【文档说明】重庆市西南大学附属中学2024~2025学年高三上学期12月一诊模拟考试 数学 PDF版含解析.pdf，共(9)页，730.429 KB，由envi的店铺上传

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高三数学第1页（共6页）西南大学附中高2025届高三上12月一诊模拟考试数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2024年12月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5

毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲)。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的

选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数(1)(2)zii=−+，则z的共轭复数是（）A．3i+B．3i−C．1i−D．3i−+2．已知全集U=R，集合2{|40}2}1{|RxAxxxByyx=−≥==+∈，，，则U()BA（）A．{|4}xx>B．{|14}xx<<C．{|14}xx

≤<D．{|14}xx<≤3．已知体积为16π的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（）A．8πB．323πC．16πD．32π4．2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲

同学喜欢作品A、B，乙同学喜欢作品B、C、D，丙同学除了不喜欢E作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（）A．50种B．48种C．45种D．40种5．已知1sin()2α+β=，tan3tanα=β

，则cos(22)α−β=（）A．78−B．12C．78D．12−6．已知正项等比数列{}na满足5436aaa=+，若在{}na中存在两项ma，ta，使得229mtaaa=，则14mt+的最小值为（）A．53B．32C．52D．94{#{QQABCQAA

ogiAAhBAARhCQwnyCkCQkgGCCSgGwBAMsAABSBFABAA=}#}高三数学第2页（共6页）7．已知点P为圆22:(1)(2)4Cxy++−=上一点，A（0，–4），B（6，0）

，则||PAPB+的最大值为（）A．824+B．824−C．422+D．422−8．已知实数x，y满足{|lnln2}Myxxyyxxy=−=≤<，，若一定存在tM∈，使得2024tλ≥成立，则λ的最

小值为（）A．501B．1012C．2024eD．20244e−二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得

0分．9．下列说法正确的是（）A．数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12B．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7C．若随机变量X服从二项分布~(10)XBp，，且()8EX=，则()1.

6DX=D．若随机变量服从正态分布2(10)YN，σ，(6)0.3PY<=，则(614)0.6PY<<=10．已知抛物线2:2(0)Cypxp=>，过C的焦点F作直线:2lxmy=+，若C与l交于A，B两点，3AFFB=，则下列结论正确

的有（）A．抛物线C的焦点到准线的距离为4B．|32|3AB=C．3m=或3−D．12OAOB⋅=−11．已知函数cos2()esinxfxx−=，则下列说法正确的是（）A．()fx是偶函数B．()fx在π2（，）π上单调递增C．()fx在−（，）ππ内共有3个极值点

D．设1()()gxfxe=−，则()gx在[44]−，ππ上共有12个零点{#{QQABCQAAogiAAhBAARhCQwnyCkCQkgGCCSgGwBAMsAABSBFABAA=}#}高三数学第3页（共6页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共

15分．12．已知||2a=，||5b=，72ab⋅=−，则||ab−=____________．13．若函数3()33fxxxa=−+，在区间（–2，m）的最大值为8，无最小值，则ma的取值范围为_________．14．已知椭圆2222:1xyCab+=的左、右焦

点分别是F1和F2，下顶点为点A，直线AF2交椭圆C于点B，△ABF1的内切圆与BF1相切于点P，若125FPPB=，则椭圆的离心率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边

分别为a，b，c．已知sin(coscos)cos6BaBbAcBπ+=−．(1)求角B的大小；(2)若ABC∠的角平分线BD与边AC相交于点D，635BD=，7b=，求△ABC的周长．16．(15分)某中学为提升学生们

的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到

如下频率分布直方图：{#{QQABCQAAogiAAhBAARhCQwnyCkCQkgGCCSgGwBAMsAABSBFABAA=}#}高三数学第4页（共6页）(1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，80～90分为良好，70～80分为一般，6

0～70分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数X的分布列及数学期望；(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生初赛成

绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2=65．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？（参考数据：658≈；若()2ZNµσ～，，则()0.6827PZµσµσ−<<+≈，()220.9545PZµσµσ−<<+≈，()330.9973PZµσµσ

<<+≈-．）17．(15分)如图，在多面体ABCDPQ中，四边形APQD为矩形，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，2AD=2AB=BC=4，且PA=PB．(1)当4BCBM=时，求证：PM⊥BD；(2)当点M在线段BC上（包含

端点），DQ=2时，求平面PAM与平面CDQ的夹角的余弦值的取值范围．QPMDCBA{#{QQABCQAAogiAAhBAARhCQwnyCkCQkgGCCSgGwBAMsAABSBFABAA=}#}高三数学

第5页（共6页）18．(17分)已知双曲线C：2222100xyabab−=>>（，）的左右焦点分别为点1F、2F，右顶点B（2，0），且121BFBF⋅=−．(1)求双曲线C的方程；(2)过左焦点1F的直线l与双曲线C的左支交于E

、F两点，若4||3EF=，求直线l的方程；(3)若直线1l与双曲线C的右支相切，切点为P，直线1l与直线2l：455x=交于点Q，试探究以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．BOF2F1yx{#{QQAB

CQAAogiAAhBAARhCQwnyCkCQkgGCCSgGwBAMsAABSBFABAA=}#}高三数学第6页（共6页）19．(17分)对于数列{}na，如果{}na中存在四项ma、na、ka、la

，使得mnklaaaa+=+（m，n，k，l互不相同），则称数列{}na为缤纷数列．(1)2024年12月7日，西南大学附属中学迎来了办学110周年庆典，若数列：2，4，12，7，x为缤纷数列，且x>12，求x的所有可能值；(2)数列{}na是等比数列，公比q>0且q≠1，{}na是缤纷数列，

求{}na项数的最小值，并求此时公比q的个数；(3)项数为n（4n≥）的数列{}na为等差数列，公差不为0，从{}na中任意取出4个元素组成一个数列，该数列为缤纷数列的概率超过110，求n的最大值．［参考公式：21(1)

(21)6nknnnk=++=∑］（命题、审题人：校命题小组）{#{QQABCQAAogiAAhBAARhCQwnyCkCQkgGCCSgGwBAMsAABSBFABAA=}#}西南大学附中高2025届高三上12月一诊模拟考试数学试题参考答案1—5:ABCDC6—8:BAB9.AC10

.ABD11ACD8．已知lnln,2.xyyxxy即lnln,2.xyxyxy令ln()xfxx,则21ln()xfxx，当(0,)xe时,()0,fx()fx递增;(,)xe时,()0.fx()fx递减.又ln2ln424.结合图象知yx

的最大值为422.即M中的最大元素为2,故20241012.2选B.11．对于A，函数cos2()esinxfxx，定义域为R，关于原点对称，且cos()2cos2()esin)esi

n()(xxfxxxfx，故函数()fx是偶函数，A正确；对于B，由函数cos2()esin,(,)2xfxxx，可得coscos()sine2sinc)sin(2osecosxxxxxxfxx，(,)2x令costx，(,)2x，

(1,0)t，2,(1,0)ethttt，则e20tht，ht在(1,0)t单调递增，又1120he，010h，所以存在0(1,0)t使得00ht，000cos,(,)2txx，()0fx当0(1,)tt时

，0ht，0fx，fx在0(,)xx单调递增；当0(,0)tt时，0ht，0fx，fx在0(,)2xx单调递减；故B错误；对于C，由函数cos2()esin,(,)xfxxx

，可得coscos()sine2sinc)sin(2osecosxxxxxxfxx，(,)x因为函数()fx是偶函数，不妨设(0,)x，sin0x，令costx，(0,)x

，(1,1)t，2,(1,1)ethttt，则e20tht，ht在(1,1)t单调递增，又1120he，010h，所以存在0(1,0)t使得00ht，000cos,(,)2txx，()0fx当0(1,)tt时，0

ht，0fx，fx在0(,)x单调递增；当0(,1)tt时，0ht，0fx，fx在0(0,)x单调递减；()fx在0xx处取得极小值又函数()fx是偶函数，所以fx在

0(,)x单调递减，在0(,0)x单调递增所以()fx在0xx处取得极小值，在0x处取得极大值.故C正确；对于D，由cos21()()si1enxegxfxex，(2π)gxgx，函数

gx周期为2π，不妨设[0,2π]x，cos)eo(s)sin(2cxgxxx，由C可知，存在0(,)2x，gx在0(0,)x单调递减，0(,)x单调递增，0(,2)x单调递减，0(2,2)x单调递增，又1(0)0gee，1()02ge，()0g

，31()02ge，1(2)0gee，所以()gx在[0,2]上有3个零点，故()gx在[4,4]上共有12个零点.D正确.故选：ACD.12．6；13．1,22；13．1215．解：(1)由正弦定理，1sin(sincossincos)sinc

os().sin623BABBACBac163()sinsinsin()sinsinsincos().2566acBABBCCB结合ABC化简可得-----------------------2分又因为(0

,)C,所以sin0C,所以31sincos()cossin622BBBB,即tan3.B--------------------5分又因为(0,)B，则3B.---------------------------6分(2

)因为ABCABDBCDSSS,所以,即6()5acac,------------9分由余弦定理，22217()27cos3222acacacacac,结合6()5acac可得(舍负)，----------------12分则ABC

的周长为57.----------------13分16．解：(1)在[80，90）内样本中人数：0.015×10×100=15在[90，100）内样本中人数：0.005×10×100=5抽取2人中成绩优秀人数X可取0，1，2𝑃(𝑋=0)=𝐶215𝐶220=2138，𝑃(𝑋=1)

=𝐶115𝐶15𝐶220=1538，𝑃(𝑋=2)=𝐶25𝐶220=119X的分布列为X012P21381538119至少有1人初赛成绩优秀的概率𝑃(𝑋≥1)=1738(2)𝜇=45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.15+

95×0.05=69𝜎2=65，𝜎≈8∵𝑍∼𝑁(69,65)∴𝑃(𝑍≥85)=𝑃(𝑍≥𝜇+2𝜎)=12[1―𝑃(𝜇―2𝜎<𝑍<𝜇+2𝜎)]≈0.022755ac∴全校参加初赛学生中，不低于85分的约有8000×0.0227

5=182人∵182<200,∴估计小华有资格参加复赛。17．(1)证明：过点P作𝑃𝑂⊥𝐴𝐵于点O，连接OM，过D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，连接AE。∵𝑃𝐴=𝑃𝐵，∴𝑂𝐴=𝑂𝐵在矩形APQD中，𝐴𝐷⊥𝐴𝑃，在梯形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐷∥�

�𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐷=90°，即𝐴𝐷⊥𝐴𝐵又𝐴𝐵∩𝐴𝑃=𝐴，𝐴𝐵⊂面𝐴𝐵𝑃，𝐴𝑃⊂面𝐴𝐵𝑃，∴𝐴𝐷⊥面𝐴𝐵𝑃∵𝑃𝑂⊂面𝐴𝐵𝑃，∴𝐴𝐷⊥𝑃𝑂又𝑃𝑂⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵∩𝐴𝐷=𝐴，𝐴𝐵,𝐴𝐷⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷，

∴𝑃𝑂⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷∵𝐵𝐷⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝑃𝑂⊥𝐵𝐷在梯形ABCD中，𝐵𝐸=𝐴𝐷=2=12𝐵𝐶，E是BC中点∵𝐵𝐶=4𝐵𝑀，∴𝐵𝑀=14𝐵𝐶=12𝐵𝐸，M是BE的中点，∴𝑂𝑀∥�

�𝐸正方形ABED中，𝐵𝐷⊥𝐴𝐸，∴𝐵𝐷⊥𝑂𝑀又𝑃𝑂⊥𝐵𝐷，𝑃𝑂∩𝑂𝑀=𝑂，𝑃𝑂,𝑂𝑀⊂面𝑃𝑂𝑀，∴𝐵𝐷⊥面𝑃𝑂𝑀∵𝑃𝑀⊂面𝑃𝑂𝑀，∴𝑃𝑀⊥𝐵𝐷(2)解：以O为原点，过O平行于AD方向的

直线为x轴，AB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则O（0，0，0），P（0，0，3），Q（2，0，3），A（0，1，0），B（0，-1，0），C（4，-1，0），D（2，1，0），设𝐵𝑀=𝜆𝐵𝐶（0≤𝜆≤1）,𝐵C=（4，0，0），𝐵𝑀（4𝜆，0，0

），M（4𝜆，-1，0），𝐴𝑃=（0，-1，3），𝐴𝑀=（4𝜆，-2，0），𝐶D=（-2，2，0），𝐷Q=（0，-1，3）设平面PAM的一个法向量𝑚=(𝑎,𝑏,𝑐)则𝑚⋅𝐴𝑃=0𝑚⋅𝐴𝑀=0∴―𝑏+3𝑐=04𝜆𝑎―2𝑏=0，∴𝑚=(

3,23𝜆,2𝜆)设平面CDQ的一个法向量𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)则𝑛⋅𝐶𝐷=0𝑛⋅𝐷𝑄=0∴―2𝑥+2𝑦=0―𝑦+3𝑧=0，∴𝑛=(3,3,1)记平面PAM与平面CDQ的夹角为𝜃，则cos𝜃=|cos⟨𝑚,𝑛⟩|=|𝑚⋅𝑛||𝑚||𝑛

|=|3+6𝜆+2𝜆|3+12𝜆2+4𝜆2⋅3+3+1=8𝜆+316𝜆2+3⋅7=87⋅𝜆+3816𝜆2+3=87𝜆+38216𝜆2+3令𝑡=𝜆+38，𝑡∈[38,118]，则𝜆=𝑡―38∴cos𝜃=87𝑡216𝑡2

―34𝑡+964+3=87𝑡216𝑡2―12𝑡+214=8712141𝑡2―121𝑡+16令𝑘=1𝑡，𝑘∈[811,83]，则cos𝜃=871214𝑘2―12𝑘+16令𝑓(𝑘)

=214𝑘2―12𝑘+16，𝑘∈[811,83]，𝑘对=87∵83―87>87―811∴当𝑘=83时，𝑓(𝑘)𝑚𝑎𝑥=643，当𝑘=87时，𝑓(𝑘)min=647∴1𝑓(𝑘)∈[364,764]，1𝑓(𝑘)∈[

38,78]，∴cos𝜃∈[217,1]即平面PAM与平面CDQ的夹角的余弦值的取值范围为[217,1].18．解：(1)由题(2,0)B，2a，点1(,0)Fc、2(,0)Fc，则1(2,0)BFc，

2(2,0)BFc，21241BFBFc,∴25c，2221bca故双曲线C的方程为：2214xy(2)设直线:5lxty，1122(,),(,)ExyFxy联立22544xtyxy

，消x得，22(4)2510tyty，216160t韦达定理，122254tyyt，12214yyt弦长222212121224(1)411()434tEFtyytyyyyt

，∴214t，12t故直线l的方程为：152xy或152xy，即2250xy或2250xy.(3)当直线1l的斜率不存在时，1l∥2l，不符合题意.当直线1l的斜率存在时，设1:l

ykxm，联立2244ykxmxy消y得，222(41)8440kxkmxm22222(8)4(41)(44)16(41)0kmkmkm，∴2241,0mkm设切点11(,)Pxy，交点22(,)Qxy，则1228442(

41)41kmkmkxmkk，22211441kkmykxmmmmm，zyxOQPMDCBA2455x，2455ykm假设存在x轴上点0(,0)Mx满足条件，则MPMQ恒成立，101202102012(,)(,)(

)()MPMQxxyxxyxxxxyy212012012()xxxxxxyy200165445145()()555kkxxkmmmm200014(5455)(5)5kxxxm

00014(5)(55)(5)5kxxxm0054(5)()05kxxm故存在05x，使得0MPMQ即MPMQ，此时x轴上定点(5,0)M.19．解：(1)①471215xx，，②2

71217xx，，③241216xx，，④2479xx，（舍）∴x所有可能值为：15，16，17(2)若项数为4，不妨令na为：1，q，2q，3q，321qqq，21qqq，2(1)0q，1q（舍）若项数为5，不妨令na为：1，q，2

q，3q，4q则1，q，2q，3q，4q为从小到大或从大到小排列。a.423qqqq，321qqq，∴21qqq，2(1)0q，1q（舍）b.4231qqq，3(1)(1)(1)qqqq，∴31qq，310qq令3

()1(0)fxxxx，2'()31fxx，()fx在（0，33）（33，+）(1)10f，(2)50f，(0)10f∴(12)p，使()0fpc.431qqq，3(1)1qqq，31q，1q（舍）d.421qqq，22(1

)1qqq，2(1)1qq，3210qq令32()1(0)gxxxx，2'()32gxxxx>0时，'()0gx，()gx在（0，+），(1)10g，(1)10g∴(01)q，使()0gqe.321qq

q，21qqq，2(1)0q，1q（舍）综上：满足条件的公式q一共有2个。(3)不妨令na=1，2，3，…，n，取出的4个数从小到大依次为abcd当dm时（mn，mz），缤纷数列a，b，c，d

共有mA个ai（13im，iz），从a到d共有1mi个数相应b，c的取法有122mi种，∴3112mmimiA当m为偶数时，4221212(2)24mmimAim

当m为奇数时，若a=1，共有32m种若2a，则回到刚才m为偶数的情形，共有21(3)4m种此时21331(3)4222mmmmAm综上，当n为偶数时，从{}na中取出4个数为缤纷数列的个数为：45646571()()nnnnTAAAAAAAAAA

222242121223222nnn222232212(1)2()622nnnnCCC321(2)(1)224nnnnC(1

)(2)1222(2)(1)2246nnnnnn11(2)(1)(4)(2)2424nnnnnn1(2)(25)24nnn由421(2)(25)2512411043(1

)(2)(3)24nnnnnTnCnnnnnn，即224530nn∴321n，此时n最大为20。当n为奇数时，46157()()nnnTAAAAAA222331

12(1223)222nnn2222322131(2)2()622nnnnCCC1351222(3)(1)(2)2246nnnnnn

1(1)(3)(27)24nnn由421(1)(3)(27)271241102(1)(2)(3)24nnnnnTnCnnnnnn，即222700nn∴418n，此时n最大为17。综上，n的最大值为20。