【文档说明】【精准解析】高中数学北师大必修4一课三测：2.5从力做功到向量的数量积含解析【高考】.docx，共(14)页，216.566 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

§5从力做功到向量的数量积填一填1.向量的夹角与投影(1)夹角：①定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________叫作向量a与b的夹角；②范围：________；③大小与向量共线、垂直的关系：

θ＝0°⇔a与b，180°⇔a与b，90°⇔ab.(2)投影：①定义：如图所示：OA→＝a，OB→＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝________.________叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)．②大小与夹角的关系：夹角0°锐角9

0°钝角180°射影________________________________________2.向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把________叫作a与b的数量积(或内积)，记作____

____，即a·b＝________.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影________的乘积，或b的长度________与a在b方向上投影________的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就

是力F与其作用下物体的位移s的数量积________.(4)性质：①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝________；②a⊥b⇔________(其中a，b为非零向量)；③|a|＝a·a；④cosθ＝________(|a||b|≠0)；⑤对

任意两个向量a，b，有|a·b|________|a||b|.(5)运算律：交换律：a·b＝________.结合律：(λa)·b＝________＝________.分配律：a·(b＋c)＝________.判一判1.向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．()2．设向量

a与b的夹角为θ，则cosθ>0⇔a·b>0.()3．零向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()4．两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．()5．由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()6．(a·b)c＝a(b·c)．()7．两个向量的数量积与实数

乘法一致，a·b也可以写成ab或a×b.()8．当两个非零向量互相垂直时，其夹角的正弦值为0.()想一想1.两个向量的数量积与两个实数的积有什么区别？提示：(1)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且

a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中cosθ有可能为0.(2)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cosβ＝|b||OA|，b·c＝|b||c|

cosα＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.2．如何正确理解“投影”的概念？提示：(1)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(2)夹角与投影的联系．向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，向量b在a的方向上的

投影|b|cosθ与θ取值的关系如表.θ的取值0π0，π2π2，ππ2投影的值|b|－|b|正值负值零图示思考感悟：练一练1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n

＝()A．12B．122C．－122D．－122．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π2B.π2，πC.π2，πD.π2，π3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与

b的夹角为________．4．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为π3，则a在b方向上的投影为________．知识点一数量积的运算1.在△ABC中，|AB→|＝1，|BC→|＝3，|CA→|＝2，则AB→·AC→＝()A.12B．1C

.3D．－12．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：(1)a2－b2.(2)(2a－b)·(a＋3b)．知识点二,投影问题3.已知向量a，b，若a在b方向上的投影为3，|b|＝2，则a·b＝

________.4．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝3，则向量2a＋3b在向量2a＋b方向上的投影为________.知识点三向量的模与夹角5.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|

＝()A．1B．3C．4D．56．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．综合知识数量积的应用7.在△ABC中，若AB2→＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形

D．直角三角形8．在△ABC中，∠C＝90°，|AB|＝6，点P满足|CP|＝2，则PA→·PB→的最大值为()A．9B．16C．18D．25基础达标一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b＝()A．3B.92C．2D.122．给出以下结论：①0·a

＝0②a·b＝b·a③a2＝|a|2④(a·b)·c＝a·(b·c)⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．43．设向量|a＋b|＝23，|a－b|＝2，则a·b＝()A.2B.3C．2D．34．已知向量a，b满

足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()A．1B.3C.5D．35．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A.2B.3C.5D.76．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，

且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π67．设P为△ABC所在平面内一点，且满足PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则P是△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心8．在平面上，四边形ABCD满足A

B→＝DC→，AC→·BD→＝0，则四边形ABCD为()A．梯形B．正方形C．菱形D．矩形二、填空题9．若|a|＝3，|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.10．已知|a|＝4，e为单位向

量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________．11．在△ABC中，|AB→|＝13，|BC→|＝5，|CA→|＝12，则AB→·BC→的值是________．12．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB→·AC→＝8，则△ABC的形状是____

____．三、解答题13．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝5.(1)求|2a－3b|；(2)求3a－b与a－2b的夹角θ.14．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.(1)求|a＋b|的值；(2

)当实数x为何值时，xa－b与a＋3b垂直？能力提升15.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．16．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直

，试求k的最小值．§5从力做功到向量的数量积一测基础过关填一填1．(1)∠AOB＝θ0°≤θ≤180°同向反向⊥(2)|b|cosθ|b|cosθ|b|正值0负值－|b|2．(1)|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ(2)|b|cosθ|b

||a|cosθ(3)F·s(4)|a|cosθa·b＝0a·b|a||b|≤(5)b·aλ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c判一判1．×2.√3.√4.×5.×6.×7.×8.×练一练1．B2.A3.π34.32二测考点落实1．解析：在△ABC中，已知|AB→|＝1，|BC→|＝3，|

CA→|＝2，可知△ABC为直角三角形，且∠A＝π3，则AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝1×2×12＝1.答案：B2．解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·co

s120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.3．解析：投影也是一个数量，不是向量；当向量夹角θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0°时投影

为|a|；当θ＝180°时投影为－|a|.由题意可得|a|cos〈a，b〉＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝6.答案：64．解析：投影为(2a＋3b)·(2a＋b)|2a＋b|＝4a2＋8a·b＋3b24a2＋4a·b＋b2＝1913＝19131

3.答案：1913135．解析：根据条件，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－3|b|＋|b|2＝13，所以解得|b|＝4或－1(舍去)．答案：C6．解析：由已知条件得(a＋3b)·(7a－5

b)＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①7a2－30a·b＋8b2＝0，②②－①得23b2－46a·b＝0，所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|，所以cosθ

＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.7．解析：∵在△ABC中，AB2→＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，∴AB2→＝AB→·AC→－AB→·BC→＋CA→·CB→＝AB→·(

AC→－BC→)＋CA→·CB→，∴AB2→＝AB2→＋CA→·CB→，∴CA→·CB→＝0，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．答案：D8．解析：取AB的中点D，连接CD.PA→·PB→＝(PC→＋CA→)·(PC→＋CB→)＝PC2→＋PC→·(CA→＋CB→)＋C

A→·CB→＝PC2→＋PC→·(CA→＋CB→)＝22＋PC→·2CD→＝4＋2PC→·CD→＝4＋2|PC→|·|CD→|cosα＝4＋2×2×3cosα＝4＋12cosα，其中α为PC→与CD→的夹角，所以当α＝

0°时，PA→·PB→的最大值为16.答案：B三测学业达标1．解析：设a与b的夹角为θ，因为|a|cosθ＝32，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.答案：B2．解析：①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，

故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．答案：C3．解析：由|a＋b|＝23两边平方得a2＋2a·b＋b2＝12，由|a－b|＝2两边平方得a2－2a·b＋b2＝4.两式相减得4a·b＝8，所以a·b＝2.答案：C4．解析：由于投影相等，故有|

a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.答案：C5．解析：|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝1－2＋4＝3.答案：B6．解析：因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b

)＝0，所以2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，因为|b|＝4|a|，所以2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－12，因为〈a，b〉∈[0，π]

，所以〈a，b〉＝23π.答案：C7．解析：由PA→·PB→＝PB→·PC→，得PB→·(PA→－PC→)＝PB→·CA→＝0，即PB⊥CA，同理PA⊥BC，PC⊥BA，所以P是△ABC的垂心，故选B.答案：B8．解析：∵A

B→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|，且AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC→·BD→＝0，∴AC→⊥BD→，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选C.答案：C9．解析：∵|a|＝3，|b|＝2，且a与b的夹角为60°，∴|a－b|＝a2－2a·b＋

b2＝7.答案：710．解析：因为a在e方向上的投影为－2，即|a|cos〈a，e〉＝－2，所以cos〈a，e〉＝－2|a|＝－12，〈a，e〉＝120°.答案：120°11．解析：易知|AB→|2＝|BC→|2＋|CA→|2

，∴C＝90°，∴cosB＝513.又〈AB→，BC→〉＝180°－B，∴AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos(180°－B)＝13×5×－513＝－25.答案：－2512．解析：AB→·A

C→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝12，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．答案：等边三角形13．解析：(1)∵|2a－b|2＝4a2

－4a·b＋b2＝4－4a·b＋1＝5，∴a·b＝0，∴|2a－3b|＝4a2－12a·b＋9b2＝13.(2)∵cosθ＝(3a－b)·(a－2b)|3a－b||a－2b|＝3a2＋2b29a2＋b2×a2＋4b2＝510×5＝22，又θ∈[0，π]，

∴θ＝π4.14．解析：(1)由已知得a·b＝|a|·|b|cos60°＝3，所以|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝19.(2)因为xa－b与a＋3b垂直，所以(xa－b)·(a＋3b)＝0，即xa2＋(3x－1)a·b－3b2＝13x－30＝0，所以x＝3013.15

．解析：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向

上的投影为a·(a＋b)|a＋b|＝1013＝101313.16．解析：∵a⊥b，∴a·b＝0.又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0，∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0，∴k＝14t2－3t＝14t－322－9

16.故当t＝32时，k取最小值－916.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com