【文档说明】浙江省温州十校联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.854 MB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期温州十校联合体期中联考高一年级数学学科试题命题：瑞安市塘下中学一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.ADDCAB→→→+−等于（）A.BC→B.AD→C.AB→D.DA→【

答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算化简求解.【详解】解：ADDCABACABBC→→→→→→+−=−=.故选：A2.在复平面内，复数=(1-i)z（i是虚数单位）对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数与

复平面内的点一一对应，即可求出结果.【详解】由1iz=−知其对应点为()1,1P−，而点P在第四象限；故正确答案为D【点睛】本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型.3.下列说法错误的是（）A.一个八棱柱有10个面B.任意四面体都可

以割成4个棱锥C.棱台侧棱的延长线必相交于一点D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验．【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10

个面，故A说法正确；对于选项B：任意四面体，在四面体内取一点为P，将点P与四面体的各个顶点连，即可构成4个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D

：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D．4.ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，1a=，2b=，则最大边c取值范围是（）A.(1,3)B.(5,3)C.(1,5)D.(3,

5)【答案】B【解析】【分析】由a与b的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出c的取值范围，然后再由三角形ABC为钝角三角形，得到cosC小于0，利用余弦定理表示出cosC，把a与b的值代入，根据

cosC小于0列出关于c的不等式，求出不等式的解集，取c范围的公共部分，即可得到最大边c的取值范围．【详解】解：1a=，2b=，2121c−+，即13c，又ABC为钝角三角形，最大边为边c，所以角C为最大角，故cos0C，根据余弦定理得

222cos02abcCab+−=，即2220abc+−，即25c，解得：>5c，53c，则最大边c的取值范围是(5，3)．故选：B．5.如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（）A.平行B.相交C.是异面直线D

.可能相交，也可能是异面直线【答案】C【解析】【分析】将展开图还原成长方体，即可判断【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，故选：C6.如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称“三体点”，若点A是三个函数()fxt=（t为常数），()2cosg

xx=，()tanhxx=的“三体点”，其中0,2x，则t的值（）A.0B.1C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据()()()000==fxgxhx，由002costan=xx求得0x即可.【详解】解：由题意得：()()()000==fxgxhx，则002costan=

xx，即2002cossin0−=xx，即2002sinsin20+−=xx，解得02sin2=x或sin2x=−（舍去），因为0,2x，所以04x=，所以()()()0001====tfxgxhx，故选：B7.在ABC中，2AB=，3C=，且AB边上的高为2，则满足条件的AB

C的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据面积得到463ACBC=，利用正弦定理结合三角恒等变换得到sin26B−612−=，再求出1sin2(,1]62B−−，结合正弦函数的图象和性质得解.【详解】解：由三角形的面积公式知11si

n602222ACBC=，即463ACBC=.由正弦定理知24sinsinsin603BCACAB===，所以44sin,sin33BCAACB==，即1646sinsin33BA=，即6sinsin4BA=，即6sinsin34BB

+=，所以316sin(cossin)224BBB+=，所以2316sin2sin,424BB+=所以3sin2cos261,BB−=−所以61sin262B−−=，又60A=，则20,3B，72,666B−−，所以1sin2(,1

]62B−−，因为21161sin20sin2,1636222−−=−=−，所以满足61sin262B−−=的B有2个，即满足条件的ABC的个数为2.故选：C8.平面向量m，n满足n与n

m−的夹角为3，且||||(0)nmn−=，则正实数（）A有最小值，但无最大值B.有最小值也有最大值C.无最小值，但有最大值D.既无最小值也无最大值【答案】D【解析】【分析】由||||(0)nmn−=可得12cos,mnmn=，又n与nm−的夹角

为3且0，进而根据向量减法的几何意义及向量夹角的定义可得,0,2mn，从而可得答案.【详解】解：由||||(0)nmn−=，可得()()22nmn−=，即222222nmmnn+−=，所以22cos,

mmnmn=，由题意，0m，所以2cos,mnmn=，所以12cos,mnmn=，又因为n与nm−的夹角为3，所以2,0,3mn，又0，所以,0,2mn，所以()cos,0,1mn，所以正实数既无最小值也无最大值，.故选：D.

二､多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.下面给出的关系式中，正确的是（）A.()()abcabc=B.22||aa=C.abba

=D.||abab【答案】BC【解析】【分析】由数量积的定义依次判断即可.详解】对于A，()cos,abcababc=，()()cos,abcabcbc=，显然(),()abcabc

不一定相等，A错误；对于B，22||||cos0||aaaa==，B正确；对于C，cos,,cos,ababbaabbaba==，故abba=，C正确；对于D，||cos,cos,,cos,abababababababab===，则||abab

，D错误.故选：BC.10.已知复数4zz=+，其中z为虚数，则下列结论中正确的是（）A.当1iz=+时，的虚部为1−B.当1iz=+时，||10=C.当1iz=+时，3i=−D.当R时，||4z=【答

案】AB【解析】【分析】由4zz=+，利用复数的运算转化为复数的代数形式判断.【详解】A.当1iz=+时，()()()41i41i1i3i1i1i1i−=++=++=−++−，则的虚部为1−，故正确；B.

当1iz=+时，()()()41i41i1i3i1i1i1i−=++=++=−++−，则||10=，故正确；C.当1iz=+时，()()()41i41i1i3i1i1i1i−=++=++=−++−，则3i=+，故错误；【D.设()i,,0zababRb=+，则()()

()22224i444iiiiii−=++=++=++−++−++abababababababababab，若R，则2240bbab−=+，即224ab+=，则||2z=，故错误.故选：AB11.已知平行六面体11

11ABCDABCD−的体积为12，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（）A.2B.3C.4D.6【答案】AC【解析】【分析】结合图形分两种情况可解得结果.【详解】解：设平行六面体体积为12V=如左图，

当取顶点1,,,AABD时，则该四面体体积11112266VV===；如右图，当取顶点11,,,ABCD时，则该四面体体积21412244VVV=−=−=.故选：AC.12.已知函数()2sin()cossin|

|2fxxx=+−，且对于任意xR，都有2()3fxfx−=−，则下列说法正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的表达式可以写成()cos26fxx=+的C.()fx在区间,66−上单

调递增D.若0323xf=，则01123fx−=−【答案】AD【解析】【分析】将()2sin()cossin(||)2fxxx=+−化为只含有一个三角函数形式，根据2()3fxfx−=−确定函数的一个对称中心，由此确定，得到函数解

析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：()2sin()cossinfxxx=+−2sincoscos2cossincossinxxxx=+−2sin2cos2cossinsinxx=+−sin2coscos2sinxx=+sin(2)x=+，又2()3fx

fx−=−，则,03是函数的对称中心，所以2()3kkZ=+，即2()3kkZ=−+又||2，3=，()sin(2)3fxx=+，所以()fx的最小正周期22T==，故A正确；因为()sin(2)s

in2cos23626fxxxx=+=−+=−，故B错误；令222232kxk−++剟，kZ，即522266kxk−+剟，kZ，解得51212kxk−+剟

，kZ，所以函数的单调递增区间为5,1212kk−+，kZ，当0k=时，单调递增区间为5,1212−，因为5,,661212−−，故C错误；对于D：若0323xf=

，即03sin()33x+=，所以00()sin(2)126fxx−=+0sin[2()]32x=+−0cos2()3x=−+20[12sin()]3x=−−+2012sin()133x=+−=−，故D正确；故选：AD三､填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.

若tan2=，则tan4+=___________.【答案】322−−【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：因为tan2=，所以tantan214tan32241211tantan4+++===−−

−−；故答案为：322−−14.已知向量OA，OB满足||||2OAOBOAOB===，同一平面上任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则||MN=___________.【答案】4【解析】【分析】如图，根据平面向量

的平行四边形法则和减法法则可得2()MNOBOA=−，两边同时平方，结合题意计算即可得出结果.【详解】如图，由平面向量的平行四边形法则可得，1()2OBONOS=+，1()2OAOMOS=+，又2()MNONOMOBOA=−=−，所以2222224(2)MNO

BOAOBOBOAOA=−=−+224(2222)16=−+=，所以4MN=.故答案为：4.15.如图所示，有棱长为2的正方体1111ABCDABCD−，P为正方体表面的一个动点，若三棱锥APBC−的体积为1，则1PD的取值范围是__________

_.【答案】133,22【解析】【分析】根据三棱锥APBC−的体积求出点P到平面ABC的距离h，如图在1AA上取点E，使得AEh=，过点E作平面EFGH∕∕平面ABCD，,,FGH分别在111,

,BBCCDD上，结合图形即可得出答案.【详解】解：设点P到平面ABC的距离为h，则12133PABCABCVShh−===，所以32h=，如图在1AA上取点E，使得32AE=，过点E作平面EFGH∕∕平面ABCD，,,FGH分别在111,,BBCCDD上，故点P在四边形EFG

H的边上，则当点P在点H的位置时，1PD最小，为12，当点P在点F的位置时，1PD最大，为1334442++=，所以1PD的取值范围是133,22.故答案为：133,22.16.在ABC中，4BC=，12BDBC=，6AOAD=u

uuruuur，其中O为ABC的外心，则ABC的面积最大值为___________.【答案】42【解析】【分析】根据向量的数量积的定义得到2211644AOADABAC=+=uuuruuuruuuruuur，即2224b

c+=，由余弦定理求得8cosAbc=，得到224sin1()Abc=−，结合面积公式求得222116()(1)4()Sbcbc=−，设2()tbc=，得到21(16)4St=−，利用基本不等式求得144t，即可求得面积的最大值.【详解】

由题意，设ABC角,,ABC所对的边为,,abc，因为点O为ABC的外心，可得2211,22AOABABAOACAC==，所以2211111()622244AOADAOABACAOABAOABABAC=+=+=+=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuu

ruuuruuuruuuruuur，即221()64bc+=，即2224bc+=，又由余弦定理可得22224164cos22bcaAbcbcbc+−−===，所以2224sin1cos1()AAbc=−=−，则ABC的面积2222211116(sin)()sin()(1)22

4()SbcAbcAbcbc===−，设2()tbc=，可得21161(1)(16)44Sttt=−=−，又因为222bcbc+，即12bc，所以0144t，当且仅当23bc==时，等号成立，所以21(14416)32

4S−=，所以42S，即ABC的面积的最大值为42.故答案为：42.四､解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.如图，已知O为平面直角坐标系的原点，120OABABC==，|||

|2||4OABCAB===，（1）求OB和OC的坐标；的（2）求向量BC在向量OA上的投影向量的坐标.【答案】（1）()5,3OB=，()3,33OC=（2）()2,0−【解析】【分析】（1）依题意求出A、B、C的坐标，即可得解；（2）首先求出BC，OA，再根据

数量积的几何意义求出向量BC在向量OA上的投影，从而求出投影向量；【小问1详解】解：依题意()4,0A，设1(Bx，1)y，2(Cx，2)y，则14||cos(180)42cos605xABOAB=+−=+=1||sin(180)2s

in603yABOAB=−==21||cos(180)54cos603xxBCOABABC=−+−=−=，21||sin(14sin6380)033yBCOABABCy=+−+==+，所以()5,3B，()3,33C，所以

()5,3OB=，()3,33OC=，【小问2详解】解：由（1）可得()2,23BC=−，()4,0OA=，所以BC在向量OA上的投影长度为2424||BCOAOA−==−，所以BC在向量OA上的投影向量为()()1124,02,04||BCOAOAOAOA=−

=−．18.已知函数()sin()fxAxB=++0,0,||2A某一周期内的对应值如下表：x6−35643116()fx1−1311−（1）根据表格提供的数据求函数()fx的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()(0)=yfnxn的

最小正周期为23，求函数()yfnx=在区间0,3上的值域【答案】（1）()2sin()13fxx=−+（2）13,3−【解析】【分析】（1）由表格提供的数据知31ABAB+=−+=−，且22T==，由此得()2sin(

)1fxx=++，再把,13代入，又||2，求出的值，即可得()fx的解析式；（2）()2sin(3yfnxnx==−)1+，由函数()(0)=yfnxn的最小正周期为23，得3n=，从而()2sin(3)13yfnxx

==−+，根据0,3x，利用整体思想即可求解函数()yfnx=在区间0,3上的值域．【小问1详解】解：由表格提供的数据知31ABAB+=−+=−，且211()266T==−−=，解得2A

=，1B=，1=，()2sin()1fxx=++，把,13代入，得2sin()113++=，又||2，解得3=−，()2sin()13fxx=−+；【小问2详解】解：()2sin()13yfnxnx==−+，函数

()(0)=yfnxn的最小正周期为23，223Tn==，解得3n=，()2sin(3)13yfnxx==−+，0,3x，23[,]333x−−，所以3sin(3),132x−−，所以()2sin(3

)113,33yfnxx==−+−，所以函数()yfnx=在区间0,3上的值域为13,3−.19.把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔接处忽略不计）（1）求一个圆锥的体积；

（2）设这三个圆锥的底面的圆心分别为1O，2O，3O，将三个圆锥的顶点重合并紧贴一起，记顶点为P（如图2所示），求三棱锥123POOO−的表面积.【答案】（1）223（2）482839+【解析】【分析】（1）依题意求出圆锥的底面周长，设底面半径为r，即可取出r，再由

勾股定理求出圆锥的高，最后由体积公式计算可得；（2）由对称性可知123OOO为等边三角形，且12322POPOPOh====，圆锥的母线与1PO的夹角为，即可得到sin，再设底面圆1O与圆2O的圆锥在底面的交点为Q，设1

PQO=，即可求出cos，从而求出cos2，再由余弦定理求出12OO，即可求出123OOOS，再求出12POOS，最后根据121231233POPOOOOOOOSSS−+=计算可得；【小问1详解】解：依题意圆锥的底面周长为1

2323=，设底面半径为r，则22=r，解得1r=，所以圆锥的高22223122hlr=−=−=，所以圆锥的体积221122122333Vrh===【小问2详解】解：由对称性可知123OOO

为等边三角形，12322POPOPOh====，设圆锥的母线与1PO的夹角为，则1sin3rl==；记底面圆1O与圆2O的圆锥在底面的交点为Q，设1PQO=，则1cossin3==；所以2

7cos22cos19=−=−，由余弦定理22212422cos23OOrrr=+−=，所以123212183sin239OOOSOO==，连接PQ与12OO交于点D，则()222212122822

233OOPDPO=−=−=，所以12121142816222339POOSOOPD===，所以12312123831624828339993POOOOOOPOOSSS−=++=+=20.请先阅读

下列材料；在作战中，有经验的步兵往往能通过“跳眼法”估测物体和自己的距离.具体过程如下：第一步，向正前方伸直左手手臂，竖起拇指；第二步，将右眼闭上，靠左眼观察目标，伸直并端平并移动（可以把左眼到左手拇指的距离看成手臂长），使得目标恰好位于拇指左侧边缘处；第三步，伸出的手臂保持不动，闭上左眼，

靠右眼观察，大体估计从左手拇指左侧看到的另一物体与目标的距离；最后即可根据该距离以及你手臂长度､两眼间距来计算你到目标的距离.一般自动步枪有效射程为400m，现一人需用自动步枪射击目标P，先采用“跳眼法”预测自己与目标P的距离，此人手臂长60cm

，双眼间距6cm，面朝正北方向，测量时与上述第一步第二步完全相同，第三步用右眼观察时，拇指左侧恰好对准的是参照物Q，参照物Q在目标P的北偏西60，且与目标P的距离为133.2m，（如图所示）（1）求sinCQP（2）若此人在A处开枪射击，请问目标P是否在射程范围

内？请说明理由.【答案】（1）10312101−（2）详见解析【解析】【分析】（1）易得1tantan10ACBPCQ==，再由()sinsin60CQPPCQ=−求解；（2）由QMPABC，得到CM，进而得到CP，然后由AP=AC+CP与400m比较

即可.【小问1详解】解：如图所示：1tantan10ACBPCQ==，所以110sin,cos101101PCQPCQ==，所以()sinsin60CQPPCQ=−，sin60coscos60sinPCQPCQ=−，3101122101101=

−，10312101−=；【小问2详解】因为sin6066.63,cos6066.6QMPQPMPQ====，且QMPABC，所以CMQMACAB=，即66.630.60.06CM=，解得6663CM=，则666366.6CPCMPM

=−=−，所以666366400APACCP=+=−，所以目标P不在射程范围内.21.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2coscoscosaBcBcbA−=−，且2B.（1）若2b=，32ABCS=，求B；（2）若||4CBCA+=，求22cb+的最大值.【答案】

（1）3（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理可将已知条件化为2sincossincossinsincosABCBCBA−=−，即sincossincos0ABCB−=，进而可得ac=，然后根据三角形的面积公式及余弦定理可得sin33cosBB=−，3sin32B+=，从而

即可求解角B的大小；（2）由（1）知ac=，则由余弦定理可得22cosabCb=，又||4CBCA+=，进而可得222cos16ababC++=，联立可得22282cb+=，最后利用均值不等式重要变形即可求解.【小问1详解】解：在ABC中，因为2coscosc

osaBcBcbA−=−，所以由正弦定理可得2sincossincossinsincosABCBCBA−=−，所以()()sincossincossinsincossincossinsinsinsin0ABCBCABBACABCC−=−+=−+=−=，又2B，所以co

s0B，所以sinsinAC=，由正弦定理可得ac=，因为32ABCS=，所以13sin22acB=，即2sin3aB=,因为2b=，所以由余弦定理有()()()2222322cos21cos21cossinacacBaBBB=+−=−=−，所以si

n33cosBB=−，即3sin32B+=，因为0B，所以4333B+，所以233B+=，即3B=；【小问2详解】解：由（1）知ac=，所以由余弦定理有2222coscababC=+−，即22cosabCb=，因为||4CBCA+=，所以(

)2222222cos16CBCACBCACBCAababC+=++=++=，所以22216cb+=，即22282cb+=，因为222222222ccbb++，所以242cb+，当且

仅当22cb=，即2cb=时等号成立，所以22cb+的最大值为4.22.点Q在半径为1的圆P上运动的同时，点P在半径为2的圆O上运动，O为定点，P､Q两点的初始位置（如图1所示），其中OPQP⊥，且两点均以逆时针方向运动，当点P转过角度

α时，Q转过的角度为2α（如图2所示），其中[0,]且2，G为OPQ△的重心，（1）求证：22GOGQ−为定值；（2）把三个实数a，b，c的最小值记为min{,,}abc，若min,,mGOGQGOGPGPG

Q=，求m的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）10,09−.【解析】分析】(1)由图可得(2cos,2sin)OP=、(sin2,cos2)PQ=−，根据平面向量的线性运算和坐标表示求得OQ，结合重心的定义求出点G的坐标，利用向量数量积的坐标表示即可证明；(

2)结合(1)可知GO、GPGQ、的坐标，利用向量数量积的坐标表示分别求出GOGQ=1010sin99−、27sin99GOGP=−−、22sin99GPGQ=−+，结合的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题意知，建立如图平面直角坐标

系，由图可知，(2cos,2sin)OP=，(cos(),sin())(sin2,cos2)22PQ=++=−，所以(2cossin2,2sincos2)OQOPPQ=+=−+，由G为OPQ△的重心，得0GOGPGQ++=，且4

141(cossin2,sincos2)3333G−+，所以2121(cossin2,sincos2)3333GPOPOG=−=−−，【则22()()GOGQGOGQGOGQGPOQ−=+−=224221cossin2cossin2cossin23333=+−−22

422141sinsincos2cos2sincos1333333+−+−=−=，即22GOGQ−为定值；【小问2详解】由(1)知，2121(cossin2,sincos2)3333GPOPOG=−=−−，2122(cossin2,sincos2)333

3GQOQOG=−=−+，1441(sin2cos,sincos2)3333GO=−−−，则GOGQ=222288sin2cossin2coscossin29999−−+2288221010sinsincos2sincos2

cos2sin999999−−−−=−，同理，可得27sin99GOGP=−−，22sin99GPGQ=−+，又[0,)(,]22，所以sin[0,1)，有GOGQ=101010sin[,0)9

99−−，277sin(1,]999GOGP=−−−−，222sin(0,]999GPGQ=−+，所以GOGQ的最小值为109−，即m的取值范围为10[,0)9−.