【文档说明】黑龙江省哈尔滨九中2020届高三三模考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(28)页，2.595 MB，由小赞的店铺上传

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2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{ln(1)}Mxyx==−∣，220Nxxx=−∣，则MN=（）A.()0,2B.()0,1C.(),1−D.(),2−【答案】D【解析】【分析】求函数定义域得

集合M，解一元二次不等式得集合N，再由并集定义求得结论．【详解】由题意{|10}{|1}Mxxxx=−=，{|(2)0}{|02}Nxxxxx=−=，∴{|2}(,2)MNxx==−．故选：D．【点睛】本题考查集合的并集运

算，考查解一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域，属于基础题．2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,28,,52ab号学生在样本中，则ab+

=（）A.42B.45C.52D.56【答案】D【解析】【分析】根据题意，确定组距，进而可求出,ab，即可得出结果.【详解】因为采用的是等距抽样，且已知编号为4,,28,,52ab号学生在样本中，所以组距为524124−=，所以41216a=+=，43640b

=+=，因此56ab+=.故选：D.【点睛】本题主要考查确定系统抽样中的样本编号，熟记系统抽样的概念即可，属于基础题型.3.下列选项中，满足1zz+为实数的复数z是（）A.1zi=+B.1zi=−C.1322zi=+D.312zi=+【答案】C【解析】【分析】设(),za

biabR=+,则222221abzabizabab+=++−++,由1zz+为实数可得220bbab−=+,则221ab+=,进而结合选项得到结果即可.【详解】设(),zabiabR=+,所以22222221

1abiabzabiabiabizabiababab−+=++=++=++−++++,因为1zz+为实数,所以220bbab−=+,所以221ab+=,即1z=,结合选项可知C正确,故选:C【点睛】本题考查由复数的类型

求参数,考查运算能力.4.若非零向量a,b满足4ba=,()2aba−⊥,则a与b的夹角为（）A.6B.4C.3D.56【答案】C【解析】【分析】先由()2aba−⊥得出向量,ab的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角即可．【详解】设a与b的夹角

为,因为()2aba−⊥,所以()2220abaaab−=−=,所以22aab=.又4ba=,所以cos=222||124||abaaab==,所以a与b的夹角为3.故选：C．【点睛】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,

渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．属于基础题.5.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x=，lg20.3010=，则x的值

约为（）A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669【答案】A【解析】【分析】由522x=可得25lg5lg212lg2log2lg2lg2x−−===,进而将条件代入求解即可.【详解】522x=,25lg

5lg212lg2120.3010log1.3222lg2lg20.3010x−−−====,故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.6.在平面直角坐标系中，角3

+的终边经过点()1,2P，则cos=（）A.351510−B.521510+C.351510+D.521510−【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求出sin3+，cos3+，再利用三角函数变换coscos33

=+−展开求值.【详解】角3+的终边经过点()1,2P，则5OP=由题意知21sin,cos3355+=+=，则coscoscoscossinsin333333

=+−=+++11352152221055+=+=故选：B【点睛】本题考查三角函数的定义，考查余弦的差角公式的应用，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键是三角变换coscos33=+

−.属于基础题型，7.已知实数,xy满足10{1010kxykxy−+−−+，若2zxy=+的最大值为8，则k的值为（）A.32B.72C.1D.3【答案】B【解析】【分析】由821xyx=+=，解得(1,6)A，画出平面

区域，根据图及线性规划知识可推测直线10kxyk−+−=必过点(1,6)A，从而得出k的值.【详解】如图，由821xyx=+=，解得(1,6)A由图及线性规划知识可推测直线10kxyk−+−=必过点(1,6)

A，得72k=，经验证符合题目条件故选：B【点睛】本题主要考查了根据最值求参数，属于中档题.8.已知正四棱锥PABCD−的高为2，22AB=，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为1111DCBA，若底面ABCD与截面1111DCBA的顶点在

同一球面上，则该球的表面积为（）A.20B.203C.4D.43【答案】A【解析】【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面PAC是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O

，在两个直角三角形△OAM，△A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，22AB=，设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2，所以△PAC是等腰直

角三角形.因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1.∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO＝R.在直角三角形A1ON中，222111ONAAONR=−=−

，∴2111OMONR=−=−−.在直角三角形AOM中，OA2＝AM2+OM2，即2224(11)RR=+−−，解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R的两个直角三角形列方程是本题的关键.

属于中档题.9.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分

别记为,ab，则满足||2ab−的概率为（）A.825B.925C.1625D.1825【答案】C【解析】【分析】首先由题意抽象出阳数和阴数包含哪些数字，并通过列举的方法列举1ab−=的基本事件的个数，并求对立事件的概率.【详解】因为

阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数共有：5525=种情况．满足||1−=ab有(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10)，共9种情况，故满足||2ab−的情况有16种，

故根据古典概型得满足||2ab−的概率为1625．故选：C【点睛】本题考查数学文化，古典概型，属于基础题型，本题的关键读懂题意，并转化为典型的古典概型.10.设无穷等差数列na的各项都为正数，且其前n项和为nS，若20172017S=，则下列判断错误的是（）A.10091a=B.101

01aC.20162016SD.20192019S【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，可得1009a.由无穷等差数列na的各项都为正数，可得公差0d≥，逐项判断，即得答案.【详解】()120171009201710092017201

722017201722aaaSa+====，10091a=，故A正确.∵无穷等差数列na的各项都为正数，∴公差0d≥，10101a，故B正确.()()12016201610081009100920161008100821008220162aaSaaa+=

=+==，故C错误.()12019101020191010201920192201920191201922aaaSa+====，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，属于基础题.11.已知A，B是双曲线()22

2210,0xyabab−=实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为1k，2k，且120kk，若22124kk+恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A.5e

B.3eC.3eD.5e【答案】B【解析】【分析】设()(),,,MxyNxy−，根据题意得到12,yykkxaxa−==+−，由22124kk+恒成立，代入化简为()2222yxa−恒成立，再根据点M，N是双

曲线上关于x轴对称的两点，有22221xyba=−，代入上式化简求解即可.【详解】因为A，B是双曲线()222210,0xyabab−=实轴的两个端点，所以()(),0,,0AaBa−，设()(),,,MxyNxy−，所以

12,yykkxaxa−==+−，因为22124kk+恒成立，即224yyxaxa−++−恒成立，因为120kk，所以220xa−，所以()2222yxa−恒成立，又因为点M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，所以22221xyab

−=，即22221xyba=−，所以()2222212xbxaa−−，则222ba，即2222caa−，解得3e.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.函数()f

x和()gx都是定义在(,t−上的单调减函数，且()()ftgtM==，若对于任意kM，存在1x，()212xxx，使得()()12fxgxk==成立，则称()gx是()fx在(,t−上的

“被追逐函数”，若()2fxx=，则下列结论中正确的序号为（）①()21gxx=−−是()fx在(,1−−上的“被追逐函数；②若()gx和函数()21xhx=−关于y轴对称，则()gx是()fx在(,1−−上的“被追逐函数”；③

若()()lngxxm=−+是()fx在(,1−−上的“被追逐函数”，则1m=；④存在m1，使得()1gxmx=+是()fx在(,1−−上的“被追逐函数”.A.①③B.②③C.②④D.①④【答案】A【解析】【分析】先判断()

fx与()gx是否单调递减,并求得最小值,再根据若()gx是()fx在(,t−上的“被追逐函数”,()()12fxgxk==,则12,xx可用k表示,利用12xx,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④【详解】对于

①,()2fxx=和()21gxx=−−在(,1−−上单调递减,且()()111fg−=−=,若()21gxx=−−是()2fxx=在(,1−−上的“被追逐函数”,则对于任意1k,存在1x,()212xxx,使得()

()12fxgxk==成立,即21221xxk=−−=,所以1212xkkx=−+=−,此时12kk+,即()214kk+,构造函数()()()2114xhxxx+=−,则()1102x

hx+=−,则()hx在()1,+上单调递减,又()10h=,则()0hx恒成立,即()214xx+,故对任意1k,存在1x,()212xxx,使得()()12fxgxk==成立,故①正确；对于②,依题意()112xgx=−,则()2fxx=和()1

12xgx=−在(,1−−上单调递减,且()()111fg−=−=,若()112xgx=−是()2fxx=在(,1−−上的“被追逐函数”,则对于任意1k,存在1x,()212

xxx,使得()()12fxgxk==成立,即221112xxk=−=,所以()1212,log1,xkxk=−=+当100=k时,不存在1x,()212xxx,使得()()12fxgxk==成立,故②错误；对于③,若()()lngxxm=−+是()2fxx=在

(,1−−上的“被追逐函数”,此时必有()()111fg−=−=,解得1m=,当1m=时,()()ln1gxx=−+和()2fxx=在(,1−−上单调递减,若()()ln1gxx=−+是()2fxx=在(),1−−上的“被追逐函

数”,则对于任意1k,存在1x,()212xxx,使得()()12fxgxk==成立,即()212ln1xxk=−+=,所以112kxkxe−=−=−,即1kke−−−,则22kke−,构造

函数()22xhxxe−=−,则()22120xhxe−=−,则()hx在()1,+上单调递减,又()10h=,则()0hx恒成立,即22xxe−,故对任意1k,存在1x,()212xxx,使得()()12fxgxk==成立,故③

正确；对于④,当(,1x−−时,())11,gxmmmx=+−+,而当(,1x−−时,())21,fxx=+,由k的任意性,不存在m1,使得()1gxmx=+是()2fxx=在(,1−−上的

“被追逐函数”,故④错误,故选:A【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题“2,10xRmxx−+”是假命题，则实数m的取值范围是____

_____.【答案】14m【解析】【分析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围【详解】若命题“2,10xRmxx−+”是假命题，则“2,10xRmxx−+”为真命题，显然0m=时，不满足

题意，故只需满足0140mm=−，解得14m.故答案为：14m.【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在R上恒成立求参数的问题，属综合基础题.14.已知二项式12nxx−的展开式中第2项与第3项的项

式系数之比是2:5，则3x的系数为____________.【答案】240【解析】【分析】由已知条件得1225nnCC=，可求得n的值，然后写出二项展开式的通项，令x的指数为3，求得参数的值，代入通项后可得结果.【详解】由题意可得()12221152nnCnnnCn===−−

，解得6n=，所以，展开式通项为()()366621661221rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−，令3632r−=，解得2r=，因此，展开式中3x的系数为()2246211516240C−==.故答案为：240.【点睛】本题考查利用

二项式通项求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数比求参数，考查计算能力，属于中等题.15.在锐角ABC中，内角A、B、C的对边分别是,,abc，若()231abba+−=，1c=，则3ab−的取值范围是__

____.【答案】()1,3【解析】【分析】根据()231abba+−=，结合余弦定理可得6C=，再根据正弦定理将3ab−化简成关于A的三角函数表达式，再根据锐角ABC求得A的取值范围，结合三角函数的性质求解

值域即可.【详解】因为()231abba+−=，1c=，故2223cabab=+−.所以22233cos222abcabCabab+−===.又锐角ABC，故6C=.由正弦定理，12sinsinsinsin6abcAB

C====，所以()5323sinsin23sinsin6abABAA−=−=−−313123sinsincos2sincos2sin22226AAAAAA=−−=−=−.又锐角ABC，故02062

AA−−，解得32A，即663A−.故()32sin1,36abA−=−.故答案为：()1,3【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结

合角度的范围求解.属于中档题.16.已知函()ln1fxaxx=−−，3()27xgx=，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设()max{(),()}xfxgx=．若()3xx在(0,)+上恒成立，则实数a的取值范围为_____【答案】4[,)3

+【解析】【分析】分别讨论当03,3xx时，3()27xgx=与3xy=的关系，可将问题转化为()3xfx在(0,3)上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【详解】当(

0,3)x时，3()273xxgx=，当[3,)x+时，3()273xxgx=，所以()3xx在[3,)+必成立，问题转化为()3xfx在(0,3)恒成立，由ln13xaxx−−恒成立，可得ln113xax++在(0,3)

x恒成立，设ln11(),(0,3)3xhxxx+=+，则221(ln1)1ln()xxxxhxxx−+−==，当01x时，()0hx，当13x时，()0hx，所以()hx在(0

,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，max44()(1),33hxha==故a的取值范围是4[,)3+.故答案为：4[,)3+【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一

道有一定难度的压轴填空题.三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共

60分）17.甲乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过一道数列问题，因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列na的前n项和为nS，已知__________.（1）判断4S、3S、5S的关系；（

2）若316aa−=，设31nnnba−=，记nb的前n项和为nT，证明：5nT.甲同学记得缺少的条件是首项1a的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第一问的答案是4S、3S、5S成等差数列.如果甲乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把

条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件2q=−；（1）4S、3S、5S成等差数列；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可知，4S、3S、5S成等差数列，可得出3452SSS=+，根据题意得出关于q的等式，可求得q的值；（2）根据316aa−=可求得1a的值，利用等比数列的

通项公式可求得na，进而求得数列nb的通项公式，利用错位相减法求得nT，进而可证明出5nT.【详解】（1）根据题意可知，4S、3S、5S成等差数列，则3452SSS=+，即()()43530SSSS−+−=

，即5420aa+=，得4420aqa+=，40a，2q=−，因而补充的条件为2q=−；（2）23111136aaaqaa−=−==，12a=，()11122nnnaaq−−==−，2nna=，31312nnnnnba−−==，则123258

312222nnnT−=++++，231125343122222nnnnnT+−−=++++，上述两式相减得12311131113333131535421112222222212nnnnnnnnnT−+++−−−+=+++

+−=+−=−−，因此，35552nnnT+=−.【点睛】本题考查等比数列前n项和中基本量的计算，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18.如图1，在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，点E在线段BC上，2BEEC=.把BAE沿AE翻折至1BAE的位置，1B平面AEC

D，连结1BD，点F在线段1DB上，12DFFB=，如图2.（1）证明：//CF平面1BAE；（2）当三棱锥1BADE−的体积最大时，求二面角1BDEC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31919−.【解析】【分析】（1）依题意得，可得出3AD

=，1EC=，在线段1BA上取一点M，满足12AMMB=，可求出//FMAD，结合//ECAD得出//ECFM，从而可证出四边形FMEC为平行四边形，所以//CFEM，再利用线面平行的判定定理，即可证出//CF平面1BAE；（2）设1B到平面A

ECD的距离为h，三棱锥1BADE−的体积最大时，即h取到最大值，从而得出当平面1BAE⊥平面AECD时，1BAEDV−取得最大值，此时2h=，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面1BED和平面CDE的法向量，运用向量法求二

面角的公式，即可得出二面角1BDEC−−的余弦值.【详解】（1）依题意得，在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，2BEEC=，所以3AD=，1EC=.在线段1BA上取一点M，满足12AMMB=，又因为12DFFB=，所以11BMBF

MAFD=，故//FMAD，又因为//ECAD，所以//ECFM，因为113FMAD==，所以ECFM=，所以四边形FMEC为平行四边形，所以//CFEM，又因为CF平面1BAE，EM平面1BAE，所以//CF平面1BAE.（2）设1B到平面AE

CD的距离为h，113BAEDAEDVSh−=，又3AEDS=，所以1BAEDVh−=，故要使三棱锥1BAED−的体积取到最大值，仅需h取到最大值.取AE的中点O，连结1BO，依题意得1BOAE⊥，则12hB

O=，因为平面1BAE平面AECDAE=，1BOAE⊥，1BO平面1BAE，故当平面1BAE⊥平面AECD时，1BO⊥平面AECD，1hBO=.即当且仅当平面1BAE⊥平面AECD时，1BAEDV−取

得最大值，此时2h=.如图，以D为坐标原点，DA，DC的方向分别为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz−，得(0,0,0)D，(1,2,0)E，1(2,1,2)B，1(2,1,2)DB=，(1,2,0)DE=，设(,,)n

xyz=是平面1BED的一个法向量，则10,0,nDBnDE==得220,20,xyzxy++=+=令1y=，解得32,1,2n=−，又因为平面CDE的一个法向量为(0,0,1)m=，所以33

192cos19||||9412mnmnmn===++，因为1BDEC−−为钝角，所以其余弦值等于31919−【点睛】本题考查线面平行的判定和面面垂直的性质以及空间向量法求二面角，还涉及棱锥的体积、向量数量积运算、正方形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计

算能力，属于中档题．19.已知函数()()lnfxaxxaaR=−−.（1）求函数()fx的极值；（2）是否存在实数a，使方程()0fx=有两个不同的实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0a时，(

)fx无极值；当0a时，()fx有极小值1lnaa−+，无极大值；（2）存在，()()0,11,+.【解析】【分析】(1)对函数求导()fx,根据a的不同取值范围,进行分类讨论得出函数的单调区间,求出函数()

fx的极值；(2)根据(1)中函数的单调性,进行分类讨论,结合()0fx=函数的极值的大小、,最后求出a的取值范围.【详解】解：（1）由题意知()fx的定义域为()0,+，()11axfxaxx−=−=.①当0a时，()0

fx，所以函数()fx在()0,+上单调递减，此时函数()fx无极值②当0a时，令()0fx=，得1xa=.当10xa时，()0fx，所以函数()fx在10,a上单调递减；当1xa时，()0fx，所以函数()fx在1,a+上单

调递增.此时，函数()fx有极小值，为11lnfaaa=−+，无极大值.综上，当0a时，函数()fx无极值；当0a时，函数()fx有极小值11lnfaaa=−+，无极大值.（2）假设存在实数a，使得方程()0fx=有两个不同的实数根，即函数()fx有两个不

同的零点.①当0a时，由（1）知函数()fx在()0,+上单调递减，所以方程()0fx=不存在两个不同的实数根.②当01a时，11a.因为()10f=，所以由（1）知()110ffa=.2112lnfaaaa=+−，令()()12ln0

1gaaaaa=+−，则()()22211210agaaaa−=−+−=−，所以()ga在()0,1上单调递减，所以()12ln1101ga+−=，所以2112ln0faaaa=+−.此时，函数()fx在211,aa上也有一个零点，所

以，当01a时，函数()fx有两个不同的零点.③当1a=时，11a=，()()10fxf=，此时函数()fx仅有一个零点.④当1a时，101a，因为()10f=，所以由（1）知()110ffa=.

令函数()ahaea=−，则()1ahae=−，当0a时，()0ha，()ha单调递增，所以当0a时，()()010hah=，所以0aea，则11aea.又10aafaee−=，所以函数()fx在11,aea上也有一个零点，

所以，当1a时，函数()fx有两个不同的零点综上所述，当()()0,11,a+时，函数()fx有两个不同的零点，即方程()0fx=有两个不同的实数根【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.属于难题.20.冰城哈尔滨是一座历史悠久、风景秀丽的城市，其著名的景点

有索非亚教堂、中央大街、松花江等.（1）为了解端午节当天松花江旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄20岁到50岁的游客中随机抽取1000人，制成了如上的频率分布直方图.现从年龄在40,50内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，在

从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在40,45内的人数为，求()2P=.（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年端午节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的

数据资料显示每年端午节当日客流量X（单位：万人）都大于1，将每年端午节当日客流量数据分成3个区间整理得下表：端午节当日客流量X13X35X5X频数（年）442以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且

每年端午节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A型客船尽可能被充分利用，但每年端午节当日A型客船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：端午节当日客流量X13X

35X5XA型游船最多使用量123若某艘A型游船在端午节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获利润4万元；若当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y（单位：万元）表示该游船中心在端午节当日获得的总利润，Y的数学

期望越大游船中心在端午节当日获得的总利润就越大，问该游船中心在2020年端午节当日应投入多少艘A型游船才能使当日获得的总利润最大.【答案】（1）37；（2）3艘.【解析】【分析】（1）先利用分层抽样计算出落在区间

40,45和45,50的人数，再利用组合数计算()2P=的值；（2）根据题目条件，分别计算投入1艘、2艘、3艘时利润的值及其分布列，计算期望并比较大小.【详解】（1）由分层抽样得抽取10人中40,45有6人，45,504人()2264410327CCPC===.

（2）若投入1艘，利润为4万元若投入2艘，利润为2Y，分布列为2Y3.58P0.40.6()26.2EY=若投入3艘，利润为3Y，分布列为3Y37.512P0.40.40.2()36.6EY=∴.投入3艘利润最大.【点睛】本题考查分层抽样

、几何分布概率计算方法、离散型随机变量的分布列及数学期望，考查分析与思考问题的能力，属于中档题.一般地，方案选择性问题难点在于计算各种情况下随机变量的所有取值及对应的概率.21.已知O为坐标原点，椭圆E的焦点分别为()10,2F、()20,2F−，过1F的直线1l与E交于M、N两点，且11

2NFFM=，2MNMF=.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过2F且斜率为k的直线2l与椭圆E交于P、Q两点，OGOPOQ=+，延长PO交椭圆于点H，求四边形PHQG面积的取值范围.【答案】（1）221128yx+=；（2）(0,83.【解析】【分析】（1）

设椭圆E的方程为()222210yxabab+=，推导出12NFNF=，可得知点N为椭圆短轴的端点，不妨设点(),0Nb−，根据112NFFM=得出112NFFM=，求出点M的坐标，代入椭圆E的方程可求得a的值，进而可求得b的值，即可

得出椭圆E的标准方程；（2）设点()11,Pxy、()22,Qxy，可知直线2l的方程为2ykx=−，将直线2l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出OPQ△面积关于k的表达式，求出OPQ△面积的取值范围，根据题意可知3OPQPHQGSS=△四边形，进而可得出四

边形PHQG面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆E的方程为()222210yxabab+=，设()10MFtt=，则12NFt=，23MFMNt==，由椭圆定义可得1212NFNFMFMF+=+，可得22NFt=，所以，

12NFNF=，则点N为椭圆短轴的端点，不妨设点(),0Nb−，设点(),Mxy，由112NFFM=可得112NFFM=，即()(),22,2bxy=−，解得23bxy==，即点,32bM，将点M的坐标代入椭圆E的方程得2213

14a+=，解得23a=，()2223222b=−=，因此，椭圆E的标准方程为221128yx+=；（2）设点()11,Pxy、()22,Qxy，可知直线2l的方程为2ykx=−，联立2221128ykxyx=−+=，消去y并整理得

()22238160kxkx+−−=，()219210k=+，由韦达定理得122823kxxk+=+，1221623xxk=−+，所以，OPQ△的面积为()22121212142OPQSOFxxxxxx=−=+−△222228168314232323kkkkkk+

=−−=+++，令211pk=+，则221kp=−，令()()2838312132OPQpfpSppp===−++△，由对勾函数的单调性可知，函数12ypp=+在区间)1,+上单调递增，则123pp+，所以，当1p时，()83830,132OPQf

pSpp==+△.OPOQOG+=，所以，四边形OPGQ为平行四边形，则2OPGQOPQSS=△，易知点P、H关于原点对称，则OQHOPQSS=△△，因此，(30,83OPQPHQGSS=△四边形.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，

同时也考查了椭圆中四边形面积取值范围的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，属于中等题.（二）选考题：（共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）22.在直角坐标系

xOy中，曲线1C的参数方程为4cos44sinxy==+(为参数)，P是1C上的动点，M是OP的中点，M点的轨迹为曲线2C.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求12,CC的极坐标方程；（2）射线3=与1C的异于极点

的交点为A，与2C的异于极点的交点为,B求AB.【答案】（1）1C：8sin=，2C：4sin=；（2）23【解析】【分析】（1）消参可得()22416xy+−=，将cos,sinxy==代入，即可得出1C的极坐标方程；利用相关点法

求出点P的轨迹方程，再利用普通方程与极坐标的互化即可求解.（2）将3=代入12,CC的极坐标方程，求出点A与点B的极径，作差即可求解.【详解】解:（1）消参可得()22416xy+−=，将cos,sinxy==代入，可得1C的极坐标方程为8sin

=，设(),Mxy，由条件知()2,2Pxy，点P在1C上，所以24244xcosaysina==+(a为参数)，所以2C的参数方程为2,22xcosaysina==+(a为参数)，2C的极坐标方程为4sin=()2射线3=与1C的交点A的极

径为183sin=射线3=与2C的交点B的极径为243sin=，所以，1223AB=−=【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程互化、普通方程与极坐标方程的互化、极坐标法求两点间的距离，属于基础题.23.已知函数()2fxxtxt=++−，tR.（1）若1

t=，求不等式()29fxx−的解集；（2）已知1ab+=，若对任意xR，都存在0a，0b使得()24abfxab+=，求实数t的取值范围.【答案】（1）2,111−−；（2）5,35,3−−+.【解析】【分析】（1）将1t=代入(

)fx中，然后根据2()9fxx−„，利用零点分段法解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出()fx的最小值，利用基本不等式求出24abab+的范围，再结合条件得到关于t的不等式，进一步求出t的取值范围．【详解】解：（1）若1t=，则()()()()2121

2312121xxfxxxxxx−=++−=−−−，当2x时，2219xx−−，∴2111x−，当12x−时，239x−，∴12x−，当1x−时，2129xx−−，∴21x−−，则综上的，不等式的解集为2,111−−.（2）∵()()()2

3fxxtxtt+−−=，∴()min3fxt=，又()24abfxab+=，1ab+=，则4144125aaababbababa++=++=，当且仅当2ab=，即13a=，23b=时，等号成立，所以)245,

abab++，根据题意，53t，∴t的取值范围是5,35,3−−+【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．