【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练53 直线与圆、圆与圆的位置关系.docx，共(12)页，85.769 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十三直线与圆、圆与圆的位置关系(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·北京模拟)直线y=x+1被圆(x-2)2+(y-

3)2=1所截得的弦长为()A.1B.√3C.2D.3【解析】选C.由已知得圆心为(2,3),半径r=1,因为圆心(2,3)在直线x-y+1=0上,所以直线y=x+1被圆(x-2)2+(y-3)2=1所截得的弦长为2.2.(5分)若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x

2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于()A.-8B.-19C.-5D.6【解析】选B.由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=√2,r2=√13-𝑚,|C1C2|=√(-1-2)2+32=3√2,根据两圆内切得|C1C2|=√13-

𝑚-√2=3√2,解得m=-19.3.(5分)(2024·广州模拟)已知点A在直线l:3x-4y-6=0上,点B在圆C:x2+y2-2x-6y+8=0上,则|𝐴𝐵|的最小值是()A.1B.3-√2C.3+√2D.5【解析】选B.由题意可知圆

C的圆心C(1,3),半径r=√2.则圆心C到直线l的距离d=|3-4×3-6|√32+(-4)2=3,故|𝐴𝐵|的最小值是d-r=3-√2.【加练备选】已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=4外切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最

大值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.圆C:x2+y2-2x+m=0化为标准方程为(x-1)2+y2=1-m,即圆心C(1,0),半径为√1-𝑚,由(x+3)2+(y+3)2=4知其圆心为(-3,-3),半径为2

,而两圆外切则有:2+√1-𝑚=√(1+3)2+(0+3)2⇒m=-8.因为圆心C(1,0)到直线5x+12y+8=0的距离d=|5+8|√52+122=1,所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为1+3=4.4.(5分)(

2024·南通模拟)若直线l:kx-y-2=0与曲线C:√1-(𝑦-1)2=x-1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()A.(43,2]B.(43,4)C.[-2,-43)∪(43,2]D.(43,+∞)【解析】选A.直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,

-2),曲线C:√1-(𝑦-1)2=x-1表示以点(1,1)为圆心,半径为1,且位于直线x=1右侧的半圆(包括点(1,2),(1,0)).当直线l经过点(1,0)时,l与曲线C有两个不同的交点,此时k

=2,直线记为l1;当l与半圆相切时,由|𝑘-3|√𝑘2+1=1,得k=43,切线记为l2,分析可知当43<k≤2时,l与曲线C有两个不同的交点.5.(5分)(多选题)(2024·保山模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几

里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(2,0

),点P满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=12,设点P的轨迹为曲线C,下列结论正确的是()A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4B.曲线C与圆M:x2+(y-2)2=4外切C.直线l:x+y=0被曲线C截得的弦长为2√2D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+√3y

=0的距离为1【解析】选ACD.对于A,设P(x,y),由定义|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=12,得√(𝑥+1)2+𝑦2√(𝑥-2)2+𝑦2=12,化简整理得(x+2)2+y2=4,故A正确;对于B,C的圆心为(-2,0),半径r1=2;

M的圆心为(0,2),半径r2=2;圆心距CM=2√2≠r1+r2,故B错误;对于C,圆心C(-2,0)到直线l:x+y=0的距离d=2√2=√2,所以弦长为2√𝑟12-𝑑2=2√2,故C正确;对于D,圆心C(-2,0)到直

线m:x+√3y=0的距离d=22=1,半径r1=2,所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.6.(5分)(多选题)(2024·临沂模拟)下列命题正确的是()A.若方程x2+y2+mx-2y

+3=0表示圆,则m的取值范围是m>2√2或m<-2√2B.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1C.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上,𝑦𝑥的最大值

为1D.已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0,圆C1和圆C2的公共弦长为2√7【解析】选ABD.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m2+(-

2)2-4×3>0,即m2>8,解得m>2√2或m<-2√2,故A正确;设圆心C(a,1)(a>0),则圆心到直线4x-3y=0的距离为|4𝑎-3|√42+(-3)2=|4𝑎-3|5,又圆与直线4x-3y=0相切可

得|4𝑎-3|5=1,解得a=2,即C(2,1),所以圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,故B正确;由x2+y2-6x-6y+14=0可得(x-3)2+(y-3)2=4,𝑦𝑥表示圆上的点与原点(0,0)连线的斜率,可得相切时𝑦𝑥取得最值

,设切线为kx-y=0,则d=|3𝑘-3|√1+𝑘2=2,显然k=1不是方程的解,故𝑦𝑥的最大值不是1,故C错误;将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程4x+3y-23=0,圆C1:x2+y2-2x-6y

-1=0配方可得(x-1)2+(y-3)2=11,继而可知圆心C1(1,3),r1=√11,圆心C1(1,3)到直线4x+3y-23=0的距离d=|4×1+3×3-23|√42+32=2,所以弦长为2√𝑟12-𝑑2=2√11-4=2√7,所以公共弦长为2√7,故D正确.7.(5分)(2024·

孝感模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m-1)y-m+4=0,当直线l被圆C截得的弦长最短时,直线l的方程为2x-y+5=0.【解题指导】直线l过定点M,当直线l垂直于CM时,直线l被圆C截得的弦长最短,可求直线l的方程.【解析】

由题意,直线l的方程化为(2x+y-1)m+x-y+4=0,由{2𝑥+𝑦-1=0,𝑥-𝑦+4=0得{𝑥=-1,𝑦=3,所以直线l过定点M(-1,3),显然点M在圆C内,要使直线l被圆C截得的弦长最短,只需M(-1,3)与圆心C(1,2)的连线垂直于直线l,所以-2𝑚+1𝑚-1

·2-31-(-1)=-1,解得m=14,代入到直线l的方程并化简得2x-y+5=0.8.(5分)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-20=0恰有两条公切线,则满足题意的一个m的取值为5;此时公切线的方程为y=2x+5√5和

y=2x-5√5(答案均不唯一).【解析】圆C2的圆心为(1,2),半径为5.因为圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2恰有两条公切线,所以圆C1与圆C2相交,即|5-m|<|𝐶1𝐶2|<5+m.又|𝐶1𝐶2|=√5,所以5-√5<m<5+√5,所以可取m=5(答案不

唯一.满足m∈(5-√5,5+√5)即可).此时C1:x2+y2=25.因为C1的圆心为(0,0),半径为5,C2的圆心为(1,2),半径为5,所以可设公切线的方程为y=kx+b,且与两圆圆心所在的直线平行,解得k=2,又因为y=k

x+b是公切线,所以圆心到直线的距离等于半径,即|𝑏|√1+22=5,解得b=±5√5.所以当m=5时,公切线的方程为y=2x+5√5和y=2x-5√5.9.(10分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直线l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R),证明:无论m为

何值,直线l都与圆C相交;(2)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A,B两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线m的方程.【解析】(1)由l的方程(m-2)x+(1-m)y+m+1=0,可得m(x-y+1)-2x+y+1=0,由{𝑥-𝑦+1=0,-

2𝑥+𝑦+1=0,解得{𝑥=2,𝑦=3,所以直线l恒过点(2,3),由(2-3)2+(3-4)2=2<4,得点(2,3)在圆内,即直线l恒过圆内一点,所以无论m为何值,直线l都与圆C相交.(2)由C的圆心为

(3,4),半径r=2,易知此时直线m的斜率存在且不为0,故设直线m的方程为x=ky+1(k≠0),直线m的一般方程为ky-x+1=0,圆心到直线m的距离d=|4𝑘-3+1|√𝑘2+(-1)2=|4𝑘-2|√𝑘2+1,所以|AB|=2√𝑟2-𝑑2=2√4-(4𝑘-2)2𝑘2

+1,所以S2=(12|AB|·d)2=[4-(4𝑘-2)2𝑘2+1]·(4𝑘-2)2𝑘2+1,令t=(4𝑘-2)2𝑘2+1,可得S2=4t-t2,当t=2时,𝑆max2=4,所以△ABC面积的最大值为2,此时由2=(4𝑘-2)2𝑘2+1,

得7k2-8k+1=0,得k=1或k=17,符合题意,此时直线m的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.【能力提升练】10.(5分)已知圆x2+y2=4与圆(x-2)2+(y+4)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r=()A.5B.4C.3D.2√2【

解析】选B.设一个交点为P(x0,y0),记C(2,-4),则𝑥02+𝑦02=4,(𝑥0-2)2+(𝑦0+4)2=r2,所以r2=24-4x0+8y0.因为两切线互相垂直,则OP⊥CP,所以𝑦0𝑥0·𝑦0+4𝑥0-2=-1,整理得2x0-4y0=𝑥02+𝑦02=4,即x0-

2y0=2.所以r2=24-4(x0-2y0)=16,所以r=4.11.(5分)(多选题)(2024·东营模拟)若圆C1:(x-m)2+(y-1)2=7始终平分圆C2:(x+1)2+(y+1)2=2的

周长,则直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为()A.2√5B.6√145C.2√3D.2√1745【解析】选BD.由圆C1:(x-m)2+(y-1)2=7得x2+y2-2mx-2y+m2-6=0,由圆C2:(x

+1)2+(y+1)2=2得x2+y2+2x+2y=0.把两圆的方程相减得两圆公共弦所在直线l方程为(2m+2)x+4y-m2+6=0,由题意知直线l经过C2的圆心(-1,-1),因而m2+2m=0,所以m=0或m=-2.当m=0时,圆C1的圆心坐标为(0,1),半径为√

7,圆心到直线3x+4y+3=0的距离为d=|3×0+4×1+3|√32+42=75,所以直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为2√7-4925=6√145.当m=-2时,圆C1的圆心坐标为(-

2,1),半径为√7,圆心到直线3x+4y+3=0的距离为d=|3×(-2)+4×1+3|√32+42=15,所以直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为2√7-125=2√1745.综上所述,直线3x+4y+3=0被圆C1所截得的弦长为6√145或2√1

745.【加练备选】(多选题)(2024·杭州模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列说法正确的是()A.直线l恒过定点(3,1)B.直线l被圆C截得的弦最长时,m=-13C.直线l

被圆C截得的弦最短时,m=-34D.直线l被圆C截得的最短弦长为2√5【解析】选ABC.对于选项A:直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,令{2𝑥+𝑦-7=0𝑥+𝑦-4=0,解得{𝑥=3𝑦=1,所

以直线恒过定点P(3,1),故A正确;对于选项B:因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,即点P(3,1)在圆C内,当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长,此时2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-13,故B正确;对

于选项C:当直线l⊥CP时,直线被圆截得的弦长最短,直线l的斜率为k=-2𝑚+1𝑚+1(m≠-1),kCP=1-23-1=-12,由-2𝑚+1𝑚+1×(-12)=-1,解得m=-34,故C正确;对于选项D:此时直线l的方程是2x-y-5=0,圆心C(1

,2)到直线2x-y-5=0的距离为d=|2-2-5|√5=√5,可得|𝐴𝑃|=|𝐵𝑃|=√𝑟2-𝑑2=√25-5=2√5,所以最短弦长是|𝐴𝐵|=2|𝐴𝑃|=4√5,故D错误.12.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷

)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是[13,32].【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用,考查转化思想以及计算能力.【解析】A(-2,3)关于y=a

对称的点的坐标为A'(-2,2a-3),B(0,a)在直线y=a上,设A'B所在直线为直线l,所以直线l为y=𝑎-3-2x+a,即(a-3)x+2y-2a=0;圆C:(x+3)2+(y+2)2=1,圆心C(-3,-2),半径r=1

,依题意圆心到直线l的距离d=|-3(𝑎-3)-4-2𝑎|√(𝑎-3)2+22≤1,即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得13≤a≤32,即a∈[13,32].13.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都

相切的一条直线的方程y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1.【命题意图】本题考查圆的切线方程的求法,考查圆与圆位置关系的应用,考查运算求解能力.【解析】圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1,圆(x-3)2+(y-4)

2=16的圆心O1为(3,4),半径为4,两圆圆心距为√32+42=5,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为l时,因为𝑘𝑂𝑂1=43,所以kl=-34,设方程为y=-34x+t(t>0),O到l的距离d=|𝑡|√1+916=1,解得t=54,所以l

的方程为y=-34x+54,当切线为m时,设直线方程为kx+y+p=0,其中p>0,k<0,由题意知{|𝑝|√1+𝑘2=1|3𝑘+4+𝑝|√1+𝑘2=4,解得{𝑘=-724𝑝=2524,y=724

x-2524,当切线为n时,易知切线方程为x=-1.14.(10分)(2024·珠海模拟)已知直线l1:ax+y=0,直线l2:x-ay+2a-2=0,a∈R,l1与l2交于点P.(1)设P的轨迹为曲线E,求E的方程;(2)求曲线E与圆C:x2+(y+1)2=1公共弦的长.【解

析】(1)直线l1:ax+y=0过定点A(0,0),直线l2:x-ay+2a-2=0,整理可得x-2+(2-y)a=0,则过定点B(2,2),由a·1+1·(-a)=0,得直线l1与直线l2相互垂直,故P的轨迹是以AB为直径的圆,AB中点的坐标为(1,1),|AB|=√4+4=2

√2,所以P的轨迹的方程为(x-1)2+(y-1)2=2;(2)曲线E与圆C:x2+(y+1)2=1的方程相减可得公共弦所在直线的方程为2x-1+4y+1=0,即公共弦所在直线方程为x+2y=0,圆C的圆心(0,-1)到直线x+2y=0的距离d=|-2|√1+4

=2√55,所以公共弦的长为2√1-45=2√55.15.(10分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线方程;(2)从圆C外一点P(x,y)向该圆引一条切线,切点为M,且有|𝑃𝑀|=|𝑃𝑂|(O为

坐标原点),求点P的轨迹方程.【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为(1,2),半径为2,①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0,则切线过原点,设所求切线方程为y=kx,k≠0,则圆心到切线的距离d=|𝑘-2|√𝑘2+1=2,解得k=-43,此时

,所求切线的方程为y=-43x;②若截距均不为0,设所求切线方程为x+y=a,则圆心到切线的距离为d=|3-𝑎|√2=2,解得a=3±2√2,此时,所求切线方程为x+y=3+2√2或x+y=3-2√2,综上

所述,所求切线方程为y=-43x或x+y=3+2√2或x+y=3-2√2;(2)由题意可知,PM⊥CM,则|𝑃𝑀|2=|𝑃𝐶|2-|𝐶𝑀|2=(x-1)2+(y-2)2-4=x2+y2-2x-4y+1,由|𝑃𝑀|=

|𝑃𝑂|,得x2+y2-2x-4y+1=x2+y2,化简得2x+4y-1=0,所以点P的轨迹方程为2x+4y-1=0.【素养创新练】16.(5分)(多选题)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x

2+y2-2y-1=0的交点为A,B,直线l:x+y+λ=0与圆O1交于C,D两点,则下列结论正确的是()A.直线AB的方程为x-y+√2=0B.圆O2上存在两点P和Q,使得|𝑃𝑄|>|𝐴𝐵|C.圆

O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2D.若O1C⊥O1D,则λ=-3或λ=1【解析】选CD.圆O1:x2+y2-2x-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心为O1(1,0),半径为r1=2,圆O2:

x2+y2-2y-1=0的标准方程为x2+(y-1)2=2,圆心为O2(0,1),半径为r2=√2,所以|𝑂1𝑂2|=√(1-0)2+(0-1)2=√2,r1-r2<|𝑂1𝑂2|<r1+r2,所以两圆相交,所以将两圆的方程作差可得x-y+1=0,即直线AB的方程为

x-y+1=0,故A错误;圆心O1到直线AB的距离为d1=2√2=√2,所以|𝐴𝐵|=2√𝑟12-𝑑12=2√2,对于圆O2上的任意两点P,Q,|𝑃𝑄|≤2r2=|𝐴𝐵|,故B错误;圆O1上的点到直线A

B的距离的最大值为d1+r1=2+√2,故C正确;因为O1C⊥O1D,所以圆心O1到直线CD的距离为√2,所以|1+𝜆|√2=√2,故λ=-3或λ=1,故D正确.