【文档说明】（山东新高考）2020年高三最新信息卷数学（八）含答案【高考】.docx，共(9)页，948.736 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前（新高考）2020年高三最新信息卷数学（八）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

标号。写在试卷上无效。3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合2{|log1}Axx=，2{|1}B

xyx==−，则()AB=Rð（）A．{|02}xxB．{|01}xxC．{|11}xx−D．{|12}xx−2．若复数4iz=−，则zz=（）A．15B．16C．17D．183．下列说法正确的是（）A．向量(1,1)=−a

，(,3)=b，若⊥ab，则3=B．向量(1,1)=a，(1,3)=−b，(1,1)=−c，若()−∥abc，则1=C．向量(3,4)=a，(2,1)=b，则|2|10−=abD．向量(3,4)=a，(0,1)b=

，则a在b方向上的投影为54．在ABC△中，BDDC=，APPD=，且BPABAC=+，则+=（）A．1B．12C．12−D．12−5．设1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两个焦点，P是C上一点，若12||||6PFPFa

+=，且12PFF△的最小内角为30，则C的离心率为（）A．6B．6C．3D．36．在ABC△中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且ABC△的面积25cosSC=，且1a=，25b=，则边c的值为

（）A．15B．17C．19D．217．24(12)(1)xxx−++的展开式中含3x的项的系数为（）A．8−B．6−C．8D．68．若正三棱柱的所有棱长都为3，则其外接球的表面积为（）A．21πB．

12πC．9πD．27π4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．2019年以来，世界经济和贸

易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成

效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A．这五年，2015年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快10．若正三棱柱ABCABC−的所

有棱长都为3，外接球的球心为O，则下列四个结论正确的是（）A．其外接球的表面积为21πB．直线AB与直线BC所成角为π3C．AOBC⊥D．三棱锥OABC−的体积为938此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号

11．已知函数2π()cos()(0)3fxx=−，1x，2x，3[0,π]x，且[0,π]x⊥都有12()()()fxfxfx，满足2()0fx=的实数3x有且只有3个，给出下列四个结论正确的是（）A．满足题目条件的实数1x，有且只有

1个B．满足题目条件的实数2x，有且只有1个C．()fx在π(0,)10上单调递增D．的取值范围是1319[,)6612．已知P是双曲线2212516xy−=右支上一点，1F是双曲线的左焦点，O为原点，若1||8OPOF+=，则

下列结论正确的是（）A．双曲线的离心率为53B．双曲线的渐近线为45yx=C．12PFF△的面积为36D．点P到该双曲线左焦点的距离是18第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式521()xx+的展开式中常数项为________．所有项的系数和为

________．14．若tan()1−=，tan3=，则tan2=________．15．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），

圆锥底面直径为102cm，高为10cm，打印所用原料密度为30.9g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．（π取3.14）16．设1F，2F为椭圆22:13xCy+=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若12MFF△为直角

三角形，则M的坐标为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC△的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，且13πsincos,(0,)2222CCC++

=，cossin2aBbA+=．（1）求ABC△的外接圆的面积S；（2）求ab+的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥SABCD−中，SA⊥底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，且1SA=，点M时SD的中点．

（1）求证：SCAM⊥；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小．19．（12分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满足程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一

个容量为120的样本，发现所有数据均在[40,100]内，现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，回答下列问题．（1）算出第三组[60,70)的频数，并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数

（每组数据以区间的中点值为代表）．20．（12分）设向量11(,)xy=a，22(,)xy=b，定义一种向量积1212(,)xxyy=ab．已知(2,2)=m，π(,0)3=n，点P在sinyx=的图象上运

动，Q是函数()yfx=图象上的点，且OQOP=+mn（O为坐标原点）．（1）求函数()yfx=的解析式；（2）求函数()yfx=−在[0,π]x上的单调递减区间．21．（12分）已知曲线2:2xCy=的焦点是F，A，B是曲线C上不同两点，且存在实数使得A

FFB=，曲线C在点A，B处的两条切线相交于点D．（1）求点D的轨迹方程；（2）点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一交点恰好是AB的中点，当2=时，求四边形ADBE的面积．22．（12分）已知数()(1)xfxeaxb=−−−，其中a，bR为自然对数底数．（1）讨论函数(

)fx的单调性；（2）若0a，函数()0fx对任意的xR都成立，求ab+的最大值．绝密★启用前（新高考）2020年高三最新信息卷数学（八）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由2log1x，得02x，由210x−，得21x，再得1x−或1x，所以(){|01}ABxx=Rð．2．【答案】C

【解析】(4i)(4i)16(1)17zz=−+=−−=．3．【答案】B【解析】若⊥ab，则0=ab，得A错误；(1,13)−=+−ab，若()−∥abc，则1130++−=，1=，B正确

；2(1,2)−=−ab，|2|5−=ab，可判断C错误；a在b方向上的投影为44||1==abb，D错误，故选B．4．【答案】C【解析】11111131()22242444BPBABDBABCABACABABAC=+=+=−+−=−+，∴311442+=−+=−

．5．【答案】D【解析】不妨设12||||PFPF，则12||||2PFPFa−=，又12||||6PFPFa+=，解得1||4PFa=，2||2PFa=，则1PFF是12PFF△的最小内角为30，所以22222112112||||||2||||cos30PFPFFFPFFF=

+−，所以2223(2)(4)(2)2422aacac=+−，化简得22330ee−+=，解得3e=．6．【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积1sin25cos2SabCC==，所以tan2C=，所以

5cos5C=，由余弦定理得2222cos17cababC=+−=，所以17c=．7．【答案】D【解析】展开合并同类项后，含3x的项是332221134441C()C2C6xxxxxx+−+=．8．【答案】A【解析】球心O到

下底面的距离32OO=，233332AO==，所以其外接球的22214RAOOO=+=，所以其外接球的表面积为24π21πR=．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解析】对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确；对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额

稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误

；对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确．10．【答案】ACD【解析】球心O到下底面的距离32OO=，233332AO==，所以其外接球的22214RAOOO=+=，所以其外接球的表

面积为24π21πR=，A正确；直线AB与直线BC所成角即直线AB与直线BC所成角，在ABC△中，222(33)3(33)3cos62333+−==，故B错误；OO⊥面ABC，得OOBC⊥，O为ABC△的

重心，则AOBC⊥，故BC⊥面AOO，即BCAO⊥，故AOBC⊥，C正确；根据体积公式可得1313393(3)32228OABCV−==，D正确．11．【答案】ACD【解析】0，2π2π2π[0

,π][,π]333xx−−−，设2π3xt−=进行替换，作cosyt=的图象，在[0,π]上满足3()0fx=的实数3x有且只有3个，即函数cosyt=在2π2π[,π]33−−上有且只有3个零点，由图象可

知3π2π5π232x−，131966，结论D正确；由图象知cosyt=在2π2π[,π]33−−上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论A正确，结论B错误；π(0,)10x时，2π2ππ2π(,

)33103x−−−，由131966知π2π7π010320−−，所以cosyt=在2π2π(,)3103x−−上递增，则()fx在π(0,)10上单调递增，结论C正确，综上，正确的是ACD．12．【答案】BD【解析】由已知得5a=，4b=，2241cab=+=

，415cea==，双曲线的渐近线为45yx=，取线段1PF的中点M，则12|||2|8OPOFOMPF+===，所以12210PFPFa−==，得118PF=，故12PFF△的面积为26241+．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】5，32【解析】展开式的通项为55

52215521C()()CrrrrrrTxxx−−+==，令55022r−=，解得1r=，所以展开式中的常数项为125C5T==，令1x=，得到所有项的系数和为5232=，得到结果．14．【答案】43【解析】tantan()311tantan[()]1tantan

()1312−−−=−−===+−+，∴21242tan2131()2==−．15．【答案】358.5【解析】设被挖去的正方体的棱长为cmx，圆锥底面半径为r，则2210221052xxhxxrh−−==，5x=，所以，制作该模型所需材料质量约为231

0.9(π,)0.3π50100.9125358.5g3mVrhx==−=−=．16．【答案】3(2,)3或62(,)22【解析】23a=，21b=，∴2222cab=−=，2c=，当2F为直角顶点时，2FMx⊥轴，设00(2,)(0)M

yy，M在椭圆上，则220213y+=，解得032y=，当M为直角顶点时，点M在以12FF为直径的圆周上，此圆周的方程是222xy+=，与2213xy+=联立解得62x=，22y=，∵M在第一象限，则62(,)22M，综上，M放入坐标

为3(2,)3或62(,)22．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）4π3；（2）(2,4]．【解析】（1）∵23(sincos)1sin1222CCC+=+=+，∴3

sin2C=，∵π(0,)2C，∴π3C=，由正弦定理知：2sincos2sincos2sin()2sin2RABRBARABRCc+=+===，∴243232sin3332cRRC====，∴24ππ3S

R==．（2）由余弦定理得222222π22cos4()3()3()32abababababab+=+−=+−+−，∴2()1644abab+−+，而在ABC△中，2abc+=，∴(2,4]ab+．18．

【答案】（1）证明见解析；（2）45．【解析】（1）由题意底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，1SAAD==，CD平面ABCD，∴SACD⊥，∵CDAD⊥，ADSAA=，∴CD⊥平面SAD，又∵AM平面SAD，∴CDAM⊥，又1SAAD==，点M是

SD的中点，∴AMSD⊥，∵SDCDD=，∴AM⊥平面SCD，∵SC平面SCD，∴SCAM⊥．（2）过S引直线SE，使SEAB∥，则SECD∥，∴SE在平面SAB内，SE在平面SCD内，∴SE就是平面SAB与平面SCD所成二面角的棱，由条件知，ABAD⊥，ABA

S⊥，已知ASADA=，则AB⊥平面ASD，由作法知，SEAB∥，则SE⊥平面ASD，所以ASAE⊥，SESD⊥，∴ASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，在SADRt△中，45ASD=，∴在平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小等于45．19．【答案】（1）18

人，频率分布直方图见解析；（2）众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．【解析】（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为110(0.050.0150.0300.0250.010)0.1

5−++++=，所以第三组[60,70)的频数为1200.1518=人，完整的频率分布直方图如图：（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分；0.050.150

.150.350.50++=，0.050.150.150.300.650.50+++=，设样本中位数为0x，则0[70,80)x，00.005100.015100.015100.030(70)0.50x

+++−=，解得075x=；又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为45(100.005)55(100.015)65(100.015)++75(100.03)85(100.025)95(100.01)

73.5+++=分，所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．20．【答案】（1）1π()2sin()26yfxx==−；（2）2π[0,]3．【解析】（1）设(,)Qxy，00(,)Pxy，由新的运算可得0000ππ(2,2)(,sin)(

,0)(2,2sin)33OQOPxxxx=+=+=+mn，∵(,)OQxy=，∴000π21π3262sinxxxxyx=+=−=，代入02sinyx=，∴1π()2sin()26yfxx==−．（2）∵1π1π()2sin()2sin()2626yfxxx=

−=−−=−+，由题意，只需求函数1π2sin()26yx=+的单调递增区间，由π1ππ2π2π2262kxk−++，kZ4π2π4π4π33kxk−+，kZ，∴函数()yfx=−的单调递减区间为4π2π[4

π,4π]33kk−+，kZ，∴函数()yfx=−在[0,π]x上的单调递减区间为2π[0,]3．21．【答案】（1）12y=−；（2）27216．【解析】（1）曲线2:2xCy=就是抛物线22xy=，它的焦点坐标为1(0,)2F，存在实数使得AFFB=，则A，B，

F三点共线，当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线l斜率存在时，设直线AB的方程为12ykx=+，与22xy=联立消去y，整理得2210xkx−−=，判别式24(1)0Δk=+，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1x，2x就是方

程2210xkx−−=的两实根，122xxk+=，yx=，切线斜率111|xxkyx===，则曲线C在点211(,)2xAx处的切线方程是2111()2xyxxx−=−，即2112xyxx=−①，同理得曲线C在点B处的切线方程是2222xyxx=−②，联立①②即可求解两切线交点D的坐标，

①2x−②22122112112211:()()222xxxxxxxyxxxx−=−+=−，已知12xx，121xx=−，所以，上式化简为12y=−（表示水平之嫌，不必求x），所以，两切线交点D的轨迹方程是12y

=−．（2）已知2=，在（1）的解答的基础上，1112(0,)2AFFBxy=−−22121212(0,)222xyxxxx=−−−==−，12112242xxxkxxk=−=+=，22xk=−，代入121xx=−中，解得218k=，注意到对称性，求四边形ADBE面

积，只需取24k=即可，222121212||1||1()4ABkxxkxxxx=+−=++−2229=1(2)42(1)4kkk++=+=，设AB中点为00(,)Gxy，则120224xxxk+===，200115228ykxk=+=+=，已知点G在以EF为直径的圆周

上，则EGGF⊥，设(0,)Et，由EGGF⊥，得0GEGF=，解得138t=，则13(0,)8E，将直线AB的方程21042xy−+=化为2220xy−+=，则点E到AB的距离113|0222|328418d−+==

+，所以111932272||224432ABESABd===△，在（1）的解答种，联立①②消去y解得122xxxk+==，则两切线交点坐标为1(,)2Dk−，2=时，24k=，此时，点D的坐标为21(

,)42−，D到AB的距离221|22()2|3242418d−−+==+，所以21272||232ABDSABd==△，又已知D，E在AB两侧，所以272272272323216ADBEABEABDSSS=+=+=△△．22．【答案】（1）见解析

；（2）2e．【解析】（1）∵()xfxea=−，①当0a时，()0fx，()fx在R上单调递增；②当0a时，由()0fx=，得lnxa=．当(,ln)xa−时，()0fx，()fx单调递减；

当(ln,)xa+时，()0fx，()fx单调递增．（2）由题意()0fx对任意的xR都成立，则(1)xeaxb−+在xR都成立，在xye=上任取一点(,)tte，∵xye=，∴xye=在点(,)tte处的切线方程为()tttttyeex

tyextee−=−=−+，若令tae=，由xeaxab−+在xR都成立，只需ttabtee−+−+成立，即3ttabete+−成立．令()3ttgtete=−，()(2)ttgtet

=−R，令()0gt=，解得2t=，∴当(,2)t−时，()0gt，()gt单调递增；当(2,)t+时，()0gt，()gt单调递减，则222max()(2)32gtgeee==−=，∴2abe+，∴ab+最大值为2e．