【文档说明】2012-2022年高考数学真题分类汇编 19.不等式选讲含解析【高考】.doc，共(20)页，2.097 MB，由小赞的店铺上传

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-1-不等式选讲1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3fxxax=−++．(1)当1a=时，求不等式()6fx的解集;(2)若()fxa−，求a的取值范围．【答案】（1）(),42,−−+．（2）3,2−+．

解析：（1）当1a=时，()13fxxx=−++，13xx−++表示数轴上的点到1和3−的距离之和，则()6fx表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6，故4x−或2x，所以()6fx的解集为(),42,−−+．（2）依题意()fxa−，即3axax−+−+恒成立

，333xaxxaax−++−+=++，故3aa+−，所以3aa+−或3aa+，解得32a−．所以a的取值范围是3,2−+．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|fxxx=+

−−．(1)画出()yfx=的图像；-2-(2)求不等式()(1)fxfx+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6−−．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3xxfxxxxx+=−−−−−，作出图象，如图所示：（2

）将函数()fx的图象向左平移1个单位，可得函数()1fx+的图象，如图所示：由()3511xx−−=+−，解得76x=−．-3-所以不等式()(1)fxfx+的解集为7,6−−．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|fxxax

a=−+−+．(1)当2a=时，求不等式()4fx…的解集；(2)若()4fx…，求a的取值范围．【答案】（1）32xx或112x；（2）(),13,−−+．解析：（1）当2a=时，()43fxxx=−+−．当3x时，()43724

fxxxx=−+−=−，解得：32x≤；当34x时，()4314fxxx=−+−=，无解；当4x时，()43274fxxxx=−+−=−，解得：112x；综上所述：()4fx的解集为32xx或112x

．（2）()()()()22222121211fxxaxaxaxaaaa=−+−+−−−+=−+−=−（当且仅当221axa−时取等号），()214a−，解得：1a−或3a，a的取值范围为(),13,−−+．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷

理科)设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．(1)证明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220ab

cabcabacbc++=+++++=，-4-()22212abbccaabc++=−++.1,,,abcabc=均不为0，则2220abc++，()222120abbccaabc++=−++；（2）不妨设max{,,}ab

ca=，由0,1abcabc++==可知，0,0,0abc，1,abcabc=−−=，()222322224bcbcbcbcbcaaabcbcbc++++====．当且仅当bc=时，取等号，34a，即3max{,,}4a

bc…．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,xyzR，且1xyz++=．(1)求222(1)(1)(1)xyz−++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3xyza−+−+−≥成立，证明：3a−≤或1a−≥．【答案】【

答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]xyz−++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]xyzxyyzzx=−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)xyz−++++„故由已知得232(1)(1)143()

xyz−++++≥，当且仅当511,,333xyz==−=−时等号成立．所以232(1)(1)(1)xyz−++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]xyza−+−+−222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]xyzaxyyzazax=−+−+−+−−

+−−+−−2223(2)(1)()xyza−+−+−„故由已知得2222(2)(2)(1)()3axyza+−+−+−…，当且仅当-5-4122,,333aaaxyz−−−===时等号成立．因此222(2)(1

)()xyza−+−+−的最小值为2(2)3a+由题设知2(2)133a+…，解得3a−≤或1a−≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x

yzxyzxyz−++++++−++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3xyz−++++≥，当且仅当511,,333xyz==−=−时等号成立．所以222(1)(1)(1)xyz−++++的

最小值为43．(2)2221(2)(1)()3xyza−+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1xyza−+−+−++≥．当且仅当4122,,333aaaxyz−−−===时等号成立．2222

2222[(2)(1)()](111)(21)(2)xyzaxyzaa−+−+−++=−+−+−=+成立．所以2(2)1a+≥成立，所以有3a−≤或1a−≥．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2fxxaxxxa=−+−−．()1当1a=时，求不等式()0fx

的解集；()2当(),1x−时，()0fx，求a的取值范围．【答案】()1(),1−；()2)1,+解析1：”()1当1a=时，()=|1|+|2|(1)fxxxxx−−−.当1x时，2()2(1)0fxx=−−；当1x≥时，()0fx≥.所以，不等式()0fx的解集为(,1

)−.()2因为()=0fa，所以1a≥.当1a≥，(,1)x−时，()=()+(2)()=2()(1)<0fxaxxxxaaxx−−−−−所以，a的取值范围是[1,)+.-6-解析2：()1当1a=时，原不等式可化

为()1210xxxx−+−−；当1x时，原不等式可化为，即()210x−，显然成立，此时解集为(),1−；当12x≤时，原不等式可化为()()()1210xxxx−+−−，解得1x，此时解集为空集；当2x≥时，原不等式可化为()()()1210xxxx−+−−，即()210x

−，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1−；()2当1a≥时，因为(),1x−，所以由()0fx可得()()()20axxxxa−+−−，即()()10xax−−，显然恒成立；所

以1a≥满足题意；当1a时，()()()2,1()21,xaaxfxxaxxa−=−−≤，因为1ax≤时，()0fx显然不能成立，所以1a不满足题意；综上，a的取值范围是)1,+.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a，b，c为正

数，且满足1abc=．证明：(1)222111abcabc++++≤；(2)333()()()24abbcca+++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac+++≥

≥≥，又1abc=，故有222111abbccaabcabbccaabcabc++++++==++≥．所以222111abcabc++++≤.（2）因为,,abc为正数且1abc=，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac++++++++≥3(+)(+

)(+)abbcac=3(2)(2)(2)24abbcac=≥所以333()()()24abbcca+++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数(

)211fxxx=++−．-7-(1)画出()yfx=的图象；(2)当)0,x+时，()fxaxb+，求ab+的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1xxfxxxxx−−=+−()yfx=的图像如图所示-8-（2）由（

1）知，()yfx=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a且2b时，()fxaxb+在)0,+成立，因此ab+的最小值为5．方法2（1）()211fxxx=++−3,112,12132xxxxxx=

+−−−，可作出函数()fx的图象如下图（2）依题意可知()fxaxb+在)1,+上恒成立，在)0,1上也恒成立当1x时，()3fxxaxb=+恒成立即()30axb−+在)1

,+上恒成立-9-所以30a−，且30ab−+，此时3a，3ab+当01x时，()2fxxaxb=++即()120axb−+−恒成立结合3a，可知20b−即2b综上可知32ab，所以当3a=，2b=时，ab+

取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|fxxax=−+−−．(1)当1a=时，求不等式()0fx≥的解集；(2)若()1fx≤，求a的取值范围．【答案】解析：（1）当1a=时，24,1,()2,12,26,2.x

xfxxxx+−=−−+≤≤可得()0≥fx的解集为|23≤≤xx−．（2）()1fx≤等价于|||2|4≥xax++−．而|||2||2|≥xaxa++−+，且当2x=时等号成立，故()1fx≤等价于|2|4≥a+．由|2|4≥a+可得6≤a−或2≥a，所以a的取值范围是(

),62,−−+．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|fxxax=+−−．(1)当1a=时，求不等式()1fx的解集；(2)若(0,1)x时不等式()fxx成立，求a的取值范围．【答案】解析：（1

）当1a=时，()|1||1|fxxx=+−−，即2,1,()2,11,2,1.xfxxxx−−=−故不等式()1fx的解集为1{|}2xx．（2）当(0,1)x时|1||1|xaxx+−−成立等价于当(

0,1)x时|1|1ax−成立．若0a，则当(0,1)x时|1|1ax−；若0a，|1|1ax−的解集为20xa，所以21a，故02a．综上，a的取值范围为(0,2]．-10-11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24

fxxax=−++,()11gxxx=++−．(1)当1a=时,求不等式()()fxgx的解集;(2)若不等式()()fxgx的解集包含1,1−,求a的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答

案】(1)11712xx−+−;(2)1,1−．【分析】(1)将1a=代入,不等式()()fxgx等价于2|1||1|40xxxx−+++−−,对x按1x−,11x−,1x讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x−时,()2gx=．若()()f

xgx的解集包含[1,1]−,等价于当1,1x−时,()2fx,则()fx在1,1−的最小值必为()1f−与()1f之一,所以()12f−且()12f,得11a−,所以a的取值范围为1,1−．【解析】(1)当1a=时,不等式()()fxgx等价于2114

0xxxx−+++−−①当1x−时,①式化为2340xx−−,无解;当11x−时,①式化为220xx−−,从而11x−;当1x时,①式化为240xx+−,从而11712x−+所以不等式()()fxgx的

解集为11712xx−+−(2)当1,1x−时,()2gx=所以()()fxgx的解集包含1,1−,等价于当1,1x−时,()2fx又()fx在1,1−的最小值必为()1f−与()1f之一,所以()()1212ff−

,得11a−．所以a的取值范围为1,1−．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12fxxx=+−−．(1)求不等式()1fx的解集；(2)若不等

式()2fxxxm−+的解集非空，求m的取值范围．解析：（1）因为()3,11221,123,2xfxxxxxx−−=+−−=−-11-所以不等式()1fx等价于131x−−或12211xx−−或23

1x由131x−−x无解；由1222xx−12x；由231x2x综上可得不等式()1fx的解集为)1,+．（2）解法一：先求不等式()2fxxxm−+的解

集为空集时m的取值范围不等式()2fxxxm−+的解集为空集等价于不等式()2mfxxx−+恒成立记()()2Fxfxxx=−+2223,131,123,2xxxxxxxxx−+−−−+−

−++，则()maxmFx当1x−时，()()2211131524FxxxxF=−+−=−−−−=−当12x−时，()223535312424FxxxxF=−+−=−−+=当2x时，()()2211

332124FxxxxF=−++=−−+=所以()max3524FxF==所以不等式()2fxxxm−+的解集为空集时，54m所以不等式()2fxxxm−+的解集非空时，m的取值范围为5,4−．解法二：原式等价于存在xR，使2()fxx

xm−+成立，即2max[()]fxxxm−+设2()()gxfxxx=−+由（1）知2223,1()31,123,2xxxgxxxxxxx−+−−=−+−−−++当1x−时，2()3gxxx=

−+−，其开口向下，对称轴112x=−所以()()11135gxg−=−−−=−-12-当12x−时，()231gxxx=−+−，其开口向下，对称轴为32x=所以()399512424gxg=−+−=当2x时，()23gxxx=−++，其开口向下，对称轴为12x=所

以()()24231gxg=−++=综上()max54gx=所以m的取值范围为5,4−．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2

abab+=，证明：(1)33()()4abab++；(2)2ab+．【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()()()()()()4abababaabbab++=+++=解法

二：5566553325533()()()2ababababababababab++=+++=+++−3326633332()22()4abababab++−=+=解法三：()()()()()2555533553342abababababababab++−=++−+=+−又0,0ab，

所以()255332220ababababab+−=−．当ab=时，等号成立．所以，()()5540abab++−，即55()()4abab++．（2）解法一：由332ab+=及2()4abab+得2222()()

()()3abababababab=++−=++−-13-2233()()()4()4abababab+++−+=所以2ab+．解法二：（反证法）假设2ab+，则2ab−，两边同时立方得：3323(2)8126abbbb−=−+−，即3328126abbb

+−+，因为332ab+=，所以261260bb−+，即26(1)0b−，矛盾，所以假设不成立，即2ab+．解法三：因为332ab+=，所以：()()()3333322333843344abababaababbab+−=+−+=+++−−()()()()222333a

babababab=−+−=−+−．又0,0ab，所以:()()230abab−+−。所以，()38ab+，即2ab+．14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)选修4—5:不等式选讲已知函数()2fxxa

a=−+.(1)当2a=时,求不等式()6fx≤的解集;(2)设函数()21gxx=−,当Rx时,()()3fxgx+≥,求a的取值范围.【解析】(Ⅰ)当2a=时,()222fxx=−+.解不等式2226x−+≤,得13x−≤≤.因此,()6fx≤的解集为13xx−≤≤.(Ⅱ)当Rx时,

()()2122121fxgxxaaxxaxaaa+=−++−−+−+=−+≥当12x=时等号成立.所以当Rx时,()()3fxgx+≥等价于13aa−+≥.①-14-当1a≤时,①等价于13aa−+≥,无解.当1a时,①等价于13aa−+≥,解得2a≥所以的取值范围是)2,+.15．

(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()1122fxxx=−++，M为不等式()2fx的解集．（1）求M；（2）证明：当,abM时，1abab++．方法1（1）()12,,2111,,2212,.

2xxfxxxx−−=−当12x−时，由()2fx得22x−，解得1x−；当1122x−时，()2fx恒成立；当12x时，由()2fx，得22x，解得1x

．所以()2fx的解集|11Mxx=−．（2）由（1）知，当abM，时，11a−，11b−，从而()()()()2222222211110ababababab+−+=+−−=−−．因此1abab++．（方法

2）⑴当12x−时，()11222fxxxx=−−−=−，若112x−−；当1122x−≤≤时，()111222fxxx=−++=恒成立；当12x时，()2fxx=，若()2fx，112x<．综上可得，|

11Mxx=−．⑵当()11ab−，，时，有()()22110ab−−-15-即22221abab++，则2222212ababaabb+++++，则()()221abab++，即1abab++，证毕．16．(

2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123fxx=+−−．（1）画出(x)yf=的图像；（2）求不等式(x)1f>的解集．【答案】(I)见解析(II)()()1135

3−+，，，方法1(I)()4133212342xxfxxxxx−−=−−−，≤，，≥，()yfx=如图所示：(II)由()fx得表达式及图像，当()1fx=时，得1x=或3x=当()1fx=

−时，得13x=或5x=故()1fx>的解集为13xx；()1fx−<的解集为153xxx或-16-()1fx∴，解集为()()11353−+，，，．方法2(I

)如上图所示：(II)()4133212342xxfxxxxx−−=−−−，≤，，≥()1fx当1x−≤，41x−，解得5x或3x1x−∴≤当312x−，321x−，解得1x或13x113x−∴或312x当3

2x≥，41x−，解得5x或3x332x∴≤或5x综上，13x或13x或5x()1fx∴，解集为()()11353−+，，，．17．(2015高考数学新课标2理科)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,abcd均为正数，且abcd+=+，证明：(1)

若abcd，则abcd++；(2)abcd++是abcd−−的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．解析：（1）因为2()2ababab+=++，2()2cdcdcd+=++，由题设abcd+=+，abc

d，得22()()abcd++．因此abcd++．（2）（ⅰ）若abcd−−，则22()()abcd−−．即22()4()4ababcdcd+−+−．因为abcd+=+，所以abcd，由（Ⅰ）得abcd++．（ⅱ

）若abcd++，则22()()abcd++，即2abab++2cdcd++．因为abcd+=+，所以abcd，于是-17-22()()4ababab−=+−2()4cdcd+−2()cd=−．因此abcd−−，综上，abcd++是abcd−−的充要条件．18．(2015高考数学新

课标1理科)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0fxxxaa=+−−．(1)当1a=时，求不等式()1fx的解集；(2)若()fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）2

{|2}3xx（Ⅱ）（2，+∞）解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，等价于11221xxx−−−+−或111221xxx−++−或11221xxx+

−+，解得223x，所以不等式f（x）>1的解集为2{|2}3xx．（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,xaxfxxaxaxaxa−−−=+−−−++，所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的

三个顶点分别为21(,0)3aA−，(21,0)Ba+，(,+1)Caa，所以△ABC的面积为22(1)3a+．由题设得22(1)3a+＞6，解得2a．所以a的取值范围为（2，+∞）．19．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分10)选修

4-5：不等式选讲．设函数()fx=1(0)xxaaa++−(1)证明：()fx2；(2)若()35f，求a的取值范围．【答案】解析：（Ⅰ）11112xxaxaxxaxaaaaa++−=++−++−=+，仅当1

a=时等号成立，所以()fx2．（Ⅱ）()3f=1133335aaaa++−=−++-18-当03a时，()3f=165aa−+，解得152a+当3a时，()3f=15aa+，解得5212a+综上所述，a的取值范围为15521

(,)22++．20．(2014高考数学课标1理科)选修4—5:不等式选讲若0,0ab>>,且11abab+=．(1)求33ab+的最小值;(2)是否存在,ab,使得236ab+=?并说明理由．【答案】解析:(1)

由112ababab=+?,得2ab³,且当2ab==时等号成立,故3333342abab+?,且当2ab==时等号成立,∴33ab+的最小值为42．(2)由62326abab=+?,得32ab£,又由(1)知2ab³,二者矛盾,所以不存在,ab,使

得236ab+=成立．21．(2013高考数学新课标2理科)设abc、、均为正数，且1abc++=，证明：(Ⅰ)13abbcac++；(Ⅱ)2221abcbca++【答案】证明：(1)由2222222,2,2

ababbcbccaac+++厖?得222abcabbcac++++….由题设得2()1abc++=，即2222221abcabbcca+++++=.所以3()1abbcac++„，即13abbcac++„.(2)因为2222,2,2abcbacbacbc

a+++厖?，故222()2()abcabcabcbca+++++++…，-19-即222abcabcbca++++….所以2221abcbca++….22．(2013高考数学新课标1理科)选修4—5：不等式选讲已知函数()fx=|21||2|xxa−++,()gx=3x+．(1)当a=2时，求

不等式()fx＜()gx的解集；(2)设a＞-1,且当x∈[2a−，12)时，()fx≤()gx,求a的取值范围．【答案】（1）{|02}xx（2）（-1，43]．解析：当a=-2时，不等式()fx＜()gx化为|21||22|30xxx−+−−−，设函数y=|21||22|3

xxx−+−−−，y=15,212,1236,1xxxxxx−−−−，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x时，y＜0，∴原不等式解集是{|02}xx．（Ⅱ）当x∈[2a−，12)时，()fx=1a+，不等式()fx≤()g

x化为13ax++，∴2xa−对x∈[2a−，12)都成立，故2a−2a−，即a≤43，∴a的取值范围为（-1，43]．23．(2012高考数学新课标理科)选修45−：不等式选讲-20-已知函数()2fxxax=++−．(1)当3a=−时，求不等式()3fx的解集

；(2)若()4fxx−的解集包含[1,2]，求a的取值范围．【答案】（１）{x|x≤1或x≥8}（２）[－3,0]解析：（1）当3a=−时，()3323fxxx−+−2323xxx−+−或23323xxx−+−或3323xxx−+−1x或4x

（2）原命题()4fxx−在[1,2]上恒成立24xaxx++−−在[1,2]上恒成立22xax−−−在[1,2]上恒成立30a−