【文档说明】广东省佛山市南海区九江中学2024届高三上学期10月月考数学试题+含解析.docx，共(18)页，1.252 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年九江中学高三上学期十月月测数学试卷（满分150分，考试用时120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的1.已知集合405xAx

x−=−∣，集合{35}Bxx=∣，则AB=（）A.()3,5B.)3,5C.)4,5D.()4,52.()12i3izaa+=+R，若z为实数，则a的值为（）A.23B.12C.13D.323.若非零向量,mn满足||

||mn=，则“|32||23|mnmn−=+”是“mn⊥”的（）A.充分不必要条件，B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知33cos,,252=，则sin2=（）A.55B.55−C.45D.2555.设

数列na的通项公式为()12233*12C2C2C2CNnnnnnnnan=+++++，其前n项和为nS，则使2023nS的最小n是（）A.5B.6C.7D.86.已知,mn为异面直线，m⊥平面,n⊥平面，直线l满足,,,lmlnll⊥⊥，则（

）A.∥且l∥B.⊥且l⊥C.与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l7.函数()2sin()fxx=+（0，ππ2）的部分图象如图所示，若()()1gxfx=+在[]6,上有且仅有3个零点，则的最

小值为（）A.52B.3C.196D.928.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为棱111,ADDD的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）A.

π6B.π4C.3π8D.π2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.至少有2个是符合要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列结论中，正确的有（）A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60

百分位数为5B.若随机变量()2~1,,(2)0.21NP−=，则(4)0.79P=C.已知经验回归方程为ˆˆ1.8ybx=+，且2,20xy==，则ˆ9.1b=D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到29.632=，依据小概率值0.001=的2独

立性检验()0.00110.828x=，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.00110.如图，平面四边形ABCD中，BCD△是等边三角形，ABBD⊥且2ABBD==，M是AD的中点.沿BD将BCD△翻折，折成三棱锥C

ABD−，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角B.棱CD上总会有一点N，使得MN∥平面ABCC.当三棱锥CABD−的体积最大时，ABBC⊥D.当平面ABD⊥平面BDC时，三棱锥CABD−的外接球的表面积是811.已知点π,

06是函数()π2sin3fxx=−图像的一个对称中心，其中为常数且()0,3，则以下结论正确的是（）A.函数()fx的最小正周期为2πB.将函数()fx的图像向右平移π12个单位所得的图像关于y轴对称C.函数()fx在π0,2上的最小值为3−D.若1

2ππ2xx，则()()12fxfx12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，2AB=，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）A.存在唯一点P，使得11DPBC⊥B.存在唯一点P，使得直线1DP与平面ABC

D所成的角取到最小值C.若12DPDB=，则三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8D.若异面直线1DP与1AB所成的角为4，则动点P的轨迹是抛物线的一部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线212xyx−=+在点()1,3−−处的切线方程为_____

_____.14.已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF==，则C的离心率等于__________.15.在等差数列na中，若651aa−，且数列

na的前n项和nS有最大值，则使0nS成立的正整数n的最大值是__________.16.已知正四面体ABCD−的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体ABCD−表面上任意一点，则PMPN的最小值为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin3aBbA=−（1）求A；（2）D是线段BC上的点

，若2,3ADBDCD===，求ADC的面积.18.已知数列na中，11,0naa=，前n项和为nS，若*1(nnnaSSnN−=+，且2)n（1）求数列na的通项公式；（2）记2nannca=，求数列nc的前n项和nT.19.如图

，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点，30CBA=，2ABPA=.（1）证明：平面ABD⊥平面PBC；（2）若G为AD的中点，求二面角P-BC-G的余弦值.20.已知函数()()21exfxxax=++.（1）若4a=−，求函数()yfx=在区间

2,4上的值域；（2）求函数()yfx=的极值.21.某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项､至多三项是符合题目要求的.在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对

的得2分.小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜.假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为12.（1）写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；（2）从这道题得分的数学期

望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=过31,2和62,2两点.（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，记椭圆的左､右顶点分别为A，B，当动点M在

定直线4x=上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值.参考答案：1.D【分析】解分式不等式得到{45}Axx=∣，

进而根据交集的概念即可求出结果.【详解】因为405xx−−，所以45x，因此40{45}5xAxxxx−==−∣∣，因此{45}ABxx=∣，2.【答案】D【分析】利用复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：()()()()(

)222212i3i623i12i2i3i6i3i3i3i9i9aaaaazaaaaa+−++−++−−====++−−+，z为实数，aR，230a−=，解得32a=.3.C【分析】将|32||23|mnmn−=+两边平方可得，0mn=，再根据数量积的定义可知，“3223mnmn

−=+”是“mn⊥”的充要条件.【详解】解：因为||||,|32||23|mnmnmn=−=+等价于0mn=，由数量积的定义可知，0mn=等价于mn⊥，故“3223mnmn−=+”是“mn⊥”的充要条件.4.A【解答】解：33cos,,252

=，3,24，则sin02，23cos12sin52==−，可得215sin,sin2525==.5.C【详解】由二项式定理，()213nnna=+=，()131333132nnnS+−−

==−，根据指数函数单调性知则nS单调递增，当6n=时，1092?nS=，7n=时3279nS=，故n的最小值为7.6.D【详解】试题分析：由m⊥平面，直线l满足lm⊥，且l，所以l∥，又n⊥平面，,lnl⊥，所以l∥，由直线,mn为异面直

线，且m⊥平面,n⊥平面，则与相交，否则，若∥则推出//mn，与,mn异面矛盾，所以,相交，且交线平行于l，故选D.考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.7.A【详解】由图可知()30=2sin=3,sin=2f，由于ππ2，所以

2π=3φ，2π()2sin()3fxx=+令()2π=2sin1=03gxx++，得2π1sin=32x+−，由ππ6x得π2π2π2ππ6333x+++，依题意，()()1gxfx=+在[]6,上有

且仅有3个零点，故当取值最小时，有2ππ2π7π3636π2ππ3ππ4π636+++−，解得532，所以的最小值为52.8.C【详解】解：如图，正方体外接球的球心在其中心点O处，球的半径2221311122R=++=，要使过MN的平面截该球得到的截面面积最

小，则截面圆的圆心为线段MN的中点Q，连接,OMON，则22OMONMN===，所以221624OQOMMN=−=，此时截面圆的半径2264rROQ=−=，此时，截面面积的最小值23ππ8Sr==.

9.BC【详解】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，760%4.2=，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：随机变量()2~1,,(2)0.21NP−=，则(

4)1(2)0.79PP=−−=，所以选项B正确；经验回归方程为ˆˆ1.8ybx=+，且2,20xy==，则ˆˆ2021.8,9.1bb=+=，所以选项C正确；根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到29.632=，依据

小概率值0.001=的2独立性检验()0.00110.828x=，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误.10.BC【详解】解：对于A选项，取BD中点G，连接CG，MG，因为BCD△是等边三角形，所以CGBD⊥，又因为M是AD的中点，所以M

GAB∥，因为ABBD⊥，所以MGBD⊥，因为MGCGG=，,MGCG平面MCG，所以BD⊥平面MCG，因为MC平面MCG，所以BDMC^，故错误；对于B选项，取CD中点H，连接HM，因为M是AD的中点，所以HMAC∥，因为HM平面ABC，AC平面ABC，所以HM∥平面A

BC，故正确；对于C选项，设C到平面ABD的距离为h，因为ABBD⊥且2ABBD==，所以12222ABDS==△，所以1233CABDABDVShh−==，故要使三棱锥CABD−的体积最大，则h最大，所以当C的投影在棱BD上时，h最大，且maxhCG=，此时CG⊥

平面ABD，AB平面ABD，所以CGAB⊥，因为ABBD⊥，CGBDG=，,CGBD平面BCD，所以AB⊥平面BCD，BC平面BCD，所以ABBC⊥，故正确；对于D选项，因为ABD△为直角三角形，所以过M作MF⊥ABD，设F为三棱锥CABD−的外接球的球心，外接球的半径为R，因

为平面ABD⊥平面BDC，平面ABD平面BDCBD=，CG平面BDC，CG⊥BD，所以CG⊥平面ABD，所以CGMF∥，过点F作FEMG∥交CG于E，如图所示，所以四边形MFEG为矩形，所以,MFEGFD

FCR===，所以在RtMFD中，222RMDMF=+，即222RMF=+，在RtEFC△中，222REFCE=+，即221(3)REG=+−，进而解得273R=，所以三棱锥CABD−的外接球的表面积为22843R=，故错误.11

.BC【详解】解：因为点(,0)6是函数()2sin()3fxx=−图象的一个对称中心，所以()06f=，即2sin()063−=，解得26k=+，Zk，又因为(0,3)，所以

2=.所以()sin()fxx=−223，A.最小正周期为222T===.故错误.B.()sin()fxx=−223向右平移12个单位得函数2sin22sin22cos21232yxxx

=−−=−=−，所以2cos2yx=−关于y轴对称，故正确.C.当[0x，]2时，2[33x−−，2]3，所以3sin(2)[,1]32x−−，所以()[3,2]

fx−，所以函数()fx在[0,]2上的最小值为3−.故正确.D.因为π,π2x，π2π5π2,333x−当11,212x，时，232,332x−，()fx单调递减，即1

211122xx时，则12()()fxfx当11,12x时，352,323x−，()fx单调递增，所以121112xx，则12()()fxfx，故错误.12.BCD【详解】对于A选项：正方形11BCCB中，有11BCBC⊥，正

方体中有AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，1ABBC⊥，又1BCABB=，1,BCAB平面11ABCD，1BC⊥平面11ABCD，只要1DP平面11ABCD，就有11DPBC⊥，P在线段AB上，有无数

个点，A选项错误；对于B选项：1DD⊥平面ABCD，直线1DP与平面ABCD所成的角为1DPD，12DD=，1DPD取到最小值时，PD最大，此时点P与点B重合，B选项正确；对于C选项：若12DPDB=，则P为DB中点，PBC为等腰直角

三角形，外接圆半径为112BC=，三棱锥1PBBC−外接球的球心到平面PBC的距离为1112BB=，则外接球的半径为2，所以三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8π，C选项正确；对于D选项：以D为原点，1,,DADCDD的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，则()10,0,2D，()12,0,2A，()2,2,0B，设()(),,002,02Pxyxy，则有()1,,2DPxy=-，()10,2,2AB=−，有1111221124π2cos,cos4248DPAByDPABDPABxy

+====++，化简得24xy=，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.故选：BCD13.520xy−+=由题，当=1x−时，=3y−，故点在曲线上.求导得：()()()()222221522xxyxx+−

−==++，所以1|5xy=−=.故切线方程为520xy−+=.14.72e=【解析】因为123PFPF=，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa−==，所以21,3PFaPFa==：因为1260FPF=，由余弦定理可得2

224923cos60caaaa=+−，整理可行2247ca=，所以22274cea==，即72e=.15.9【分析】由题意可得560,0aa且560aa+，由等差数列的性质和求和公式可得结论.【详解】等差数列n

a的前n项和有最大值，等差数列na为递减数列，又651aa−，560,0aa，560aa+，又()()11056101010022aaaaS++==，()19959902aaSa+==，则使0nS成立的正整数n的最大值是9.故答案为：916.

8−【详解】设正四面体外接球球心为O，正四面体ABCD−的外接球半径为3，设正四面体ABCD−内切球半径为r，一个面的面积为S，高为h，则11433ABCDVSrSh==，所以4hr=，显然34rhr+==，所以1r=，即min1PO=.22()()9198PMPN

POOMPOONPOOMONPO=++=+=−−=−….17.【详解】（1）由正弦定理可得sinsinaBbA=，则有13sinsincos22bAbAA=−，化简可得13sinc

os22AA=−，可得tan3A=−，因为()0,A，所以23A=（2）设,0,3B=，由题意可得,2BADADC==，2,,33DACACD=−=−在ADC中，sinsinCDADDACACD=，则

322sinsin33=−−，所以323131cossincossin2222=+−，可得3sincos5=，又因为22sincos1+=，可得2157sin,cos1414

==，则53sin22sincos14==，所以1153153sin2322414ADCSADCDADC===.18.（1）数列{an}中，1nnnaSS=﹣-，（nN，且2n）①(*1,nnnaSSnN−=+，且)2n②①÷②可得：11nnSS−

−=，则数列nS是以11S=为首项，公差为1的等差数列，则()11nSnn=+−=，则2nSn=，当1n=时，111aS==，当2n时，121nnnaSSn−=−=−，11a=也符合该式，则21nan=−；（2）有（1）的结论，21nan=−，则()12212nncn−

=−；则()1352123252212nnTn−=++++−，③；则()357214123252212nnTn+=++++−，④；③-④可得：()()1352212110532222221222,33nnnnTnn−+

+−=++++−−=−+−变形可得：()21652109nnnT+−+=19.（1）因为PA⊥圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，而BC平面ABC，则PABC⊥，又AB是圆O的直径

，C为圆周上一点，有ACBC⊥，又PAACA=，则BC⊥平面PAC，而AD平面PAC，则BCAD⊥，因为,30ACBCCBA⊥=，所以2ABAC=.又2ABPA=，所以PAAC=，而D为线段PC的中点，所以ADPC⊥.又PCBCC=，所以AD⊥平面

PBC，而AD平面ABD，故平面ABD⊥平面PBC.（2）解：以C为原点，分别以,CACB的方向为x轴､y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−.不妨设2AB=，则()()()11311,0,0,0,3,0,,0,,,0,,0,3,02244ABDGCB

=，31,0,44CG=.设平面GBC的法向量(),,mxyz=，则30,310,44mCBymCGxz===+=令1x=，得()1,0,3m=−.由（1）知平面PBC的一个法向量为11,0,22DA=−，设二面

角PBCG−−为，易知为锐角，则25cos5mDAmDA==，即二面角PBCG−−的余弦值为255.20.（1）解：当4a=−时()()241exfxxx=−+，则()()()()223e13e

xxfxxxxx=−−=+−，所以当23x时()0fx，当34x时()0fx¢>，所以()fx在)2,3上单调递减，在3,4上单调递增，()()3min32efxf==−，()223e

f=−，()()44e2ff=，所以()342e,efx−，即函数()yfx=在区间2,4上的值域342e,e−.（2）解：因为()()21exfxxax=++，xR，则()()()11exfxxax=+++，当0a=

时()()21e0xfxx+=，所以()fx在定义域上单调递增，不存在极值；当a<0时令()0fx=，解得1xa=−−或=1x−，又11a−−−，所以当1xa−−或1x−时()0fx¢>，当11xa−−−时()0fx，所以()

fx在(,1)−−上单调递增，在(1,1)a−−−上单调递减，在(1,)a−−+上单调递增，故()fx在=1x−处取得极大值，()()21eafxf−=−=极大值，()fx在1xa=−−处取得极小值，()()121ea

afxfa++=−−=极小值，当0a时令()0fx=，解得1xa=−−或=1x−，又11a−−−，所以当1xa−−或1x−时()0fx¢>，当11ax--<<-时()0fx，所以()fx在(),1a−−−上单调递增，在()1,1a−−−上单调递减，在()1,−+上单调递

增，故()fx在1xa=−−处取得极大值，()()121eaafxfa++=−−=极大值，()fx在=1x−处取得极小值，()()21eafxf−=−=极小值，综上可得：当0a=时无极值，当a<0时，()2eafx−=极大值，()12eaafx++=极小值，当0a时，()12e

aafx++=极大值，()2eafx−=极小值.21.（1）依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有2344CC10+=种，它们等可能，记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”

，而正确答案只有1个，则有1()10PA=，所以小明这道题能得5分的概率110.（2）如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有13C，若有三项符合

要求，则与所选项组成三项的结果有23C，于是有1233CC3(2)105PX+===，2(0)1(2)5PXPX==−==，则有X的分布列为：X02P2535X的数学期望为236()02555EX=+=，如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，5

Y=的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有12C，1(5)10PY==，12C1(2)105PY===，7(0)1(2)(5)10PYPYPY==−=−==，则有Y的分布列为：

Y025P71015110Y的数学期望为7119()0251051010EY=++=，如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且1(5)10PZ==，9(0)1(5)10PZPZ==−==，故Z的分

布列为Z05P910110Z的数学期望为911()0510102EZ=+=，因为()()()EXEYEZ，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项.22.（1）依题意将31,2和62,2两点代入椭圆22221xya

b+=可得222219142312abab+=+=，解得2243ab==；所以椭圆方程为22143xy+=（2）（i）易知()()2,0,2,0AB−，由椭圆对称性可知，不妨设()4,,0Mtt，()(),,,PPQQPxyQx

y；根据题意可知直线,AMBM斜率均存在，且,62AMBMttkk==；所以直线AM的方程为()26tyx=+，BM的方程为()22tyx=−；联立直线AM和椭圆方程()2226143tyxxy=++=，消去y可得()22222744

1080txtxt+++−=；由韦达定理可得224108227Ptxt−−=+，解得2254227Ptxt−=+，则()2182627PPttyxt=+=+；联立直线BM和椭圆方程()2222143tyxxy=−+=，消去y可得()2222344120txtxt+−+

−=；由韦达定理可得2241223Qtxt−=+，解得22263Qtxt−=+，则()26223QQttyxt=−=−+；则222222542184182,,27272727ttttBPtttt−−=−=++++，222222661262,,3333t

ttBQtttt−−=−−=−++++；所以()()22222222412186600273273273ttttBPBQtttttt−−=−+−=++++++<；即可知PBQ为钝角

，所以点B在以PQ为直径的圆内；（ii）易知四边形APBQ的面积为()()22222222489118648291222739129PQttttSAByytttttttt+=−=+==+++++++，设29,0ttt+=，则299926tttttt+=

=+=，当且仅当3t=时等号成立；由对勾函数性质可知12y=+在)6,+上单调递增，所以12628y=++=，可得48486128S==+，由对称性可知，即当点M的坐标为()4,3或()4,3−时，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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