【文档说明】重庆市南开中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.191 MB，由小赞的店铺上传

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重庆南开中学高2025级高二（上）期中考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小

题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1.直线350xy−−=的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小.【详解】由直线方程为35yx=−，即斜率为3，若倾斜角[0,π)，则ta

n3=，故π3=.故选：B2.若直线230xy−−=与360mxy+−=互相垂直，则m=（）A.32−B.6C.32D.6−【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【详解】因为直线230

xy−−=与360mxy+−=互相垂直，所有()1230m+−=，解得6m=．故选：B.3.抛物线2xy=的准线方程是A.14y=−B.14x=−C.12y=−D.12x=−【答案】A【解析】【分析】由抛物线x2＝y可得：2p＝1，即可得出抛物线的准线方程．为【详解】

由抛物线x2＝y可得：2p＝1，∴124p=，因此抛物线的准线方程是y14=−．故选A．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，43yx=是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（）A.54B.43C.43或53D.5

4或53【答案】D【解析】【分析】讨论双曲线焦点位置，结合已知渐近线确定双曲线参数关系，进而求离心率.【详解】若双曲线焦点在x轴上，则一条渐近线为4433bbyxxaa===，所以251()3bea=+=；若双曲线焦点在y轴上，则一条渐近线为4433aayxxbb===，所以25

1()4bea=+=；所以双曲线C的离心率为54或53.故选：D5.若直线1axby+=与22:1Oxy+=相离，则点(),Pab与圆O的位置关系为（）A.点P在圆O内B.点P在圆O上C.点P在圆O外D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由题设及点线距离公式有2

211ab+，进而可得221ab+即可判断位置关系.【详解】由题设(0,0)O与直线1axby+=的距离2211dab=+，即221ab+，所以点(),Pab在圆O内.故选：A6.设1F、2F分别为双曲线()

222210,0xyabab−=的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PFPFb+=，1294PFPFab=，则该双曲线的离心率为（）A.43B.53C.94D.3【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出2294

9bbab−=，可求得ba，再由公式21bea=+可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PFPFa−=，又123PFPFb+=，()()2222121294PFPFPFPFba+−−=−，即1249PFPFab=，因此22949baab−=，即29940bbaa

−−=，则33140bbaa+−=，解得43ba=，13ba=−（舍去），因此，该双曲线的离心率为222513ccbeaaa===+=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的

求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a、b所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.7.若F为椭圆22:197xyC+=的左焦点，P为椭圆C上一动点，()2,1M−，则MFP周长的最大值为（）A.42+B.62+C.7D.10【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有|||

|||||||2PMPFMFMFMFa++++，即可求最大值，注意取值条件.【详解】若F为椭圆右焦点，如下图示，||||26PFPFa+==，MFP周长为||||||PMPFMF++，且||||||PMMFPF+，所以||||||||

||||||PMPFMFMFPFPFMF+++++，而||3,||1MFMF==，故||||||10PMPFMF++，当且仅当,,MFP共线且,MP在F两侧时等号成立，所以MFP周长的最大值为10.故选：D8.椭圆()221121:

124xyCaa+=与双曲线()222222:124xyCaa−=有相同的焦点1F、2F，记椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，则下列关系式一定正确的是（）A.121ee=B.212ee=C.22211ee−=D.222212122eeee+=【答案】D【解析】【分析】由椭圆

、双曲线共焦点，结合对应方程得2221244aca−==+，根据离心率公式判断各项的正误.【详解】由椭圆与双曲线焦点相同，即参数c相同，而22121cea=，22222cea=，又2221244aca−==+，由222212112212212212112844ec

aaaaacae+=−+−−+==，所以222212122eeee+=.当121ee=，则212112ee+=，此时121ee==不合要求；当212ee=，则222212122eeee+，不合要求；当22211ee−=，则14222

111222122eeee+=+=，22212e=+，不一定成立；综上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立.故选：D二、多项选择题：本题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．9.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点1F、2F在x轴上，短轴长等于2，焦距为23，过焦点1F作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确

的是（）A.椭圆C的方程为2214xy+=B.椭圆C的离心率为34C.12PQ=D.272PF=【答案】AD【解析】【分析】求出a、b、c的值，可判断AB选项的正误；设点1F为椭圆C的左焦点，将3x=−代入椭圆方程，可求得PQ的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.【详

解】对于椭圆C，由已知可得22223bc==，则1b=，3c=，222abc=+=.对于A选项，因为椭圆C的焦点在x轴上，故椭圆C的方程为2214xy+=，A对；对于B选项，椭圆C离心率为32cea==，B错；对

于C选项，设点1F为椭圆C的左焦点，易知点()13,0F−，将3x=−代入椭圆方程可得12y=，故1PQ=，C错；的对于D选项，11122PFPQ==，故21722PFaPF=−=，D对.故选：AD.10.已知圆221:1Cxy+=，222

2:(3)(3)(0)Cxyrr−+−=．则下列说法正确的是（）A.当1r=时，圆1C与圆2C有4条公切线B.当2r=时，1y=是圆1C与圆2C的一条公切线C.当3r=时，圆1C与圆2C相交D.当4r=时，圆1C与圆2C的公共弦所在直线的方程为12yx=−+【答案】ABD【解析】【分析

】根据圆心距与半径间的关系判断各项圆1C与圆2C的位置关系，结合点线距离与半径大小判断直线与圆的关系，相交情况下两圆作差求公共弦方程.【详解】由题设1(0,0)C且半径11r=，2(3,3)C且半径2rr=，故12||32CC=，当1r=时，12122CCrr=+，

即两圆相离，故有4条公切线，A对；当2r=时，1y=是圆1C切线，又2C到1y=的距离为22dr==，即1y=是圆2C的切线，B对；当3r=时，12124CCrr=+，即两圆相离，C错；当4r=时，21121235rrCCrr−==

+，即两圆相交，故有公共弦，将两圆方程作差得2222(3)(3)()15xyxy−+−−+=，整理得2210xy+−=，即为12yx=−+，D对.故选：ABD11.已知双曲线C：221916xy−=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F向C的一

条渐近线作垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，则下列说法正确的是（）A.M为线段2NF的中点B.点M在直线95x=上C.1216FFMM=−D.1213MF=【答案】BCD【解析】【分析】选项A：根据图像和双曲线的几何性质可

得；选项B：先求渐近线和直线MN的方程，联立可得；选项C：根据点坐标，利用数量积的坐标运算可得；选项D：根据双曲线距离公式可得.【详解】因为双曲线C：221916xy−=，所以3a=，4b=，5c=，则()15,0F−，()2

5,0F，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程43yx=，选项A：由题意221221122MFOFFFNF=，故A错误；选项B：直线MN的斜率为34−，直线方程为()354yx=−−，联立()35443yxyx=−−=得912,55M，所以B正确；选项C：

由912,55M，()15,0F−，()25,0F，则13412,55MF=−−，21612,55MF=−，故1234161212165555MFFM=−+−−=−，故C正确；选项D：2213

41221355MF=−+−=，故D正确，故选：BCD12.如图，F为抛物线()2:20Cypxp=的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，PA、PB分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正

确的是（）A.180APBMFN+=B.180AFBAPB+=C.||||||||OMFAONFB=D.||||||||OMMAONMP=【答案】AD【解析】【分析】求得过点A的切线方程，得到1MFAP

kk=−，得出π2PMF=和π2PNF=，可判断A正确；当点P在准线2px=−上，求得πAFBAPB+，可判定B错误；由OMFAONFB=，求得212yyp=−，可判定C错误；分别求得221222OMyyON

=和221222||=||yMAMPy，可判定D正确.【详解】设抛物线()2:20Cypxp=上一点00(,)Mxy，则2002ypx=，过点00(,)Mxy的切线方程为00()yykxx−=−，联立方程组002()2yykxx

ypx−=−=，整理的221220ppyyykk−−+=，令Δ0=，解得1pky=，即过抛物线上一点的切线的斜率为1py，对于A中，设22121212(,),(,),()22yyAyByyypp，则过点A的切线方程为112ypyxy=+，令0x=，可得12yy=，即1(0,)2y

M，又由抛物线2:2Cypx=的焦点为(,0)2pF，所以1MFykp=−，则1MFAPkk=−，所以MFPM⊥，即π2PMF=，同理可得π2PNF=，则,,,PNFM四点共圆，所以πAPBMFN+=，所以A正确；对于B中，若点P在准

线2px=−上，可直线AB的方程为0()2pyypx=−，此时直线过焦点(,0)2pF，则πAFB=，所以πAFBAPB+，所以B错误；对于C中，由1(0,)2yM，2(0,)2yN，可得12OMyONy=−，212211222222222222yppxFAypppypFBypxp+++

===+++，若OMFAONFB=，可得22112222yypyyp+−=+，则2222121122yyypyyyp+=−−，所以212yyp=−，此时直线AB过焦点F，设直线()2pykx=−，代入抛物线22ypx=，可得2220pyypk−−=，设方程的两根为12,yy，可得212yyp=−，

即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为2p−，而直线AB不一定过抛物线的交点，所以C错误；对于D中，由12OMyONy=−，可得221222OMyyON=，联立方程组112222ypyxyypyxy=+=+，解得1212,22yyyyxy

p+==，即1212(,)22yyyyPp+,则4211222222111222222221212122()||44=||()44yyyypyMApyyyMPyypyp++==++，所以||||||||OMMAONMP=，所以D正确.故选：

AD.【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中

涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方

程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应位置上．13.已知双曲线22:163xyC

−=，则C的右焦点的坐标为________.【答案】()30，【解析】【分析】根据双曲线方程，直接求焦点坐标.【详解】由双曲线方程可知26a=，23b=，则2229cab=+=，则3c=，并且焦点在x轴，双曲线的右焦点的坐标为(

)3,0.故答案为：()3,014.若2()1,M−为圆22:(1)16Cxy+-=的弦AB的中点，则直线AB的方程为__________．【答案】30xy−+=【解析】【分析】根据圆的性质知：CMAB⊥，由两条直线垂直，若斜率都存在，则斜率乘积为1−，求

出直线AB的斜率，根据直线的点斜式写出直线方程即可.【详解】因为圆22:(1)16Cxy+-=，所以圆心坐标为()0,1C，半径为4r=，因为2()1,M−是弦AB的中点，由圆的性质知：CMAB⊥，因为12110CMk−=−=−−，且1CMABkk=−，所以1ABk=，因为2()1,M−在

直线AB上，所以直线AB的方程为()211yx-=?，即：30xy−+=.故答案为：30xy−+=15.若P是椭圆2214xy+=上一动点，()0,3A，则PA的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】令(,)Pxy，应用两点距离公式有23(1)16PA

y=−++，结合椭圆的有界性求最大值.【详解】令(,)Pxy，则22(3)PAxy=+−，又224(1)xy=−，所以23(1)16PAy=−++，又11y−，当1y=−时，PA的最大值为4.故答案为：416.设椭圆22221(0)xyabab+=的焦点为1F，2F

，P是椭圆上一点，且12π3FPF=，若12FPF△的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当3Rr=时，椭圆的离心率为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到23cR=，再根据三角形面积公式和余弦定理得到()33acr−=，从而根据3Rr=得到方程，求出离心率

.【详解】由题意得122FFc=，由正弦定理得1212242sin332cFFFPFcR===，故23cR=，由椭圆定义可知，122PFPFa+=，故()()12212112PFFSPFPFFFracr=++=+V，又121212211sin234PFFS

PFPFFPFPFPF==V，由余弦定理得()2222212121212121212122cos22PFPFPFPFFFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−−+−==，即222112424122aPFPF

cPFPF−−=，解得2212443acPFPF−=，故()()22224433334acacacr−−+==，解得()33acr−=，因为3Rr=，所以()32333cac=−，解得35ca=.故答案为：35四、解答题：本题共6小题，共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．17.已知双曲线的方程是22194xy−=．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）设1F和2F是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且1216PFPF=，

求2PF的大小．【答案】（1）23yx=；（2）2.【解析】【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程；（2）由双曲线定义有126PFPF−=，结合已知求2PF即可.【小问1详解】由双曲线方程知：其渐近线方程为23yx=；【小问2详解】由双曲线定义1226PFPFa−==，又2

1222616PFPFPFPF=+=，所以22222616(8)(2)0PFPFPFPF+−=+−=，可得22PF=（负值舍），所以2PF的大小为2.18.已知圆22:240Cxyxym+−++=．（1）求实数m的取值范围；（2）

若直线:20lxy++=被圆C所截得的弦长为2，求实数m的值．【答案】（1）5m；（2）4.【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得.（2）借助直线被圆所截的弦长公式，列式计算即得.【小问1详解】圆22:240

Cxyxym+−++=，则(−2)2+42−4𝑚>0，解得5m，所以实数m的取值范围是5m.【小问2详解】由（1）知，5m，圆22:(1)(2)5Cxym−++=−的圆心(1,2)C−，半径5rm=−，则点(1,2)C−到直线:20lxy++=的距离1222d==，依题意，2

222rd=−，即√2=2√(√5−𝑚)2−(√22)2，解得4m=，所以实数m的值为4.19.已知抛物线2yx=与直线1xmy=+相交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求证：OAOB⊥；（2）当10AOBS=时，求m的值．【答案】（1）证明见解

析；（2）6m=.【解析】【分析】（1）令1122(,),(,)AxyBxy，联立抛物线与直线并应用韦达定理得1212,1yymyy+==−，进而可得121=xx，再由12120OAOBxxyy=+=即可证结论；（

2）利用点线距离公式和弦长公式求(0,0)O到1xmy=+的距离、||AB，结合已知列方程求参数.【小问1详解】令1122(,),(,)AxyBxy，联立抛物线与直线得210ymy−−=，且240m=+，则1212,1yymyy+==−，故

2121212()11xxmyymyy=+++=，又1122(,),(,)OAxyOBxy==，则12120OAOBxxyy=+=，即OAOB⊥，得证.【小问2详解】由(0,0)O到1xmy=+的距离211dm=+，又22221212|

|1()414ABmyyyymm=++−=++，所以21014||22AOBmdABS+===，则2366mm==.20.已知圆22:6490Cxyxy++−+=，A是圆C上一动点，点(3,0)B，M为线段AB的中点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）记M的轨迹为曲线E，

过点(1,3)N的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程．【答案】（1）22(1)1yx+−=；（2）1x=或3490xy−+=.【解析】【分析】（1）令(,)Mxy，由题设得23(2),Axy−，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；（2）讨论直线l斜率存在性，设直线方程

，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程.【小问1详解】令(,)Mxy，由M为线段AB的中点，(3,0)B，则23(2),Axy−，而A是圆C上一动点，故22(23)46(23)890xyxy−++−−+=，整理得22

20xyy+−=，即22(1)1yx+−=，所以动点M的轨迹方程为22(1)1yx+−=.【小问2详解】由（1）知：曲线E圆心为(0,1)，半径1r=，且点N在曲线E外，若直线l斜率不存在，即1x=，显然与曲线E相切，满足；若直线l斜率存在，设():31lykx−=−，则(0,1)到

直线l的距离2|2|1kdrk−==+，所以222|2|3144141kkkkkk−=−+=+=+，此时:3490lxy−+=；综上，直线l的方程为1x=或3490xy−+=.21.如图，椭圆()2222:10xyCabab+=离心率为22，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成

的三角形的面积为22．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()1,0M的直线l交C于A、B两点，交直线4x=于点P．若=PAAM，PBBM=，证明：+为定值，并求出这个定值．【答案】（1）22142xy+=；（2）证明见解析，定值为0

.【解析】的的【分析】（1）由已知得222acab==，结合椭圆参数关系求得224,2ab==，即可得椭圆方程；（2）令:(1)lykx=−，1122(,),(,)AxyBxy，(4,3)Pk，联立椭圆方程并应用韦达定理得2122412

kxxk+=+，21222(2)12kxxk−=+，再由向量数量关系的坐标表示得到+关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.【小问1详解】由题设2221222222cacaabab==

==，又222abc=+，则224,2ab==，所以椭圆C的标准方程为22142xy+=.【小问2详解】由题设，直线l斜率一定存在，令:(1)lykx=−，且()1,0M在椭圆C内，联立直线与椭圆并整理得2222(12)4240kxkxk+−+−=，

且0，令1122(,),(,)AxyBxy，而(4,3)Pk，则1111(4,3),)(1,PAxykAMxy=−−=−−，由=PAAM，则11114(1)3xxyky−=−−=−且11x，得1141xx−=−，同理2222(4,3),)(1,PBxykBMxy

=−−=−−由PBBM=，则22224(1)3xxyky−=−−=−且21x，得2241xx−=−，所以121221121244(4)(1)(4)(1)11(1)(1)xxxxxxxxxx−−−−+−−+==−−−+−

121212125()28()1xxxxxxxx+−−=−++又2122412kxxk+=+，21222(2)12kxxk−=+，则+=2222222222222242(2)5282048816121202(2)42441211

212kkkkkkkkkkkkkk−−−−+−−++==−−−++−+++.所以+为定值0.22.如图，双曲线()222:11yxmm−=，过原点O的直线12,ll与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且12ll⊥．（1）若3m=，

P为双曲线的右顶点，记直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为1k、2k、3k、4k，求1234kkkk的值；（2）求四边形ABCD面积的取值范围．【答案】（1）9；（2）224[,)1mm+−.【解析】【分析】（1）由题意可设1:lykx=，则21:lyxk=−，结合直线12,ll与双

曲线都有两交点得33(3,)(,3)33k−−，再联立双曲线求各交点坐标，应用两点式求1k、2k、3k、4k，即可求结果；（2）由题设且同（1）得11(,)(,)kmmmm−−，联立直线与双曲线，应用

韦达定理和弦长公式求||,||ACBD，根据1||||2SACBD=及换元法求其取值范围即可.【小问1详解】由题设，12,ll的斜率都存在且不为0，令1:lykx=，则21:lyxk=−，所以1mkmmmk−−−，即3333(3,)(

,3)13333kkk−−−−−，联立1:lykx=与双曲线，得2223313ykxxykx==−−=，不妨令2222223333(,),(,)3333kkACk

kkk−−−−−−，同理2222223333(,),(,)31313131kkDBkkkk−−−−−−，由(1,0)P，则212333kkk=−−、232333kkk=+−、4223331kkk=−−−、2223331kkk=−+−，所以212342223393(3)3(31

)kkkkkkkk==−−−−.【小问2详解】由题设且同（1）得11(,)(,)kmmmm−−，联立2222222()01ykxmkxmyxm=−−=−=，则2220,ACACmxxxxmk+==−−，所以2222224|

|1()41ACACmACkxxxxkmk=++−=+−，联立22211yxkyxm=−−=，同理可得22222222144||1111mmBDkkmkmk=+=+−−，所以四边形ABCD面积1||||2SACBD==2222222(1)(

)(1)mkmkmk+−−，则22244222(1)(1)mkSmkmkm+=−++−，令22211(1,1)tkmm=+++，所以22224222222222(21)(1)(1)(1)(1)mtmtSmttmtmmtmtm==−−+++−−−+

+−+22222222222221111(1)(1)()(1)()24mmmmmmttt==−+−−−+−+，而22211(,)11mtmm++且1m，故211(0,)12m+，222111(,1)112mmm=−

++，当112t=时，22min222241(1)4mmSmm==−−，当1t趋向于211m+时，2222211(1)(1)()24mmt−−+−+趋向于0，即S趋向于正无穷，所以四边形ABCD面积的取值范围是224[,)

1mm+−.【点睛】关键点点睛：第二问，先求得11(,)(,)kmmmm−−，联立直线与双曲线求四边形对角线长度为关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com