【文档说明】2020年真题+高考模拟题 专项版解析 理科数学——09 概率与统计（教师版） 【高考】.docx，共(31)页，1.193 MB，由小赞的店铺上传

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专题09概率与统计1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi=得到下面的散点

图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A．yabx=+B．2yabx=+C．exyab=+D．lnyabx=+【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最

适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx=+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.2．【2020年高考全国II卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，

许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名B．18名C．24名D．32名【答案

】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+−=，设需要志愿者x名，500.95900x，17.1x,故需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3．【20

20年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,pppp，且411iip==，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A．14230.1,0.4pppp====B．14230.4,0.1

pppp====C．14230.2,0.3pppp====D．14230.3,0.2pppp====【答案】B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为()()140.1230.42.5Ax=+++=，方

差为()()()()2222212.50.122.50.432.50.442.50.10.65As=−+−+−+−=；对于B选项，该组数据的平均数为()()140.4230.12.5Bx=+++=，方差为(

)()()()2222212.50.422.50.132.50.142.50.41.85Bs=−+−+−+−=；对于C选项，该组数据的平均数为()()140.2230.32.5Cx=+++=，方差为()()()()2222212.50.222.50.

332.50.342.50.21.05Cs=−+−+−+−=；对于D选项，该组数据的平均数为()()140.3230.22.5Dx=+++=，方差为()()()()2222212.50.322.50.232.50.242.50.31.

45Ds=−+−+−+−=.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4．【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳

，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB+，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则()0.6PA=

，()0.82PB=，()0.96PAB+=，所以()PAB=()()()PAPBPAB+−+0.60.820.960.46=+−=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

5．【2020年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp=====，定义X的信息熵21()logniiiHXpp==−.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着1p的增大

而增大C．若1(1,2,,)ipinn==，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm+−==+=，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若1n=，则11,1ip==，所以()()21l

og10HX=−=，所以A选项正确.对于B选项，若2n=，则1,2i=，211pp=−，所以()()()121121log1log1HXpppp=−+−−，当114p=时，()221133loglog4444HX=−+，当13p4=时，()22331

1loglog4444HX=−+，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若()11,2,,ipinn==，则()222111logloglogHXnnnnn=−=−=，则()HX随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若2nm=，随机变

量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且()21jmjPYjpp+−==+（1,2,,jm=）.()2222111loglogmmiiiiiiHXpppp===−=122221222122121111logloglog

logmmmmpppppppp−−=++++.()HY=()()()122221212122211111logloglogmmmmmmmmpppppppppppp−+−++++++++++122

22122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp−−−=++++++++由于()01,2,,2ipim=，所以2111iimippp+−+，所以

222111loglogiimippp+−+，所以222111loglogiiiimippppp+−+，所以()()HXHY，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运

用，属于难题.6．【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4，则a的值是▲．【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4∴4235620aa++−++=，即2a=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基

础．7．【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()

3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P==.故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．【2020年高考天津】从一批零件中抽取

80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A．10B．18C．20D

．36【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.255.000.020.225+=，则区间)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图

的计算与实际应用，属于中等题.9.【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的

概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233−−=，所以甲、乙两球至少有一

个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.10．【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球

，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则(0)P==_______，()E=_______．【答案】13，1【解析】因为0=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)

4433P==+=，随机变量0,1,2=，212111211(1)434324323P==++=，111(2)1333P==−−=，所以111()0121333E=++=.故答案为：1;13.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解

能力，属基础题.11．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一

人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的

概率.【解析】（1）甲连胜四场的概率为116．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18．所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684−−−=

．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18．因此丙最终获胜的概率为11117

8168816+++=．12．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，y

i)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==，2011200iiy==，2021)8(0iixx=−=，2021)9000(iiyy=−=，201)()800(ii

iyyxx=−−=．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很

大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数12211)(()()()iiininiinixyrxyxyxy===−−−−=，21.414．【解析】（1）

由已知得样本平均数20160120iiyy===，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)iixy(1,2,,20)i=的相关系数20120202211)()800220.943809

00(0))((iiiiiiixyyxxrxyy===−−===−−．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差

异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．13．【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼

人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值

（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气

质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K2=()()()()2)nadbcabcdacbd−++++，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828．【解析】（1）由所给数据，该

市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100++=．（3）根据所给数据，可得22列联表：人次≤400人次>400空

气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237)5.82055457030K−=．由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．14．【2020年高考山东】为加

强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：2SOPM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估

计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）

根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中P

M2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22列联表：2SOPM2

.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K−=．由于7.4846.635，故有

99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关．15.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持

不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案

一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p，试比较0p与1p的大小．（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为200

1200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()

(1)3433436C−+−=;（Ⅲ）01pp【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·广东省高三二模】高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、

24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为A．15,43B．15,42C．14,43D．14,42【答案】B【解析】由题可知，该班共有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，则抽到的每个同学的学号之间的间隔为：4595=，而已知学号为6

、24、33的同学在样本中，即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15，第三个学号为：15+9=24，则第四个学号为：24+9=33，第五个学号为：33+9=42，所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42.故选：B.2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（理）

】设不等式组030xyxy+−表示的平面区域为，若从圆C：224xy+=的内部随机选取一点P，则P取自的概率为A．524B．724C．1124D．1724【答案】B【解析】作出中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0xy+=，30xy−=的倾斜角分别为34，6

，所以由图可得P取自的概率为3746224−=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.3．【2020·河南省高三三模】“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“

1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制

数大于2的概率为A．12B．13C．23D．14【答案】D【解析】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11（2）＝3（10）；第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00（2）＝0（10）；第三类：由一个“─”和

一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10（2）＝2（10），01（2）＝1（10），所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P14=．故选：D．【点睛】本题主要考查了

古典概型及其概率的计算，以及转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档试题.4．【2020·河南省高三三模】随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业

市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加B．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的

同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%【答案】C【解析】由2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，得：对于A，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对

于B，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；对于C，2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数也不相等，2018年比2013年

增长人数多，故C错误；对于D，2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：19701510100%30.5%1510−．故D正确．故选：C．【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于

基础题.5．【2020·山东省邹城市第一中学高三其他】2020年初，新型冠状病毒（19COVID−）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2173

693142由表格可得y关于x的二次回归方程为2ˆ6yxa=+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为A．5B．4C．1D．0【答案】A【解析】设2tx=，则()11491625115t=++++=，()12173693142585y=++++=586118a=−=−，所以2ˆ68y

x=−.令4x=，得2444936485ˆeyy=−=−+=.故选：A6．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二

张标签的标号恰好相差1的概率为A．45B．25C．425D．825【答案】D【解析】从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，所有的基本事件数为2525=，其中，事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相

差1”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4，共8种情况，因此，所求事件的概率为825P=.故选：D.【点睛】本题考查利用古典概

型的概率公式求事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.7．【2020·四川省阆中中学高三其他】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“

=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是A．518B．718C．716D．516【答案】D【解析】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示

5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率为516P=．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，

考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．8．【2020·山西省高三月考】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以

等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是A．13B．32(3)+C．19D．34(3)−

【答案】C【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，则小勒洛三角形的面积22213(3)32642aaSa−=−=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以在勒洛三角形的面

积为222(3)(3)9(3)22aaS−−==若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为1219SSP==，故选：C【点睛】此题考查概率与几何概型、平面图形等知识，考查阅读能力和数学计算能力，属于中档题.9．【2020·山东省邹城市第一中学

高三其他】下列命题中假命题是A．若随机变量服从正态分布()21,N，()40.79P=，则()20.21P−=；B．已知直线l⊥平面，直线//m平面，则“//”是“lm⊥”的必要不充分条件；C．若//ab，则a在b方向上

的正射影的数量为arD．命题:0,1−xpxex的否定:0,1−xpxex【答案】BCD【解析】对于A，随机变量服从正态分布()21,N，所以图像关于1x=对称，根据()40.79P=，可得()()4140.21pp=−=，所以()()240.21Pp−==

，故A正确；对于B，直线l⊥平面，直线//m平面，若//，则lm⊥是真命题；若lm⊥，则//是假命题，所以“//”是“lm⊥”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若//ab，则a在b方向上的正射影的数量为ar或a−，故C错误；对于D，命题:0,1−xpxex的否定:0,1

xpxex−，故D错误；故选：BCD【点睛】本题主要考查了正态分布概率的性质、充分性与必要性的定义、向量数量积的几何意义、特称命题的否定变换原则，属于基础题.10．【2020·上海高三二模】某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户

低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【解析】该社区共有14028080500++=户，利用分层抽样的方法,中等收入家庭应选28010056

500=户，故答案为：56.【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.11．【2020·辽河油田第三高级中学高三三模】辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶

齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲､乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为______.

【答案】16【解析】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为a，b，c，d，e，f，则基本事件有(),aa，(),ab，(),ac，(),ad，(),ae，(),af，(),ba，(),bb，(),bc，

(),bd，(),be，(),bf，(),ca，(),cb，(),cc，(),cd，(),ce，(),cf，(),da，(),db，(),dc，(),dd，(),de，(),df，(),ea，(),eb，(),ec，(),ed，(),ee，(),ef，(),

fa，(),fb，(),fc，(),fd，(),fe，(),ff，共36个，其中符合条件的有6个，故所求概率61366P==.故答案为16.12．【2020·辽宁省沈阳二中高三其他】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培

训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定85X为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成

绩满足80,89X的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；（Ⅲ）记()PaXb表示学生的考核成绩在区间,ab的概率，根据以往培训数据，规定当8510.510xP−时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活

动是否有效，并说明理由．【答案】（Ⅰ）730（Ⅱ）35（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件A，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，所以所求概率()PA约为730（Ⅱ）设从

图中考核成绩满足80,89X的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件B，因为表中成绩在80,89的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件，所以93()155PB==（Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110x−的成绩有16个，所以85

16810.5103015xP−==所以可以认为此次冰雪培训活动有效．13．【2020·重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数

，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：空气质量指数(0,50(50,100(100,150(150,200(200,300300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根

据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中

随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙

恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.【答案】（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属

于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145CPXC===，()11624230481145CCPXC===，()262301229CPXC===，∴X的分布列为X012P9

214548145129∴924812()012145145295EX=++=.②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴2223219375671010101

050000PCC==.【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列及期望的求法，频率分布表的应用，属于中档题.14．【2020·东莞市光明中学高三月考】某土特产超市为预估2020年元旦期间游

客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）)0,15)15,30)30,45)45,60)60,7575,90人数101520152010（1）

根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于

60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.附

表：0k2.0722.7063.8416.6357.879()20PKk…0.1500.1000.0500.0100.005【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数

学期望75【解析】（1）22列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090()229012204018144053.84130605238247K−==，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）X可能取值

为65，70，75，80，且10201903p+==.()3331165327PXC===，()22312270339PXC===，()21312475339PXC==

=，()3032880327PXC===，所以X的分布列为X65707580()PX127294982712486570758075279927EX=+++=.15．【2020·山东省邹城市第一中学高三其他】为了提高生产线的运

行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的次数填入下面的列联表：超过m不超过m改

造前ab改造后cd试写出a，b，c，d的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（Ⅱ）工厂

的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天（*Nk）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生

产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T=，1k=，2，3，4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能

连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.【答案】（Ⅰ）（1）5a=，15b=，15c=，5d=，（2）有99%的把握认为连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）分布列见解析，2.275万元.【解

析】（Ⅰ）（1）由茎叶图知2931302m+==，根据茎叶图可得：5a=，15b=，15c=，5d=.（2）由于()2240551515106.63520202020K−==，所以有99%的把握认为连

续正常运行时间有差异.（Ⅱ）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p=.设一个生产周期内需保障维护的次数为次，则正常维护费为0.542=万元，保障维护费为()20.210.10.12

+=+万元.故一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为20.10.12++万元.由于1~44B，，设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则分布列为X22.22.63.24P812

562764271283641256则()8127273122.22.63.242566412864256EX=++++162237.6140.438.44582.42.275256256++++===万元.故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元.【点睛】本题考查了独立性

检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：性别是否需要男

女需要4030不需要160270()2Pkk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需

要社区非医护人员提供帮助与性别有关？【答案】（1）14%；（2）有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关．【解析】（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位需要社区非医护人员提供帮助，∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为70

14%500=；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，22500(4027030160)9.96770430200300K−=．∵9.9676.635，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关．17．【2020·四川省阆中中学高

三其他】共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将

一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车

与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用单

车用户120不常使用单车用户80合计16040200（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表()20PKk0.150.

100.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635其中，22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认

为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【解析】（1）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是100a=，20b=，60c=，20d=，∴22200(100206020)2.0832.0

721208016040K−=，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200=，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵~(3,0.1)XB

，0,1,2,3X=∴3(0)(10.1)0.729PX==−=，(1)0.243PX==(2)0.027PX==，3(3)0.10.001PX===，∴X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001．∴X的数学期望()30.10.

3EX==．【点睛】本题主要考查了22列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.18．【2020·山西省高三月考】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期

．（1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格，该传染病的潜伏期受诸多因素影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表

补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研

究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：下面的临界值表仅供参考．()20PKk…0.050.0250.0100k3.8415.0246.635（参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=+++

+，其中nabcd=+++．）【答案】（1）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）8【解析】（1）根据题意，补充完整列联表如下：潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080

200所以22200(65455535)252.0833.8411208010010012K−==，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为802=2005

，设被调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则2(20,)5XB，202023()C,0,1,2,,2055kkkPXkk−===，由()(1)()(1)PXkPXkPXkPXk=

=+==−，得201191202020121120202323CC55552323CC5555kkkkkkkkkkkk−+−+−−−−，、化简得3(

1)2(20)2(21)3kkkk+−−，解得275≤k≤425，因为kN，所以8k=，所以这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能为8人.【点睛】此题考查二项分布的随机变量概率值最大取值问题，考查了独立性检验，考查了分析问题、解决问题的能力，属于

中档题.