13
i2i2i2i5,所以13i55z对应的点位于第一象限.3.B【解析】不妨令xy,则,xy的不同取值有1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3
,5,4,5共10种,其中满足5xy的有1,2,1,3,1,4,2,3共4种,,所以事件5xy的概率为40.410.4.B【解析】方程2210axx有两个不同实根1a
且0a,所以“1a”是“方程2210axx有两个不同实根”的必要不充分条件.5.A【解析】对于选项A,甲的逻辑推理能力指标值为4,乙的逻辑推理能力指标值为3,所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力,故A正确;
对于选项B,甲的数学建模能力指标值为3,乙的直观想象能力指标值为5,所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值,故B错误;对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为123(434534)66,乙的六维能力指标值的平均值为1(543543)46
,2346,故C错误;对于选项D,甲的数学运算能力指标值为4,甲的直观想象能力指标值为5,所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值,故D错误.故选A.6.C【解析】设ABa,ACb,则3a,4b,6ab
,111222ADBEabba22221111113462244244abab.7.C【解析】两圆方程相减得公共弦方程为34160xy,圆心10,0
C,到公共弦的距离为221616534d,所以所求弦长为2216242455.8.D【解析】21()cos3sincossin226fxxxxx,由3222262kxk
,kZ,得263kxk,kZ,所以fx的单调递减区间为2,63kk,kZ.可知①正确;由sin21336f,可知()
fx的图象关于直线3x对称,所以②正确;当[,]4x时,2132,636x,所以3()sin21,62fxx,故③正确.9.D【解析】抛物线的标准方程为214xy,则10,16F,准线
方程为116y,由2PF得00,Pxy到准线的距离为2,所以01216y,所以03116y.10.A【答案】由条件知42ab(04a),则11ba1412aa115+122aa1152122aa522(当且仅当21a
时等号成立).11.C【解析】因为sinyx和e1e1xxy都是奇函数,所以e1sine1xxfxx是偶函数,排除B和D.当x取接近于0的正数时,应有0fx,所以排除A,因此选择C项.12.B【解析】由题,连接OM,交CD与点K,由题,OMCD,设
OKx,则233CDx,5KMx,六棱锥的高222225102510hKMOKxxxx,223462343ABCDEFSxx正六边形,则2123251033ABCDEFVShxx正六边形452
3=25103xx,令452510fxxx,5(0,)2x,3410050fxxx,令0fx,即4320xx,2x,则280fxf≤,则238158033V≤,
所以体积最大值为3815cm3。13.【答案】10m或2em.2fm032mm或0ln2mm10m或2em.14.【答案】8mn.因为ix,iy0,2,所以214iixy表示的数对对222mn
应的点,iixy在椭圆2214xy的内部,且在第一象限,其面积为2142,故,得8mn.15.【答案】477.由点到直线的距离公式得圆心到渐近线的距离为b,因为圆的半径为c,所
以2222OAcba,同理2OBa.因为tanbAOxa,所以sinbAOxc,所以AB2sinOAAOx422babacc,所以4227abaaac,得43bc,所以2221
69cac,解得477cea.16.【答案】,1.0x时,e1xaxe10xax,令e1xfxax,则exfxa,当1a时,0fx,所以00fxf,符合题意;当1a时,由0fx得lnxa(ln0a),易得
0,lnxa时,0fx,所以00fxf,这与e10xax矛盾.所以a的取值范围为,1.17.【解】(1)∵141nnnaaS,∴12141nnnaaS,两
式相减得1214nnnnaaaa,∵{}na为正项数列,∴10na,∴24nnaa,∴数列{}na的奇数项和偶数项分别成等差数列.在141nnnaaS中令1n得,12141aaa,∵11a,∴解得23a,故数列{}na为
等差数列,且公差为2,∴12121naann,即数列{}na的通项公式为21nan.(5分)(2)由(1)知1211111212322123nnnbaannnn,则12111
11111123525722123nnTbbbnn1112323n323nn.(10分)18.【解】(1)由sinsin
tancoscosBCABC得sinsinsincoscoscosABCABC,即sincossincosABACcossinABcossinAC,也即sincosABcossinAB=cossinAC
sincosAC,所以sinABsinCA,所以ABCA或+ABCA(不成立),所以2BCA,则3A.(6分)(2)由正弦定理得2sinsinsinbca
BCA,所以2sinbB,2sincC.因为3A,所以23CB,所以2bbc224sinsinsin3BBB2334sincossin22BBB3sin231cos2BB23sin233B
.因为203B,所以233B,所以3sin2123B,所以023sin2+33233B,故2bbc的取值范围为0,323
.(12分)19.【解】(1)证明:记AC与BD交点为O,∵PBPD,O为BD的中点,∴BDOP,又∵ABCD为菱形,∴BDAC.∵AC和OP是平面APC内两条相交直线,∴BD平面APC.又BD平面BPD,∴平面APC平面BPD
.(6分)(2)设POm,∵90APC,∴2ACm,又120BPD,所以60BPO,所以3BOm,因为2BCAB,所以在RtBOC△中,由勾股定理得1m,∴3CP.过P作PHAC,垂足为H,
由(1)知,BD平面APC,∴平面APC平面ABCD.又平面APC平面ABCDAC,所以PH平面ABCD.在RtPAC△中,得32PAPCPHAC,所以三棱锥CPBD的体积CPBDV
PBCDV12PABCDV1123ABCDSPH11131223621222ACBDPH.(12分)20.【解】(1)证明:(反证法)假设存在na,1na,2na三项成等比数列,则21+2nnnaaa,所以21
+1nnnnaaaa,所以21110nnnnaaaa,解得1152nnaa,由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0,所以1152nnaa,又Fibonacci数列的所有项均为整数,所以1nnaa应该为有理数,这与1152nnaa
(无理数)矛盾,所以假设不成立,所以原命题成立.(6分)(2)证明:由条件得2nnba,21222nnnaaa,所以224232222212222222212233nnnnnnnnnnnnnbaaaaaaaaaabb,即213nnn
bbb,所以211353535222nnnnbbbb,所以22211352nnnnbHbbHb,所以21{}nnbHb为等比数列,公比为352.(12分)21.【解】(1)设椭圆焦距为2c,则32c
a,又222cab,得2ab,所以C的方程化为222214xybb,将31,2M代入解得1b,所以椭圆C的标准方程为2214xy.(4分)(2)设11,Axy,22,Bxy.将直线PA的方程11ykx
与椭圆方程2214xy联立,解得1121814kxk,211211414kyk,同理,解得2222814kxk,222221414kyk.所以直线l的斜率为222122212
1122212112111222114141414118814141211414kkyykkkkkkkxxkkkkkkk,所以直线l的方程为1121121yyxxk,即2112221118141141421kkyxkk
k(*).取0k,得直线1yx,取1k,得直线1799yx,联立两直线解得交点2,1,经检验,2,1符合方程(*),所以直线l过定点2,1.(12分)22.【解】(1)()fx的定义域为R,()xfxe
a.①0a时,()0fx,则()fx在R是单调递增;②0a时,由()0fx得lnxa,当lnxa时,()0fx,()fx单调递减;当lnxa时,()0fx,()fx单调递增.综上,0a时()fx在R是单调递增;0a时,()f
x在,lna单调递减,在ln,a单调递增.(5分)(2)()0gxln30xexx,令()ln3xexxx,则21()xexxxx,令()1xpxexx,显然01x时,()0px,
1x时,()10xpxxe,易知存在唯一11x,使1()0px,且10,xx时,()0px,即()0x,()x单调递减;1,xx时,()0px,即()0x,()x单调递增,所以()x至多有两个零点.又1()2
2ln230e,(1)30e,33(3)ln335033ee,故()x在区间1,12和1,3各有一个零点.所以,函数()gx有且只有两个零点.(12分)