【文档说明】《精准解析》江西省新八校2023届高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）.docx，共(22)页，1.219 MB，由管理员店铺上传

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江西省新八校东乡一中都昌一中丰城中学赣州中学景德镇二中上饶中学上栗中学新建二中新八桥2023届高三第一次联考理科数学试题命题人：新建二中边群根审题人：新建二中邓国平考试时间：120分钟分值：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.1.已知集合{|lg1}Axx=，{|1}Bxx=，则()RAB=ð（）A.110xxB.{|110}xxC.01xxD.{|110}xx【答案】B【解析】【分析】解对数不等式化简集合A，再根据补集和交集的概

念可求出结果.【详解】由1lgx，得010x，{|010}Axx=，又{|1}Bxx=，所以R1Bxx=ð，()RAB=ð{|110}xx.故选：B.2.若复数()20231iiz=−则复数z的虚部

为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘方运算求出z，再根据共轭复数的概念求出z，根据复数的概念可得虚部.【详解】复数()()()20231ii1ii1iz=−=−−=−−，∴1iz

=−+，则复数z的虚部为1，故选：A.3.下列说法正确的是（）A.“0x，e1xx+”的否定形式是“0x，e1+xx”B.若函数()fx为奇函数，则()00f=.C.两个非零向量a，b，//abrr是ab=的充分不必要条件D.若()0R,Rxyxy，则2xy

xyxy+++−【答案】D【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词可知A错误；若0x=无定义，则B错误；根据平面向量知识和必要不充分条件的定义可知C错误；根据绝对值三角不等式可知D正确.【详解】对于A：“0x，e1xx+”

的否定形式是“0x，ex1x+”，故A错误；对于B：若0x=无定义，则()0f无意义，故B错误；对于C：对两个非零向量a，b，//abrr不能推出ab=，但是“ab=”能推出//abrr，所以//abrr是ab=的必要不充分条件，故C错误；对于D：若()0R,R

xyxy，则()2xyxyxy+++=+.由绝对值的三角形不等式可得xyxy−+，所以()22xyxyxyxy−+=+++.故D正确.故选：D.4.要计算1111232023S=++++的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A.2

023nB.2023n≤C.2023nD.2023n【答案】B【解析】【分析】根据循环终止时n的值可得答案.【详解】根据1111232023S=++++可知，循环终止时，2024n=不满足判断框中

的条件，且2023n=满足判断框中的条件，故程序框图中的判断框内可以填：2023n≤.故选：B5.函数()2eexxfxx−−=的图像大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()xxeexfx

fxfxx−−−==−为奇函数，舍去A,1(1)0fee−=−舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0xxxxxxeexeexxexefxxfxxx−−−+−−−++==，所以舍去C；因此选B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，

判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A

、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）A.325B.625C.25D.35【答案】B.【解析】【分析】根据古典概型计算公式，结合计

数原理中的分组分配问题求得基本事件总数即每个核酸点至少分1人的方法数，与甲、乙两人派到同一处核酸点的方法数，即可得所求概率.【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊5人分到三个不同的核酸点，每个核酸点至少分1人的方法数是122335425322CCCCA150A+=，其中甲、乙两人派到同一处核酸

点的方法数是()123333CCA36+=，因此甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为36615025P==.故选：B.7.设,abR，数列na中，11a=，1nnabaa+=+，*Nn，则下列选项正确的是（）A.当1a=，1b=-时，则10

1a=B.当2a=，1b=时，则22nSnn=−C.当0a=，2b=时，则2nna=D.当1a=，2b=时，则21nna=−【答案】D【解析】【分析】根据数列的周期性、等差数列的前n项和公式和通项公式、等比数列的通项公式逐一判断即可.【详解

】选项A：当1a=，1b=-时，11a=，20a=，31a=∴.数列的周期为2T=，∴100a=，故A不正确；选项B：2a=，1b=时，即12nnaa+=+，所以数列na是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21nan=−，∴2(121)2nnnSn+−=

=，故选项B不正确；选项C：当0a=，2b=时，即12nnaa+=，所以数列na是以1为首项，2为公比的等比数列，则12nna−=，则选项C也不正确；选项D：当1a=，2b=时，即121nnaa+=+，则有()1121nnaa++=+，所以数列1na+是以2为

首项，2为公比的等比数列，∴()111122nnnaa−+=+=，∴21nna=−则选项D正确，故选：D8.如图，已知抛物线E：()220ypxp=的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy⊥轴于点N.若四边形OCMN的面积等于8

，则E的方程为（）A.22yx=B.24yx=C.243yx=D.28yx=【答案】B【解析】【分析】根据1ABk=求出M的坐标，然后得MC的方程，令0y=，得C的坐标，利用直角梯形的面积求出p，可得抛物线方程.【详解】易知,

02pF，直线AB的方程为2pyx=−，四边形OCMN为直角梯形，且//FCNM.设()11,Axy，()22,Bxy，00(,)Mxy，则1212221212122122AByyyypkyyxxyypp−−==

==−+−，所以122yyp+=，所以0yp=，00322ppxy=+=，∴3,2pMp.所以MC直线方程为32pypx−=−−，∴令0y=，∴52px=，∴5,02pC.所以四边形OCMN的面积为1538222

ppp+=，∴2p=.故抛物线E的方程为24yx=.故选：B.9.已知函数()()2sin06fxx=+，若方程()1fx=在区间0,2上恰有3个实根，则的取值范围是（）A.41,3B.41,3C.5,1

6D.43,32【答案】A【解析】【分析】通过方程()2sin16fxx=+=解出6x+，再由条件确定6x+的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围.【详解】若方程()2sin16fxx=+=，

则1sin62x+=，即266xk+=+或()526kk+Z，当0,2x时，,2666x++，则6x+的可能取值为51317,,,,6666，因

为原方程在区间0,2上恰有3个实根，所以13172666+，解得413，即的取值范围是41,3，故选：A.10.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左焦点为F，右项点为A，点B在C的一条渐近线上，且FBBO

⊥（点O为坐标原点），直线FB与y轴交于点D.若//ADOB，则双曲线C的离心率为（）A.512−B.512+C.51+D.51−【答案】B【解析】【分析】不妨设点B在渐近线byxa=−上，根据FBBO⊥得直线FD方程，得D的坐标，根据//ADOB，得ADOBkk=，得22caac−=，得210

ee−−=，解方程可得解.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为byxa=，(),0Fc−，(),0Aa，不妨设点B在渐近线byxa=−上，则直线FD方程为：()ayxcb=+，令0x=，则Dacyb=，即0,acDb；∴ADaccbkab==−−，∴bc

ab−=−，∴2bac=，∴22caac−=，∴210ee−−=，∴152e=，∵1e，∴512e+=.故选：B.11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边

形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（）A.存在点E、使得

A、F、D、E四点共面；B.存在点E，使DEDF⊥；C.存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为π3；D.存在点E，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值3510.【答案】C【解析】【分析】将半正多面体补成一个棱长为2的正方体，当点E在点

C时，根据//DFAC，得A、F、D、E四点共面，故A正确；当点E在点B时，根据正方体的性质易得DEDF⊥，故B正确；对C，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算，可知C不对；对于D，根据直面值直线夹角的向量公式计算，可知D正确.【详解】将半正多面体补成一

个棱长为2的正方体，如图：则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中点，对A，当点E在点C时，//DFAC，则A、F、D、E四点共面，A正确；对B，当点E在点B时，易得DEDF⊥，B正确；以O为原点，过O的三条棱所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()2

,1,0A，()2,2,1F，()1,0,2B，()0,1,2C，()1,2,2D，对C，设BEBC=(01)，则DEDBBEDBBC=+=+(0,2,0)(1,1,0)=−+−(,2,0

)=−−，设平面CDF的一个法向量为(),,nxyz=，()1,1,0CD=，()2,1,1CF=−，则020nCDxynCFxyz=+==+−=，令1x=，得1y=−，1z=，∴()1,1,1n=−，设

直线DE与平面CDF所成角为，则222sin(2)3nDEDEn−+−==+−，若π3=，则3sin2=，则222323244−=−+,化简得22100−+=，此方程无解，故不存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为π3，C不对

；对D，()0,1,1AF=，由C可知，(,2,0)DE=−−，所以()22235cos,1022AFDEAFDEAFDE−===+−，∴12=，即E为BC的中点时，直线DE与直线AF所成角的余弦值3510

，故D正确.故选：C12.已知0.2e1a=−，()0.12e1b=−，sin0.1tan0.1c=+，则（）A.bcaB.acbC.cabD.abc【答案】D【解析】【分析】根据作差法比较大小可

得ab，构造函数()2esintan2xfxxx=−−−，利用导数确定函数在π0,6的单调性，即可比较,bc大小，从而可得结论.【详解】解：∵()20.20.10.1e2e1e10ab−=−+=−，∴ab()0.12e1sin0.1tan

0.1bc−=−−−，设()2esintan2xfxxx=−−−，则()212ecoscosxfxxx=−−，∴()00f=，又设()212ecoscosxhxxx=−−，则()32sin2esincosxxhxxx−=+，当

0,6x时，2esin2xx+，332sin2sin8362cos9cos6xx=∴0,6x时，()0hx∴()fx在π0,6为增函数∵()00f=，0,6x

时，()0fx¢>，则()fx在π0,6为增函数.∴()()0.10ff，∴bc综上可得：abc.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知非零向量a，b满足22ab==，且()

abb−⊥则向量b在向量a上的投影为______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量数量积的性质由()abb−⊥，可得2abb=，再根据投影的概念计算即可.【详解】解：因为()abb−⊥，所以()20abbabb−=−=，所以2abb=，又22ab==，所以向量b在向量a上

的投影为21cos2babbaa===.故答案为：12.14.已知2e11daxx=，则61axx+的展开式中3x项的系数是______.（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】由计算定积分得2a=，再根据二项展

开式的通项公式可求出结果.【详解】因为22ee2111lnlneln12adxxx===−=，所以66112axxxx+=+，612xx+展开式的通项为()366621661C2C2kkkkkkkTxxx−−−+==，0,1,

6k=，令3632k-=，2k=，则3x项的系数是246C2240=.故答案为：24015.已知正三棱柱111ABCABC-的顶点都在球O的球面上，若正三棱柱111ABCABC-的侧面积为12，则球O的表面积的最小值是

______.【答案】163π3【解析】【分析】设正三棱柱的高为h，底面边长为a，根据侧面积列式得4ha=，根据正弦定理出底面外接圆的半径，根据勾股定理求出球O的半径，再根据球的表面积公式可求出结果.【详解】因为正三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，设其高为h，ACBCABa===，则3

12ah=，∴4ha=，设三角形ABC的外接圆半径为r，则2πsin3ar=，∴33ar=，设球О的半径R，则22222443433haRra=+=+，当且仅当223a=时，等号成立.所以球О的半径R平方的最小值

为433，所以球O表面积的最小值为43163π4π33=.故答案为：163π316.已知函数()()()2ln22fxxaxaxa=+−+，若()fx存在极小值点m，则()fm的最大值为______.【答案】2−【解析】【分析】求导后，分类讨论a，当0a时，

函数()fx无极小值点，当02a时，()fx在1xa=时，取得极小值，故1ma=，得()11ln1fmfaaa==−−−(02)a，再利用导数求出其最大值可得解.【详解】函数()yfx=的定义域为()0,+，()()()()211122xaxfxaxaxx−−=

+−+=，当0a时，令()0fx¢>，得102x，令()0fx，得12x，所以()fx在1(0,)2上为增函数，在1(,)2+上为减函数，此时()fx无极小值点；当02a时，令()0fx¢>，得102x或1xa，令()0fx，得112xa，所以()fx在1(

0,)2上为增函数，在11(,)2a上为减函数，在1(,)a+上为增函数，此时()fx1xa=时，取得极小值，故1ma=，所以()11121lnln1afmfaaaaaa+==+−=−−−(02)a，设()1l

n1haaa=−−−，则()22111ahaaaa−=−+=，令()0ha，得01a，令()0ha，得12a，∴()ha在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()()max12hah==

−，即()fm的最大值为2−.故答案为：2−三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足()2

4cos3sin2cos1sin02BAAB−+−=（1）证明：2abc+=；（2）求cosC的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式、正弦和差角公式、诱导公式化简已知式子，再根据正弦定理

即可证明结论；（2）根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.【小问1详解】证明：由()24cos3sin2cos1sin02BAAB−+−=∴()()2cos1sin2cos1sin0BAAB−+−=得2coss

in2cossinsinsinBAABAB+=+，在即()2sinsinsinABAB+=+，又()()2sin2sinπ2sinABCC+=−=，∴2sinsinsinCAB=+则由正弦定理sins

insinabcABC==，得2abc+=.【小问2详解】解：由（1）有2abc+=，则2abc+=则由余弦定理得2222222233233133112cos22288848842abababcababababCabababbaba++−+−+−

====+−−=，当且仅当3388abba=，即abc==时等号成立，所以cosC的最小值为12.18.2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的二十大精神，要在全面学习上下功夫，只有全面、系统、深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门就学习宣传二十大精神推进学校

和机关单位，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为13

，且每个人答题相互不受影响.（1）求甲、乙、丙三名同学恰有两位同学成为宣传员的概率；（2）用随机变量表示三名同学能够成为宣传员人数，求的数学期望与方差.【答案】（1）8243（2）()13E=；()827D=

.【解析】【分析】（1）先求出每个同学成为宣传员的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果；（2）根据二项分布的数学期望和方差公式可求出结果.【小问1详解】每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题，所以每个

同学成为宣传员的概率为34341111C13339−+=，因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概的率均为19，所以甲、乙、丙三名同学恰有两位同学通过测试的概率为223118C199243

−=.【小问2详解】因为每个人成为宣传员的概率均为19，故为独立重复试验，又随机变量表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生次的概率，所以随即变量满足二项分布1~3,9B，所以()11393Enp==

=，()()8127Dnpp=−=.19.如图所示，四边形ABCD为菱形，PAPD=，二面角PADC−−为直二面角，点E是棱AB的中点.（1）求证：PEAC⊥；（2）若PAAB=，4AC=，当二面角PACD−−的余弦值为55时，求直线PE与平面PAC所成的角正弦值.【

答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）设点F是棱AD的中点，连PF，EF，BD，则PFAD⊥，根据二面角PADC−−为直二面角，可得PF⊥平面ABCD，得PFAC⊥，根据菱形对角线垂直以及中位线平行可

得EFAC⊥，根据线面垂直的判定可得AC⊥平面PEF，从而可得PEAC⊥；（2）设点O是AC与BD的交点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点О垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设2OBb=，根据二面角PACD−−的余弦值为55求

出b，再利用线面角的向量公式可求出结果.【小问1详解】证明：如图所示，设点F是棱AD的中点，连PF，EF，BD，由PAPD=及点F是棱AD的中点，可得PFAD⊥，又二面角PADC−−为直二面角，即平面PAD⊥平面AD

C，PF平面PAD，平面PAD平面ADCAD=，所以PF⊥平面ABCD，又因为AC平面ABCD，所以PFAC⊥，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥，而EF是ABD△的中位线，所以EEBD//，可得EFAC⊥，又由PFEFF=，且PF平面PEF，EF平面PEF，所以AC⊥

平面PEF又因为PE平面PEF，所以PEAC⊥.【小问2详解】设点O是AC与BD的交点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点О垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设2OBb=，则

()2,0,0A，()2,0,0C−，()21,,33Pbb−+，则()4,0,0CA=，()21,,33APbb=−−+，设平面PAC的法向量为(),,mxyz=，则233040mAPxbybzmCAx=−−++===，取1z=，可得0x=，233byb+，即2330,

,1bmb+=，又因为平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，由二面角的PACD−−余弦值为55，得2215cos,5331mnmnmnbb===++，解得3b=，则()1,3,23P−，()1,3,0E，()0,23,23PE=−，(

0,2,1)m=，设直线PE与平面PAC所成的角为，则2310sincos,10265PEmPEmPEm====，所以直线PE与平面ABCD所成的角正弦值为1010.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=

经过点21,2A，点()1,0F为椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()1,0F作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l，2l，直线1l与椭圆相交1A、1B，直线2l与

椭圆相交2A、2B两点，求四边形1212AABB的面积S的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,ab可得椭圆C方程；（2）联立直线与椭圆方程，根

据弦长公式求出11||AB和22||AB，求出S后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】的由题意可得2222212141abcabc+===+，解得211abc===，所以椭圆方程为2212xy+=.【小问2详解】设直线1l

的方程为()10xtyt=+，联立22112xtyxy=++=得：()222210tyty++−=，22244(2)8(1)0ttt=++=+,设()111,Axy，()122,Bxy，则12222tyyt+=−+，

12212yyt=−+，所以22111212()()ABxxyy=−+−221212(11)()tytyyy=+−−+−()()22121tyy=+−2212121()4tyyyy=++−222224122tttt=+−+++(

)222212tt+=+，同理可得()22222212212211212ttABtt−++==+−+，则()()()()22221122222224141116||||292212212ttSABAB

tttt++===+++++，当且仅当22212tt+=+，即1t=时取等号.所以四边形1212AABB的面积S的最小值为169.21.已知函数()()eln0xfxxaxaxa=−−（e是自然对数的底数）有两个零点.（1）求实数a的取值范围：（2）若()fx的

两个零点分别为12,xx，证明：12212eexxxx+【答案】（1）()e,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令extx=，则()fx有2个零点转化为()lngttat=−有2个零点，利用导数得()lngttat=−在(0,)a上单调递减，在(,)a+

上单调递增，再分类讨论a与e大小，根据零点存在性定理可得结果；（2）设()lngttat=−的两个零点为1t和2t，则111extx=，222extx=，将所证不等式化为12lnln2tt+，根据11lnt

at=，22lntat=，将12lnln2tt+化为2211211ln21tttttt+−，构造函数()4ln21thtt=+−+，()1t，利用导数可证不等式成立.【小问1详解】()fx的定义域为(0,)+.由题意可得，()()elnelne

xxxfxxaxaxxax=−−=−有2个零点，令extx=，则()1e0xtx=+在0x时恒成立，故extx=在()0,+上单调递增，所以()fx有2个零点可转化为()lngttat=−有2个零点，因为()()10agtat=−，由()0gt可得ta，由()0gt可

得0ta，所以()lngttat=−在(0,)a上单调递减，在(,)a+上单调递增，所以()()minlngtgaaaa==−，若0ea，则()0ga，此时()0gt恒成立，函数()gt没有零点，若

ea=，则()0ga=，函数()gt有且仅有一个零点，若ea，则()0ga，因为()110g=，所以()gt在(1,)a上恰有一个零点，令2()exxx=−(e)x，则()e2xxx=−，令()e2xuxx=−(e)x，则()e2xux=−

ee20−，故()ux为增函数，所以e()(e)e2e>0uxu=−，即()0x，故()x为增函数，的所以()(e)a，即2e2eee0aa−−，所以2eaaa，所以()2e=e0aaga−，所以()gt在(),eaa上恰有1个零点，

故()gt在(1,)a和(),eaa上各有1个零点，符合题意.综上所述，a的取值范围为()e,+.【小问2详解】由（1）可知，()lngttat=−有两个零点，设为1t和2t，则111extx=，222extx=，要证12212eexxxx+，只要证12212eexxx

x+，即证()()1212lnelne2xxxx+，即证12lnln2tt+，又11lntat=，22lntat=，所以()2121lnlnatttt−=−，()2121lnlnatttt+=+，所以(

)221121122122111lnlnlnlnln1tttttttttttttt+++=−=−−，只要证2211211ln21tttttt+−，设120tt，令21ttt=，()1t，所以只要证()21ln1ttt−+，即证4ln201tt+−

+，令()4ln21thtt=+−+，()1t，则()()()()222114011thttttt−=−=++，所以()ht在(1,)+上为增函数，∴()()10hth=，即当1t时，()4ln201httt=+−+，所以12lnln2tt+，即()()12212eeexx

xx，故12212eexxxx+.【点睛】关键点点睛：（1）中，令extx=，将()fx有2个零点转化为()lngttat=−有2个零点，再利用导数和零点存在定理求解是解题关键；（2）中，设()lngttat=−的两个零点为1t和2t，将所证不等式转化为221

1211ln21tttttt+−，再构造函数()4ln21thtt=+−+，()1t，利用导数证明不等式是解题关键.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为s

incossin2xy=+=（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l方程为323xy−=（1）写出l的极坐标方程和曲线C的普通方程；（2）点A为曲线C上一动点，点B为直线l上一动点，求AB的最小值.【答案】（1）直线

l的极坐标方程为cos3sin23−=，曲线C的普通方程为()2111xyy=+−（2）11324【解析】【分析】（1）将cossinxy==代入323xy−=可得l的极坐标方程；利用平方关系式和二倍角正弦公式消去参数可得曲线C的普通方

程；（2）设点A2(,1)xx−，将AB的最小值转化为点A到直线l的距离的最小值，利用点到直线的距离公式和二次函数知识可求出结果.【小问1详解】将cossinxy==代入323xy−=得l的极坐标方程为：cos3sin23−=，由sincossin2xy=+

=得222sincos2sincosx=++1sin21y=+=+，所以曲线C的普通方程()2111xyy=+−.【小问2详解】设点A2(,1)xx−，因为2111x−−，所以202x，所以22x−，依题意可知，AB的最小值就是点A到直线l的距离的最小值，设点

A到直线l的距离为d，则22311336123(1)2322xxxd−−−−−−==2311336122x−+=11324，当且仅当36x=时，等号成立，所以min113||

24AB=.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()21fxxxa=−++，()2gxx=+．（1）当1a=−时，求不等式()()fxgx的解集；（2）设12a−，且当1,2xa−，()()fxgx，求a的取值范围．

【答案】（1）()0,2；（2）11,23−【解析】【分析】（1）分3段去绝对值符号，分别求解不等式即可；（2）根据x的范围可去掉绝对值符号，分离参数后转化为求解最值问题．【详解】（1）当1a=−时，不等式()()fxgx化为：21120xxx−+−−−当12x时，不

等式化为12120xxx−+−−−，解得：102x当112x时，不等式化为21120xxx−+−−−，解得：112x当1x时，不等式化为21120xxx−+−−−，解得：12x综上，原不等式的解集为()0,2（2）由12ax−，得22

1ax−，21210ax−−−又102xaa++则()()211fxxxaxa=−−++=−++不等式()()fxgx化为：12xax−+++得21ax+对1,2xa−都

成立21aa−+，解得：13a又12a−，故a的取值范围是11,23−【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式中的恒成立问题，关键是能够去掉绝对值符号，将问题转化为一元一次不等式的形式，属中档题．