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以下为本文档部分文字说明：

第2课时空间中直线、平面的垂直A级必备知识基础练1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐶1

𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.若PN⊥BM,则λ=()A.12B.13C.23D.342.(多选题)在菱形ABCD中,若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是()A.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0B.𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0C.𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=03.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM()A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D

.与AC,MN都不垂直4.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=-1,y,12.若α⊥β,则x-y=.5.已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),

若PA⊥平面ABC,则P的坐标为.6.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°

,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.8.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.B级关键能力提升练9.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1,z),若𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.337,-157,4B.407,-157,4C.407,-2,4D.4,407,-1510.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的

棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为()A.8B.4C.8√2D.8√5511.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2

,-1,-4),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,2,-1),则下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗是平面ABCD的一个法向量D.𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗12.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,B

C=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.14.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABC

D为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD.(1)求证:CD⊥平面PAC.(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不

存在,请说明理由.C级学科素养创新练15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P

上,则下列结论正确的是()A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD第2课时空间中直线、平面的垂直1.C如图,以AB,AC

,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N12,12,0,B(1,0,0),M0,1,23,𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12-λ,12,-1,𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-1,1,23,所以𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

λ-12+12−23=0,即λ=23.故选C.2.ABD∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.故A,B,D都成立.3.AC以D为原点,DA

,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).∴𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-a

,-a,a),𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,a,a),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-2a,2a,0).∴𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1显

然不垂直.4.-1因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.5.(-1,0,2)由题意得𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(-x,1,-z),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-1,-1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,1),由𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,得𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=x-1+z=0,由𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,得𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-2x-z=0,解得{𝑥=-1,𝑧=2.故点P的坐标为(-1,0,2).6.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角

坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-x,a,-a),𝐶1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,x-a,-a).因为𝐴1𝐹⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗·𝐶1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐶1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即A1F⊥C1E.7.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴

、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-4,2,0),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4,0),𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,h).∵𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-8+8+0=0,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.8.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE

=2,BD=1,C(0,0,0),A(√3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1,-2),𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,2),𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=

(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则{𝑛1·𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛1·𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{√3𝑥1+𝑦1-2𝑧1=0,2𝑧1=0,解得{𝑦1=

-√3𝑥1,𝑧1=0,{𝑛2·𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛2·𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{√3𝑥2+𝑦2-2𝑧2=0,2𝑦2-𝑧2=0,解得{𝑥2=√3𝑦2,𝑧2=2𝑦2.不妨取n1=(1,-√3,0),n2=(√3,1,2),因为n1·n2=

0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.9.B∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗,则{(𝑥-1)+5𝑦+6=0,3(𝑥-1)+𝑦-12=0,解得{𝑥=407,𝑦=-157.10.D以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.则P(4,0,2),C(0,4,0)

,D1(0,0,4),B(4,4,0).设M(4,a,b)(0≤a≤4,0≤b≤4),则𝐷1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,a,b-4),𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(4,-4,2).∵D1M⊥CP,∴𝐷1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,∴M(4,a,2

a-4),∴|BM|=√(4-4)2+(𝑎-4)2+(2𝑎-4)2=√5(𝑎-125)2+165,当a=125时,|BM|取最小值4√55,易知|BC|=4,∴S△BCM的最小值为4√55×4×12=8√55.故选D.11.ABC∵𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=-2-2+4=0,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴AP⊥AB,故A正确;∵𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-4+4+0=0,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴AP⊥AD,

故B正确;∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗是平面ABCD的一个法向量,故C正确;𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3,4),设𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗

,即{2=-𝜆,3=2𝜆,4=-𝜆,方程组无解,故D错误.故选ABC.12.2以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(1,x,-z),�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,a-x,0).由𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即当a=2时,点Q只有一个.13.解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1),E(12,1,0),C1(0,1,1),𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,a-1),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(12,1,0),𝐷𝐶1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则{𝑛1·𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛1·𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⇒{𝑦1=0,-𝑥1+𝑦1+(𝑎-1)𝑧1=0,令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0

,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则{𝑛2·𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛2·𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⇒{12𝑥2+𝑦2=0,𝑦2+𝑧2=0,令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1)

.∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=12.故P(0,1,12).14.解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以

PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),可得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以AP⊥CD,AC

⊥CD.又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.证明如下:设E是侧棱PA的中点,则E0,0,12,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-1,0,12.设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则{𝑛·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0

,因为𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,-1),所以{-𝑥+𝑦=0,2𝑦-𝑧=0,取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以n·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,2)·-1,0,

12=0,所以n⊥𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.15.D以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0

),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D(0,1,12),P(0,2,0),则𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,1),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12),𝐵1𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,2,0),𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-1,-12).设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥+𝑧=0,𝑛·𝐴1𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑦+12𝑧=0.取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且𝐵1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐵1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,

0),则𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-𝜆,-1+2𝜆,-12).因为𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗也是平面A1BD的一个法向量,所以n=(2,1,-2)与𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1-λ,-1+2λ,-12

共线,则1-𝜆2=-1+2𝜆1=-12-2=14成立,所以{1-𝜆2=-1+2𝜆,-1+2𝜆=14,但此关于λ的方程组无解.