【文档说明】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟考试 数学（理）含答案.doc，共(11)页，1.034 MB，由小赞的店铺上传

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吕梁市2020－2021学年度高三年级第一次模拟考试(理科)数学(本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。2.答题前，考生

务必用0.5毫米黑色签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息。3.考试作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是最符合题目要求的，选

出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。1.已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x2－3x－4<0}，则A∩B＝A.{x|－2≤x<4}B.{x|－1<x≤2}C.{x|－1<x<4}D.{x|－2≤x≤2}2.已知命题p：“∀x∈R，ax2＋bx＋c>0”，则¬

p为A.∀x∈R，x2＋bx＋c≤0B.∃x0∈R，ax02＋bx0＋c≥0C.∃x0∈R，ax02＋bx0＋c≤0D.∀x∈R，ax2＋bx＋c<03.已知等比数列{an}满足a1＝1，4a4－a1a7－4＝

0，则a7＝A.4B.14C.8D.184.刘徽(约公元225年－295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边

形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想，估计sin4°的值为A.0.0524B.0.0628C.0.0785D.0.06985.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1。则数列nSn

的前10项和为A.552B.55C.652D.656.已知a＝log23，b＝0.23，c＝log34，则a、b、c的大小关系为A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b7.已知F为双曲线22221xyab−=(a>0，b>0)的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆

x2＋y2＝a2相切，则双曲线离心率的取值范围是A.(1，2)B.(2，＋∞)c.(1，22)D.(22，＋∞)8.若sin21cos2−＝m，则tan(α＋4)等于A.11mm+−B.11mm−+C.11mm+−D.11mm−+9.函数f(x)

＝ln22xx+−cosx的图象大致为10.已知函数f(x)＝sin(2x＋3)＋cos(2x－6)，给出下列结论：①f(x)的最小正周期为π；②点6(－6，0)，是函数f(x)的一个对称中心③f(x)在

(－4，12)上是增函数；④把y＝2sin2x的图象向左平移3个单位长度就可以得到f(x)的图象，则正确的是A.①②B.③④C.①②③D.①②③④11.已知f(x)＝ln(x2＋1)－12x2，若f(x)＝k有四个零点，则k的取值范围为A.(0，ln2－12)B.(－∞，

ln2－12)C.(ln2－12，ln2＋12)D.(ln2＋12，＋∞)12.已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P－ABCD外接球的体积为823，

则该四棱锥的表面积为A.43B.63C.83D.103二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若向量a、b、c，满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，则(a－b)·c＝。14.已知曲线y＝x3＋ax－2与x轴相切，则a＝。15.已知直线l：x＝my＋1过抛物线C：y

2＝2px的焦点F，交抛物线C于A、B两点，若AF2FB=，则直线l的斜率为。16.如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，给出下列结论：①异面直线AP与DD1所成的角范围为[3，2]；②平面PBD1⊥平面A1C1D；③点P到平面A1C1D

的距离为定值233；④存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成的角为3。其中正确的结论是。三、解答题(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)设a为实数，函数f(x)＝xaa+−－x。(1)若

a＝1，求f(x)的定义域；(2)若a≠0，且f(x)＝a有两个不同的实数根，求a的取值范围。18.(本小题满分12分)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝nn2a2n+。(1)求证：数列{()nann1+}为等比数列；

(2)设bn＝nan1+，求bn的前n项和Tn。19.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a－b＝2c·cosB。(1)求角C；(2)若a＝2，D在边AB上，且AD2DB=，CD＝3，求b。20.(本小题满分12分

)如图，四棱锥S－ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面SCD为等边三角形，AB＝BC＝4，CD＝2，SB＝25。(1)求证：BC⊥SD；(2)求二面角B－AS－D的余弦值。21.(本小题满分12分)已知椭圆C

：22221(0)xyabab+=过点A(1，63)，B(0，－1)。(1)求C的方程；(2)经过D(2，1)，且斜率为k的直线l交椭圆C于P、Q两点(均异于点B)，证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值。22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx－x，(a∈

R)。(1)若f(x)≤0，求实数a的取值范围；(2)求证：21111ln()nknkk=+−+(n∈N*)。吕梁市2020-2021学年度高三年级第一次模拟考试（理科）数学参考答案一，选择题1.【答案】B【解析】{14}Bxx

=−.所以{12}ABxx=−，故选B.2.【答案】C【解析】由全称命题的否定为特称命题，可知C正确.故选C3.【答案】A【解析】因为044714=−−aaa，所以044424=+−aa，所以24=a，再由11=a得23=q，

4617==qaa，故选A．4.【答案】D【解析】将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°，因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以19011sin445sin42=，所以sin40

.069845，故选D.5.【答案】C【解析】设等差数列{}na的公差为d，则11112331adaada+=+=−，所以11,1ad==所以12nSnn+=，数列nSn的前10项和1010110165222T++==，故选C6.【答案】D【解析】：由题知1

0b，a====3log9log8log2log23222232，c====4log16log27log3log23333233，故选D7.【答案】B【解析】：直线PF与圆222ayx=+相切，则直线PF的斜率bak=，又点P在双曲线的右支上，所以abk||，

即abba，所以122ab，所以21222+=abe，即2e，故选B8.答案：C解析：因为2sin22sincos11cos22sintan==−，则tan11tan()41tan1mm+++==−−，故选C9.【答案】A【解析】，由2

()lncos()()2xfxxfxx−−=−=−+，所以()fx为奇函数，可排除B，D，又(1)ln3cos11f=，故选A10.【答案】C【解析】：由题知)32sin(2)(+=xxf，则周期T=，故①正确；()06f−=故②正确；当,412x−时，2

(,)362x+−，故③正确；把xy2sin2=的图像向左平移6个单位长度就可以得到)(xf的图像，故④错误，故选C11.【答案】A【解析】()22212'()11xxxfxxxx−=−=++，由'()0fx=，得0x=或1x=或1

x=−，可知()fx在0x=处取极小值，1x=或1x=−处取极大值.因(0)0f=，1(1)ln22f=−，2211(1)2022fee−=−+，所以当10ln22k−时，()fxk=有四个零点.故选A.12.【答案】B【解析】：设底面ABCD的中心为M,正三角

形的中心为N,过M作直线垂直于平面ABCD,过N作直线垂直于正三角形APD，则两条直线的交点就是外接圆的球心O,设外接球半径为r,由题知2=r,即OA=2,又ON=1,所以AN=1,所以AD=3,433=PADS，因为CDPDABPA⊥⊥,,3==PCDPABSS,因为37===BCPC

PB，,所以435=PBCS,32=ABCDS矩形,所以36=表S二、填空题13.【答案】0【解析】因为0abc++=，||||1ab==，所以22()()()0abcababba−=−−+=−=14.【答案】3−【解析】：设曲线上切点坐标为)2,(300−+axxx，因为

axy+=23'，所以=−+=+=020303020axxaxk，解得310−=−=ax，15.【答案】22【解析】由直线1xmy=+过()1,0，所以2p=，设1122(,),(,)AxyBxy，由2AFFB=，可得122yy=−，直线1xmy=+

与抛物线24yx=联立得，244ymy=+，所以124yy=−，可得22y=，所以222221112ykx===−−.16.【答案】②③【解析】对于①，当P在C点时，1DDAC⊥，异面直线AC与1DD所成的

角最大为2，当P在1B点时，异面直线1AB与1DD所成的角最小为14DDC=，异面直线AP与1DD所成的角的范围为,42，故①错误；对于②，因为1BD⊥平面11ACD，所以平面1PBD⊥平面11ACD，故②正确

；对于③1//BC平面11ACD，所以点P到平面11ACD的距离为定值，且等于1BD的13，即233，故③正确；对于④直线AP与平面11BCCB所成的角为APB，tanABAPBBP=，当CBBP1⊥时，BP最小，tanAPB最大，最大值为2tan3，故④不正

确，故填②③。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）【解析】（1）当1a=时，对任意的x，()|1|1fxxx=+--，所以|1|10x+-?，------------2分解得2x?或0x³，---------------4分所

以()fx的定义域为(,2][0,)-?+?---------5分（2）()fxa=得||xaaxa+-=+设0xat+=?，所以tat-=有2个不同的实数根.---------7分整理得2att=-，0t³，-------------8分同时0

a¹，所以1(0,)4a-----------------10分18.（本小题满分12分）【解析】（1）由nnanna221+=+得，()()()121121+=+++nnannann，………………3分又1211=a，所以()+1nnan为首项为1

，公比为21的等比数列，………………5分（2）由（1）得，()1211−=+nnnna，即121−=+=nnnnnab.………………7分所以211111123222nnTn-=???+?，①………………8分231111111123(

1)222222nnnTnn-=???+-??②………………9分由①-②得，2311111111222222nnnTn-=+++++-?………………10分1111222122212nnnnnTn-+=-?-

-………………11分所以1242nnnT-+=-………………12分19.解析：(1)因为Bcbacos22=−，由正弦定理得：BCBAcossin2sinsin2=−，-------2分因为)sin(sinCBA+=代入上式得，BCBCBCBcossin

2sinsincos2cossin2=−+,------4分即0sincossin2=−BCB因为0sinB，所以1cos2=C,又因为C是三角形内角，所以C=3-------6分（2）解1：由题知DBAD2=，即)(2CDCBCACD−=−

，1233CDCACB=+,--------8分2212()33CDCACB=+,即01142=−+bb，解得215−=b--------12分解2：由题知DBAD2=，可设,DBxCDB=?，则2,ADxCDA=?-,--------7分在CDB中，由余弦定理得：2222cos

BCCDDBCDDB=+-鬃，即223443cosbxx=+-①-------8分在CDA中，由余弦定理得：2222cos()ACCDADCDAD=+-鬃-，即24323cosxx=++②---------9分在ABC中，由余弦定理得：ACBBCACBCACAB−+=co

s2222即42922+−=bbx③---------10分①+2②得：2261xb=−，和③联立得01142=−+bb，-------11分解得215−=b----------12分20.（本小题满分12分）【解析】（1）由已知BC=4，

SC=2，25SB=得，222SBBCSC=+，所以∠BCS=90°--------2分所以BCCS⊥，又BCCD⊥，所以BC⊥平面SCD----------3分又SD平面SCD，所以BCSD⊥----------4分（2）以D为

坐标原点，取AB中点E，,DEDC的方向分别为x轴，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则()(4,2,0),(4,2,0),0,1,3BAS−.----------5分所以(4,2,0),(0,1,3),(

0,4,0),(4,1,3)DADSABBS=−===−−.----------6分平面DAS的法向量为(),,mxyz=.则0,0,mDAmDS==即420,30,xyyz−=+=取

1x=，则232,3yz==−所以231,2,3m=−.----------8分平面BAS的法向量为(),,nabc=则0,0nABnBS==即40,430babc=−−+=，得0b=，取3a=，则4c=所以(3

,0,4)n=..----------10分从而83353cos,194141633mnmnmn−===−+++----------11分因二面角B-AS-D为锐角，故二面角B-AS-D的余弦值为519.----------12分21.【解析】（1

）因为椭圆C过点()0,1B−，得1b=，1分过点61,3A，得21213a+=，23a=，.3分所以椭圆C的标准方程为1322=+yx.5分（2）由题设知直线l的方程为()()211ykxk=−+

，.6分与椭圆方程联立()2221,13ykxxy=−++=，整理得()222231(612)12120kxkkxkk++−+−=.7分0,04,1kk由得且设),(11yxP，),(22yxQ，120xx则()()121222621

121,3131kkkkxxxxkk−−+==++.8分从而直线BP与BQ的斜率之和12121212112222BPBQyykxkkxkkkxxxx++−+−++=+=+.9分()()12121211221221xxkkkkxxxx+=+−+=+−

.10分()()()6212211121kkkkkk−=+−=−.11分所以直线BP与BQ的斜率之和为定值1.12分22.解析：解1：（1）因为xxaxxaxf2221)('−=−=，0x------1分当0=a时，0)(−=xxf，符合题意------------2分当0a

时，0)('xf，)(xf在),0(+上单调递减，而01)(11−=aaeef，不合题意-----------3分当0a时，令0)('xf，得240ax，，令0)('xf，得24ax，即)(x

f在)4,0(2a上单调递增，在),4(2+a上单调递减，所以044ln)4()(222max−==aaaafxf，解得20ea----------------5分综上：实数a的取值范围为20e，-------------------

--------------------6分解2：由已知若()0fx，即lnaxx对0x恒成立，-----1分当0x=时，01，不等式显然成立；--------2分当1x时，由lnaxx得lnxax，设()lnxgxx=，则2ln2'()2lnxgx

xx−=，由'()0gx得2xe，由'()0gx，得20xe，即()gx在2(0,)e单调递减，在2(,)e+单调递增，所以2min()()2egxge==，所以2ea；--------

-4分当01x时，由lnaxx，得lnxax，由2ln2'()2lnxgxxx−=，因为01x，所以'()0gx，即()gx在(0,1)上单调递减，且当0x→时，()0gx→，所以，()0gx，所

以0a，--------5分综上，0,2ea-------------6分（2）由（1）知，当1=a时，0ln−xx，即xxln，---------------------------7分所以nnnnnn

++++=+1ln)1ln()ln(2，-------------------------------------8分所以nnnnnn−+=+++111)ln(12，-------------------------------------10分所以11

)1()23()12()ln(112−+=++++−+−+=nnnkknk即证-----12分