【文档说明】甘肃省天水一中2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(17)页，1.534 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题）.1.已知等差数列na中，7916+=aa，41a=，则12a等于（）A.15B.30C.31D.64【答案】A【解析

】【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案；【详解】79416,1aaa+==，11117,78,431,7,4aadadd=−+=+==12177111544a=−+

=，故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.设xR，则“210x−”是“2x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分

条件和必要条件的概念，结合一元二次不等式的解法，即可得出结果.【详解】由210x−得1x或1x−，所以由“2x”可得到“210x−”，但由“210x−”得不到是“2x”；所以“210x−”是“2x”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】结论点睛：判定命题的充分条件和必

要条件时，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q

对的集合与p对应集合互不包含．3.已知椭圆22194xy+=的左右焦点为1F，2F，P是椭圆上的点，且12=PF，则2PF=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义，由122PFPFa+=即可

求解.【详解】由椭圆22194xy+=，则3a=，所以1226PFPFa+==，所以2624PF=−=.故选：D4.已知正实数a，b满足321ab+=，则61ab+的最小值为（）A.32B.34C.36D.38【答案】A【解析】【分析】由题

中条件，得到()616132ababab+=++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】由0a，0b且321ab+=，得()61611231233218232202babaababababab+=++=+

++=+，当且仅当123baab=，即2ab=时，取等号，此时1,41,8ab==，则61ab+的最小值为32．故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“

二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地.5.如图，在

正三棱柱111ABCABC−中，112ABAA==，M、N分别是1BB和11BC的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A.52B.252C.25D.35【答案】D【解析】【分析】过点1B作1//BQNC交BC于Q，过点M作1//MPBQ交BC于P，则

点P为边BC靠近点B的四等分点且1//2MPNC，AMP为异面直线AM与CN的所成角，由勾股定理与余弦定理求得AM，NC，MP，AP，再三角形AMP中，由余弦定理求得cosAMP的值.【详解】过点1B作1//BQNC

交BC于Q，过点M作1//MPBQ交BC于P，则点P为边BC靠近点B的四等分点且1//2MPNC，AMP为异面直线AM与CN的所成角在正三棱柱111ABCABC−中，112ABAA==，M、N分别是1BB和11BC的中点，则225AMABBM=+=,22115NCCCNC=+=,152

2MPNC==,22222111132cos602222224APABBPABBP=+−=+−=，则132AP=在三角形AMP中，()2222225135223cos255252AMMPAPAMPAMMP+−+−===

故选：D【点睛】本题考查通过平移直线求空间中异面直线所成角的余弦值，属于中档题.6.已知双曲线C：22221xyab−=的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（）A.22143xy−=B.22

1916xy−=C.221169xy−=D.22134xy−=【答案】C【解析】【分析】根据焦点坐标，可求得c的值，根据离心率，可求得a的值，根据b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案.【详解】根据右焦点为F2(5，0)，可得c＝5，又离心率为54cea==，所以a＝

4，所以b2＝c2－a2＝9，所以双曲线方程为221169xy−=，故选：C.7.已知抛物线2:Cyx=的焦点为F，00(,)Axy是C上一点，05||4AFx=，则0x=（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方

程即可得出．【详解】由抛物线2:Cyx=可得11,224pp==，准线方程14x=−，0(Ax，0)y是C上一点，054AFx=，00x．00051442pxxx=+=+，解得01x=．故选：A．8.在三棱锥PAB

C−中，PA⊥平面ABC，90BAC=，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，2ABAC==，4PA=，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（）A.15B.255C.55D.25【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解平面DEF的法向量，利用公式sinAPnAPn=可求

.【详解】以,,ACABAP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图，则()()0,0,0,0,0,4AP,()0,1,0D,()1,0,2F,()1,1,0E;()0,0,4AP=,()()1,0,0

,1,1,2DEDF==−,设(),,nxyz=为平面DEF的一个法向量，则00nDEnDF==,020xxyz=−+=令1z=，可得()0,2,1n=；设直线PA与平面DEF所成角为，则45sin545APnAPn===.故选：C.【点睛】线

面角的常用求法：①定义法：作出平面的垂线，找到直线在平面内的射影，利用直角三角形求解线面角；②法向量法：建立坐标系，求出平面的法向量n，利用公式sinABnABn=可得直线AB与平面的夹角.9.函数()sinxfxex=在区间π,π−的图

象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数值的符号可排除,AB，由函数的极值点可排除C，从而得到正确结果.【详解】因为当(,0)x−时，sin0x，所以()sin0xfxex=，图象落在第

三象限，所以排除,AB，因为'()(sincos)xfxexx=+，分析其单调性，可知其极大值点应为34，在2的右侧，故排除C，故选：D.【点睛】方法点睛：该题考查函数图象的识别，通常采用排除法来进行判断；排除的依据通常为：（1）函数

的定义域、奇偶性；（2）特殊位置的符号、单调性；（3）利用导数研究其单调性和极值点.10.过抛物线()220ypxp=的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点A作准线的垂线，垂

足为H.若tan2AFH=，则AFBF=（）A.54B.43C.32D.2【答案】C【解析】【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH为等腰三角形，设准线与x轴的交点为M，过点F作FCAH⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos2pBF

=−，()tansin2pAF=−，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x轴的交点为M，过点F作FCAH⊥.由抛物线定义知AFAH=，所以AHFAFH==，2FAHOFB=−=，()()cos2

cos2MFpBF==−−，()()()tantansin2sin2sin2CFCHpAF===−−−，所以()2tantantan13tan2tan222AFBF−====−−.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的

性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题二、填空题（共4小题）.11.已知实数x，y满足2525xyxyx−−，则2zxy=−的最大值为__________.【答案】4【解析】【分析】根据线性规划画图,平移,求点,代值即可求出结果.【详解】解:作出不等式

组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)；观察可知，当直线2zxy=−过点C时，z有最大值；联立225xyx==−，解得21xy==−，故2zxy=−的最大值为224+=．故答案为:4【点睛】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据线性约束条

件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设z＝0，画出直线l0．③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的最大值或最小值．12.若命题“22,210xRxxm−+−”为真命题，则实数m的取值范围为________________________【答案】()(

),22,−−+【解析】【分析】根据全称命题是真命题可知判别式小于零，即得结果.【详解】全称命题是真命题，即22210xxm−+−在R上恒成立，则判别式()24410m=−−，解得2m−或2m，故答

案为：()(),22,−−+.13.数列na满足1111,12nnaaa+==−，则15a=__________.【答案】1−【解析】【分析】由递推关系可以得到数列na是以3为周期的周期数列，进而得解.【详解】解：由已知1111

,12nnaaa+==−，故212112a==−，3411111,12112aaa==−===−+,∴数列na是以3为周期的周期数列，1531aa==−,故答案为：1−.【点睛】本题考查根据数列的对推关系求数列的特定项，关键是利用递推关系得到数列的周期性，进而求解.14.已

知函数()226,0ln,0xxxfxxx−−−=，若函数()()2gxfxmx=−+有四个零点，则实数m的取值范围是______.【答案】()2,e【解析】【分析】根据题意，得到()yfx=和2ymx=−有四个交点，结合

函数图象，分别讨论0m，0m两种情况，结合导函数的方法，利用数形结合的方法求解即可.【详解】若函数()()2gxfxmx=−+有四个零点，需()yfx=和2ymx=−有四个交点，作出函数()lnfxx=和2ymx=−的图象如下图所示，当0m时，

由图象可得，显然不满足题意；当0m时，因为直线2ymx=−恒过点()0,2−，设2ymx=−与lnyx=相切于点()00,xy，则002ymx=−，00lnyx=，由lnyx=，得1yx=，所以01mx=

，解得01xe=，me=，即当0me时，函数()lnfxx=和2ymx=−有两个交点.当0x时，若2ymx=−与226yxx=−−−有两个交点，需方程2226mxxx−=−−−有两个不相等的实根，即方程()2240xmx+++

=有两个不相等的实根，所以只需()22160m=+−，解得2m或，所以2m；综上2me时，函数()()2gxfxmx=−+有四个零点.故答案为：()2,e【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围

)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合

的方法求解.三、解答题（共44分）15.已知数列na的前n项和为nS，且237nSnn=−．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列14nnaa+的前n项和nT．【答案】（1）610nan=−，*nN；（2）()223nnT

n=−.【解析】【分析】（1）根据nS与na的关系进行求解即可；（2）由（1）得出数列14nnaa+的通项公式，再由裂项相消求和法得出nT．【详解】（1）当1n=时，114aS==−；当2n时，()()22137317

1610nnnaSSnnnnn−=−=−−−+−=−若1n=时，16104a=−=−故610nan=−，*nN．（2）依题意，()()()()4111161064353233532nnnnnn==−−−−−−−故()111111111111321144735323232223nn

Tnnnn=−+−+−++−=−=−−−−−−．16.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，//ADBC，90ADC=，PAPD⊥，PAPD=.（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）若1BC=，2ADCD==，求二面角APCB−

−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，从而得CDPA⊥，再由PAPD⊥即可得出PA⊥平面PCD，即得证；（2）取AD中点O，连接OP，OB，以OA，OB，

OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）证明：在四棱锥PABCD−中，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，又因为CDAD⊥，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为PA平面PAD，所以CDPA⊥.因为PAPD⊥，CDPD

D=，CD，PD平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.（2）解：取AD中点O，连接OP，OB，因为PAPD=，所以.POAD⊥因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，因为PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以

POOA⊥，POOB⊥.因为CDAD⊥，//BCAD，2ADBC=，所以//BCOD，BCOD=所以四边形OBCD是平行四边形，所以//OBCD，所以OBAD⊥.以OA，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则(

)0,0,0O，()1,0,0A，()0,2,0B，()1,2,0C−，()0,0,1P，所以()2,2,0AC=−，()1,0,1AP=−，()1,0,0BC=−uuur，()0,2,1BP=−设平面PAC的法向量为(),,nxyz=，则00ACn

APn==，即2200xyxz−+=−+=，令1x=，则()1,1,1n=.设平面BPC的法向量为(),,mabc=，则00BCmBPm==，即020abc=−+=，令1b=，则

()0,1,2m=.所以15cos,5||||mnmnmn==.易判断二面角APCB−−为锐角，所以二面角APCB−−的余弦值为155.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标

系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17.已知函数()xafxxe=+，其中aR，e是自然对数的底数.（1）当1a=−时，求函数

()fx在区间[0,)+的零点个数；（2）若()2xefx对任意[1,)x−+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1个；（2）2122eea−−+.【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解（2）分离参变量，不等式恒成

立转化为求函数的最值得解【详解】（1）()xfxxe−=−，0x，()10xfxe−=+故()fx在[0,)+递增，又(0)1f=−，1(1)10fe−=−(0)(1)0ff，故()fx在(0,1)上存在唯一零点因

此()fx在区间[0,)+的零点个数是1个；（2）1x−，2xxexae−+恒成立，即1x−，2e2xxaxe−恒成立令2()2xxegxxe=−，1x−，则min()agx()()1xx

gxexe=−−，令()1xhxex=−−，1x−()1xhxe=−，[1,0)x−时，()0hx，0x时，()0hx故()hx在[1,0)−递减，(0,)+递增，因此()(0)0hxh=所以，()0gx，故()gx在[1,)−+

递增故21min2()(1)2eegxg−−+=−=，因此2122eea−−+.【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题.18.已知点()0,2A−，椭圆()2222:10,0xyEabab+=的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线

AF的斜率为233，O是坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ△的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）2214xy+=；（2）722yx=−或722yx=−−

.【解析】【分析】（1）设(),0Fc，由已知得2233c=，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，当lx⊥轴时，不合题意，设:2lykx=−，联立直线方程与椭圆方程，

求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得PQ，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当OPQ△的面积最大时直线l的方程.【详解】解：（1）设(),0Fc，由条件知2233c=，得3c=，又32ca=，∴2a=，2

221bac=−=，故E的方程为：2214xy+=；（2）当lx⊥轴时，不合题意，故设:2lykx=−，()11,pxy，()22,Qxy，联立22214ykxxy=−+=，得()221416120kxkx+−+=.当()216430k=−，即23

4k时，212824341kkxk−−=+，222824341kkxk+−=+.从而2221224143141kkPQkxxk+−=+−=+.又点O到直线PQ的距离221dk=+.∴OPQ△的面积为221443241OPQkSPQdk−==+△，设()2430ktt−=

，则244441444242OPQtSttttt====++，当且仅当4tt=，即2t=时取“=”.∴2432k−=，即72k=时等号成立，且满足0，∴当OPQ△的面积最大时，l的方程为722yx=−或722yx=−−.【点睛

】关键点睛：求出221443241OPQkSPQdk−==+△，运用换元法、基本不等式是解题的关键.