【文档说明】第一章《空间向量与立体几何》检测卷（培优版）解析版2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册） .docx，共(25)页，1.691 MB，由管理员店铺上传

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第一章《空间向量与立体几何》检测卷（培优版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．如图，设OAa=，OBb=，OCc=，若ANNB=，2BMMC=，则

MN=（）A．112263abc+−B．112263abc−−+C．111263abc−−D．111263abc−++【答案】A【解析】【分析】根据向量是线性运算法则，计算即可得答案.【详解】由题意得()

()21213232MNMBBNCBBAOBOCOAOB=+=+=−+−=112112263263OAOBOCabc+−=+−.故选：A2．设OABC−是正三棱锥，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且13OGGG=，若OGxOAyOBzOC=

++，则xyz++=（）．A．14B．12C．34D．1【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OGOAOBOC=++，由已知条件可得出134OGOG=，进而可求得x、y、z的值，由此可求得结果．【详解】如下图所示，连接1AG并延长交BC于点D

，则点D为BC的中点，1G为ABC的重心，可得123AGAD=，而()()111222ODOBBDOBBCOBOCOBOBOC=+=+=+−=+，()1122123333OGOAAGOAADOAODOAOAOD=+=+=+−=+()()12113323OAOBOCOAOBOC=++=++，

所以，13311111144333444OGOGOAOBOCOAOBOC==++=++，所以，14xyz===，因此，34xyz++=．故选：C3．已知()()0,1,1,0,0,1ab==，则a在b上的投影向

量为（）A．()1,0,0B．()0,0,1C．()0,1,0D．110,,22【答案】B【解析】【分析】根据题意得2cos,2ab=，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为()()0,1,1,0,

0,1ab==，所以2,1ab==，所以2cos,2ababab==，所以a在b上的投影向量为()()2cos,20,0,10,0,12baabb==故选：B4．有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②

一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直其中真命题的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个

平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故②错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④错误.故选：A5．如图，在直二面角l

−−中，BC、是直线l上两点，点A，点D，且,ABlCDl⊥⊥，2AB=，3,4BCCD==，那么直线AD与直线BC所成角的余弦值为（）A．22929B．32929C．42929D．52929【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐

标系，求得相关点的坐标，求出向量,ADBC的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.【详解】如图，以B为坐标原点，以过点B作BC的垂线为x轴，以BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,2),(0,3,0),(4,

3,0)BACD,故(4,3,2),(0,3,0)ADBC=−=,则9329cos,29||||329ADBCADBCADBC===,故直线AD与直线BC所成角的余弦值为32929，故选：B.6．已知正四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面11

11DCBA的边界上一点．若PAPC的最小值为12，则该正四棱台的体积为（）A．72B．3C．52D．1【答案】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量的数量积的坐标公式及二次函数的性质及已知得出正四棱台的高，再结合棱台

的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，以O为坐标原点，1,,OBOCOO所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，如图所示()0,2,0A−，()0,2,0C，由对称性，点P在111111

11,,,ABBCADCD是相同的，故只考虑P在11BC上时，设正四棱台的高为h，则12,0,2Bh，120,,2Ch,设(),,Pxyz，12,,2PCxyhz=−−−，1122,,022BC

=−因为P在11BC上，所以()11101PCBC=，则222,,222Ph−2222322,2,,,222222PAhh=−−−+−=−−+−，222222,2,,,222222PChh

=−−+−=−+−，所以2212322222222PAPCh=+−++2221113322222h=++−−+2222123274h

h=−−+−=−+由二次函数的性质知，当12=时，PAPC取得最小值为274h−，又因为PAPC的最小值为12，所以27142h−=，解得32h=（负舍），故正四棱台的体积为()()11223721122221112133VSSSSh=++=

+=+.故选：A.7．在平行六面体1111ABCDABCD−中，2AB=，2AD=，14AA=，1160BADBAADAA===，则1BC与1CA所成角的正弦值为（）A．2142B．342C．2114D．5714【答案】D【解析】【分析】先利用基底表示向量11,BCCA，再利

用向量的夹角公式求解.【详解】解：11111,BCADAACAAAACAAADAB=+=−=−−，则()()1111BCCAADAAAAADAB=+−−，2211116ADAAADADABAAADAA

ABAA=−−+−−=，()2221111227BCADAAADADAAAA=+=++=，()2211CAAAADAB=−−，22211122223AAADABAAADABAAADAB=++−−+=，1111113cos,221BCCABCCABCCA==，所以

211357sin,114221BCCA=−=，故选：D8．如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，F为线段1BC的中点，E为线段11AC上的动点，则下列四个结论正确的是（）A．存在

点E，使EF∥BDB．三棱锥1BACE−的体积随动点E变化而变化C．直线EF与1AD所成的角不可能等于60D．存在点E，使EF⊥平面11ABCD【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来表达出EF，BD，1AD，从而判断AC

选项；求出平面11ABCD的法向量()0,1,1n=−r，判断EF与()0,1,1n=−r的关系，判断D选项；B选项可以判断出11AC∥平面1ACB，从而得到E到平面1ACB的距离不变，所以1EACBV−为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥1BACE−的体积不随动点E变化而变化，B选项错

误.【详解】以点D为原点，DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则()1,2,1F，()0,0,0D，()2,2,0B，()2,0,0A，()10,0,2D，()12,

2,2B，因为E为线段11AC上运动，设(),2,2Emm−（02m），则()1,,1EFmm=−−，()2,2,0BD=−−，若EF∥BD，则EFtBD=（0t），则有10t−=，显然无解，

故A错误；因为11AC∥AC，AC平面1ACB，11AC平面1ACB，故11AC∥平面1ACB，因为E为线段11AC上运动，故E到平面1ACB的距离不变，所以1EACBV−为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥1BACE−的体积不随动点E变化而

变化，B错误；()12,0,2AD=−，设直线EF与1AD所成角为，则()()12222,0,21,,1coscos,822221mmmADEFmmmm−−−−===−+−+，令1cos2=，解得：1m=，故当E为11AC中点时，此时直线E

F与1AD所成的角为60°，故C错误；设平面11ABCD的法向量为(),,nxyz=，则10220nDAxnAByz===+=，令1y=得：1z=−，故()0,1,1n=−r，因为当1m=时，()(

)1,,10,1,1mm−−=−即EFn=，故EF⊥平面11ABCD，故D正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．有下列四个命题，其中正

确的命题有（）A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则0.ABBCCDDA+++=B．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则//ABCD.C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向

量.D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OPxOAyOBzOC=++uuuruuruuuruuur(x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面.【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量的加法的几何意义、平行向量的定义，结合共面的定义逐

一判断即可.【详解】A：因为0ABBCCDDAACCDDAADDA+++=++=+=，所以本选项命题正确；B：由0ABCDABCD+==−，所以//ABCD，所以本选项命题正确；C：根据平移，当空间向量的有向线段所在的直线是异面直线时

，这两个向量可以是共面向量，所以本选项命题正确；D：只有当1xyz++=时，P，A，B，C四点才共面，所以本选项命题不正确，故选：ABC10．从点P（1，2，3）出发，沿着向量v＝（－4，－1，8）方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为

（）A．（－1，－2，3）B．（9，4，－13）C．（－7，0，19）D．（1，－2，－3）【答案】BC【解析】【分析】根据题意设PQv=，利用PQv=求出，再求出PQ的坐标表示，即可求出点Q的坐标.【详解】设00

0(,,)Qxyz，则PQv=，即000(1,2,3)(4,1,8)(4,,8)xyz−−−=−−=−−，由18PQ=，得222(4)()(8)18−+−+=，解得2=，所以000(1,2,3)2(4,1,

8)xyz−−−=−−，则0001822316xyz−=−−=−−=或0001822316xyz−=−=−=−，解得0007019xyz=−==或0009413xyz===−，所以(7,0,

19)Q−或(9,4,13)Q−.故选：BC11．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA，1BB，1CC，1DD均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径

分别为1和2，对应的圆心角为90°，则以下命题正确的是（）A．1AB与1CD成角的余弦值为45B．1A，B，C，1D四点不共面C．弧11AD上存在一点E，使得1BECD∥D．以C点为球心，5为半径的球面

与曲池上底面的交线长为23【答案】AD【解析】【分析】建立空间坐标系，用向量计算异面直线的夹角，做辅助图计算判断相关问题.【详解】圆弧的圆心的原点，CD为x轴，BA为y轴过圆心O垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系如下图：则()()()()110,2,0,0,1,2,1,0,0,2,0,

2ABCD，故()()110,1,2,1,0,2ABCD=−=，所以11111144cos,555ABCDABCDABCD===，A正确；对于B，连接11,,ADADBC，则有11//,//,ADADADBC则11//ADBC，∴11AD与BC共面，即11,,,ADBC四

点共面，故B错误；对于C，设在圆弧11AD存在一点()2cos,2sin,2E0,2，使得1//BECD，则有()()12cos,2sin1,21,0,2BECD=−==，2cos2sin1022=−==，此方程组无解

，即E点不存在，故C错误；对于D，做如下俯视图：22215AC=+=，即以C为球心，5为半径的球刚好过A点是球面与底面ABCD唯一的交点，因为221125CD=+=，1(2,0,2)D在球面上，设与圆弧11BC的交点为()cos,si

n,2E，则()222cos1sin25CE=−++=，解得13cos,sin22==，故13,,222E，球面与上底面的交线是以1C为圆心，半径为1的圆弧1ED，则()222113222322ED=−++−=，圆心角222111131cos

2112ECD+−==−，由图知：110ECD，得1123ECD=.122133ED==，故D正确；故选：AD.12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCDABCD−，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中

正确的是（）A．()()2212AAABADAC++=B．1A在底面ABCD上的射影是线段BD的中点C．1AA与平面ABCD所成角大于45D．1BD与AC所成角的余弦值为63【答案】AC【解析】【分析

】对A，分别计算()21++AAABAD和2AC，进行判断；对B，设BD中点为O，连接1AO，假设1A在底面ABCD上的射影是线段BD的中点，应得10=OABA，计算10OABA，即可判断1A在底面ABCD上的射影不是线段BD的中点；对C，计算11,,AAACAC，根据勾股

定理逆定理判断得11⊥AAAC，1AA与平面ABCD所成角为1AAC，再计算1tanAAC；对D，计算1,ACBD以及1BDAC，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值.【详解】对A，由题意，11111cos602====AAABAAADADAB，所以(

)2222111112221113262++=+++++=+++=AAABADAAABADAAABABADAAAD，ACABAD=+，所以()222221113=+=++=++=ACABADABABADAD，所以()()2212

6++==AAABADAC，故A正确；对B，设BD中点为O，连接1AO，1111111222=+=+=++AOAAAOAAACAAADAB，若1A在底面ABCD上的射影是线段BD的中点，则1AO⊥平面ABCD，则应10=OABA，又因为21111111111110222222

224=++=−++=−++=OABAAADABABAAABADABABA，故B错误；对D，11,BDADAAABACABAD=+−=+，所以()()2211=2,=3=+−=+ADABAABACA

BADD，()()2211111=+−+=+++−−=ACADAAABABADADABADAAABAAADABABADBD，11116cos,623===BACDBDBDACAC，故D不正确；对C，112==ACBD，在1AAC中，111,2,3==

=AAACAC，所以22211+=AAACAC，所以11⊥AAAC，所以1AA与平面ABCD所成角为1AAC，又1tan21=AAC，即145AAC，故C正确；故选：AC【点睛】方法点睛：用向量方法解决立

体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．O为空间中任意一点，A，B，C三点

不共线，且3148OPOAOBtOC=++，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．【答案】18【解析】【分析】根据四点共面的充要条件即可求出t的值.【详解】P，A，B，C四点共面，且3148OPOAOBOCt=++，31148t++=，解得18t=.故答案为

:18【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.14．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ABC是边长为2的正三角形，14AA=，M为1CC的中点，P为线段1AM上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）

①1AM⊥平面ABM②三棱锥PABM−的体积的最大值为433③存在点P，使得BP与平面111ABC所成的角为60④存在点P，使得AP与BM垂直【答案】②③【解析】【分析】①通过1AM与BM不垂直来进行判断.②通过计算三棱锥PABM−的

体积来进行判断.③通过线面角的知识进行判断.④通过建立空间直角坐标系，利用向量法来进行判断.【详解】由题意得1112ACMC==．则122,22AMBM==，易得125AB=，所以1AM与BM不垂直．故①错误；PAB

MBAMPVV−−=，点B到平面AMP的距离为3，由22211AMAMAA+=，得1AMAM⊥，得122AMPAMPMSPM==△，又22PM，则16433333BAMPAMPSVPM−==△，故②正确；BP与平面111ABC所成的角即为BP与平面A

BC所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时45MBC==，当点Р与1A重合时，最大，此时11,tan2AAABAAB===，此时60，故存在点P，使得BP与平面111ABC所成的角为60，③正确；如图建立空间直角坐标系，()()()13

,1,0,0,2,2,0,0,4BMA，设()11,01APAM=．则有()()()0,2,42,0,,42,3,1,2,8202PAPBMAPBM−=−=−=−，故不存在点P，使得AP与

BM垂直，④错误．故答案为：②③15．已知空间四边形ABCD中，0ABCDACBD==，则ADBC=______．【答案】0【解析】【分析】根据向量的加法的几何意义，将ADBC化为()()ABBDBDDC+

+，结合数量积的运算法则和向量的线性运算，即可求得答案.【详解】在空间四边形ABCD中,0ABCDACBD==,则2()()ADBCABBDBDDCABBDBDBDDC=++=++)(()ABBDBDBDDCADBDBDDCADDCBD++=+

=+=0ACBD==,故答案为：016．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E在BD上，点F在1BC上，且BECF=.则下列四个命题中所有真命题的序号是___________.①当点E是BD中点时，直线//EF平面11DCCD；②当2DEEB=时，EFBD⊥；③直线E

F分别与直线BD，1BC所成的角相等；④直线EF与平面ABCD所成的角最大为π6.【答案】①②③【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个命题逐一分析，从而确定其中的真命题.【详解】设正方体的边长为2，建立如图所示

空间直角坐标系，设,022BECFtt==，①，当E是BD的中点时，F是1BC的中点，()()()1,1,0,1,2,1,0,1,1EFEF=，平面11DCCD的一个法向量为()11,0,0n=ur，0nE

F=，由于EF平面11DCCD，所以//EF平面11DCCD，①为真命题.②，当2DEEB=时，111,33BEBECFCB==,4422222,,0,,2,,,,3333333EFEF=−，()2,2,0B，0EFDB

=，所以EFBD⊥，所以②正确.③，()()222222,22,02,2,02222Etttt−−=−−，22,2,22Ftt，2222,,22EFttt=−，()22222222342

422EFttttt=−++=−+，()()()()112,2,0,2,2,2,0,2,0,2,0,2BBCCB=，222242324cos,342422342422tttEFDBtttt−+

−==−+−+，1222242324cos,342422342422tttEFCBtttt−+−==−+−+，1cos,cos,EFDBEFCB=，所以直线EF分别与直线BD，1BC所成的角相等.④，平面ABCD的法向量为()0,

0,1m=，设直线EF与平面ABCD所成角为，222sin3424tEFmEFmtt==−+，当22t=时，11sin23=，由于π02，所以π6，④错误.故答案为：①②③四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。17．已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OEkOA=，OFkOB=，OGkOC=，OHkOD=.(1)求证：EFGH，，，四点共面；(2)平面AC∥平面EG.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算可得EGEFEH

=+,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD=+，∵EGOGOE=−，()()kOCkOAkOCOAkACkABAD=−

=−==+()kOBOAODOAOFOEOHOEEFEH=−+−=−+−=+∴E、F、G、H四点共面；(2)∵()EFOFOEkOBOAkAB=−=−=，∴EFAB∥又因为EF平面ABCD,ABÌ平面ABCD,所以EF∥平面ABCD又∵EGkAC=，∴EGAC∥，EG平面A

BCD,AC平面ABCD,EG∥平面ABCD，又EFEGE=，,EFEG平面EG所以，平面EG∥平面AC.18．如图所示，已知1111ABCDABCD−是平行六面体．(1)化简1AABCAB++；(2)设M是底面ABCD的中心，

N是侧面11BCCB对角线1BC上的34分点，设1MNABADAA=++，试求，，的值．【答案】(1)1ACuuur；(2)12=，14b=，34=.【解析】【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性

运算的几何表示可得1113244ABAMNAAD=++，进而即得.(1)∵1111ABCDABCD−是平行六面体，∴1111111AABCABAABCABAC++=++=(2)∵MN=MBBN+11324DBBC=+()()11324ABADAAAD=−++1113244ABADAA=

++，又1MNABADAA=++，∴12=，14b=，34=.19．已知向量()1,3,2a=−，()2,2,1b=−−，点()3,1,4−A，()2,2,2B−.(1)求2ab+；(2)若直线AB上存在一点E，使

得OEb⊥，其中O为原点，求E点的坐标.【答案】(1)5(2)()5,1,8E−−【解析】【分析】（1）根据空间向量坐标表示的线性运算求出2ab+，再根据向量模的坐标公式即可得解；（2）设AEAB=，根据OEOAAE=+求出OE，再根据O

Eb⊥可得0OEb=，从而可求得，即可求出AE，从而可得出答案.(1)解：因为()1,3,2a=−，()2,2,1b=−−，所以()20,4,3ab+=−，所以201695ab+=++=；(2)解：设AEAB=，由()3,1,4−

A，()2,2,2B−，得()1,1,2AB=−，则(),,2AEAB==−，故()()()3,1,4,,23,1,24OEOAAE=+=−+−=−+−+，因为OEb⊥，所以0OEb=，即()()

()2321240−−++−−+=，解得2=−，所以()2,2,4AE=−−，设(),,Exyz，则()()3,1,42,2,4AExyz=+−−=−−，所以321244xyz+=−−=−−=，解得518xyz=−=−=，所以()5,1

,8E−−.20．如图，三棱柱111ABCABC−中，12ABACAA===，1160AABAACBAC===，点M，N分别在1AC和BC上，且满足113AMAC=，13BNBC=.(1)证明：MN∥平面11A

BBA；(2)若O为1BC中点，求AO的长.【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理求解（2）由空间向量数量积的运算律求解(1)过点M作1//MPCC，交AC于点P，连接NP，由题意得113AMAPBNACA

CBC===，故11////MPCCAA，//NPAB，而1AA平面11ABBA，MP平面11ABBA，//MP平面11ABBA，同理得//NP平面11ABBA，而MPNPP=，平面//MNP平面11ABBA，MN∥平面11ABBA(

2)由题意得1111()()22AOABACABAAAC=+=++，故22221111||(222)4AOABAAACABAAABACAAAC=+++++，21||(444444)64AO=+++++=，故6AO=21．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD

，,,45ACADABBCBAC⊥⊥=，2,1PAADAC===．(1)证明PCAD⊥；(2)求二面角APCD−−的余弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的

长．【答案】(1)证明见解析；(2)66；(3)1010AE=.【解析】【分析】（1）构建空间直角坐标系，由已知写出相关点的坐标，进而求得(0,1,2),(2,0,0)=−=ADPC，利用向量数量积的坐标运算求PCAD，即可证结论.（2）分别求

出面PCD、面PAC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值；（3）设E(0,0,)h且[0,2]h，求BE、CD的坐标，根据已知及空间向量夹角的坐标表示求出h即可得结果.(1)如图，以点A为原点建立空间直角坐标

系．依题意，11(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),,,0,(0,0,2)22ADCBP−．易得(0,1,2),(2,0,0)=−=ADPC∵0=PCAD，∴PCAD⊥.(2)由（1）知：(0,1,

2),(2,1,0)PCCD=−=−设平面PCD的法向量(,,)nxyz=，则00nPCnCD==，即2020yzxy−=−=．令1z=，可得(1,2,1)n=，而平面PAC的一个法向量(1,0,0)m=∴16cos,66mnmnmn===．所以二面角APCD−−的余弦值为6

6．(3)设E(0,0,)h，[0,2]h，则11,,22BEh=−，又(2,1,0)=−CD，∴22332cos,||||1102052BECDBECDBECDhh===++，∴233cos3021020h==+，解得1010

h=，即1010AE=．22．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．(1)证明：//GF平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE

所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)延长EG交AB于N，连接NC,因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且2EGGN=,因为//CMBE,故CMF

EBF∽,所以2EFBECFCM==,故EFEGCFGN=，故//GFNC,而NC平面ABC，GF平面ABC,故//GF平面ABC；(2)由题意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，DCBC⊥,DC平面BCDE，

故DC⊥平面ABC,AC平面ABC,则DCAC⊥,同理BCAC⊥，又,,BCDCCBCDC=平面BCDE,所以AC⊥平面BCDE，以C为原点，以CB,CD,CA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设点G到平

面BCDE的距离为(0)tt，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)AtBEGtD，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CGtCEADtDE===−=,设平

面GCE的法向量为111(,,)mxyz=，则00mCGmCE==，即11111220360xytzxy++=+=，取11y=，则112,,2,zxt==−即2(2,1,)mt=−，设平面ADE的法向量为222(,,)nxyz=，则

00nADnDE==，即22263030ytzx−==，取22z=，则2yt=，则(0,,2)nt=，所以224||||1cos602||||454tmntmntt+===++，解得212,23tt==，又(2,4,23)DG=−，故点G到平面ADE

的距离为||4334||DGndn===.