【文档说明】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 【精准解析】.doc，共(20)页，1.447 MB，由小赞的店铺上传

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南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期高二数学期中检测一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．1.若9人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐5人，则不同的乘车方法有多少种？（）A

.4599AA+B.4599AAC.4599CC+D.4599CC【答案】C【解析】【分析】按第一辆汽车乘坐的人数进行分类：第一类，第一辆汽车坐4人，剩下的5人坐第二辆汽车；第二类，第一辆汽车坐5人，剩下的4人坐第二辆汽车，再用加法原理计算结果.【详解】分两类：（1）第一辆汽车坐4人

，有49C种方法；（2）第一辆汽车坐5人，有59C种方法.则由分类加法原理可知，共有4599CC+种方法.故选：C.【点睛】本题考查了组合问题，分类加法原理的应用，属于基础题.2.若随机变量1~5,3XB，则(3)PX=等于（）A.40243B.13C.1027D.35【答案】

A【解析】【分析】直接利用二项分布的概率公式求解.【详解】由二项分布的概率公式得32351140(3)133243PXC==−=.故选：A【点睛】本题主要考查二项分布的概率公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.如图，点()()11,Axfx，()

()22,Bxfx在函数()fx的图象上，且21xx，()fx为()fx的导函数，则()1fx与()2fx的大小关系是（）A.()()12fxfxB.()()12fxfxC.()()12fx

fx=D.不能确定【答案】A【解析】【分析】结合函数图象及导数的几何意义判断可得；【详解】解：由函数图象可知，函数在A处的切线的斜率比B处的切线的斜率大，根据导数的几何意义可得()()12fxfx，故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，数形结合

思想，属于基础题.4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于A.715B.815C.1415D.1【答案】C【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X取0，

1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715CCC=，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714151515+

=故选C【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．5.若直线yxm=+是曲线xye=的一条切线，则实数m的值是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】先设出切点坐标0(Px，0)xe，再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由

直线是yxm=+是曲线xye=的一条切线，求出实数m的值．【详解】解：xye=Q，xye=，设切点为0(Px，0)xe，则过P的切线方程为000()−=−xxyeexx，整理，得0000xxxyexexe=−+，直线是yxm=+是曲线xye=的一条切线，01xe

=，00x=，1m=．故选：C．【点睛】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．6.为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人

，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有()A.180种B.150种C.90种D.114种【答案】D【解析】【分析】先安排甲，再安排乙，最后三人分成四种情况：（1）三个人一块到第三所学校，（2）两个人到第三所学校，另一人到前两所学校中任意一所，

（3）一人到第三所学校，另两个人一起到前两所学校中任意一所，（4）一人到第三所学校，两个人分别到前两所学校中任意一所；【详解】解：分四种情况：（1）安排甲到一所学校有13A种方法，安排乙到第二所学校有12A种方

法，余下三人一起到第三所学校有1种方法，共有113216AA=种方法；（2）安排甲到第一所学校有13A种方法，安排乙到第二所学校有12A种方法，余下三人中两人一起到第三所学校有23C种方法，另一人到前两所学校中任意一所有12A，共有112

1323236AACA=种方法；（3）安排甲到第一所学校有13A种方法，安排乙到第二所学校有12A种方法，余下三人中一人到第三所学校有13C，另两人一起到前两所学校中任意一所有12A，共有1121323236AACA=种方法；（4）安排甲到第一所学校有

13A种方法，安排乙到第二所学校有12A种方法，余下三人中一人到第三所学校有13C，另两个人分别到前两所学校有22A种方法共有种方法，1122323236AACA=种方法；综合以上有：6363636114+++=故选：D【点睛】考查

分类计数原理和分布计数原理，基础题.7.411(12)xx++展开式中2x的系数为（）A.10B.24C.32D.56【答案】D【解析】【分析】先将式子411(12)xx++化成4411(12)(12)xxx+++，再分别求两项各自的2x的系数，再相加，即

可得答案.【详解】∵444111(12)1(12)(12)xxxxx++=+++，∴4(12)x+展开式中含2x的项为22241(2)24Cxx=，41(12)xx+展开式中含2x的项

33241(2)32Cxxx=，故2x的系数为243256+=.故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.8.已知函数()fx的导函数为()fx，在()0,+上满足()()xfxfx，则下列

一定成立的是（）A.()()2019202020202019ffB.()()20192020ffC.()()2019202020202019ffD.()()20192020ff【答案】A【解析】【分析】构造函数()()fxgxx=，利用导数判断函数()ygx=在()0,+

上的单调性，可得出()2019g和()2020g的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0fxgxxx=，则()()()2xfxfxgxx−=.由已知得，当0x时，()0gx.故函数()ygx=

在()0,+上是增函数，所以()()20202019gg，即()()2020201920202019ff，所以()()2019202020202019ff.故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力

，属于中等题.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．9.下列各式中，等于!

n的是（）A.1nnA−B.1nnA+C.11nnnA−−D.!mnmC【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分选

项：对于A，1(1)2!nnAnnn−=−=，故A正确；对于B，1(1)(1)2(1)!nnAnnnn+=+−=+，故B错误；对于C，11(1)1!nnnAnnn−−=−=，故C正确

；对于D，!!!mmmnnnAmCmAm==，故D错误；故选：AC．【点睛】本题考查阶乘、排列数公式的计算，注意排列数公式的形式，属于基础题．10.对于二项式()3*1nxnNx+，以下判断正确的有（）A.存在*nN，展

开式中有常数项；B.对任意*nN，展开式中没有常数项；C.对任意*nN，展开式中没有x的一次项；D.存在*nN，展开式中有x的一次项.【答案】AD【解析】【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式()3*1nxn

Nx+展开式的通项公式为1rT+，则3411=()()rnrrrrnrnnTCxCxx−−+=，不妨令4n=，则1r=时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令3n=，则1r=时，展开式中有x的一次项，故C答案错误，D答案正确．故答案选A

D【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.已知()'fx是定义域为R的函数()fx的导函数，如图是函数()'yxfx=的图象，则下列关于函数()fx性质说法正确的是（）A.单调递增

区间是(),3−−，()0,3B.单调递减区间是(),3−−，()3,+C.()3f−是极小值D.()3f是极小值【答案】BC【解析】【分析】根据函数()'yxfx=的图象，得原函数在()3,3−上是增函数，在区间(),3−−和()3,+上为减函数，因此函数的极大值为()

3f，极小值为()3f−．由此对照各个选项，即可得到本题的答案．【详解】解：由()'yxfx=的图象可得当()3,3x−时()0fx，()()33,,x−−+时()0fx，故函数()fx在()3,3−上是增函数，在区间(),3−−和()3,+上为减函

数，所以函数()fx在3x=−处取得极小值，在3x=处取得极大值，故正确的有BC；故选：BC【点睛】本题给出函数的导数图象，要我们找出符合函数性质的选项，着重考查了对函数图象的理解和函数单调性与导数的关系等知识，属于中档题．12.已知函数()21x

xxfxe+−=，则下列结论正确的是（）A.函数()fx存在两个不同的零点B.函数()fx既存在极大值又存在极小值C.当0ek−时，方程()fxk=有且只有两个实根D.若),xt+时，()2

max5fxe=，则t的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项.【详解】A.()2010fxxx=+−=,解得152x−=，所以A正确；B.()()()2122xx

xxxxfxee+−−−=−=−，当()0fx时，12x−，当()0fx时，1x−或2x()(),1,2,−−+是函数的单调递减区间，()1,2−是函数的单调递增区间，所以()1f−是函数的极小值，()2f是函数的极大值，所以B正确

.C.当x→+时，0y→，根据B可知，函数的最小值是()1fe−=−，再根据单调性可知，当0ek−时，方程()fxk=有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，t的最大值是2，所以不正确.故选A,B,

C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是()2,+是函数的单调递减区间，但当x→+时，0y→，所以图像是无限接近x轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填

空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．13.在某项测量中，测量结果服从正态分布2(2,)(0)N，若在(0，4)内取值的概率为0.6，则在(0，+∞)内取值的概率为__________【答案】0.8【解析】【

分析】根据服从正态分布2(2,)(0)N，可得曲线的对称轴是直线2x=.由在(0，4)内取值的概率，可求得(0)(4)PP+.再根据正态曲线的对称性，可求在(4,)+内取值的概率，进而求得在(0，+∞)内取值的概率.【详解】服从正态分布2(2,)

(0)N，曲线的对称轴是2x=，在(0，4)内取值的概率为0.6，(0)(4)0.4PP+=，则(4)0.2P=，(0)0.60.20.8P=+=.故答案为：0.8.【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主

要考查正态曲线的对称性，是基础题.14.设n为正整数，()2nab+展开式的二项式系数最大值为x，()21nab++展开式的二项式系数的最大值为y，若137xy=，则n=__________.【答案】6【解析】【分析】根据二项式系数的性质求出x和y，代入137xy=，计算即可.【详

解】解：由题意知2nnxC=，121nnyC++=，137xy=，221137nnnnCC+=，即(2)!(21)!137!!!(1)!nnnnnn+=+211371nn+=+，13(1)7(21)nn+=+6n=故答案为：6【点睛】考查二项

式系数的性质及组合数的运算，基础题.15.()3412*(1)(1)(1)1,xxxxnN++++++−的展开式中2x的系数是__________.【答案】285【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式求解.【详解】先把3(1)x+，4(1)x+，…，12(1)x+看作等比数列求和

.原式310133(1)(1)11(1)(1)(1)1xxxxxx++−==+−++−，原式展开式中2x的系数就是13(1)x+与3(1)x+展开式中3x的系数之差，即331332861285CC−=−=

.故答案为：285.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.已知函数21ln,0()log,0xxfxxxx+=方程2()2()0()fxmfxmR−=有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．【答案】1(0,)2【解

析】【分析】作出函数21ln,0()log,0xxfxxxx+=的图象，结合图象可求实数m的取值范围.【详解】当0x时，2ln()xfxx=−，当01x时，()0fx，函数为增函数；当1x时，()0fx，函数为减函数；极大值为(1)1f

=，且x→+，()0fx→；作出函数21ln,0()log,0xxfxxxx+=的图象，如图，方程2()2()0()fxmfxmR−=，则()0fx=或()2fxm=，由图可知()0fx=时，有2个解，所以2()2()0fxmfx−=有五个不相等的实

数根，只需要021m，即102m；故答案为：1(0,)2.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.四、解答题：共6小题，共

70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设()929012921xaaxaxax−=++++，求：（1）1239aaaa++++；（2）1239239aaaa++++.【答案】

（1）2（2）18【解析】【分析】记9290129()(21)fxxaaxaxax=−=++++；（1）令0x=，可得0a，再令1x=，可得0129(1)aaaaf++++=，即可得解；（2）对9290129

()(21)fxxaaxaxax=−=++++取导数，再令1x=，即可得到1239239'(1)aaaf++++=，从而得解；【详解】解：记9290129()(21)fxxaaxaxax=−=++++，（1）因为()001af==−

，由题意0129(1)1aaaaf++++==，所以12390(1)2aaaafa++++=−=.（2）因为8281239()29(21)239fxxaaxaxax=−=++++，所以81239239(1)29(21)18aaaf++++==−=.【点睛】本题考

查赋值法求二项式系数的和的问题，属于中档题.18.（1）求曲线1yx=在点()11−−，处的切线方程；（2）求经过点（4，0）且与曲线1yx=相切的直线方程.【答案】（1）20xy++=；（2）440xy+−=【解析】【分析】（1）求出函数在

1x=−处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程；（2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)xx，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即

可求出切点的坐标，进而写出切线方程.【详解】解：1yx=，21yx=−（1）当1x=−时，得在点()11−−，处的切线的斜率为1−，切线方程为：1(1)yx+=−+，即20xy++=；（2）设切点为001(,)xx，则切线的斜率为201x−切线方程为020011()y

xxxx−=−−，切线过点(4,0)，020011(4)xxx−=−−，解得02x=，所求切线方程为11(2)24yx−=−−，即440xy+−=.【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.19.一辆汽车前往目的地需要经过4个有红绿灯的路口.汽车在

每个路口遇到绿灯的概率为34（可以正常通过），遇到红灯的概率为14（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.（1）求汽车在第3个路口首次停车的概率；（2）求的概率分

布和数学期望.【答案】（1）964;（2）分布列见解析，数学期望7132.【解析】【分析】（1）汽车在第3个路口首次停车是指汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出汽车在第3个路口首次停车的概率．（2）设前往目的地途

中遇到绿灯数为X，则3~(4,)4XB，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．的可能取值为0，2，4，54(0)(2)256PPX====，120(2)(1)(3)256PPXPX===+==，82(4)(4)(0)

256PPXPX===+==，由此能求出的概率分布列和数学期望()E．【详解】解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，汽车在第3个路口首次停车的概率为：331944464p=

=．（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为X，则3~(4,)4XB，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．则的可能取值为0，2，4，则22243154(0)(2)()()44256PPXC==

===，(2)(1)(3)PPXPX===+=，1333443131120(3)()()()()4444256PCC==+=，443182(4)(4)(0)()()44256PPXPX===+==+=，的概率

分布列为：024P5425612025682256数学期望541208271()02425625625632E=++=．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分

布的性质等基础知识，考查运算求解能力.20.已知函数2()ln,(0)fxaxxxxx=−−．（1）设1a=时，求()fx的导函数()fx=()hx的递增区间；（2）设()()fxgxx=，求()gx的单调区间；（3）若()0fx对()0,x

+恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1(,)2+；（2）当0a时，()gx的单调递减区间为(0,)+，无单调递增区间，当0a时，()gx的单调递减区间为1(0,)a，单调递增区间为1(,)a+；（3）[1,)+【解析】【分析】（1）将1a=代入函数，求出()f

x，即()hx，再求出()hx，进而求出()hx的单调递增区间；（2）对()gx求导，讨论a的取值范围，求出()gx的单调区间；（3）分离参数，不等式()0fx对()0,x+恒成立转化为ln1xax+恒成立，构造新的函数ln1()x

xx+=，求出()x的最大值，从而求得a的取值范围.【详解】解：（1）2()ln,(0)fxaxxxxx=−−1a=时，2()lnfxxxxx=−−，()21ln12ln2fxxxxx=−−−=−−，令()()2ln2hxfxxx==−−，则121()2xhxxx−=

−=，令()0hx，得12x，()hx的单调递增区间为1(,)2+；（2）()()1ln,(0)fxgxaxxxx==−−11()axgxaxx−=−=，若0a，则()0gx恒成立，()gx在(0,)+单调递减；若0a，令()0gx，得1xa

，()gx单调递增，令()0gx，得10xa，()gx单调递减.综上所述，当0a时，()gx的单调递减区间为(0,)+，无单调递增区间；当0a时，()gx的单调递减区间为1(0,)a，单调递增区

间为1(,)a+；（3）()0fx对()0,x+恒成立可转化为ln1xax+恒成立，设ln1()xxx+=，2ln()xxx−=，则当(0,1)x时，()0x，()x单调递增，当(1,)x+时，()0x，()x单调递减，max()(1

)1x==，1a，即a的取值范围为[1,)+.【点睛】本题考查了导数的应用问题，其中含参数的函数单调性的讨论，不等式恒成立问题都是常考题型，属于较难的综合性问题.21.2名女生、4名男生排成一排，求：（1）2名

女生不相邻的不同排法共有多少种？（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？【答案】（1）480种（2）360种【解析】【分析】（1）不相邻问题利用插空法法；（2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：（1）2名女生不相邻的排

列可以分成2步完成：第一步将4名男生排成一排，有44A种排法；第二步排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是42452420480AA==.（2）女生甲必须排在女生乙左

边的排列可以分成2步完成：第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为26C；第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有44A种.根据分步计数原理，不同的排法种数是

24641524360CA==.答：分别有480和360种不同的排法.【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题.22.已知函数()2sinxfxxe−=−，求证：（1）()fx在区间0,2存在唯一极大值点；（2）()fx在()0,+上有且仅有2个

零点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出函数的导数()fx，设()()gxfx=，对()gx求导，说明其单调性，再根据零点存在性定理可得()fx在0,2有唯一

零点，从而得证；（2）结合（1）的单调性利用零点存在性定理证明()0,上有两个零点，当(),x+时无零点.【详解】解：（1）因为()2sinxfxxe−=−，所以()2cosxfxxe−=−，设()()gxfx

=，则()2sinxgxxe−=−−，则当0,2x时，()0gx，所以()gx即()fx在0,2单调递减，又()21010fe=−，2202fe−=−，且()fx图像是不间断的，由零点存在性定理可得()fx在0,2

有唯一零点，设为.则当()0,x时，()0fx；当,2x时，()0fx.所以()fx在()0,单调递增，在,2单调递减，故()fx在0,2存在唯一极大值点.（2）因为()2sinxfxxe−=−，所以(

)2cosxfxxe−=−，设()()gxfx=，则()2sinxgxxe−=−−，则当()0,x时，()0gx，所以()gx即()fx在()0,单调递减，由（1）知，()fx在()0,单调递增，在,2单调递减.又()200fe−=−，221

02fe−=−，所以()02ff，又()fx的图像是不间断的，所以存在()10,x，使得()10fx=；又当,2x时，()'0fx，所以()fx在,2递减，因()20fe−=

−，又02f，又()fx的图像是不间断的，所以存在2,2x，使得()20fx=；当(),x+时，21xe−，sin1x，所以()0fx，从而()fx在(),+没有零点.综上，

()fx有且仅有2个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与函数的零点问题，属于中档题.