【文档说明】河北省石家庄市藁城区第一中学2021届高三上学期第一次月考数学试题 【精准解析】.doc，共(20)页，2.238 MB，由管理员店铺上传

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-1-2020-2021学年藁城一中高三年级第一学期月考一数学试卷一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{31}Axx=−∣„，集合22Bxyx==−∣，则AB=

（）A.[2,1]−B.(2,1]−C.[3,2)−D.(3,2]−【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再利用集合的并集运算求解即可.【详解】由22Bxyx==−∣，得22Bxx=−∣，又{31}Axx=−∣„，则(3,2AB=−；故选：D.2.i是虚数单

位，若复数21zi=−，则z的虚部为（）A.1−B.0C.i−D.1【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解．【详解】解：i是虚数单位，复数22(1)2(1)11(1)(1)2iiziiii++====−−−−+−，z的虚部为1

−．故选：A．【点睛】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.已知P为圆()2211xy++=上任一点，A，B为直线l：3470xy+−=上的两个动点，且3AB=，则PAB面积的最大值为（）-2-

A.9B.92C.3D.32【答案】B【解析】【分析】计算出圆上点到直线的最远距离为3，利用面积公式即可得解.【详解】由题意知圆()2211xy++=的圆心为()1,0−，半径为1，则圆心到直线的距离为2237372534−−−

−==+，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PABS的最大值为193322=．故选：B.【点睛】本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.4.已知()cos2co

s2−=+，且()1tan3+=，则tan的值为（）A.-7B.7C.1D.-1【答案】B【解析】【分析】由了诱导公式得sin2cos=−，由同角三角函数的关系可得tan2=-，再由两角和

的正切公式()tan+=tantan1tantan+−，将tan2=-代入运算即可.【详解】解：因为()cos2cos2−=+，所以sin2cos=−，即tan2=-，又()1tan3

+=，则tantan11tantan3+=−，解得tan=7，故选B.-3-【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.5.已知等差数列na满足5127aa−=，35a=，则数列

11nnaa+的前10项的和为（）A.2223B.1123C.2021D.1021【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到21nan=−，从而得到1111122121nnaann+=−−+，再利用裂项法求前10项的和即可.【详解】因为511113124271252

aaadaaaadd−=+−===+==，所以21nan=−.所以()()111111212122121nnaannnn+==−−+−+，数列11nnaa+的前10项的和等于11111111101+12

335192122121−−++−=−=.故选：D【点睛】本题主要考查裂项法求和，同时考查等差数列的通项公式，属于简单题.6.已知偶函数()fx在[0,)+上为减函数，若31(log)10af=，13(log4)

bf=，()0.53cf−=，则,,abc的大小关系为（）A.cbaB.bacC.abcD.cab【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】因为()fx是偶函数，所以有：-4-()()()133331(log)log10log10l

og1010affff−===−=，1333(log4)(log4)(log4)bfff==−=，又因为0.533log10log4130−，()fx在[0,)+上为减函数，所以0.533(log10)(log4)(3)f

ff−，即abc，故选：C.7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长()PO为3，柱体

与椎体部分高之比2:1，底周长为2，则陀螺的表面积为（）A.242+B.6C.252+D.(52)+【答案】D【解析】【分析】先利用已知条件得到底面半径，圆柱母线长以及圆锥的高，进而得到圆锥的母线长，再利用圆

柱和圆锥的表面积公式求解即可.【详解】由底周长为2，可得底面半径1r=，又现知尖底长()PO为3，柱体与椎体部分高之比2:1，得圆柱的高即母线长为2，圆锥的高为1，-5-圆锥的母线长为22112+=，则陀螺的表面积为：()212121252++

=+；故选：D.8.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD﹣中，点E、F分别为AB、11AB的中点，则三棱锥FECD﹣的外接球体积为（）A.414B.43C.414164D.414148【答案】D【解析】【分析】三棱锥FECD−的外接球即为三棱柱11FCDECD−的

外接球，三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，利用勾股定理解得半径得到答案.【详解】如图所示：在正方体1111ABCDABCD−中，连接11,FCFD，三棱锥FECD−的外接球即为三棱柱11FCDECD−的外接球，在ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以EC

D的外心在EH上，设为点M，同理可得11FCD△的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，2222EMCMCHMH==+，又2,1MHEMCH−＝＝，可得54EMCM==，所以2222514OCMOCM=+=+，解得414OC=，-

6-所以344141413448V==.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.9.已知点F为椭圆()2222:10xyCabab+=的左焦点，

直线()0ykxk=与C相交于M、N两点（其中M在第一象限），若2MNc=，2FMFN=，则椭圆C的离心率是（）A.56B.55C.54D.53【答案】D【解析】【分析】由MNFF=推出四边形MFNF为矩形，设FNt=，则()20FMtt=，由椭圆的定义及勾股定理列出等式将a、c

用t表示，代入离心率公式即可得解.【详解】如图，设椭圆右焦点为F，由2MNc=，可知MNFF=，则四边形MFNF为矩形，且FNMF=，因为2FMFN=，设FNt=，则()20FMtt=．-7-因为2MFMF

a+=，2224MFMFc+=，即2222244ttattc+=+=，解得32ta=，52tc=，所以椭圆C的离心率为5533tt=．故选：D【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质、矩形的性质，属于中档题.二、多项选择

题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）10.等差数列na的前n项和为nS，1385aaS+=，则下列结论一定正确的是（）A.100a=B.当9n=或10时，nS取最

大值C.911aaD.613SS=【答案】AD【解析】【分析】由1385aaS+=求出100a=，即19ad=−，由此表示出9a、11a、6S、13S，可判断C、D两选项；当0d时，10a，nS有最小值，故B错误.【详解】解：1385aaS+=，1111108751

08,90,02daadaada++=++==，故正确A.由190ad+=，当0d时，10a，nS有最小值，故B错误.-8-9101110,aaddaadd=−==+=，所以911aa=，故C错误.61656+5415392dSaddd==−+=−，131131213+1177

8392dSaddd==−+=−，故D正确.故选：AD【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数()1,0xfxx=为有理数，为无

理数成为狄利克雷函数，则关于()fx，下列说法正确的是（）A.()(),1xRffx=B.函数()fx是偶函数C.任意一个非零有理数T，()()fxTfx+=对任意xR恒成立D.存在三个点112233(,()),(,()),(,())AxfxBxfxCx

fx，使得ABC为等边三角形【答案】ABCD【解析】【分析】依次判断每个选项：()0,1fx，故()()1ffx=；判断()()fxfx−=，为偶函数；判断()()fxTfx+=；取()33,0,0,1,,033ABC−

为等边三角形，得到答案.【详解】()()(),0,11xRfxffx=，A正确；()()1,1,0,0,xxfxfxxx−−===−为有理数为有理数为无理数为无理数，偶函数，B正确；()(

)1,1,00xTxfxTfxxTx++===+为有理数为有理数，为无理数，为无理数，C正确；易知()33,0,0,1,,033ABC−三点构成等边三角形，D正确；故选：ABCD【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的

应用能力.-9-12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1BC上的动点，下列说法正确的是（）A.对任意点P，//DP平面11ABDB.三棱锥11PADD−的体积为16C.线段DP长度的最小值为62

D.存在点P，使得DP与平面11ADDA所成角的大小为π3【答案】ABC【解析】【分析】对四个选项逐一分析，对于A：平面1//CDB平面11ABD，可得//DP平面11ABD；对于B：三棱锥11PADD−的高均为

1，底面11ADD的面积为12，根据锥体体积公式计算即可作出判断；对于C：当点P为1BC的中点时，DP最小，此时1DPBC^，在RtBPD△中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；对于D：设点P在平面11ADDA上

的投影为点Q，PDQ为DP与平面11ADDA所成的角，sinPQPDQPD=，1PQ=，而622PD，所以DP与平面11ADDA所成角的正弦值的取值范围是26,23，而36sin323=，从而作出判断.【详解】由题可知，正方体的

面对角线长度为2，-10-对于A：分别连接1CD、BD、11BD、1AB、1AD，易得平面1//CDB平面11ABD，DP平面1CDB，故对任意点P，//DP平面11ABD，故正确；对于B：分别连接PA、1PD，无论点P在哪个位置，三棱锥11PADD−的高均为1，底面11ADD的面积为12，

所以三棱锥11PADD−的体积为1111326=，故正确；对于C：线段DP在1CBD中，当点P为1BC的中点时，DP最小，此时1DPBC^，在RtBPD△中，()222226222DPBDPB=−=−=，故DP的最小值为62，故正确；对

于D：点P在平面11ADDA上的投影在线段1AD上，设点P的投影为点Q，则PDQ为DP与平面11ADDA所成的角，sinPQPDQPD=，1PQ=，而622PD，所以DP与平面11ADDA所成角的正弦值的取值范围是26,23

，而36sin323=，所以不存在点P，使得DP与平面11ADDA所成角的大小为π3，故错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分

，共20分.）-11-13.设函数()()322fxxaxax=+++．若()fx的图像关于原点()0,0对称，则曲线()yfx=在点()1,3处的切线方程为______．【答案】520xy−−=【解析】【分析】由()fx的图像关于原点()0,0

对称可得0a=，由导数的几何意义可知切线的斜率为()15f=，求得()13f=后利用点斜式即可得解.【详解】由题知()fx为奇函数，可得()()11ff=−−即233a+=，则0a=，()32fxxx=+，()232=+f

xx，()1325f=+=，()13f=，切线方程为()351yx−=−即520xy−−=．故答案为：520xy−−=.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.14.已知a、b满足：3a=，2b=，4ab+=，则ab−=_________.【答案】10【解

析】【分析】将4ab+=两边平方展开可得ab的值，再计算2ab−rr的值，进而可得ab−rr的值.【详解】222216ababab+=++=，因为3a=，2b=，所以32ab=，所以22232942102ababa

b+−=+−=−=，可得10ab−=，-12-故答案为：10.15.已知1,0ab，且24ab+=，则ab的最大值为_____；121ab+−的最小值为_____．【答案】(1).2(2).3【解析】【分析】利用基本不等式可得出22ab，进而可求出求ab的最大值；利用1的代换将所求式子转

化为()21112141123ababab−+=+++−−，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】由4222abab=+，可得22ab，即2ab，当且仅当2ab=，即21ab==时等号成立

；由24ab+=，可得123ab−+=，()1111221213ababab+=+−+−−()()21211212145233113aabbabab−−=++++=−−，当且仅当()2121abab−=−，即21ab

==时等号成立.故答案为：2；3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3

）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.P椭圆22143xy+=上一点，(1,0),(1,1)AB，求||||PAPB+的最大值为_________．【答

案】45+【解析】-13-【分析】利用椭圆的定义以及三角形的三边关系即可求解.【详解】由224,3ab==，则椭圆的左焦点()1,0F−，||||2||PAPBaPFPB+=−+4||445PBPFBF=+−+=+，所以||||45PAP

B++.故答案为：45+四、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知ABC中，三个内角,,ABC所对的边分别是,,abc．（1）证明coscosaBbAc+=；（2）在①2cos

coscbaBA−=，②cos2coscoscAbAaC=−，③cosccos2coscosbCBaAA−=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若7,5ab==，________，求ABC的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）选①②③，周长都是20.【解析

】【分析】（1）利用余弦定理即可直接证明；（2）先根据条件结合（1）中结论可先求得3A=，再由余弦定理可求出c，即可得出周长.【详解】（1）证明：由余弦定理可得：222222coscos22acbbcaaBbAabacbc+−+−+=+=222222

2acbbcacc+−++−=，即coscosaBbAc+=（2）第一步：求A．选①：2,2coscoscoscoscoscbacAbAaBBA−==+，-14-∴由（1）中所证结论可得：2coscAc=，可得1cos,(0,),23AAA==．选②：cos2co

scos,2coscoscoscAbAaCbAaCcA=−=+，由（1）中的证明同理可得：coscos,2cosaCcAbbAb+==，可得1cos2A=，(0,),3AA=．选③：cosccos2,2coscosc

oscososbCBaaAbCcBAA−==+，由（1）中的证明过程同理可得coscosbCcBa+=，2cosaAa=，可得1cos,(0,),23AAA==．第二步：求c在ABC中，由余弦定理可得：222212cos2

510492abcbcAcc=+−=+−=，即25240cc−−=，解得8c=，或3c=−（舍去），所以75820abc++=++=，即ABC的周长为20．【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是利用余弦定理化角为边，根据所给条件结合所

证结论化简.18.已知数列na满足()11*1,3(1)nnanananN+==+．（1）证明数列nan为等比数列并求na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析，13nnan−=；（2）(21)314nnnS−

+=.【解析】【分析】（1）由递推关系式可得数列nan是等比数列，进而可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法进行求和可得nS．-15-【详解】（1）证明：因为数列na满足()111,3(1)nnanananN+==+．所以131nnaann+=+，设nnabn

=，所以13nnbb+=，由于11a=，所以11b=，故数列nan是首项为1、公比为3的等比数列．所以13nnnanb−==，则13nnan−=．（2）由于13nnan−=，所以0122113233

3(1)33nnnSnn−−=++++−+①12313132333(1)33nnnSnn−=++++−+②，①-②得：121213333nnnSn−−=+++−．故331(21)312444nnnnnnS−

+=−+=．【点睛】方法点睛：数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法.19.已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440xy−−=截得的弦长为23.（1）求圆C的方程；（2）过点(1,3)

作圆C的切线，求切线方程.【答案】（1）()2234xy−+=；（2）1x=或512410xy+−=【解析】【分析】（1）设圆心坐标，表示出圆心到直线距离，根据弦长公式，列方程求解；-16-（2）分类讨论当斜率不存在和斜率存在两

种情况结合圆心到直线距离等于半径，分别求切线方程.【详解】解：（1）设圆心()(),00Caa，则圆心C到直线3440xy−−=的距离345ad−=.因为圆被直线3440xy−−=截得的弦长为232231d

R=−=.解得3a=或13a=−（舍），圆()22:34.Cxy−+=.（2）当切线斜率不存在时，直线方程为：1x=，与圆相切，满足题意；当切线斜率存在时，设直线方程为：3(1)ykx−=−，即：30kxyk−−+=则：2|33|21kkk−+=+解

得：512k=−此时，切线方程为：53(1)12yx−=−−，即：512410xy+−=所以，所求切线方程为：1x=或512410xy+−=【点睛】此题考查根据圆的几何特征，根据弦长关系求解圆的方程，过圆外一点

圆的切线方程，易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况.20.如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE.（1）求证：平面ABE⊥平面DCE；（2

）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.-17-【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）证明CE⊥平面ABE，平面ABE⊥平面DCE即得证；（2）以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标

系，设1AB=，利用向量法求直线FA与平面ADE所成角的正弦值得解.【详解】（1）证明：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，,AEABAEB=45=，同理45DEC=.所以90CEBBECE=

⊥，又平面ABE⊥平面BCE，平面ABE平面BCEBE=，所以CE⊥平面ABE，又CE平面DCE，所以平面ABE⊥平面DCE.（2）如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为x轴，y轴建立空

间直角坐标系，设1AB=，则()()()2222220,0,0,2,0,0,0,2,0,,0,,0,,0222222EBCADF，，，.向量2222,0,,0,,2222EAED==，设平面ADE的法向量为(),

,nxyz=由00nEAnED==，得00xzyz+=+=，令1z=，得平面ADE的一个法向量为()1,1,1n=−−，-18-又220,,22FA=−，设直线FA与平面ADE所成角为，则||26sin31|||3|FAFAnn===所

以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为63.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知椭圆，C：22221xyab+=(0ab)的右顶点为(

)2,0M，离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）点Q为左顶点，过点()1,0N的直线l交椭圆C于A､B两点，当QAQB取得最大值时，求直线l的方程.【答案】（1）22142xy+=；（2）1x=.【解析】【

分析】（1）由已知条件求椭圆参数2a、2b，写出椭圆方程即可.（2）当直线l与x轴重合有0QAQB=；当直线l与x轴不重合，设直线l为1xty=+，联立椭圆方程有()222230tyty++−=，应用韦

达定理得到12yy+，12yy，进而结合向量的坐标表示有()()21212913tyytyQAQBy+=+++，进而求最值并写出直线l的方程.【详解】解：（1）由题意可得：2a=，22ca=，得2c=，则2222bac=−=

，∴椭圆C：22142xy+=；（2）由（1）知：()2,0Q−，当直线l与x轴重合时，不妨取()2,0A−，()2,0B，此时0QAQB=；-19-当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为1xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立221142xtyxy=++=得(

)222230tyty++−=，显然0，12222tyyt−+=+，12232yyt−=+；∴()()121222QAQBxxyy=+++()()121233tytyyy=+++()()21212139tyytyy=++++()22223

16922tttt+=−+++229392tt−−=++2152t=+，当0t=时，QAQB取最大值152，此时直线l方程为1x=.【点睛】关键点点睛：（1）根据顶点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.（2）讨论直线l与x轴是否重合，联立方程应用韦达

定理得到12yy+、12yy，结合向量的坐标表示有QAQB关于未知参数的函数，求函数的最值并写出直线方程.22.函数()()ln1fxxaxaR=−+．（1）试讨论函数()fx的单调性；（2）若3a=，证明：()()1fxefx−(e为自然对数的底数)．【答案】（1）答案见解析．（2）

答案见解析【解析】【分析】（1）求导得()afxxx−=，根据0a、0a分类讨论，求出()0fx与()0fx的解集即可得解；（2）令3lnxxt−=，求导得)33ln3,t−+，令()1thtet=−−，求导得()ht在0t=时取得

极小值，即为最小值，可得()()00hth=，即可得证.【详解】（1）()fx的定义域为()0,+，()1axafxxx−=−=，①当0a时，()0fx，()fx在()0,+单调递增．②当0a时，()0,xa时，()0fx

，()fx单调递减，-20-当(),xa+时，()0fx，()fx单调递增．综上，当0a时()fx在()0,+单调递增；当0a时，()0,xa时，()fx单调递减，当(),xa+时，()fx单调递增．（2）3a=，()()()()1

10fxfxefxefx−−−，即()3ln3ln10xxexx−−−−，设3lnxxt−=，则()3310xxxtx−−==，当03x时，0t，当3x=时，0t=，当3x时，0t，所以t在3x=时取得极小值

，即为最小值33ln3−，所以)33ln3,t−+.令()1thtet=−−，)33ln3,t−+，则()1thte=−，当()33ln3,0t−时，()0ht，当0t=时，()0ht=，当()0,t+时，()0ht，所以()ht在0t=时取得极小值，即为

最小值．所以()()00hth=即1tet+，所以()()1fxefx−恒成立．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.