【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 7-1 复数的概念 Word版含解析.docx，共(18)页，856.960 KB，由小赞的店铺上传

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7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念例1当实数m取什么值时，复数()11izmm=++−是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.分析：因为mR，所以1m+，1m−都是实数.由复数()i,zababR=+是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定

m的取值.解：（1）当10m−=，即1m=时，复数z是实数.（2）当10m−，即1m时，复数z是虚数.（3）当10m+=，且10m−，即1m=−时，复数z是纯虚数.练习1.说出下列复数的实部和虚部：122,2,,3,,032iiii−++

−.【答案】实部分别为22,2,,0,0,02−；虚部分别为1,1,0,3,1,03−.【解析】【分析】根据复数的概念，复数zabi=+(),abR，则a为实部，b为虚部，解答即可.【详解】解：122,2,,3,,032iiii−++−的实部分别为22,2,,0,0,02−；虚部分别为1,1,

0,3,1,03−.【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题.2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？227,0.618,,0,,58,392,(13),227iiiiii++−−−.【答案】实数有27,0

.618,0+；虚数有2,,58,392,(13),227iiiiii+−−−；纯虚数有2,,(13)7iii−.【解析】【分析】根据复数的概念解答即可.【详解】解：对于复数zabi=+(),abR，若0b=，则z为实数；若0b，则z为虚数；若0b且

0a=，则z为纯虚数；可知实数有：27,0.618,0+；虚数有：2,,58,392,(13),227iiiiii+−−−；纯虚数有：2,,(13)7iii−.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3.求满足下列条件的实数x，y

的值：（1）()(1)(23)(21)xyyixyyi++−=+++；（2）(3)(2)0xyxi+−+−=【答案】（1）42xy==−；（2）21xy==.【解析】【分析】（1）根据复数相等的充要条件为实部和实部相等，虚部和虚部相等，得到

方程组，解得；（2）复数为零的充要条件为实部和虚部同时为零，得到方程组，解得；【详解】解：（1）()(1)(23)(21)xyyixyyi++−=+++23121xyxyyy+=+−=+，解得42xy==−；（2）(3)(2)0xyxi+−+−

=3020xyx+−=−=，解得21xy==【点睛】本题考查复数相等和复数为零求参数的值，属于基础题.7.1.2复数的几何意义例2设复数143iz=+，243iz=−.（1）在复平面内画出复数1z，2z对应的点和向量；（2）求复数1z，2z的模，并比较

它们的模的大小.解：（1）如图7.1-4，复数1z，2z对应点分别为1Z，2Z，对应的向量分别为1OZ，2OZ.（2）22143i435z=+=+=，()22243i435z=−=+−=.所以12=zz.例3设zC，在复平面内z对应点为Z，那么满足下列条件的

点Z的集合是什么图形？（1）1z=；（2）12z.解：（1）由1z=得，向量OZ的模等于1，所以满足条件1z=的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.（2）不等式12z可化为不等式2,1.zz不等式||

2z的解集是圆2z=的内部所有的点组成的集合，不等式1z的解集是圆1z=外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是的的满足条件12z的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，

但不包括圆环的边界（图7.1-5）.练习4.说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）．【答案】:43Ai+，:33Bi−，:32Ci−+，:33Di−−，:5E，:2F−，:5Gi，:5Hi−．【解析】【分析】根据各点坐标确定对应复数.【详解】因为(4,3)A，(3,3

)B−，(3,2)C−，(3,3)D−−，(5,0)E，(2,0)F−，(0,5)G，(0,5)H−．所以:43Ai+，:33Bi−，:32Ci−+，:33Di−−，:5E，:2F−，:5Gi，:5Hi−．【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在复平面内，描出表示

下列复数的点：（1）25i+；（2）32i−+；（3）24i−；（4）3i−−；（5）5；（6）3i−．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析（5）答案见解析（6）答案见解析【解析】【分析

】（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点A，在坐标系画出；（2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点B，在坐标系画出；（3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点C，在坐标系画出；（4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点D，在坐标系画出；（5）实部为横坐标，虚部为纵

坐标，得点E，在坐标系画出；（6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点F，在坐标系画出；【小问1详解】对应点为A(2,5)，【小问2详解】对应点为B（－3,2），【小问3详解】对应点4(2,)C−，【小问4详解】对

应点(3,1)D−−【小问5详解】对应点(5,0)E，【小问6详解】对应点(0,3)F−，6.已知复数32,24,2,4,42iiii+−+−−．（1）在复平面内画出这些复数对应的向量；（2）求这些复数的模．【答案】（1）见解析（2）5；25；

2；4；732．【解析】【分析】（1）根据复数几何意义确定点坐标，再在复平面内作向量；（2）根据复数模的定义求模.【详解】解：（1）如图所示．（2）|2|5i+=；|24|25i−+=；|2|2i−=；|4|4=；373422i−=．【点睛】

本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.习题7.1复习巩固7.符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由.（1）实部为2−的虚数；（2）虚部为2−的虚数；（3）虚部为2−的纯虚数

.【答案】（1）存在，例如2,23ii−+−−.（2）存在，例如112,22ii−−−（3）存在，只能是2i−.【解析】【分析】根据复数的概念求解．【详解】（1）存在，例如2,23ii−+−−.（2）

存在，例如112,22ii−−−（3）存在，只能是2i−.【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数概念是解题关键．8.实数m分别为何值时，复数22z(56)(3)immmm=−++−是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）m=0

或m=3；（2）0m且3m；（3）m=2.【解析】【分析】（1）当复数的虚部等于零,复数为实数,由此求得m的值；（2）当复数的虚部不等于零,复数为虚数,由此求得m的值；（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时,列方程

组,即由此求得m的值.【详解】复数22z(56)(3)immmm=−++−.（1）要使z为实数，只需23=0mm−，解得：m=0或m=3；（2）要使z为虚数，只需230mm-?，解得：0m且3m；（3）要使z为纯虚数，只需2256=030

mmmm−+−，解得：m=2.9.求适合下列方程的实数x与y的值：（1）()()325i172ixyxy++−=−；（2）()()34i0xyx+−+−=．【答案】（1）17xy==（2）41xy==−【解析】【分析】（1）根据复数相等的定义

计算．（2）根据复数相等的定义计算．【小问1详解】由题意321752xyxy+=−=−，解得17xy==．【小问2详解】由题意3040xyx+−=−=，解得41xy==−．10.如果P是复平面内表示复数(,)abiabR+的点，分别指出在下列条件下点P的位置.（1）

0,0ab；（2）0,0ab；（3）0,0ab=；（4）0b.【答案】（1）第一象限；（2）第二象限；（3）位于原点或虚轴的负半轴上；（4）位于实轴下方（不包括实轴）【解析】【分析】由复数的几何意义解答．【详解】（1）0,0ab；

点P在第一象限；（2）0,0ab；点P在第二象限；（3）0,0ab=；点P位于原点或虚轴的负半轴上；（4）0b.点P位于实轴下方（不包括实轴）．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数(,)abiabR+对应的点为(,)Pa

b．11.求复数134zi=+及2122zi=−的模，并比较它们的模的大小.【答案】121235,,|2zzzz==【解析】【分析】由复数模的定义计算．并比较大小．【详解】解：2222121213345,(2

),22zzzz=+==+−=.【点睛】本题考查复数模的运算，掌握模的定义是解题基础．复数(,)abiabR+的模为22abiab+=+．综合运用12.实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－1

4)i的点．(1)位于第四象限？(2)位于第一、三象限？(3)位于直线y＝x上？【答案】（1）23m−或57m；（2）2m−或35m或7m；（3）293【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得，复数位于第四象限，则实部大于0

，虚部小于0，列出方程组即可求解实数m的取值范围；（2）根据复数的定义和复数的表示，列出不等式组，即可求解实数m的取值范围；（3）使得复数位于直线yx=上，只需实部与虚部相等即可求解实数m的值．试题解析：(1)由⇒解得－2<m<3或5<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．(

2)由或可等价转化为(m2－8m＋15)(m2－5m－14)>0，即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)>0，利用“数轴标根法”可得：m<－2或3<m<5或m>7，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使点Z在直线y＝x上，需m2－8m＋15＝m2

－5m－14，解得m＝.此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．点睛：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可

．复数(,)zabiabR=+对应复平面内的点(,)(,)ZababR．复数(,)zabiabR=+对应平面向量OZ.13.在复平面内，O原点，向量OA对应的复数是2i+.（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C

对应的复数.【答案】（1）2i−（2）2i−−【解析】【分析】（1）求出A点坐标，再得出B点坐标后可得对应复数；（2）求出C点坐标后可得对应复数．【详解】解：由于向量OA是以原点为始点，故终点A的坐标为(2,1

).（1）点(2,1)A关于实轴的对称点B的坐标为(2,1)−，则向量OB对应的复数为2i−.（2）点(2,1)B−关于虚轴的对称点C的坐标为(2,1)−−，则点C对应的复数是2i−−.【点睛】本题考查复数的几何

意义，复数(,)abiabR+对应的点为(,)Pab．14.设：zC,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）||3z=；（2）2||5z„.【答案】（1）以原点O为圆心，以3为半径的圆.（2）以

原点O为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界【解析】【分析】根据模的几何意义说明．【详解】解：（1）由||3z=得，向量OZ的模等于3,所以满足条件||3z=的点Z的集合是以

原点O为圆心，以3为半径的圆.（2）不等式2||5z„可化为不等式组|25zz…,不等式||5z的是圆||5z=的内部所有的点组成的集合，不等式||2z…的解集是圆||2z=上的点及其外部所有的点组成的集合，所以，满足条件2||5z„的集合是以原点O为

圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界（如图所示）.【点睛】本题考查复数模的几何意义，复数z的模z表示其在复平面上对应点Z到原点的距离OZ．15.如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z

对应的点应位于怎样的图形上？【答案】位于没有顶点的射线3(0)yx=上.【解析】【分析】根据复数的几何意义求解．【详解】设(,)zabiabR=+，由题意0,3ab=，∴点(,)ab在无顶点的射线3(0)yx=上．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数

(,)abiabR+对应的点为(,)Pab．拓广探索16.已知复数z的虚部为3,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.【答案】13zi=+或13zi=−+.【解析】【分析】可设复数3()

zaiaR=+，由2z=计算．【详解】解：由题意可设复数3()zaiaR=+，因为复数z对应的向量的模为2.所以234a+=,解得1a=,所以复数13zi=+或13zi=−+.【点睛】本题考查复

数的模，属于基础题．解决复数问题，常常设复数(,)zabiabR=+，然后代入计算．17.在复平面内指出与复数123412,23,322zizizizi=+=+=−=−+，对应的点1234,,,ZZZZ,判断这4个点是否在同一个圆

上，并证明你的结论.【答案】4个点在以原点为圆心，5为半径的圆上.见解析【解析】【分析】由复数几何意义，得出对应点的坐标，对应向量的坐标，计算它们的模，由模的几何意义可得．【详解】解：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为1234(1,2)

,(2,3),(3,2),(2,1)ZZZZ−−，得到对应的以原点为始点的向量依次为1234,,,OZOZOZOZ，则1234(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)OZOZOZOZ===−=−，可得221||125OZ=+=.同理可得234||5,||5,||5O

ZOZOZ===，所以1234,,,ZZZZ，这4个点在以原点为圆心，5为半径的圆上.【点睛】本题考查复数的几何意义，由向量模的几何意义可得结论．变式练习题18.写出复数4，－π，2－3i，0，14i23−+，3i2−，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数

.【答案】答案见解析【解析】【分析】结合复数的类型直接辨别即可.【详解】4，－π，2－3i，0，14i23−+，3i2−，6i的实部分别是4，－π，2，0，12−，－2，0；虚部分别是0，0，－3，0，43，3，6.4，－π，0是实数；2－3i，14i23−+，3

i2−，6i是虚数，其中6i是纯虚数.19.当实数m为何值时，复数()2262153mmzmmm−−=+−−+i是实数、纯虚数、虚数？【答案】5m=时，复数z为实数；3m=或2m=−时，复数z为纯虚数；3m−且5m时，复数z为虚数.【解析】【分析】由复数的概念求解即可【详

解】解：当22150mm−−=且30m+时，复数z为实数，解得5m=，所以当5m=时，复数z为实数；当2603mmm−−=+且30m+，且22150mm−−时，复数z为纯虚数，由2603mmm−−=+，得3m=或2m=−，由30m+，且221

50mm−−得3m−且5m，所以当3m=或2m=−，复数z为纯虚数；当22150mm−−且30m+时，复数z为虚数，解得3m−且5m，所以当3m−且5m时，复数z为虚数综上，当5m=时，复数z为实数；3m=或2m=−时，复数z为纯虚数

；3m−且5m时，复数z为虚数20.已知()()221,22i−++−=mmmmM，1,1,4iP=−，若MPP=，求实数m的取值集合．【答案】1,2【解析】【分析】先由MPP=，得到MP.对()()2222immmm−++−进行分类讨论：当220mm+−=时，解出m，再

根据MP和集合中元素的互异性进行排除；当220mm+−，列方程组解出m.【详解】因为MPP=，所以MP.因为()()221,22i−++−=mmmmM，1,1,4iP=−，所以当220mm+−=时，解得1m=或2m=−；若1m=，则有,11M=−，1,1,

4iP=−，符合MP；若2m=−，则有,81M=，1,1,4iP=−，不符合MP，应舍去；当220mm+−，要使MP，只需：222024mmmm−=+−=解得：2m=，符合题意.所以实数m的取值集合为1,2.21.已知复数223(56)izkkkk=

−+−+（kR），且0z，求k的值.【答案】2【解析】【分析】由0z可判定z是负实数，进而得到关于k的关系式即可求解.【详解】因为0z，所以z是负实数，则2230560kkkk−−+=，解得2k=.22.

若22(1)(32)xxxi−+++是纯虚数，则实数x的值为（）A.1B.C.1−D.2−【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数的概念列式，由此求得x的值.【详解】由于复数是纯虚数，故2210320xxx−=++，解得1x=，故选

A.【点睛】本小题主要考查纯虚数的概念，考查一元二次方程的解法，属于基础题.23.以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A.2－2iB.2＋iC.－5＋5iD.5＋5i【答案】A【解

析】【详解】∵2i－5的虚部为2，5i＋2i2的实部为－2，∴所求复数为2－2i.24.若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____.【答案】1【解析】【分析】根据复数相等列出等量关系20xyxy+=−=，求解

即可【详解】由(x＋y)＋(x－y)i＝2(x，y∈R)得2,0,xyxy+=−=所以1,1,xy==所以xy＝1.故答案为：1