【文档说明】江西省赣州市2021届高三高考数学摸底试卷（理科）（一模） 含解析【精准解析】.doc，共(19)页，1.475 MB，由小赞的店铺上传

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2021年江西省赣州市高考数学摸底试卷（理科）（一模）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，N＝{x|x﹣x2＞0}，则M∩N＝（）A．B．C．D．2．已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）＝i3（其中i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）A．B．C

．D．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿

者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米4．已知点（m，n）在关于x，y的不等式所表示的平面区域内，则的最小值为（）A．B．C．D．5．设

函数f（x）＝ax﹣a﹣x+bsin3x+c（a＞0且a≠1）．若f（﹣t）＝1，f（t）＝3，则c＝（）A．1B．2C．3D．46．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波

那契数：1，1，2，3，5，8，……为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形

做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（）A．B．C．D．7．已知数列{an}满足a1＝2，am+n＝am+an，记Sn为正项等比数列{bn}的前n项和．若b4＝a8，bn+4bn＝4bn+12，则log2（Sn+2）＝（）A．

n﹣1B．n+1C．n﹣2D．n8．在的展开式中，除x2项外，其余各项的系数之和为（）A．230B．231C．232D．2339．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的周期．若，，则ω＝（）A

．B．C．3D．10．已知函数f（x）＝2sin（πx﹣），当x∈[0，10]时，把函数F（x）＝f（x）﹣1的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，记数列{xn}的前

n项和为Sn，则Sn＝（）A．B．C．D．11．已知M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是C上异于M，N的动点，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．若直线与曲线C没有公共点，当双曲线C的离心率取得最大值

时，且2≤k1≤3，则k2的取值范围是（）A．B．C．D．12．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，BC＝2，SC＝2．若P，Q分别是SB，BC的中点，则平面APQ被三棱锥S﹣ABC的外接球所截得的截面面积为（

）A．πB．πC．πD．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．平面向量与的夹角为30°，，，则＝．14．记Sn为数列{an}的前n项和．若a1＝1，，则数列{an}的通项公式为．15．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，若是f（x）的极值点，则f（x）在x＝1处的切

线方程为．16．设抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若，则△ABD的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且．（1）求角C；（2）设BC＝5，AB＝7，若延长CB到D，使，求CD的长．18．在四棱锥P﹣ABCD中

，底面ABCD是菱形，平面PBD⊥底面ABCD，且BD⊥PC．（1）求证：PA＝PC；（2）设BD＝PB，∠BAD＝60°，E为PC的中点，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．19．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回

），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏．（1）求先摸球者获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第1次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球．每次游戏获胜者得1分，

但若先摸球者输则﹣1分，后摸球者输则得0分．记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望EX．20．设离心率为的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在E上，且满足∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为．（1）

求a，b的值；（2）设直线l：y＝kx+2（k＞0）与E交于M，N两点，点A在x轴上，且满足，求点A横坐标的取值范围．21．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）是否存在一条直线l与曲线y＝f（

x）相切于两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分.作

答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，且t＜0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4，）

．（1）求C1的极坐标方程；（2）设曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝16，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点B，C均在C2上．若B在第二象限，直线BC交C1于点M，求|BM|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x2﹣1|+|x2﹣5|．（1）求

不等式f（x）＜5的解集；（2）若f（x）≥tx对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.1．已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，N＝{x|x﹣x2＞0}，则M∩N＝（）A．B．C．D．解：∵，∴．故选：A．2．已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）＝i3（其中i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）A．B．C．D．解：因为（z+i）（1﹣2i）

＝i3＝﹣i，所以z＝＝﹣i＝，虚部为﹣．故选：B．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.1

6x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米解：对于A，身高极差大约是25，臂

展极差大于等于30，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B正确；对于C，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10厘米的两人展臂的估计值相

差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；故选：D．4．已知点（m，n）在关于x，y的不等式所表示的平面区域内，则的最小值为（）A．B．C．D．解：由约束条件作出可行域如图，∵点（m，n）在平面区域内，∴的最小值为O到直线2x﹣y﹣

2＝0的距离，等于．故选：C．5．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x+bsin3x+c（a＞0且a≠1）．若f（﹣t）＝1，f（t）＝3，则c＝（）A．1B．2C．3D．4解：根据题意，函数f（x）＝ax﹣a﹣x+bsin3x+c，则f（﹣

x）＝a﹣x﹣ax+bsin3（﹣x）+c＝﹣（ax﹣a﹣x+bsin3x）+c，则有f（x）+f（﹣x）＝2c，则f（﹣t）+f（t）＝2c，若f（﹣t）＝1，f（t）＝3，则f（﹣t）+f（t）＝2c＝4，必有c＝2，故选：B．6．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画

法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，……为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉

螺等．如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为（）A．B．C．D．解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧对应的圆面半径是5+8＝13，对应的弧长是l＝2π×13×＝，设圆锥底面半径为r，则2

πr＝，解得r＝，所以圆锥的高为h＝＝．故选：B．7．已知数列{an}满足a1＝2，am+n＝am+an，记Sn为正项等比数列{bn}的前n项和．若b4＝a8，bn+4bn＝4bn+12，则log2（Sn+2）＝（）A．n﹣1B．n+1C．n﹣2D．n解：数列{an}满足a

1＝2，am+n＝am+an，当m＝n＝1时，解得a2＝2+2＝4，当m＝n＝2时，a4＝a2+a2＝8，同理，当m＝n＝4时，a8＝a4+a4＝16，记Sn为正项等比数列{bn}的前n项和，若b4＝a8，bn+4bn＝4bn+12，则，整理得q＝±2（负值舍去），故．则

，所以log2（Sn+2）＝n+1．故选：B．8．在的展开式中，除x2项外，其余各项的系数之和为（）A．230B．231C．232D．233解：在的展开式中，令x＝1，可得各项系数和为32而表示5个因式（2x+﹣1）的乘积，要得到

含x2的项，需有2个因式取x，其余的3个因式都取（﹣1）；或有3个因式取x，一个因式取，一个因式取﹣1，故含x2的项的系数为•22••（﹣1）3+•23••（﹣1）＝﹣40﹣160＝﹣200，除x2项外，其余各项的系数之和

为32﹣（﹣200）＝232，故选：C．9．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的周期．若，，则ω＝（）A．B．C．3D．解：因为f（x）＝Acos（ωx+φ），，可得T＝∈（，π），ω∈（2，4），所以cos（•ω+φ）＝0，即•ω+φ＝+kπ，k∈Z，又，所以Ac

osφ＝﹣Acos（•ω+φ），可得cosφ＝﹣cos（•ω+φ），所以φ＝•ω+φ+mπ，或φ+φ+•ω＝π+2mπ，m∈Z，若φ＝•ω+φ+mπ，则ω＝2m，m∈Z，又2＜ω＜4，可得无解；若φ+φ+•ω＝π+2mπ，m∈Z，则

2φ+•ω＝π+2mπ，m∈Z，所以，解得﹣＝（4n﹣2m）π，所以ω＝3（2n﹣m），（n，m∈Z），所以ω为整数，且ω∈（2，4），所以ω＝3．故选：C．10．已知函数f（x）＝2sin（πx﹣），

当x∈[0，10]时，把函数F（x）＝f（x）﹣1的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，记数列{xn}的前n项和为Sn，则Sn＝（）A．B．C．D．解：F（x）＝f（x）﹣1

的零点即f（x）＝1，即sin（πx﹣）＝，由πx﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝k+，k＝0，2，4，6，8，即为y＝2sin（πx﹣）的图象的对称轴方程，则x1+x2＝，x3+x4＝，…，x9+x10＝，可得Sn＝（+）×5＝，故选：D．11．已知M，N是双曲线上关

于原点对称的两点，P是C上异于M，N的动点，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．若直线与曲线C没有公共点，当双曲线C的离心率取得最大值时，且2≤k1≤3，则k2的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为直线与

双曲线没有公共点，所以渐进线的斜率，而双曲线的离心率取得最大值，故，即a＝2b，则双曲线方程为，设M（x1，y1），N（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则，两式相减得：，即，又2≤k1≤3，．故选：A．1

2．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，BC＝2，SC＝2．若P，Q分别是SB，BC的中点，则平面APQ被三棱锥S﹣ABC的外接球所截得的截面面积为（）A．πB．πC．πD．π解：如图，∵SA⊥平

面ABC，AC⊂平面ABC，∵SA⊥AC，又SA＝2，SC＝2，∴AC＝，又AB＝2，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，则SC的中点O即为三棱锥S﹣ABC外接球的球心，半径为SC＝，∵P，Q分别是SB，BC的中点，∴PQ＝SC＝，AQ＝，△SAB为等腰直角三角

形，AP＝＝，∴AQ2＝AP2+PQ2，即AP⊥PQ，由图可知，O到平面APQ的距离等于B到平面APQ的距离，设B到平面APQ的距离为h，由VP﹣ABQ＝VB﹣APQ，可得，解得h＝，可得平面APQ被三棱锥S﹣ABC的外接球所截得的截面

圆的半径r＝．∴平面APQ被三棱锥S﹣ABC的外接球所截得的截面面积为．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．平面向量与的夹角为30°，，，则＝．解：由已知，＝，所以＝＝，所

以．故答案为：．14．记Sn为数列{an}的前n项和．若a1＝1，，则数列{an}的通项公式为an＝n．解：因为，则（n+1）an＝2Sn…①所以（n+2）an+1＝2Sn+1…②②﹣①可得（n+2）an+1﹣（n+1）an＝2an+1，所以nan+1＝（n

+1）an，即，所以，所以an＝n，故答案为：an＝n．15．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，若是f（x）的极值点，则f（x）在x＝1处的切线方程为x+y+1＝0．解：f（x）＝lnx﹣ax的导数为f′（x）

＝﹣a，由是f（x）的极值点，可得f′（）＝2﹣a＝0，解得a＝2，所以f（x）＝lnx﹣2x，导数为f′（x）＝﹣2，则f（x）在x＝1处的切线的斜率为1﹣2＝﹣1，切点为（1，﹣2），所以f（x）在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即为x

+y+1＝0．故答案为：x+y+1＝0．16．设抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若，则△ABD的面积为．解：如图所示，设l与x轴交于H，且F（，0），l：x＝﹣，因为若，则BF⊥FD，可得

B（﹣，1），D（﹣，﹣1）可得|FB|＝＝，所以圆的半径为|FA|＝|FB|＝|FD|＝，A的横坐标为：﹣，A到抛物线的准线的距离为：所以△ABD的面积为|BD|•d＝×2×＝，故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且．（1）求角C；（2）设BC＝5，AB＝

7，若延长CB到D，使，求CD的长．解：（1）由正弦定理及条件得，，即，整理得，又C为三角形内角，所以C＝60°；（2）在△ABC中，由余弦定理得，AC2+25﹣5AC＝49，解得AC＝8，△ACD中，，由正弦定

理得：，所以CD＝10．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PBD⊥底面ABCD，且BD⊥PC．（1）求证：PA＝PC；（2）设BD＝PB，∠BAD＝60°，E为PC的中点，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连接AC交BD于

点O连PO，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又BD⊥PC，AC⊂平面POC，PC⊂平面POC，从而BD⊥平面POC，PO⊂平面POC，所以PO⊥BD，又平面PBD⊥底面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，于是PO⊥AC，而O是AC的中点，故PA＝PC．（2）解：设BD＝2，则

△ABD，△BCD，△PBD均为边长为2的正三角形．如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则B（1，0，0），，，，，，，设平面PAB的一个法向量为，则，令，得，设直线BE与平面PA

B所成角为θ，则，所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值为．19．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏．（1）求先摸

球者获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第1次游戏由小李先摸球，并且某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球．每次游戏获胜者得1分，但若先摸球者输则﹣1分，后摸球者输则得0分．记3次游戏中小李的得

分之和为X，求X的分布列和数学期望EX．解：（1）记事件A：“在一次游戏中先摸球者获胜”，先摸球者获胜等价于将这5个球进行排序，第2个黑球排在3号位置或5号位置，共有2+4＝6种，而2个黑球共有种位置，故．（2）小李得分的所有可能取值

为﹣3，﹣1，0，1，2，3，记事件Ai为“第i次游戏中小李先摸球获胜”，记事件Bi为“第i次游戏中小张先摸球获胜”，则，，，，，，，所以X的分布列为X﹣3﹣10123p．20．设离心率为的椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在E上，且满足∠F1PF2

＝60°，△PF1F2的面积为．（1）求a，b的值；（2）设直线l：y＝kx+2（k＞0）与E交于M，N两点，点A在x轴上，且满足，求点A横坐标的取值范围．解：（1）设椭圆短轴的端点为B，则，所以，，所以点P即为点B，所以，又，a2﹣b2＝c2，所以a＝2，．（2）设A（m，0），M（x1，y

1），N（x2，y2），MN的中点H（x0，y0），由，得（4k2+3）x2+16kx+4＝0，所以△＝（16k）2﹣16（4k2+3）＝48（4k2﹣1）＞0，又k＞0，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以AH⊥MN，所以，得，因为，所以，当且仅当时取“＝”号，所以，故点A的横坐标的取

值范围是．21．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）是否存在一条直线l与曲线y＝f（x）相切于两个不同的点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．解：（1），△＝a2﹣8，①

当△≤0，即时，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，②当△＞0，即或时，（i）若，因x＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，（ii）若，方程x2﹣ax+2＝0的两根，，且0＜x1＜x2，x∈（

0，x1）时，f'（x）＞0，x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上递增，x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（x1，x2）上递减，综上：若a≤2，则f（x）在（0，+∞）递增，若，则f（x）在（0，），（，+∞

）上递增，在（，）上递减；（2）假设这样的直线存在，则曲线在A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（0＜x1＜x2）两处的切线方程分别为：y﹣f（x1）＝f'（x1）（x﹣x1），y﹣f（x2）＝f'（x2）（x﹣x2

），依假设知f'（x1）＝f'（x2）且f（x1）﹣x1f'（x1）＝f（x2）﹣x2f'（x2），即x1x2＝2且，消去x2，得（*），令，由0＜x1＜x2且x1x2＝2，得t∈（0，1），设，则，所以p（t）在

（0，1）上递减，所以当0＜t＜1时，P（t）＞p（1）＝0，故（*）式不能成立，所以假设不成立．即不存在一条直线与曲线y＝f（x）相切于两个不同点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡

上将所选题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，且t＜0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4，）．（

1）求C1的极坐标方程；（2）设曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝16，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点B，C均在C2上．若B在第二象限，直线BC交C1于点M，求|BM|．解：（1）曲线C1的参

数方程为（t为参数，且t＜0），整理得x＝yt，所以t＝，代入，得到x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．（2）点A的极坐标为（4，），曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝16，所以点A在曲线C2上，以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC的顶点B，C均在C2上故

BC为曲线C2的直径，且点B在第二象限，如图所示：易知：原点O为BC与圆的交点，此时|BM|＝|BO|＝4，另一交点在第二象限内，θ＝∠BOx＝，代入曲线C1的方程，得到，所以|OM|＝，所以|BM|＝|

BO|﹣|OM|＝4﹣．故|BM|＝4或4﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x2﹣1|+|x2﹣5|．（1）求不等式f（x）＜5的解集；（2）若f（x）≥tx对任意x∈[1，+∞）

恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）因为函数f（x）＝|2x2﹣1|+|x2﹣5|，设m＝x2，则m≥0，所以不等式f（x）＜5可化为|2m﹣1|+|m﹣5|＜5，等价于，或，或，解得＜m≤，或＜m＜1，或m∈∅，即＜m＜1，所以＜

x2＜1，解得﹣1＜x＜﹣，或＜x＜1，所以f（x）＜5的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）；（2）x∈[1，+∞）时，f（x）＝2x2﹣1+|x2﹣5|，当1≤x≤时，f（x）≥tx等价于（2x2﹣1）+（5﹣x2

）≥tx，即x+≥t，又x+≥2＝4，当且仅当x＝2时取“＝”，所以t≤4；当x＞时，f（x）≥tx等价于（2x2﹣1）+（x2﹣5）≥tx，即3x﹣≥t，又y＝3x﹣在x∈（，+∞）上单调递增，所以3x﹣＞3﹣＝，所以t＜；综上知，实数t的取值范围是t≤4．