【文档说明】江苏省盐城中学2020届高三（尖子生班）下学期3月调研考试数学试题【精准解析】.doc，共(26)页，1.861 MB，由小赞的店铺上传

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2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题数学（一）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求．1．本试卷包含填空题（第1题--第14题）、解答题（第15题--第20题）．本卷满分160分考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己

的姓名、准考证号用0．5毫米黑色签字笔填写在规定位置．3．请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色签字笔．注意字体工整，笔记清楚．4．如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚

，线条、符号等须加黑、加粗．5．保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损．一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题卡相应位置上1.已知集合0(1)|2||xAxyxx+==−，2|0,1xBx

xZx+=−，则AB=________.【答案】{2}−【解析】【分析】计算()()(),11,00,A=−−−+，2,1,0B=−−，再计算AB得到答案.【详解】()()()0(1)|,11,00

,2||xAxyxx+===−−−+−，2|0,2,1,01xBxxZx+==−−−，故2AB=−I.故答案为：{2}−.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的

计算能力.2.在“一带一路”（英文：TheBeltandRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为________．【答案】85

【解析】【分析】剩余数据为：84,84,84,86,87，计算平均值为85，再计算方差得到答案.【详解】剩余数据为：84,84,84,86,87，故8484848687855x++++==，故方差为：()()()()()2222284858485848

586858785855−+−+−+−+−=.故答案为：85.【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.3.复数z满足13zi=+，i为虚数单位，z为复数z的共轭复数，则复数42zz+的模为________．【答案】421

【解析】【分析】计算到4883zi=−+，故426103zzi+=−+，再计算模长得到答案。【详解】13zi=+，故()()42413223883ziii=−=−−=−+，故426103zzi+=−+，故426103421zzi+=−+=.故答案为：421.【

点睛】本题考查了复数的计算，复数模的计算，意在考查学生的计算能力。4.随机掷出5个标准的骰子，得到5个点数之和是11的概率为________．【答案】2057776【解析】【分析】根据隔板法，5个点数之和是11的选法共有410210C=种，排除不满足的情况，计算概率得到答案.【详解】根据隔板法，

5个点数之和是11的选法共有410210C=种，排除1,1,1,1,7对应的5种情况，共有205种，故520577762056p==.故答案为：2057776.【点睛】本题考查了概率的计算，利用隔板法可以简化运算，是解题的关键.5.执行如图所示的算法流程图，则输出的a的值

是________．【答案】129【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：359173365129→→→→→→，结束.故答案为：129.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能

力.6.曲线2233xy−=与228yxx=−−的四个交点所在圆的方程是________．【答案】22(4)(2)49xy−+−=【解析】【分析】根据题意得到：()222342483xyyxx−=−−−−，化简得到答

案.【详解】2233xy−=，228yxx=−−，故()222342483xyyxx−=−−−−，化简整理得到：2284290xyxy+−−−=，即22(4)(2)49xy−+−=.故答案为：22(4)(2)49xy−+−=.【点

睛】本题考查了曲线交点求圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.已知10,,cos233+=，则cos26+的值是_________．【答案】429【解析】【分析】根据角度范围得到2

2sin33+=，变换cos22sincos633+=++，代入数据计算得到答案.【详解】10,,cos233+=

，故5,336+，故22sin33+=，22cos2cos2sin22sincos633233+=+−=+=++429=.故答案为：429

.【点睛】本题考查了三角恒等变换求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.在矩形ABCD中，3,4ABBC==，点E在边BC上，点F在边CD上．若2EF=，则AEAF的最小值是________．【答案】15【解析】【分析】如图所示建立直角坐标

系，设FEC=，0,2，则()2510sinAEAF=−+，根据三角函数有界性得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，设FEC=，0,2，则()0,0A，()42cos,3E−−，()4,32sinF

−+，即()()42cos,34,32sin168cos96sinAEAF=−−−+=−+−uuuruuur()2510sin=−+，其中4tan3=，取0,2，当2+=时，AEAF有最小值为15.故答案为：15。【点睛】本题考查了向量的数量积

的最值问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键.9.设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，过椭圆上一点A作椭圆的切线交y轴于点Q，若,46QFOQFA==，则此椭圆的离心率为________．【答案】63【解析】【分析】根据对称性，不妨研究椭圆的

上半部分，故222'1xaybxa=−−，计算00bxkay=−，根据0000bxyckayx−=−=得到22002,1bbyxacc==−−，005tan2312AFykxc===++代入数据计算得到答案.【

详解】根据对称性，不妨研究椭圆的上半部分，22221xyab+=，故221xyba=−，222'1xaybxa=−−.设()00,Axy，故02020021xbxakbayxa=−=−−，4QFO=，故()0,Qc，0

000bxyckayx−=−=，化简得到22002,1bbyxacc==−−.6QFA=，则512AFO=，005tantan231264AFykxc===+=++.代入整理得到：222

223bacbc=+−−+，即22212321eee−=+−−+.设221et−=，()0,1t，故2212te+=，代入化简得到：1231tt+=+−，解得33t=.故221223te+==，故63

e=.故答案为：63。【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10.在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切．则这个正方体的棱长为_

_______．【答案】22+【解析】【分析】几何体的俯视图如图1所示，如图2作辅助线，计算222BD=+，得到答案.【详解】几何体的俯视图如图1所示，如图2作辅助线，则2121222BD=+++=+.故正方体的棱长为22+.故答案为：22+.【点睛】本题考查了正方体的内切球问题，意在考查学

生的计算能力和空间想象能力.11.已知实数0a，函数()23fxxxa=+−−在区间1,1−上的最大值是2，则a=______【答案】3或54【解析】【分析】由题意可得f（0）≤2，求得a的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算得a

的值，再检验可得a的值．【详解】因为函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，可得f（0）≤2，且a＞0，得|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，

由f（x）的最大值在顶点或端点处取得，当f（﹣1）＝2，即|a﹣1|＝2，解得a＝3或﹣1（舍去）；当f（1）＝2，即|a﹣3|＝2，解得a＝5或a＝1；当f（12）＝2，即|a﹣134|＝2，解得a＝54或214（舍去）．当a＝1时，f（x）＝|x2﹣x﹣2|，因为f（12）＝94＞

2，不符题意；（舍去）．当a＝5时，f（x）＝|x2﹣x+2|，因为f（-1）＝4＞2，不符题意；（舍去）．当a＝3时，f（x）＝|x2﹣x|，显然当x＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；当a＝54时，f（x）＝|x2﹣x﹣74|，f（1）＝74，f

（﹣1）＝14，f（12）＝2，符合题意．故答案为3或54．【点睛】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．12.定义数列na，先给出11a=

，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是231,2aa==，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1），设nS是na的前n项和，则2020S=__.【答案】

3990【解析】【分析】设每操作一次形成的数列和为nb，nb的前n项和为nT，计算得到21nnb=−，122nnTn+=−−，设每操作一次形成的数列的个数为nc，前n项和为nK，计算得到12nnc−=，21nnK=−，计

算()2020101111109...112...STb=+−+++++++得到答案.【详解】根据题意设每操作一次形成的数列和为nb，nb的前n项和为nT，故11b=，11nnbTn+=++，1nnbTn

−=+，()2n，两式相减得到121nnbb+=+.即()1121nnbb++=+，故1nb+是首项为2，公比为2的等比数列，21nnb=−，验证1n=时成立，故21nnb=−，122nnTn+=−−.设每操作一次形成的数列的个数为nc，其前n项和为nK，故

11c=，11nncK+=+，故()11,2nncKn−=+，相减得到：12nncc+=，故12nnc−=，验证1n=时满足.21nnK=−，101121202021−−，()10202021997−−=，10299727−=，故2020S=()101111109...1

1211321121143211Tb+−++++++++++++++++++++1111210221933990=−−+−−=.（括号内是2020a开始的倒数27个数）.故答案为：3990.【点睛】本题考查了数列的前n项和，意在考查学生的计算能力和应用能力.13.已知222:2,(0)Exyaa

+=，12,FF分别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为12FPF平分线与x轴交点，过D作12,PFPF垂线，垂足分别为,MN，求12DMNFPFSS的最大值______．【答案】14【解析】【分析】设1PFm

=，2PFn=，12FPF=，计算sinsin2mnDMDNPDmn===+，化简得到()122222sinsinsin44DMNFPFSmnmnSmnmn==+，再计算最值得到答案.【详解】设1PFm=，2PFn=，12FPF=，故12111sinsinsin22222PFF

SmnmPDnPD==+，故2cos2mnPDmn=+，sinsin2mnDMDNPDmn===+，故()()1222221sinsinsinsin121444sin2DMNFPFDMDNSDMDNmnmnSmnmnmnmn−====+.当P为上下顶点时

，mn=，2=，等号成立.故答案为：14.【点睛】本题考查了椭圆内的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.已知,,,,,(0,)xyzR+，且222346,2xyz++=++=，则sinsinsinxyxzyz

++的最大值为________．【答案】6【解析】【分析】如图所示：设OAx=，OBy=，OCz=，ADa=，BDb=，ODh=，则sinsinsin2ABCxyxzyzS++=，根据柯西不等式证明222()ababxyxy+++，得到()22222346ahbhz++

++=，利用上面不等式得到()()6626ABCmzabS++，得到答案.【详解】如图所示：过O作⊥ODAB于D，设OAx=，OBy=，OCz=，ADa=，BDb=，ODh=，AOB=，AOC=，BOC

=.故sinsinsin2ABCxyxzyzS++=.当0x，0y时，根据柯西不等式：22222()()()abxyabxy+++，故222()ababxyxy+++，当abxy

=时等号成立.222346xyz++=，即()22222346ahbhz++++=，即22224346ahbz+++=.即()()()()222222662611111111434443ABChzabahbzh

zabS+++++=+++++，故26ABCS，当OCD三点共线，且3ab=，hz=时等号成立.故答案为：6.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，将sinsinsinxyxzyz++表示成三角形面积是解题的关键.二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知,,,ABCD四点共面，且1,2,4CDBCAB===，27120,cos7ABCBDC==.（1）求sinDBC；（2）求AD．【答案

】（1）21sin14DBC=（2）33AD=【解析】【分析】（1）计算21sin7BDC=，根据正弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理计算7DB=，57cos14DBC=，和差公式得到7os4c1ABD−=，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）在BD

C中，因为27cos7BDC=，所以21sin7BDC=．由正弦定理知sinsinDCBCDBCBDC=，所以sin21sin14DCBDCDBCBC==．（2）在BDC中，由余弦定理知222

2cosBCDCDBDCDBBDC=+−，故2274127DBDB=+−，解得7DB=或377DB=−（舍）．由已知得DBC是锐角，又21sin14DBC=，所以57cos14DBC=．所以()cosco

s120cos120cossin120sinABDDBCDBCDBC=−=+157321721421414=−+=−在ABD△中，由余弦定理知2222cosADABBDABBDABD

=+−71672472714=+−−=，解得33AD=．【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，A

C，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．求证：(1)直线OG∥平面EFCD；(2)直线AC⊥平面ODE.【答案】(1)见解析:(2)见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意证得OG∥CD，结合线面平行的判断

定理即可证得结论；(2)结合空间几何体的性质和线面垂直的判断定理即可证得题中的结论.试题解析：证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点．∵点G为BC的中点，∴OG∥CD.∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴直线OG∥平面E

FCD.(2)∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC.∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC，∴FG⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴FG⊥AC.∵OG∥AB，OG＝AB，EF∥AB

，EF＝AB，∴OG∥EF，OG＝EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO.∵EO∩DO＝O，EO，DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.17.如图，河的两岸分别有生活小区

ABC和DEF，其中,,ABBCEFDFDFAB⊥⊥⊥，,,CEF三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得3ABkm=，4BCkm=，94DFkm=，3FEkm=，32ECkm=，若以,OAOD所在直线分别为,xy轴建立平面直角坐标系xOy则河岸DE可看成是曲线xbyxa+=+（其

中,ab是常数）的一部分，河岸AC可看成是直线ykxm=+（其中,km为常数）的一部分．（1）求,,,abkm的值．（2）现准备建一座桥MN，其中,MN分别在,DEAC上，且MNAC⊥，M的横坐标为t．写出桥MN的长l关于t的函数关系式()lft=，并标明定义域；当t为何值时，l取到

最小值？最小值是多少？【答案】（1）4,7ab=−=−，4,23km==−.（2）19|49|,[0,3]54lttt=+−−；当52t=时取到最小值，为1km【解析】【分析】（1）计算70,4D，()3,4E，3,02A，9,4

2C，将点代入直线方程计算得到答案.（2）计算7,,[0,3]4tMttt−−，得到19()|49|,[0,3]54lfxttt==+−−，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意得：4ODB

C==，OBFC=，∴70,4D，()3,4E，3,02A，9,42C，把70,4D，()3,4E代入xbyxa+=+得74343baba=+=+，解得：4,7ab=−=−，把3,02A

，9,42C代入ykxm=+得302942kmkm+=+=，解得4,23km==−.（2）由（1）得：M点在74xyx−=−上，∴7,,[0,3]4tMttt−−，

①桥MN的长l为MN到直线423yx=−的距离，故223(7)46194()|49|,[0,3]5434tttlfxttt−−−−===+−−+；②由①得：1919()|49||4(4)7|5454fttttt=+−=−++−−，而940,04tt−

−，∴994(4)24(4)1244tttt−+−−=−−−，当且仅当94(4)4tt−=−时即52t=“=”成立，∴min1()|127|15ft=−+=.【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.平面直角坐标系xo

y中，点()00,Pxy是椭圆22:182xyC+=上任一点，直线(0)ykxmkm=+截222:14xCy+=所得的弦MN被OP平分且01,1PMNmyS−=.（1）判断四边形OMPN的形状；（2）求PM与2C的公

共点数．【答案】（1）OMPN是平行四边形．（2）公共点数为1【解析】【分析】（1）联立方程得到2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++，计算得到004xky=−，根据面积得到()()22200221mymy−−=，

证明OP被MN平分，得到答案.（2）根据题意得到22220012124()4()8xyxxyy+=+++=，化简得到121240xxyy+=，代入数据化简得到()2140xx−=，得到答案.【详解】（1）联立直线与222:440ykxmCxy=++−=得，设()(

)1122,,,MxyNxy，则2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++．220,410km+−，()()22221224141141kkmMNkxxk++−=+−=+，又0,120kxx−，

221122224444xyxy+=+=相减化简得14OPMNkk=−，即004xky=−．又2222000220024122141kxmykmSymmkyy−−+−===−−+，化简得：()()22200221mymy−−=．再设01myt=−，由()2232202,2

,(1)370mttttty−−−+=．而3212,370tttt−−−+，故1t=．设0到MN的距离为d，则00022211mkxmyyddkk−++−===++，即,OP到MN的距离相等，故OP被MN平分，所以OMPN是平行四边形．（2）由上一问知

012012xxxyyy=+=+，所以22220012124()4()8xyxxyy+=+++=，化简得121240xxyy+=，故14PMPNkk−=，所以114PMxky=−，11221414xx

yyxy+=+=得()2140xx−=．显然0=，故PM与2C相切，公共点数为1【点睛】本题考查了椭圆相关四边形形状，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.已知函数()(24)ln38(0)fxxaxxaa=−−+．（1）若0a=，求函

数()fx在1x=处的切线方程；（2）若()fx有两个不同的零点12,xx．①求a的取值范围；②证明：当120xex时，12543eaxx++．【答案】（1）2yx=−−（2）①520,,4eae+②见解析【解析】【分析】（

1）求导得到'()2ln1fxx=−，计算()'11f=−，(1)3f=−，得到切线方程.（2）①求导得到4'()2ln1afxxx=−−，导函数单调递增，故存在01x使004'()2ln10afxxx=−−=

.故20008()1020afxaxx=−−，解得04xa或0xa，计算得到答案.②构造函数()()2ln1xexxxe−=−−+，证明函数单调递增，()10x，()20x，代入数据计算到()21135420xeaxae−++，()22235420xeax

ae−++，相减化简得到答案.【详解】（1）()2ln3fxxxx=−，故'()2ln232ln1fxxx=+−=−，故()'11f=−，(1)3f=−，故切线方程为：()132yxx=−−−=−−.（2）

①()(24)ln38fxxaxxa=−−+，244'()2ln32ln1xaafxxxxx−=+−=−−.易知4'()2ln1afxxx=−−在0a时单调递增，且'(1)410fa=−−，x→+时，()'fx→+，故存在01x使004'()2ln10afxxx=−−=.()fx在

()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，故()()0minfxfx=，当0a=时，0x→时，()0fx→，不成立；当0a时，0x→时，()0fx，只需满足()00fx，即20000008()(24)ln381020afxxaxxaaxx=−−+=−−，解得04xa或0

xa.当04xa时，4'(4)2ln4104afaaa=−−，即4ea；当0xa时，4'()2ln10afaaa=−−，即52ae.综上所述：520,,4eae+.②构造函数()()2ln1xexxxe−=−

−+，故()()()22'0xexxxe−=+，函数单调递增，()0e=，故()10x，()20x，()(24)ln380fxxaxxa=−−+=，故2ln34ln8xxxax−=−.故1111

111112ln324220ln2ln2xxxxxaxaxxx−−−=−=−=−−，()11111238ln124xexaxxaxe−−=+−+，整理得到：()21135420xeaxae−++，同理可得：()22235420xeaxae−++，

相减得到：()()2212123(54)0xxeaxx−−+−，故12543eaxx++.【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，计算量大，综合性强，意在考查学生的综合应用能力，是难题.20.今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正

整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为(,)LMN操作.设数列na是无穷非减正整数数列.（1）若12,nnanN−+=

，na进行(2,1)L操作后得到nb，设nnab+前n项和为nS①求nS．②是否存在,,pqrN+，使得,,PqrSSS成等差？若存在，求出所有的(,,)pqr；若不存在，说明理由．（2）若,nannN+=，对na进行(4,0)L与(4,1)L

操作得到nb，再将nb中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到nc证明：每个大于1的奇平方数都是nc中相邻两项的和．【答案】（1）①()321,nnSnN+=−②不存在．见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）计算得到2,nnbnN+=，再计算n

S得到答案，假设存在，由nS单调递增，不妨设,2,,,qPrpqrSSSpqrN+=+，化简1212qprq−+−=+，不成立.（2）计算21242,41nnbnbn−=−=−，根据题意得到85,21,82,2nnnkckNnnk+−=−=

−=，再证明21(21)kkrrkcc++=+得到答案.【详解】（1）①由12,nnanN−+=知：当2n时2naN+，故2,nnbnN+=．则()1132321,ninniSnN−+===−．②解：假设存在，由nS单调递增，不妨设,2,,

,qPrpqrSSSpqrN+=+化简得1212qprq−+−=+，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在．（2）易知443424174,43,42,41nnnnanananan−−−==−=−=−，所以保留4241,nnaa−−，则21242,41nnbnbn−=−=

−．又4142434482,83,86,87nnnnbnbnbnbn++++=+=+=+=+，将441,nnbb+删去，得到nc，则212283,86nncncn++=+=+也即85,21,82,2nnnkckNnn

k+−=−=−=．记(1)2kkkr+=，下面证明：21(21)kkrrkcc++=+．由2222441424382,861,8103,8146mmmmrmmrmmrmmrmm+++=+=++=++=++，知：()()22412221

82821842841[2(4)1]mmrrmmmmccccmmmmm+++++=+=+−+++=+22414121861862[2(41)1]mmrrmmmmccccm++++++++=+=++，同理可得：424243432211

[2(42)1],[2(43)1]mmmmrrrrccmccm+++++++=+++=++，合并以上四式，便证明了对任意的kN+，都有21(21)kkrrkcc++=+．因此，原命题得证．【点睛】本题考查了

数列的新定义问题，意在考查学生的对于数列知识的综合应用能力.附加题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求．6．本试卷包含填空题（第1题--第14题）、解答题（第15题--第20题）．本卷满分160分

考试时间为120分钟．7．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色签字笔填写在规定位置．8．请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色签字笔．注

意字体工整，笔记清楚．9．如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．10．保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损．一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔[选做题]（在三小题中选做2题，若多做按前两题

计分，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内．）（选修4-2：矩阵与变换）21.已知矩阵1214A=−，向量32=，计算5A．【答案】5307275A=【解析】【分析】根据()0f=，得2=或3=，得到特征向量12

1=，211=，故()55551212AAAA=+=+，计算得到答案.【详解】因为212()5614f−−==−+−，由()0f=，得2=或3=．当2=时，对应的一个特征向量为121=；当3=时，对应的一个特征

向量为211=．设321211mn=+，解得11mn==，所以()55551212AAAA=+=+5521307121311275=

+=.【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.（选修4-4：坐标系与参数方程）22.在极坐标系中，圆C的方程为424cos=−，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为11xtyt=

+=−（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．【答案】26.【解析】【分析】先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的方程，可得圆心和半径，再将直线的参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下点到直线的距离公式求解即得．【详解】⊙C的方程化为ρ＝4cosθ

+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2+y2﹣4x﹣4y＝0，其圆心C坐标为（2，2），半径22r=，又直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心C到直线l的距离222d==，∴弦长28226AB=−=.【点睛

】本题考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查了圆中的弦长问题，属于中等题．（选修4-5：不等式选讲）23.已知,,abc为正数，且1abc=，求证333()()()24abacbc+++++．【答案】见解析【解析】【分析】直接利用均值不等式得到333()()

()3()()()abacbcabbcca++++++++，再利用一次均值不等式得到答案.【详解】已知,,abc为正数，且1abc=，故有3333333()()()3()()()abacbcabacbc++++++++3()()()ab

bcca=+++3(2)(2)(2)abbcac24=.当1abc===时等号成立.故333()()()24abacbc+++++．【点睛】本题考查了利用均值不等式证明不等式，意在考查学生的应用能力.[必做题]

（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的

余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.【答案】(1)20919；(2)3211.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CEPA夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC的法向量，其PC与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐

标系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(12，32，32)，P(1，1，3)，()1331,1,3,,,222PACE=−−=设直线CE与直线PA夹角为，则222222139222cos1331(1)(3)222PACEPACE−−==

+−+−++整理得209cos19=；直线CE与直线PA夹角的余弦值20919；(2)设直线PC与平面DEC夹角为0，设平面DEC的法向量为(,,)mxyz=，因为()1,1,0CD=，133,,222CE=所以有01330222xyxyz

+=++=取1x=，解得1y=−，23z=，即面DEC的一个法向量为2(1,1,)3m=−，()1,1,3CP=，()022222211232sin112113113CPmCPm−+===+++−+.直线PC与平面DEC夹角的正弦值为3211.【点睛】本题考

查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.25.（1）设数列na满足()2012,,nnaaannN+−==−，用数学归纳法证明,()nannN．（2）证明：对任意自然数n

，都有1232n+++．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）验证0123,,,aaaa成立，设(3)nkk=时，有kak，21(1)1kkaakk+=−++得到证明.（2）根据（1）知12,(1)nnanann−−−+，迭代得到答案

.【详解】（1）证明：显然012320,31,72,463aaaa====．设(3)nkk=时，有kak，则221(1)(1)3(1)211kkaakkkkkkk+=−+−+−+=−+，这就是说，1nk=+时也成立．于是，对任意自然数,nnan．（2）证明

：由（1）知：1nnaann−+，21(1)(1)nnaannn−−+−−+，故0123an+++，即2123n+++成立．【点睛】本题考查了数学归纳法，数列不等式证明，意在考查学生的推理能力.