2012-2022年高考数学真题分类汇编 19.不等式选讲含解析【高考】

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【文档说明】2012-2022年高考数学真题分类汇编 19.不等式选讲含解析【高考】.doc,共(20)页,2.097 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

-1-不等式选讲1.(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3fxxax=−++.(1)当1a=时,求不等式()6fx的解集;(2)若()fxa−,求a的取值范围.【答案】(1)(),42,−−+.(2)3,

2−+.解析:(1)当1a=时,()13fxxx=−++,13xx−++表示数轴上的点到1和3−的距离之和,则()6fx表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6,故4x−或2x,所以()6fx的解集为(),42,−−+.(2)依题意()fx

a−,即3axax−+−+恒成立,333xaxxaax−++−+=++,故3aa+−,所以3aa+−或3aa+,解得32a−.所以a的取值范围是3,2−+.【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.2.(2020年高考数学

课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|fxxx=+−−.(1)画出()yfx=的图像;-2-(2)求不等式()(1)fxfx+的解集.【答案】(1)详解解析;(2)7,6−−.【解析】(1)因为()3,1151,1313,3xxfxxxxx+=

−−−−−,作出图象,如图所示:(2)将函数()fx的图象向左平移1个单位,可得函数()1fx+的图象,如图所示:由()3511xx−−=+−,解得76x=−.-3-所以不等式()(1)fxfx+的解集为7,6−−.3.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数

2()|21|fxxaxa=−+−+.(1)当2a=时,求不等式()4fx…的解集;(2)若()4fx…,求a的取值范围.【答案】(1)32xx或112x;(2)(),13,−−+.解析:(1)当2a=时,()43fxxx=−+−.当3x时,()43

724fxxxx=−+−=−,解得:32x≤;当34x时,()4314fxxx=−+−=,无解;当4x时,()43274fxxxx=−+−=−,解得:112x;综上所述:()4fx的解集为32xx或112x

.(2)()()()()22222121211fxxaxaxaxaaaa=−+−+−−−+=−+−=−(当且仅当221axa−时取等号),()214a−,解得:1a−或3a,a的取值范围为(),13,−−+.4.(2020年高考数学课

标Ⅲ卷理科)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥34.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.解析:(1)2222()2220a

bcabcabacbc++=+++++=,-4-()22212abbccaabc++=−++.1,,,abcabc=均不为0,则2220abc++,()222120abbccaabc++=−++;(2)不妨设max{,,}ab

ca=,由0,1abcabc++==可知,0,0,0abc,1,abcabc=−−=,()222322224bcbcbcbcbcaaabcbcbc++++====.当且仅当bc=时,取等号,34a,即3max

{,,}4abc….5.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,xyzR,且1xyz++=.(1)求222(1)(1)(1)xyz−++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3xyza−+−+−≥成立,证明:3a−≤或1a−≥.【答案】【答案】(1)43

;(2)见详解.【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]xyz−++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]xyzxyyzzx=−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)xyz−++++„故由已知

得232(1)(1)143()xyz−++++≥,当且仅当511,,333xyz==−=−时等号成立.所以232(1)(1)(1)xyz−++++的最小值为43.(2)由于2[(2)(1)()]xyza−+−+−222(2)(1)()2[

(2)(1)(1)()()(2)]xyzaxyyzazax=−+−+−+−−+−−+−−2223(2)(1)()xyza−+−+−„故由已知得2222(2)(2)(1)()3axyza+−+−+−…,当且仅当-5-4122

,,333aaaxyz−−−===时等号成立.因此222(2)(1)()xyza−+−+−的最小值为2(2)3a+由题设知2(2)133a+…,解得3a−≤或1a−≥.【解法2】柯西不等式法(1)22222222

[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4xyzxyzxyz−++++++−++++=+++=≥,故2224(1)(1)(1)3xyz−++++≥,当且仅当511,,333xyz==−=−时等号成立.所以222(1)(1)(1)xyz−++

++的最小值为43.(2)2221(2)(1)()3xyza−+−+−≥,所以222222[(2)(1)()](111)1xyza−+−+−++≥.当且仅当4122,,333aaaxyz−−−===时等号成立.22222222[(2)(1)()](111)(21

)(2)xyzaxyzaa−+−+−++=−+−+−=+成立.所以2(2)1a+≥成立,所以有3a−≤或1a−≥.6.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2fxxaxxxa=−+−−.()1当1a=时,求不等式()0fx的解集;()2当(),1x−时,()

0fx,求a的取值范围.【答案】()1(),1−;()2)1,+解析1:”()1当1a=时,()=|1|+|2|(1)fxxxxx−−−.当1x时,2()2(1)0fxx=−−;当1x≥时,()0fx≥.所以,不等式()0fx的解集为(,

1)−.()2因为()=0fa,所以1a≥.当1a≥,(,1)x−时,()=()+(2)()=2()(1)<0fxaxxxxaaxx−−−−−所以,a的取值范围是[1,)+.-6-解析2:()1当1a=

时,原不等式可化为()1210xxxx−+−−;当1x时,原不等式可化为,即()210x−,显然成立,此时解集为(),1−;当12x≤时,原不等式可化为()()()1210xxxx−+−−,解得1x,此时解集为空集;当2x≥时,原不等式可化为()()()1210xxxx−+−−

,即()210x−,显然不成立;此时解集为空集;综上,原不等式的解集为(),1−;()2当1a≥时,因为(),1x−,所以由()0fx可得()()()20axxxxa−+−−,即()()10xax−−,

显然恒成立;所以1a≥满足题意;当1a时,()()()2,1()21,xaaxfxxaxxa−=−−≤,因为1ax≤时,()0fx显然不能成立,所以1a不满足题意;综上,a的取值范围是)1,+.7.(2019年高考数学

课标全国Ⅰ卷理科)已知a,b,c为正数,且满足1abc=.证明:(1)222111abcabc++++≤;(2)333()()()24abbcca+++++≥.【答案】解:(1)因为2222222,2,2ababbcbccaac+++≥≥≥,又1

abc=,故有222111abbccaabcabbccaabcabc++++++==++≥.所以222111abcabc++++≤.(2)因为,,abc为正数且1abc=,故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac++++++++≥3(+)(+)(+)

abbcac=3(2)(2)(2)24abbcac=≥所以333()()()24abbcca+++++≥.8.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理))【选修4—5:不等式选讲】(10分)设函数()211fxxx=++−.-7-(1)画出()yfx=的图象;(2)当)

0,x+时,()fxaxb+,求ab+的最小值.【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1xxfxxxxx−−=+−()yfx=的图像如图所示-8-(2)由(1)知,()yfx=

的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当3a且2b时,()fxaxb+在)0,+成立,因此ab+的最小值为5.方法2(1)()211fxxx=++−3,112,12132xxxxxx=+−−−,可作出函数()fx的图象如下

图(2)依题意可知()fxaxb+在)1,+上恒成立,在)0,1上也恒成立当1x时,()3fxxaxb=+恒成立即()30axb−+在)1,+上恒成立-9-所以30a−,且30ab−+,此时3a,3ab+当01x时,()2fxxa

xb=++即()120axb−+−恒成立结合3a,可知20b−即2b综上可知32ab,所以当3a=,2b=时,ab+取得最小值5.9.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理))[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数(

)5|||2|fxxax=−+−−.(1)当1a=时,求不等式()0fx≥的解集;(2)若()1fx≤,求a的取值范围.【答案】解析:(1)当1a=时,24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx+−=−−+≤≤可得()0

≥fx的解集为|23≤≤xx−.(2)()1fx≤等价于|||2|4≥xax++−.而|||2||2|≥xaxa++−+,且当2x=时等号成立,故()1fx≤等价于|2|4≥a+.由|2|4≥a+可得6≤a−或2≥a,所以a的取值范围是(),62,−−+.10.(2018年高考数学课标

卷Ⅰ(理))[选修4–5:不等式选讲](10分)已知()|1||1|fxxax=+−−.(1)当1a=时,求不等式()1fx的解集;(2)若(0,1)x时不等式()fxx成立,求a的取值范围.【答案】解析:(1)当1a=时,()|1||1|fxxx

=+−−,即2,1,()2,11,2,1.xfxxxx−−=−故不等式()1fx的解集为1{|}2xx.(2)当(0,1)x时|1||1|xaxx+−−成立等价于当(0,1)x时|1|1ax−

成立.若0a,则当(0,1)x时|1|1ax−;若0a,|1|1ax−的解集为20xa,所以21a,故02a.综上,a的取值范围为(0,2].-10-11.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)

[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24fxxax=−++,()11gxxx=++−.(1)当1a=时,求不等式()()fxgx的解集;(2)若不等式()()fxgx的解集包含1,1−,求a的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)11712xx−+−

;(2)1,1−.【分析】(1)将1a=代入,不等式()()fxgx等价于2|1||1|40xxxx−+++−−,对x按1x−,11x−,1x讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x−时,()2gx=.若()()fxgx的解集包含[1

,1]−,等价于当1,1x−时,()2fx,则()fx在1,1−的最小值必为()1f−与()1f之一,所以()12f−且()12f,得11a−,所以a的取值范围为1,1−.【解析】(1)当1a=时

,不等式()()fxgx等价于21140xxxx−+++−−①当1x−时,①式化为2340xx−−,无解;当11x−时,①式化为220xx−−,从而11x−;当1x时,①式化为240xx+−,从而11712x−+所以不等式(

)()fxgx的解集为11712xx−+−(2)当1,1x−时,()2gx=所以()()fxgx的解集包含1,1−,等价于当1,1x−时,()2fx又()f

x在1,1−的最小值必为()1f−与()1f之一,所以()()1212ff−,得11a−.所以a的取值范围为1,1−.12.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5:不等式选讲

](10分)已知函数()12fxxx=+−−.(1)求不等式()1fx的解集;(2)若不等式()2fxxxm−+的解集非空,求m的取值范围.解析:(1)因为()3,11221,123,2xfxxxxxx−−=+−−=−-11-所以不等式()1f

x等价于131x−−或12211xx−−或231x由131x−−x无解;由1222xx−12x;由231x2x综上可得不等式()

1fx的解集为)1,+.(2)解法一:先求不等式()2fxxxm−+的解集为空集时m的取值范围不等式()2fxxxm−+的解集为空集等价于不等式()2mfxxx−+恒成立记()()2Fxfxxx=−+22

23,131,123,2xxxxxxxxx−+−−−+−−++,则()maxmFx当1x−时,()()2211131524FxxxxF=−+−=−−−−=−当12x−时,()223535312

424FxxxxF=−+−=−−+=当2x时,()()2211332124FxxxxF=−++=−−+=所以()max3524FxF==所以不等式()2fxxxm−+的解集为空集

时,54m所以不等式()2fxxxm−+的解集非空时,m的取值范围为5,4−.解法二:原式等价于存在xR,使2()fxxxm−+成立,即2max[()]fxxxm−+设2()()gxfxx

x=−+由(1)知2223,1()31,123,2xxxgxxxxxxx−+−−=−+−−−++当1x−时,2()3gxxx=−+−,其开口向下,对称轴112x=−所以()()11135gxg−=−−

−=−-12-当12x−时,()231gxxx=−+−,其开口向下,对称轴为32x=所以()399512424gxg=−+−=当2x时,()23gxxx=−++,其开口向下,对称轴为12x=所

以()()24231gxg=−++=综上()max54gx=所以m的取值范围为5,4−.13.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知330,0,2abab+=,证明:(1)33()()4abab++;(2)2ab+.【基本解法】(

1)解法一:由柯西不等式得:55222222332()()()()()()()4abababaabbab++=+++=解法二:5566553325533()()()2ababababababababab++=+++=+++−3326633332()22()4abababa

b++−=+=解法三:()()()()()2555533553342abababababababab++−=++−+=+−又0,0ab,所以()255332220ababababab+−=−.当ab=时,等号成立.所

以,()()5540abab++−,即55()()4abab++.(2)解法一:由332ab+=及2()4abab+得2222()()()()3abababababab=++−=++−-13-2233()()()4()4abababab+++−+=所以2ab+

.解法二:(反证法)假设2ab+,则2ab−,两边同时立方得:3323(2)8126abbbb−=−+−,即3328126abbb+−+,因为332ab+=,所以261260bb−+,即26(1)0b−,矛盾,所以假设不成立,即2ab+.解法三:因

为332ab+=,所以:()()()3333322333843344abababaababbab+−=+−+=+++−−()()()()222333ababababab=−+−=−+−.又0,0ab,所以:()()230abab−+−。所以,()38ab+,即2ab+.14.(201

6高考数学课标Ⅲ卷理科)选修4—5:不等式选讲已知函数()2fxxaa=−+.(1)当2a=时,求不等式()6fx≤的解集;(2)设函数()21gxx=−,当Rx时,()()3fxgx+≥,求a的取值范围.【解析】(Ⅰ)当2a=时,()222f

xx=−+.解不等式2226x−+≤,得13x−≤≤.因此,()6fx≤的解集为13xx−≤≤.(Ⅱ)当Rx时,()()2122121fxgxxaaxxaxaaa+=−++−−+−+=−+≥当12x=时等号成立.所

以当Rx时,()()3fxgx+≥等价于13aa−+≥.①-14-当1a≤时,①等价于13aa−+≥,无解.当1a时,①等价于13aa−+≥,解得2a≥所以的取值范围是)2,+.15.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分10分)

选修4—5:不等式选讲已知函数()1122fxxx=−++,M为不等式()2fx的解集.(1)求M;(2)证明:当,abM时,1abab++.方法1(1)()12,,2111,,2212,.2xxfx

xxx−−=−当12x−时,由()2fx得22x−,解得1x−;当1122x−时,()2fx恒成立;当12x时,由()2fx,得22x,解得1x.所以()2fx的解集|11Mxx=−.(2)由(1)知,当abM,时,11a−

,11b−,从而()()()()2222222211110ababababab+−+=+−−=−−.因此1abab++.(方法2)⑴当12x−时,()11222fxxxx=−−−=−,若112x−−;当1122x−≤≤时,()111222fxxx=−++=恒成立;当12x时,

()2fxx=,若()2fx,112x<.综上可得,|11Mxx=−.⑵当()11ab−,,时,有()()22110ab−−-15-即22221abab++,则2222212ababaabb+++++,则()()221abab++,

即1abab++,证毕.16.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数(x)123fxx=+−−.(1)画出(x)yf=的图像;(2)求不等式(x)1f>的解集.【答案】(I)见解析(II)()()11353−+,,,方法1

(I)()4133212342xxfxxxxx−−=−−−,≤,,≥,()yfx=如图所示:(II)由()fx得表达式及图像,当()1fx=时,得1x=或3x=当()1fx=−时,得13x=或5x=故()1fx>的解集

为13xx;()1fx−<的解集为153xxx或-16-()1fx∴,解集为()()11353−+,,,.方法2(I)如上图所示:(II)()4133212342xxfxxxxx−−=−−

−,≤,,≥()1fx当1x−≤,41x−,解得5x或3x1x−∴≤当312x−,321x−,解得1x或13x113x−∴或312x当32x≥,41x−,解得5x或3x

332x∴≤或5x综上,13x或13x或5x()1fx∴,解集为()()11353−+,,,.17.(2015高考数学新课标2理科)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,abcd均为

正数,且abcd+=+,证明:(1)若abcd,则abcd++;(2)abcd++是abcd−−的充要条件.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.解析:(1)因为2()2ababab+=++,2()2cdcdcd+=++,由题设

abcd+=+,abcd,得22()()abcd++.因此abcd++.(2)(ⅰ)若abcd−−,则22()()abcd−−.即22()4()4ababcdcd+−+−.因为abcd+=+,所以abcd,由(Ⅰ)得abcd++.(ⅱ)若

abcd++,则22()()abcd++,即2abab++2cdcd++.因为abcd+=+,所以abcd,于是-17-22()()4ababab−=+−2()4cdcd+−2()cd=−.因此abcd−−,综上,abcd++是abc

d−−的充要条件.18.(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()12,0fxxxaa=+−−.(1)当1a=时,求不等式()1fx的解集;(2)若()fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围【答案】(Ⅰ)2{|2}3xx

(Ⅱ)(2,+∞)解析:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|>1,等价于11221xxx−−−+−或111221xxx−++−或11221xxx+−+,解得223x,所以不等式f(x)>1的解集为2{|2}3

xx.(Ⅱ)由题设可得,12,1()312,112,xaxfxxaxaxaxa−−−=+−−−++,所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA−,(21,0)Ba+,(,+1)Caa,所以△ABC的面积

为22(1)3a+.由题设得22(1)3a+>6,解得2a.所以a的取值范围为(2,+∞).19.(2014高考数学课标2理科)(本小题满分10)选修4-5:不等式选讲.设函数()fx=1(0)xxaaa++−(1)证明:()fx2;(2)若()35f,求a

的取值范围.【答案】解析:(Ⅰ)11112xxaxaxxaxaaaaa++−=++−++−=+,仅当1a=时等号成立,所以()fx2.(Ⅱ)()3f=1133335aaaa++−=−++-18-当03a时,()3f=165aa−+,解得152a+当3a

时,()3f=15aa+,解得5212a+综上所述,a的取值范围为15521(,)22++.20.(2014高考数学课标1理科)选修4—5:不等式选讲若0,0ab>>,且11abab+=.(1)求33ab+的最小值;(2)是否存在,ab,使得236ab+=?并说明理由.【

答案】解析:(1)由112ababab=+?,得2ab³,且当2ab==时等号成立,故3333342abab+?,且当2ab==时等号成立,∴33ab+的最小值为42.(2)由62326abab=+?,得

32ab£,又由(1)知2ab³,二者矛盾,所以不存在,ab,使得236ab+=成立.21.(2013高考数学新课标2理科)设abc、、均为正数,且1abc++=,证明:(Ⅰ)13abbcac++;(Ⅱ)2221abcbca++【答

案】证明:(1)由2222222,2,2ababbcbccaac+++厖?得222abcabbcac++++….由题设得2()1abc++=,即2222221abcabbcca+++++=.所以3()1abbcac++„,即

13abbcac++„.(2)因为2222,2,2abcbacbacbca+++厖?,故222()2()abcabcabcbca+++++++…,-19-即222abcabcbca++++….所以2221abcbca++….22.(2013高考数学新课标1理科)选

修4—5:不等式选讲已知函数()fx=|21||2|xxa−++,()gx=3x+.(1)当a=2时,求不等式()fx<()gx的解集;(2)设a>-1,且当x∈[2a−,12)时,()fx≤()gx,求a的取值范围.【答案】(1){|02}xx(2)(-1,43

].解析:当a=-2时,不等式()fx<()gx化为|21||22|30xxx−+−−−,设函数y=|21||22|3xxx−+−−−,y=15,212,1236,1xxxxxx−−−−,其图像如图所示,从图像可知,当且仅当(0,2)x

时,y<0,∴原不等式解集是{|02}xx.(Ⅱ)当x∈[2a−,12)时,()fx=1a+,不等式()fx≤()gx化为13ax++,∴2xa−对x∈[2a−,12)都成立,故2a−2a−,即a≤43,∴a的取值范围为(-1,43].23.(2012高考数学新课标理科)选修

45−:不等式选讲-20-已知函数()2fxxax=++−.(1)当3a=−时,求不等式()3fx的解集;(2)若()4fxx−的解集包含[1,2],求a的取值范围.【答案】(1){x|x≤1或x≥8}(2)[-3,0]解析:(1)当3a=−时,()3323fxxx

−+−2323xxx−+−或23323xxx−+−或3323xxx−+−1x或4x(2)原命题()4fxx−在[1,2]上恒成立24xaxx++−−在

[1,2]上恒成立22xax−−−在[1,2]上恒成立30a−

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