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6.3二项式定理6.3.1二项式定理A级必备知识基础练1.(x-√2y)10的展开式中x6y4的系数是()A.840B.-840C.210D.-2102.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是()

A.-5B.5C.-10D.103.使得3x+1𝑥√𝑥n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.74.(多选题)对于二项式1𝑥+x3n(n∈N*),下列判断正确的有()A.存在n∈N*,展开式中

有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项5.若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)6

.若x>0,设𝑥2+1𝑥5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为.7.已知√𝑥+2√𝑥3n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示).8.已知在(√𝑥+2𝑥2)𝑛的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,

求展开式中的常数项.9.求证:1+2+22+…+25𝑛-1(n∈N*)能被31整除.B级关键能力提升练10.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.20711.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-

2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3B.6C.9D.2112.(x2+2)1𝑥2-15的展开式中的常数项是()A.-3B.-2C.2D.313.(2022江苏南京玄武校级月考)-2C𝑛1+4C𝑛2-8C𝑛3+…+(-2)nC𝑛𝑛=()A.(-1

)n-1B.(-1)nC.3nD.3n-114.(2022山西临汾模拟)在(𝑎+𝑥-1𝑥)10的展开式中,x8的系数为170,则正数a的值为()A.√343B.4√23C.2D.115.已知在1

2x2-1√𝑥n的展开式中,第9项为常数项,则:(1)n的值为;(2)含x的整数次幂的项有个.16.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.17.已知(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数与x+544的展

开式中x3的系数相等,则cosθ=.18.已知√𝑥−12√x4n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明:展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项.C级学科素养创新练19.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n

(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项;(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?6.3.1二项式定理1.A在通项Tk+1=C10𝑘(-√2y)kx

10-k中,令k=4,即得(x-√2y)10的展开式中x6y4项的系数为C104×(-√2)4=840.2.D(1-x)5中x3的系数为-C53=-10,-(1-x)6中x3的系数为-C63·(-1)3

=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3的系数为10.3.B(3𝑥+1𝑥√𝑥)𝑛展开式中的第k+1项为C𝑛𝑘(3x)n-k𝑥-32𝑘=C𝑛𝑘3n-k𝑥𝑛-52𝑘.若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-52k=0,故最小的n为5,故选B

.4.AD二项式1𝑥+x3n的展开式的通项为Tk+1=C𝑛𝑘x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD.5.12二项展开式的通项为Tk+1=C10𝑘x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=C103a3

x7,则C103a3=15,故a=12.6.5√22T3=C52·𝑥231𝑥2=54x,T4=C53·𝑥22·1𝑥3=52𝑥,故M+N=5𝑥4+52𝑥≥2√258=5√22当且仅当5𝑥4=52𝑥,即x=√2时,等号成立.7.解∵C𝑛8=C𝑛9,∴n=17,Tk+1=C17𝑘

𝑥17-𝑘2·2k·𝑥-𝑘3.令17-𝑘2−𝑘3=1,得k=9.∴T10=C179·x4·29·x-3=C179·29·x.故x的系数为29C179.8.解T5=C𝑛4(√𝑥)n-4·24x-8=16C𝑛4�

�𝑛-202,T3=C𝑛2(√𝑥)n-2·22x-4=4C𝑛2𝑥𝑛-102.由题意知,16C𝑛44C𝑛2=563,解得n=10(负值舍去).Tk+1=C10𝑘(√𝑥)10-k·2kx-2k=2kC10𝑘𝑥10-5𝑘2,令10-

5𝑘2=0,解得k=2.所以展开式中的常数项为C102×22=180.9.证明∵1+2+22+…+25𝑛-1=25𝑛-12-1=25𝑛-1=32n-1=(31+1)n-1=C𝑛0·31n+C𝑛1·31n-1+…+C𝑛𝑛-1·31+C𝑛𝑛-1=31(C𝑛0·31n-1+C𝑛1

·31n-2+…+C𝑛𝑛-1),显然C𝑛0·31n-1+C𝑛1·31n-2+…+C𝑛𝑛-1为整数,∴原式能被31整除.10.D(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的

系数为C105−C102=207.11.B∵x3=(x-2+2)3=C30(x-2)3+C31(x-2)2·2+C32(x-2)·22+C33·23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3,

∴a2=6.12.D(1𝑥2-1)5展开式的通项为Tk+1=C5𝑘·(1𝑥2)5-𝑘·(-1)k=(-1)kC5𝑘1𝑥10-2𝑘.令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.故(x2+2)·(1𝑥2-1)5的

展开式中的常数项是(-1)4×C54+2×(-1)5×C55=3.13.A∵-2C𝑛1+4C𝑛2-8C𝑛3+…+(-2)nC𝑛𝑛=1-2C𝑛1+4C𝑛2-8C𝑛3+…+(-2)nC𝑛𝑛-1=(1-2)n-1=(-1)n-1.

14.C由多项式的乘法性质知每个括号里的因式是a,x,-1𝑥,则x8=x9×1𝑥=x8×1×1,共有2种情况,则对应的x8为C101(-1𝑥)·x9+C102a2·x8=(-10+45a2)x8,∵x8的系数

为170,∴-10+45a2=170,则45a2=180,即a2=4,解得a=2.15.(1)10(2)6二项展开式的通项为Tk+1=C𝑛𝑘12x2n-k·-1√𝑥k=(-1)k12n-kC𝑛𝑘𝑥2𝑛-52𝑘.

(1)因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-52k=0,解得n=10.(2)要使20-52k为整数,需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的项有6个,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.16.-121展开式中含x

3的项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.17.±√22(xcosθ+1)5展开式中x2的系数为C53cos2θ,x+544展开式中x3的系数为54·C41.由题意可知C53cos2θ=54·C41,∴cos2θ=12

,∴cosθ=±√22.18.(1)证明由题意得2C𝑛1·12=1+C𝑛2·(12)2,即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).∴Tk+1=C8𝑘(√𝑥)8-k·(-12√x4)k=(-12)k·𝐶8kx8-k2·𝑥-𝑘4=(-1)kC8𝑘2𝑘·𝑥16-3𝑘4(

0≤k≤8,k∈Z).若Tk+1是常数项,则16-3𝑘4=0,即16-3k=0,∵k∈Z,∴等式不可能成立,∴展开式中没有常数项.(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当16-3𝑘4为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,

T5=358x,T9=1256x-2.19.解(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为C3𝑟xr,(1+2x)4展开式的通项为C4𝑘(2x)k,f(x)g(x)

的展开式中含x2的项为1×C42(2x)2+C31x×C41(2x)+C32x2×1=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中x的项的系数为12,所

以C𝑚1+2C𝑛1=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x2的系数为C𝑚2+4C𝑛2=C12-2𝑛2+4C𝑛2=12(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+6

6=4n-2582+43116,n∈N*,所以当n=3,m=6时,