【文档说明】考点02 二次根式、整式与因式分解-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专版)(解析版).docx，共(35)页，880.129 KB，由管理员店铺上传

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考点02二次根式、整式与因式分解【命题趋势】浙江中考中，对二次根式的考察主要集中在对其化简计算的应用，多以简答题17题形式考察，分值在3~9分，常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；偶尔也会以选择题或者填空

题出现，考察二次根式有意义的条件，但几率较小。整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在浙江中考中占比不大，但是依然属于必考题

，常以填空题第一题的形式出现，偶尔会出在选择题前5题内，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，中考占分在3~4分【中考考查重点】一、二次根式的相关概念及性质；二、二次根式的运算；三、整式的加减；四、幂的运算五、整式的乘除六、因式分解考向一：二次根式的

相关概念及性质1.平方根与立方根a(a＞0)a(a=0)a(a＜0)等于其本身的数平方根a0/0算术平方根a0/0、1立方根3a03=a3a0、1、-1【易错警示】正数和0有平方根、算数平方根、立方根；负数只有立

方根【同步练习】1．（2021秋•长清区期中）实数16的平方根是（）A．8B．±8C．4D．±4【分析】根据平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数，计算．【解答】解：16的平方根是±4；故选：D．2．（2021秋•吴江区月考）

已知一个数的平方根是±3，这个数是（）A．﹣9B．9C．81D．【分析】根据平方根的定义解决此题．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴这个数是9．故选：B．3．（2021秋•奉化区期中）的算术平方根是（）A．3

B．﹣3C．﹣9D．9【分析】根据算术平方根的定义是解决本题的关键．【解答】解：∵，∴的算术平方根是3．故选：A．4．（2021秋•鄞州区期中）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3

D．（﹣5）2＝25【分析】选项A根据绝对值的性质判断即可；选项B根据算术平方根的定义判断即可；选项C根据立方根的定义判断即可；选项D根据有理数的乘方的定义判断即可．【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项不合题意；B．，故本选项不合题意；C．，故本选项

不合题意；D．（﹣5）2＝25，故本选项符合题意；故选：D．5．（2021•青神县模拟）若+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2021＝（）A．﹣1B．1C．52021D．﹣52021【分析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负

性，由≥0，|2a﹣b+1|≥0，得a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，那么a＝﹣2，b＝﹣3，从而解决此题．【解答】解：∵≥0，|2a﹣b+1|≥0，∴当+|2a﹣b+1|＝0，则＝0，|2a﹣b+1|＝0．∴a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0．∴a

＝﹣2，b＝﹣3．∴（b﹣a）2021＝（﹣3+2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：A．2.二次根式与最简二次根式概念有意义的条件二次根式非负数a的算式平方根叫做二次根式，记作a（a≥0）被开方数a≥0最简二

次根式满足以下两个条件的二次根式：①被开方数中不含分数，所含因式是整式；②被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；叫做最简二次根式/【易错警示】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，所以像4、-9都是二次根式。【同步练习】1．（20

21春•上虞区期末）当x＝0时，二次根式的值等于（）A．4B．2C．D．0【分析】把x＝0代入二次根式，再求出即可．【解答】解：当x＝0时，式＝．故选：B．2．（2021秋•莲湖区期中）要使有意义，x的取值范围是（）A．x≥3B

．x≤3C．x＞3D．x＜3【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：∵3﹣x≥0，3﹣x≠0，∴x＜3，故选：D．3．（2021春•长沙月考）要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足（）

A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≠﹣3D．x＜﹣3【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求x的范围．【解答】解：依题意，得2x+6≥0，解得：x≥﹣3，故选：A．4．（2021秋•虹口区校级期中）下列

二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、∵＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、是最简二次根式，故本选项符合题

意；C.被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021春•鼓楼区校级期中）当m＝时，二次根式取到最小值．【分析】根据二次根式的非负性即可解答．

【解答】解：∵≥0，∴当m﹣2＝0，即m＝2时，有最小值0．故答案为：2．3.二次根式的性质001aa，）双重非负性：（()()022=aaa）（()()2030aaaaaa==−（

）【易错警示】➢在根据二次根式的性质化简时，a前无“-”，a化简出来就不可能是一个负数。【同步练习】1．（2021秋•长春期中）等于（）A．9B．﹣9C．±9D．81【分析】根据二次根式的性质进行计算即

可得答案．【解答】解：＝＝9．故选：A．2．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：A、原式＝0.3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝﹣3，故C符合题意．D、

原式＝﹣5，故D不符合题意．故选：C．3．（2021•休宁县模拟）观察下列各式：①＝2；②＝3；③＝4；④＝5．根据上面式子所呈现的规律，完成下列各题：（1）写出第⑤个式子：；（2）写出第n个式子（n≥1，且n为整数），并给出证

明．【分析】（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系；二是这个整数与分数分母之间的关系，从这两个角度可以发现规律；（2）利用特殊与一般的关系推广即可．【解答】解：（1）∵右边根是前面的整数等于序号加

1，分数的分母等于这个整数的平方减1，∴第⑤个式子：，故答案为：；（2）第n个式子：＝（n+1）（n≥1，且n为整数），证明如下：＝＝＝（n+1）（n≥1，且n为整数）．考向二：二次根式的运算二次根式加减法（1）把各二次根式化

成最简二次根式；（2）根据合并同类项法则合并；二次根式乘除法()0,0·1=babaab）（()0,02＞）（bababa=初中数学三个非负性概念：a、2a、a常见应用：以上三个概念，任意两个相加、或者三个相加=0，则各部分分别=0字母表达式为：2++=00,0,0abcabc===

若，则【同步练习】1．（2021秋•沙坪坝区校级期中）计算﹣的结果是（）A．﹣B．3C．2D．﹣2【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的减法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故选：C．2．（2

021春•官渡区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：A.＝3，故此选项不合题意；B.×＝，故此选项不合题意；C.÷＝，

故此选项不合题意；D．（）2＝2，故此选项符合题意．故选：D．3．（2021秋•南岗区校级期中）计算：＝．【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式＝2﹣＝，故答案为：．4．（2021•路南区二模）已知×＝4，则n＝．【分析】根据二次根式的乘法运算法则即

可求出答案．【解答】解：由题意可知：＝，∴8n＝16，∴n＝2，故答案为：2．5．（2021秋•余杭区期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在格点上，则点C到AB所在直线的距离为（）A．B．C．D．【分析】根据△ABC的面

积＝边长为3的正方形面积﹣直角边为2的等腰三角形的面积﹣2个直角边分别为1和3的三角形面积，△ABC的面积＝BC•h，列等式求出h．【解答】解：∵S△ABC＝32﹣﹣×2＝4，设点C到AB所在直线的距离为h．∵AB＝＝，S△ABC＝，∴•h＝4，∴解得h＝．故选：B．6．（2021秋•朝阳区期中

）一个长方体纸盒的体积为4dm3，若这个纸盒的长为2dm，宽为dm，则它的高为（）A．1dmB．2dmC．2dmD．48dm【分析】设它的高为xdm，根据长方体的体积公式列出方程求解即可．【解答】解：

设它的高为xdm，根据题意得：2××x＝4，解得：x＝1．故选：A．7．（2021秋•龙华区校级期中）设x，y为实数，且y＝6++，则|﹣x+y|的值是（）A．1B．2C．4D．5【分析】根据二次根式有意义的

条件列不等式，求出x，代入y＝6++求出y，把x、y的值代入|﹣x+y|计算．【解答】解：∵，∴，∴x＝4．∴y＝6，∴|﹣x+y|＝|﹣4+6|＝2；故选：B．8．（2021秋•大邑县期中）计算：（1）．（2）．【分析

】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则和完全平分公式计算．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣3＝2﹣；（2）原式＝+1﹣2+3＝2+4﹣2＝4．考向三：整式的加减1.整式的概念及注意事项：名

称识别次数系数与项整式单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母所有字母的指数的和系数：单项式中的数字因数多项式几个单项式的和次数最高项的次数项：多项式中的每个单项式【易错警示】➢由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；➢单独的一个数

或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1➢由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；➢多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；【同步练习】1．（2021秋•荔湾区校级期中）下列各式﹣mn，8，，x2+2x+6，，，﹣a中，整式有（）A．4个

B．5个C．6个D．7个【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案．【解答】解：和的分母含有字母，是分式，不是整式；整式有﹣mn，8，x2+2x+6，，﹣a，共有5个，故选：B．2．（2021秋•福清市期中）单项式﹣4πxy2的系数是（）A．﹣4B．﹣4πC．4πD．4【分析】根据单

项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数．【解答】解：根据单项式系数的定义，单项式﹣4πxy2的系数是﹣4π．故选：B．3．（2021秋•铁西区期中）对于多项式﹣4x+5x2y﹣7，下列说法正确的是（）A．一次项系数是4

B．最高次项是5x2yC．常数项是7D．是四次三项式【分析】根据多项式的项和次数的定义进行判断．【解答】解：多项式﹣4x+5x2y﹣7，A、一次项系数是﹣4，原说法错误，故此选项不符合题意；B、最高次项是5x2y，原说法正确，故此选项符合题意；C、常数项是﹣7，原说法错误，故此选

项不符合题意；D、是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：B．4．（2021秋•萧山区期中）已知x﹣3y＝5，那么代数式8﹣3x+9y的值是（）A．3B．7C．23D．﹣7【分析】先由x﹣3y＝5得出﹣3x+9y的值，即可

确定8﹣3x+9y的值．【解答】解：∵x﹣3y＝5，∴﹣3x+9y＝﹣3×5＝﹣15，∴8﹣3x+9y＝﹣15+8＝﹣7，故选：D．2.整式的加减整式的加减同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同合并同类项把同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数

，字母及字母的指数不变添（去）括号法则括号外是“＋”，添（去）括号不变号；括号外是“－”，添（去）括号都变号【易错警示】➢所有的常数项都是同类项；➢“同类项口诀”——两同两无关，识别同类项；一相加二不变，合并同类项【同步练习

】1．（2021秋•福清市期中）长方形的长为3x﹣2y，宽为y，则这个长方形的周长为（）A．6x﹣yB．3x﹣yC．6x﹣2yD．3x﹣2y【分析】由长方形周长＝2（长+宽），表示出周长即可．【解答】解：根据题意得：2[（3x﹣2y）+y]＝2（3x﹣2y+y）＝2（3x﹣y）＝6x﹣2y．

故选：C．2．（2021秋•雁塔区校级期中）下列计算正确的是（）A．3a+a＝3a2B．5x﹣3y＝2xyC．4x2y+xy2＝5x2yD．﹣（ab3﹣1）＝﹣ab3+1【分析】根据同类项的定义、合并同类项的法则、去括号法则逐项判断即可．【解答】解：A、3a+a＝4a，故A不正确

，不符合题意；B、5x﹣3y没有同类项，不能合并，故B不正确，不符合题意；C、4x2y+xy2没有同类项，不能合并，故C不正确，不符合题意；D、﹣（ab3﹣1）＝﹣ab3+1，故D正确，符合题意；故选：D．3．（2021

秋•东西湖区期中）如图，两个三角形的面积分别是9和7，对应阴影部分的面积分别是m和n，则m﹣n等于（）A．1B．2C．3D．不能确定【分析】根据图形，可以写出两个三角形的面积，然后作差即可得到m﹣n的值．【解答】解：设两

个三角形重叠部分的面积为S，则9＝m+S，7＝n+S，∴9﹣7＝m﹣n，∴m﹣n＝2，故选：B．4．（2021秋•溧阳市期中）当x＝2，y＝﹣1时，代数式x+2y﹣（3x﹣4y）的值是（）A．﹣9B．9C．﹣10D．10幂的

运算【分析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x与y的值代入即可求出答案．【解答】解：原式＝x+2y﹣3x+4y＝﹣2x+6y，当x＝2，y＝﹣1时，∴原式＝﹣4﹣6＝﹣10，故选：C．5．（2021秋•玉屏县

期中）已知：M＝3x2+2x﹣1，N＝﹣x2﹣2+3x，求M+2N．【分析】直接去括号，进而合并同类项进而得出答案．【解答】解：M+2N＝（3x2+2x﹣1）+2（﹣x2﹣2+3x）＝3x2+2x﹣1﹣2x2﹣4+6x＝x2+8x﹣5．考向四：

幂的运算【同步练习】1．（2021秋•荔湾区期中）计算x2•x3的结果是（）A．x6B．x5C．x4D．x3【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5．故选：B．2．（2021秋•越秀区校级期中）若2m＝5，2n＝3，则2m+n的值是

（）A．8B．9C．12D．15【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：∵2m＝5，2n＝3，∴2m+n＝2m•2n＝5×3＝15．故选：D．()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都

是正整数）paaaaanmnmaaaanbaabnmaanmaaappnmnmnnnmnnmnmnm,0(1)0(1,,,0((,(,(0======•−−+3．（2021春•新化县期末）下列运算结果正确的是（）A．105+103＝108

B．x3•x4＝x7C．﹣a•a3＝a4D．﹣a•（﹣a）2＝a3【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝100×103+103＝101×103＝1.01×105，故A不符合题意．B、原式

＝x7，故B符合题意．C、原式＝﹣a4，故C不符合题意．D、原式＝﹣a3，故D不符合题意．故选：B．4．（2021春•拱墅区校级期中）下列运算结果错误的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a6C．a4÷a4

＝aD．（ab）3＝a3b3【分析】利用同底数幂的乘法法则对A进行判断；利用幂的乘方对B进行判断；利用同底数幂的除法法则对C进行判断；利用积的乘方对D进行判断．【解答】解：A．原式＝a2+3＝a5，所以A选项不符合题意；B．原式＝a2×3＝a6，所以B选项不符合题意；C．

原式＝a4﹣4＝1，所以C选项符合题意；D．原式＝a3b3，所以D选项不符合题意．故选：C．5．（2021秋•奉贤区期中）如果2n+2n+2n+2n＝28，那么n的值是．【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：∵2n+2n+2

n+2n＝28，∴4×2n＝28，∴22×2n＝28，∴22+n＝28，∴2+n＝8，解得n＝6．故答案为：6．6．（2021秋•普陀区期中）用幂的形式表示结果：（﹣3）2×（﹣3）3×（﹣3）4＝．【分析

】根据同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（﹣3）2×（﹣3）3×（﹣3）4＝（﹣3）2+3+4＝（﹣3）9＝﹣39．故答案为：﹣39．考向五：整式的乘除1.平方根与立方根单项式乘（除以）单项式单项式乘（除以）单项式，把它们的系数、同底数幂分别相乘（除

）；对于只在一个单项式里含有的字母（只在被除式里含有的字母），则连同它的指数不变，作为积（商）的因式单项式乘多项式m（a+b+c）=ma+mb+mc多项式乘多项式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb多项式除以单项式(am+b)÷m=a

+b/m乘法公式222222)())((babababababa+=−=−+完全平方公式：平方差公式：【方法提示】➢乘法公式里的字母可以是一个单项式，也可以是一个多项式；➢两个乘法公式可以从左到右应用

，也可以从右到左应用；【同步练习】1．（2021秋•黄埔区校级期中）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a6C．（ab）2＝ab2D．2a5•3a5＝5a5【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，单

项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、（a3）2＝a6，故B符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；D、2a5•3a5＝6a10，故D不符合题意；故选：B．2．（20

21•榆阳区模拟）计算的结果是（）A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝m2n6÷n2＝m2n4．故选：C．3．（2021秋•青浦区月考）若（x﹣a）（x﹣b）＝x2+kx+

ab，则k的值为（）A．a+bB．﹣a﹣bC．a﹣bD．b﹣a【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，从而判断含x的项的系数．【解答】解：原式＝x2﹣bx﹣ax+ab＝x2+（﹣a﹣b）+ab，又∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2+k

x+ab，∴k＝﹣a﹣b，故选：B．4．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（）A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2【分析

】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．【解答】解：剩余部分面积：（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b＝4ab﹣3a﹣2；故选：B．5．（2021秋•襄汾县月考）我国南宋数学家杨

辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算（a+b）6的展开式中从左起第四项的系数为（）（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+

b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…A．10B．15C．20D．25【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）6的展开式中从左起第四项的系数．【解答】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4＝3+1

；（a+b）5的第四项系数为10＝6+4；∴（a+b）6的第四项系数为20＝10+10．故选：C．6．（2021秋•铁西区期中）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为．【分析】根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，∴a2﹣2ab+b2＝

6①，a2+2ab+b2＝4②，①+②，得2a2+2b2＝10，∴a2+b2＝5．故答案为：5．7．（2021秋•越秀区校级期中）计算：（1）a•（﹣3a2）+27a4b5÷3ab5；（2）（﹣2x3）2﹣3x2（x4﹣y2）．【

分析】（1）利用单项式乘（除）单项式法则，先算乘除，再加减；（2）先算乘方，再利用单项式乘多项式法则算乘法，最后加减．【解答】解：（1）原式＝﹣3a3+9a3＝6a3；（2）原式＝4x6﹣3x6+3x2y2＝x6+3x2y2．8．

（2021秋•龙凤区期中）计算：（1）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣a8÷a2；（2）20212﹣2020×2022；（3）先化简，再求值：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣y）2]÷（﹣2y），其中|x+1|+

y2﹣4y＝﹣4．（4）已知x2﹣5x﹣4＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的值．【分析】（1）先根据积的乘方进行计算，再根据整式的乘除法则进行计算，最后合并同类项即可；（2）先变形，再根据平方差公式

进行计算，再求出答案即可；（3）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，根据整式的除法进行计算，求出x、y的值，再代入求出答案即可；（4）先根据平方差公式和多项式乘以单项式进行计算，再合并同类项，求出x2﹣5x＝4，最后代入求出即可．【解答

】解：（1）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6；（2）原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1；（3）原式＝（x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2）÷（﹣

2y）＝（﹣10y2+2xy）÷（﹣2y）＝5y﹣x，由|x+1|+y2﹣4y＝﹣4，|x+1|+y2﹣4y+4＝0，|x+1|+（y﹣2）2＝0，所以x+1＝0，y﹣2＝0，解得：x＝﹣1，y＝2，所以原式＝5×2﹣（﹣1）

＝11；（4）（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣4﹣2x2+4x+x﹣2＝﹣x2+5x﹣6，∵x2﹣5x﹣4＝0，∴x2﹣5x＝4，当x2﹣5x＝4时，原式＝﹣4﹣6＝﹣10．考向六：

因式分解1.平方根与立方根基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222

222)())((babababababa+=−=−+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()(

)()qxpxqpxqpx++=•+++2【方法提示】➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式

或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；【同步练习】1．（2021秋•朝阳区校级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2

﹣y2C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2D．x2+1＝x（x+）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左到右的变形属于因式分解

，故本选项符合题意；D．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2021春•靖边县期末）用提公因式法分解因式6xy+3x2y﹣4x2yz3时，提取的公因式是（）A．xyB．2xzC．12xyD．

3yz【分析】直接根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案．【解答】解：用提公因式

法分解因式6xy+3x2y﹣4x2yz3时，提取的公因式是xy．故选：A．3．（2021春•白云区校级月考）计算结果为x2﹣5x+6的是（）A．（x﹣1）（x+6）B．（x+1）（x﹣6）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）【分析】因为（﹣

2）×（﹣3）＝6，（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．故选：C．4．（2021秋•和平区校级期中）已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【分析】根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断．【解答】解：∵（a﹣b）（c2﹣a

2﹣b2）＝0，∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，故选：A．5．（2021秋•朝阳区校级月考）分解因式：1﹣m2＝．【分析】直接利用平方差公式分解

因式得出答案．【解答】解：1﹣m2＝（1—m）（1+m），故答案为：（1—m）（1+m）．6．（2021•泰兴市二模）分解因式：3a2﹣12的结果为．【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：原式＝3（a2﹣4）＝3（a+2）（a﹣

2），故答案为：3（a+2）（a﹣2）．7．（2021春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝．【分析】先分组，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；【解答】解：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝（a

2﹣b2）+（ab2﹣a2b）＝（a+b）（a﹣b）﹣ab（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣ab）．故答案为（a﹣b）（a+b﹣ab）．8．（2021春•渠县校级期末）分解因式（2x+1）2﹣x4＝．【分析】先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解

．【解答】解：（2x+1）2﹣x4＝（2x+1﹣x2）（2x+1+x2）＝（2x+1﹣x2）（x+1）2＝﹣（x﹣1﹣）（x﹣1+）（x+1）2，故答案为：﹣（x﹣1﹣）（x﹣1+）（x+1）2．1．（2012•宁波一模）当x＝﹣2时，二次根式的值为（）A．1B．±1C．3D

．±3【分析】把x＝﹣2代入5﹣2x，求得5﹣2x的算术平方根即可．【解答】解：当x＝﹣2时，＝＝3．故选：C．2．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≠0【分析】根据被开方数为非负数并且分母不能为0可

得问题的答案．【解答】解：根据题意得x+1≥0，且x≠0．∴x≥﹣1且x≠0．故选：C．3．（2021秋•萧山区期中）下列各式中，错误的是（）A．B．（a﹣b）2＝（b﹣a）2C．|﹣a|＝aD．【分析】A：化

简立方根分别求出结果；B：互为相反的两个数的平方结果是相等的；C：﹣a的取值范围无法确定，因此有两种结果；D：根据二次根式的性质．【解答】解：A：∵﹣＝﹣a，＝﹣a，∴﹣＝，∴不符合题意；B：（a﹣b）

2＝（b﹣a）2，∴不符合题意；C：∵﹣a的取值范围无法确定，∴|﹣a|＝﹣a或a，∴符合题意；D：∵＝a，不符合题意；故选：C．4．（2021秋•朝阳区校级期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（）A．a2﹣8a+16B．a2+a+C．﹣a2﹣9D．a2﹣4【分析】A、B选项

考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解．【解答】解：∵a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，a2+a+＝（a+）2，a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），∴选项A、B、D能用公式法因式分解．﹣a2﹣9是平方和的形式，不能运用公式法因式分解．故选：C．

5．（2021秋•上城区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（）A．2aB．2bC．﹣2aD．2【分析】先把二次根式的化简写成绝对值的形式，再根据绝对值的性质进行化简，去括号计算．【解答】解：∵＝|a﹣b|+|b﹣|﹣a﹣＝b﹣a+﹣b﹣a﹣＝﹣2a；故选：C．6．（2

021秋•西湖区校级期中）规定运算Δ：若a≥b，则aΔb＝a﹣b+1；若a＜b，则aΔb＝a2+b，则（﹣2）Δ1的值为（）A．﹣2B．3C．4D．5【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．【解答】解：∵

若a≥b，则aΔb＝a﹣b+1；若a＜b，则aΔb＝a2+b，∴﹣2Δ1＝4+15．故选：D．7．（2021秋•普陀区校级月考）设P是关于x的四次多项式，Q是关于x的三次多项式，下列判断正确的是（）A．P+Q是关于x的七次多项式B．P﹣Q是关于x的一次

多项式C．P•Q是关于x的四次多项式D．P•Q是关于x的七次多项式【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、若P是关于x的四次多项式，Q是关于x的三次多项式，则P+Q的次数为四次，故A不

符合题意．B、若P是关于x的四次多项式，Q是关于x的三次多项式，则P﹣Q的次数为四次，故B不符合题意．C、若P是关于x的四次多项式，Q是关于x的三次多项式，则P•Q的次数为七次，故C不符合题意．D、若P是关于x的四次多项式，Q是关于

x的三次多项式，则P•Q的次数为七次，故D不符合题意．故选：D．8．（2021秋•拜泉县期中）若2n+2n＝2，则n＝（）A．﹣1B．﹣2C．0D．【分析】对所给的式子进行运算，即可得出结果．【解答】解：∵2n+2n＝2，2×2n＝2，整理得：2n+1＝

2，∴n+1＝1，解得：n＝0．故选：C．9．（2021春•拱墅区校级期中）计算（﹣0.125）2021×26063＝（）A．1B．﹣1C．8D．﹣8【分析】根据积的乘方与幂的乘方解决此题．【解答】解：（﹣0.125）2021×26063＝＝＝

＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：B．10．（2021•于洪区二模）因式分解：6ab﹣a2﹣9b2＝．【分析】直接提取“﹣”，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝﹣（a2﹣6ab+9b2）＝﹣（a﹣3b）2．故答案为：

﹣（a﹣3b）2．11．（2021春•温州期末）若x2﹣nx﹣6＝（x﹣2）（x+3），则常数n的值是．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，∵x2﹣nx﹣6＝（x﹣2）（x+3），∴n＝﹣1，故答案为：﹣1．12．

（2021秋•下城区校级期中）单项式﹣的系数是，多项式3πab2+2a﹣35次数是．【分析】根据单项式的次数和多项式的次数的定义得出即可．【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，多项式3πab2+2a﹣35次数是3，故答案为：

﹣，3．13．（2021春•拱墅区校级期中）若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b的取值无关，则常数k的值．【分析】先根据单项式乘单项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，继而根据代数式

的值与b的取值无关知对应项的系数为0，据此求解即可．【解答】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣（3ka2b﹣4ka3﹣3ab2+4a2b）＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+4ka3+3ab2﹣4a2b＝2ka2

b﹣4a2b+4ka3＝（2k﹣4）a2b+4ka3，根据题意知2k﹣4＝0，∴k＝2，故答案为：2．14．（2021秋•碑林区校级期中）计算：（1）|1﹣|+（﹣）﹣1﹣+（﹣π）0；（2）+9﹣+（）2．【分

析】（1）利用绝对值、负整数指数幂和零指数幂的意义计算；（2）先把各二次根式化简，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣2+1＝﹣3﹣；（2）原式＝5+9×﹣×2+5＝5+﹣+5＝5+5．15．（2021

秋•越秀区校级期中）先化简，再求值：（x﹣2y）（x+2y）+（x+y）（x﹣4y），其中x＝1，y＝﹣2．【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式计算，再合并同类项，把已知数据代入即可求出得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣3xy﹣8y2，当

x＝1，y＝﹣2时，原式＝2×12﹣3×1×（﹣2）﹣8×（﹣2）2＝2+6﹣32＝﹣24．16．（2021秋•西湖区校级期中）观察下列各式：＝﹣1；＝﹣；＝﹣．（1）请根据以上规律，写出第4个式子：；（2）请根据以上

规律，写出第n个式子：；（3）根据以上规律计算：的值．【分析】（1）（2）利用题中等式的规律求解；（3）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）第4个式子为：＝﹣；故答案为＝﹣；（2）第n个式子为：＝﹣（n≥1的整数）；故答案为：＝﹣（n≥1的整数）；（3）原式＝﹣1+﹣

+﹣+•+﹣＝﹣1．1.（2021·浙江杭州）下列计算正确的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝±2D．＝±2【分析】求出＝2，＝2，再逐个判断即可．【解答】解：A．＝2，故本选项符合题意；B．＝2，故本选项不符合题意；C．＝2，

故本选项不符合题意；D．＝2，故本选项不符合题意；故选：A．2.（2021·浙江金华）二次根式中，字母x的取值范围是．【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：

x≥3．3.（2021·浙江丽水）要使式子有意义，则x可取的一个数是．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣3≥0，解得：x≥

3，所以x可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）．4.（2021·浙江湖州）化简的正确结果是（）A．4B．±4C．2D．±2【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝＝×＝2，故选：C．5.（2021·浙江

衢州）若有意义，则x的值可以是．（写出一个即可）【分析】由题意可得：x﹣1≥0，解不等式即可得出答案．【解答】解：由题意可得：x﹣1≥0，即x≥1．则x的值可以是大于等于1的任意实数．故答案为：2（答案不唯一）．6.（2021·浙江温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过

17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（2

0﹣17）立方米的水费。【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。故选：D．7.（2021·浙江杭州）计算：2a+3a＝．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．【解答】解：2a

+3a＝5a，故答案为5a．8.（2021·浙江丽水）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．9.（2021·浙江台州）下列运算中，正确的是（）A．a2

+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a10【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、a2与a不是同类项，不能合并，故A不符合题意，B、原式＝a2b2

，故B不符合题意．C、原式＝a3，故C符合题意．D、原式＝a7，故D不符合题意．故选：C．10.（2021·浙江杭州）因式分解：1﹣4y2＝（）A．（1﹣2y）（1+2y）B．（2﹣y）（2+y）C．（1﹣2y）（2+y）D．（2﹣y）（1+2y）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案

．【解答】解：1﹣4y2＝1﹣（2y)2＝（1﹣2y）（1+2y）．故选：A．11.（2021·浙江宁波）分解因式：x2﹣3x＝．【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）12.（2021·浙江绍兴）分解因式：x2+2x+1＝．【分析】本题中没有公因式，

总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2．故答案为：（x+1）2．13.（2021·浙江台州）因式分解：xy﹣y2＝．【分析】原式提取公因式y，即可得到结果．【解答】解：原

式＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．14.（2021·浙江温州）分解因式：2m2﹣18＝．【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝2（m2﹣9）＝2（m+3）（m﹣3）．故答案为：2（m+3）（m﹣3）．15.（2021·浙江台州）计算：|﹣2|+﹣．【分析】直接利

用算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+2﹣＝2+．16.（2021·浙江金华）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．【分析】先分别计算有理数的乘方，二次根式的化简，代入特殊角三角

函数值，绝对值的化简，然后再计算．【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2＝﹣1+2﹣2+2＝1．17.（2021·浙江嘉兴）计算：2﹣1+﹣sin30°；【分析】根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；【解答】解：2﹣1+﹣sin3

0°＝+2﹣＝2；18.（2021·浙江衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．【分析】根据零指数幂，绝对值、算术平方根、特殊角三角函数值的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝3+1

﹣3+2×＝2．19.（2021·浙江宁波）计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案；【解答】解：原式＝1﹣a2+a2+6a+9＝6a+10；20.（2021·浙江金华）已知x＝，求（3x

﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．1.

（2021•温岭市一模）下列计算中，正确的是（）A．a3÷a＝3B．a+a2＝a3C．（a3）2＝a5D．a4•a2＝a6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝a2，故A不正确．B、a与a2

不是同类项，不能合并，故B不正确．C、原式＝a6，故C不正确．D、原式＝a6，故D正确．故选：D．2.（2021•余杭区一模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【分析】根据二次根式有意义的条件可得5﹣x≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5

，故答案为：x≤5．3．（2021春•上虞区期末）当x＝0时，二次根式的值等于（）A．4B．2C．D．0【分析】把x＝0代入二次根式，再求出即可．【解答】解：当x＝0时，式＝．故选：B．4.（2021•滨江区一模）下列因式分解中正确的是（）A．

m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B．﹣3x﹣6＝﹣3（x﹣2）C．a2﹣a＝a（a﹣1）D．a2+a+1＝a（a+1）+1【分析】根据因式分解的方法进行解答．【解答】解：A、原式不能进行因式分解，不符合题意．B、原式＝﹣3（x+2），不符合题意．C、原式＝a（a﹣1），符合题意

．D、原式的变换形式不是因式分解，不符合题意．故选：C．5．（2021秋•普陀区校级月考）若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第象限．【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判

断即可．【解答】解：∵a，b满足b＝﹣3，∴，解得a＝2，∴b＝﹣3，∴P（a，b）为P（2，3）在第一象限．故答案为：一．6.（2021•滨江区一模）已知a+b＝3，且a﹣b＝﹣1，则a2+b2＝．【分析】根据完全平方公式把已知条件的两多项式平方，然后相加即可得到a2+b2的值．【解答】

解：∵a+b＝3，a﹣b＝﹣1，∴a2+2ab+b2＝9①，a2﹣2ab+b2＝1②，①+②得，2（a2+b2）＝9+1＝10，∴a2+b2＝5．故应填5．7.（2021春•绍兴一中月考）分解因式：（a+b）2﹣（a+b）＝．【分析】直接找出公因式（

a+b），进而分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（a+b）（a+b﹣1）．故答案为：（a+b）（a+b﹣1）．8.（2021•宁波镇海月考）（a3）2+a2•a4等于（）A．2a9B．2a6C．a6+a8D．a12【分

析】根据幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；计算后直接选取答案．【解答】解：（a3）2+a2•a4，＝a3×2+a2+4，＝a6+a6，＝2a6．故选：B．9．（2021春•杭州期末）若a＝

+1，b＝﹣1，则a2﹣ab+b2＝．【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝+1+﹣1＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，∴原式＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝8﹣3＝5．故

答案为：5．10．（2021•庆元县模拟）计算：|﹣|+2﹣1+﹣2sin45°．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝++2﹣2×＝++2﹣＝1+．11．（2021•镇海区模拟）计算

：﹣﹣；【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则得出答案；【解答】解：原式＝2﹣﹣＝；12．（2021秋•龙岗区校级月考）计算：（1）×；（2）﹣﹣4．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（2）化简二次根式，然后

先算乘法，再算加减．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝4﹣5﹣4×＝4﹣5﹣＝﹣2．13.（2021•宁波模拟）化简：（x+3）2﹣2x（x﹣3）；【分析】根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，合并同类项即可；【解答】解：原式＝x2+6x+9﹣2x

2+6x＝﹣x2+12x+9；14.（2021•温州模拟）化简：（x﹣3y）2﹣x（x+6y）．【分析】先去括号，然后合并同类项．【解答】解：（x﹣3y）2﹣x（x+6y）＝x2﹣6xy+9y2﹣x2﹣6xy

＝9y2﹣12xy．15.（2021•宁波模拟）化简：m（m+2）﹣（m﹣1）2．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解．【解答】解：m（m+2）﹣（m﹣1）2＝m2+2m﹣（m2﹣2m+1）＝m2+2m﹣m2+2m﹣1＝4m﹣1；

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