【文档说明】江西省南昌市第八中学2020届高三上学期期末考试文科数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.522 MB，由小赞的店铺上传

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高三期末考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足(1+2)34izi=−+，则z=（）A.2B.5C.5D.52【

答案】C【解析】()()()()34i12i510i12i,12i512i12i5z−+−+===++=+−,故选C.2.已知集合{|2}AxZx=，()(){|130}Bxxx=−−，则AB=（）A.B.2C

.2,3D.|23xx【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB即可．【详解】解：集合{|2}AxZx=，()(){|130}=|13Bxxxxx=−−，则2AB=故选B．【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于

基础题型.3.已知131log4a=，154b=，136c=，则（）A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】C【解析】【分析】首先将b表示为对数的形式，判断出0b，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,ac的大小，即可得到,,abc的

大小关系.【详解】因为154b=，所以551loglog104b==，又因为()133331loglog4log3,log334a==，所以31,2a，又因为131133336,82c=，所以3,22c，所以ca

b.故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3

月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250.公元480年左右，南北朝时期的数

学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。大约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为9.8684（3.14140096）.在这4个圆周率的近似值中，最接近

真实值的是（）A.39271250B.355113C.227D.9.8684【答案】B【解析】【分析】依次计算出每个近似值，与圆周率作对比找到最接近真实值的项.【详解】39273.14161250=，3553.141592113=，22

3.1428577=，9.86843.14140096=由圆周率的值可知，最接近真实值的为355113故选：B【点睛】本题考查圆周率的相关知识，关键是能够准确计算出各个近似值，属于基础题.5.函数2si

n2xyx=−的图象大致是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数22xysinx=−的解析式，根据定义在R上的奇函数图像关于原点对称可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析

四个选项即可得到结果【详解】当0x=时，0200ysin=−=故函数图像过原点，排除A又12cos2yx=−，令0y=则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除BD，故函数在无穷域的单调区间呈周期

性变化结合四个选项，只有C符合要求故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．6.某公司有3000名员工，将这

些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（）A.44号B.294号C.1196号D.2984号【答案】B【解析】【分析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015=人.

故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为1

5的整数倍.又294842101514−==.其他选项均不满足.故选：B【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.7.2sin18m=，若24mn+=，则22cos271mn=−（）A.1B.2C.4D.8【答

案】B【解析】【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.【详解】由题：2222sin184(2sin18)2sin184(cos18)2cos271cos54cos54mn−==−4sin18cos182sin362cos542cos54cos54cos54

====.故选：B【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.8.已知向量a，b满足||2a=，||1b=，且||2ba−=则向量a与b的夹角的余弦值为（）A.22

B.23C.24D.25【答案】C【解析】【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12ab=，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为向量a，b满足||2a=，||1b=，且||2ba−=，所以2||2−=ba，即2222+−=baab，因此12ab=，所以12cos,422

===ababab.故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.9.执行如图所示的程序框图，输出的S(=)A.25B.9C.17D.20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当

41620TS=+=，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为1S=，0n=，0T=；S9=，2n=，044T=+=；17S=，4n=，41620TS=+=，退出循环，输出17S=．故应选C．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要

混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到

输出条件即可.10.在ABC中，,AB分别是双曲线E的左、右焦点，点C在E上若0BABC=，()0BABCAC+=，则双曲线E的离心率为（）A.51−B.21+C.212−D.212+【答案】B【解析】【分

析】由（BABC+）AC=0，得AB＝BC，结合BABC=0，得△ABC是一个等腰直角三角形，求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，即可求出离心率．【详解】∵（BABC+）AC=0，又ACBCBA=−，∴（B

ABC+）•（BCBA−）220BCBA=−=，则|BC|＝|BA|，即BA＝BC，又BABC=0，∴△ABC是一个等腰直角三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB＝BC＝2c，AC＝22c，又AC﹣BC＝2a，即22c﹣2c＝2a，解得离心率e21=+，故选：B．【点睛】本题考查了平

面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．11.已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2sinaBbC=，3b=，1cos4B=，则ABC的面积为（）A.915B.915

16C.31516D.916【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得2ac=，再由余弦定理得,ac，最后由1sin2SacB=求面积.【详解】由sin2sinaBbC=结合正弦定理可得2abbc=，则2ac=.由余弦定理2222cos

bacacB=+−，可得()2219=2224cccc+−，解得32c=，则3a=.又215sin1cos4BB=−=，所以11315915sin3222416ABCSacB===△.故选B.【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等

式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式.12.已知1F，2F为椭圆2222:1,(0)xyCabab+=的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A，若12AFAF⊥，122FAF

S=，则椭圆C的方程是（）A.22184xy+=B.22182xy+=C.22162xy+=D.22164xy+=【答案】C【解析】【分析】先由题意，不妨设点(),Axy位于第一象限，根据12AFAF⊥，得到1212==OAFFc，根据OA与x轴正方向的夹角为30，得

到31,22Acc，从而由122FAFS=求出2c=，()3,1A，得到22311ab+=，224ab−=，联立，即可求出结果.【详解】因为过原点O且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A，不妨设点(),Axy位于第一象限，因为1

2AFAF⊥，所以12AFF为直角三角形，因此1212==OAFFc；又OA与x轴正方向的夹角为30，所以3cos302==xOAc，1sin302==yOAc，即31,22Acc；所以12112222FAFScc=

=，解得：2c=，所以()3,1A；因此22311ab+=①，又2224abc−==②，由①②解得：2262ab==，因此所求椭圆方程为22162xy+=.故选：C【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题：本

题共4小题，每小题5分.13.若()()321111322fxfxxx=−++，则曲线()yfx=在点()(1,)1f处的切线方程是__________．【答案】3310xy−+=【解析】【分析】对函数进行求导，令1x=求得'(1)f，从而得到函数解析式，进一步求得(1)f，再由直线的点斜式方程

并化简得到直线的一般方程．【详解】3'11()(1)32fxxf=−212xx++，2'()(1)fxxf=−1x+，则'(1)f'1(1)f=−1+，即'(1)f1=．32111()322fxxxx=−++，则(1)f43=．曲线()yfx=在点(1,(1))f

处的切线方程是41(1)3yx−=−，即3310xy−+=．故答案为3310xy−+=．【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得'(1)f，再得到函数的解析式是求解的关键．14.设等差数列{}na前n项和为

nS，若452aS+=，714S=，则10a=__________【答案】14【解析】【分析】根据条件列出关于首项1a、公差d的方程组，求解出1,ad后即可得到数列的通项公式，即可求解出10a的值.【详解】设{}na的首项1a、公差d，因为452aS+=，71

4S=，所以11613272114adad+=+=，所以142ad=−=，所以26nan=−，所以10210614a=−=.故答案为：14.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量计算，难度较易.已知数列为等差数列，可以通过构造关于首项1a、公差d的方程组求解通项公式，

也可以利用等差数列的下标和、前n项和性质求解通项公式.15.函数()cos22sinxxfx=+的最小值为______.【答案】3−【解析】【分析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.【详解】()2cos22sin12sin2sinxxxfxx=+=−+Q所以令

sintx=，则()22132212(),[1,1]22yttttfx==−++=−−+−因此当1t=−时，()fx取最小值3−，故答案为：3−【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.一个三对棱长

相等的四面体ABCD，其三对棱长分别5ABCD==，13ADBC==，10ACBD==，则此四面体的体积为______.【答案】2【解析】【分析】将四面体ABCD放在长方体内，求出长方体的长、宽、高，再

利用割补发即可求得四面体的体积.【详解】设四面体ABCD所在的长方体棱长分别为a，b，c，则2222225,13,10,abacbc+=+=+=解得2,1,3,abc===所以四面体的体积11142323Vabcabcabc=−==，故答案

为：2.【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，关键是把四面体ABCD放在的长方体考虑问题，属常规考题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的

态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.年龄（单位：岁）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]频数510151055赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2

2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率.参考数据：20()PKk…0.1

50.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】(1)见解析(2)910【解析】试题分析：(1)结合所给的数据

绘制列联表，据此计算可得K2＝()250310271037301320−≈9.98＞6.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b

，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝910．试题解析：(1)2×2列联表如下：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成102737不赞成10313

合计203050K2＝()250310271037301320−≈9.98＞6.635.所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．(2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，

b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝910．18.已

知公差不为零的等差数列{}na满足535S=，且2a，7a，22a成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若()()413nnnbaa=−+，且数列{}nb的前n项和为nT，求证：34nT.【答案】(1)21nan=+.(

2)见详解.【解析】【分析】(1)设公差为d，由已知条件列出方程组，解得1,ad，解得数列{}na的通项公式.(2)得出()1111222nbnnnn==−++，可由裂项相消法求出其前n项和nT，进而可证结论.

【详解】(1)设等差数列{}na的公差为d(0d).由题意得52722235,,Saaa==则()()1211154535,2(6)21,adadadad+=+=++化简得1127,23,adad+==解得13,2,ad==所以()32121nann=+−=+.(2

)证明：()()()()44111113224222nnnbaannnnnn====−−++++，所以111111111112132435112nTnnnn=−+−+−++−+−−++1111311131221242124nnnn=+−−=−+

++++.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如()1111nannddnnd==−++的数列，可由裂项相消法求和.19.等腰直

角三角形ABC中，90BAC=，D为AC的中点，正方形11BCCB与三角形ABC所在的平面互相垂直．（Ⅰ）求证：1AB//平面1DBC；（Ⅱ）若2AB=，求点D到平面1ABC的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）63.【解析】【分析】（Ⅰ）连1BC,1BC交1BC于O,连OD,由中位线定

理即可证明1AB∥平面1DBC.（Ⅱ）根据11DABCCABDVV−−=,由等体积法即可求得点D到平面1ABC的距离.【详解】（Ⅰ）连1BC,设1BC交1BC于O,连OD,如下图所示:因为O为1BC的中点,D为AC的中点,则1//ODABOD面1BDC,1AB不在面1BDC内，所以1AB

∥平面1DBC（Ⅱ）因为等腰直角三角形ABC中,90BAC=则BAAC⊥,又因为1BACC⊥所以BA⊥平面1ACC则1BAAC⊥设点D到平面1ABC的距离为h.注意到22114823ACACCC=+=+=，由11DABCCABDV

V−−=,代入可得：111122321223232h=，解得63h=.即点D到平面1ABC的距离为63.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于中等题.20.已知函数()ln1fxx

x=++，()22gxxx=+.（Ⅰ）求函数()()yfxgx=−的极值；（Ⅱ）若实数m为整数，且对任意的0x时，都有()()0fxmgx−恒成立，求实数m的最小值.【答案】（Ⅰ）极大值为1ln24−，无极小值；（Ⅱ）1.【解析】

【分析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.【详解】(Ⅰ

)设()()()2ln1xfxgxxxx=−=−−+，∴()()()211121xxxxxx−−+=−−=，令()0x，则102x；()0x，则12x；∴()x在10,2上单调递增，1,2+

上单调递减，∴()11=ln224x=−极大，无极小值.(Ⅱ)由()()0fxmgx−，即()2ln120xxmxx++−+在()0,+上恒成立，∴2ln12xxmxx+++在()0,+上恒成立，设(

)2ln12xxhxxx++=+，则()()()()2212ln2xxxhxxx−++=+，显然10x+，()2220xx+设()()2lntxxx=−+，则()210txx=−+，故()tx在()0,+上单调递减由()110t=−，11112ln2l

n202222t=−+=−，由零点定理得01,12x，使得()00tx=，即002ln0xx+=且()00,xx时，()0tx，则()0hx，()0,xx+时，()0tx.则()0

hx∴()hx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减∴()()0002max00ln12xxhxhxxx++==+，又由002ln0xx+=，01,12x，则()0002000ln111,1222xxhxxxx++

==+∴由()mhx恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的长轴长是

短轴长的2倍，且经过点()2,1.（1）求C的标准方程；（2）C的右顶点为A，过C右焦点的直线l与C交于不同的两点M，N，求AMN面积的最大值.【答案】（1）22142xy+=；（2）22−．【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合

椭圆方程求出,ab，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．【详解】（1）解：由题意222,211,abab

=+=解得2a=，2b=，所以椭圆的标准方程为22142xy+=．（2）点(2,0)A，右焦点()2,0F，由题意知直线l的斜率不为0，故设l的方程为2xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立方程得221422xyxmy+==+，，消去x，整理得22(

2)2220mymy++−=，∴216(1)0m=+，122222myym+=−+，12222yym=−+，()()()2121212222222222)224281mmyyyyyymmm−−=++=+=++

+16（2122412myym+−=+()121222AMNSyy=−−()2212222mm+=−+()()22122222111mm=−−+++„，当且仅当0m=时等号成立，此时l：2x=，

所以AMN面积的最大值为22−．【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为252xmtyt=−=+（t为参数）.以原点O为极点，以x轴为非负半轴为极轴

建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C的方程为25sin,l=被圆C截得的弦长为2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点AB、，若点P的坐标为(,5)m，且0m，求PAPB+的值.【答案】（Ⅰ）33mm=

=−或；（Ⅱ）32【解析】【分析】（Ⅰ）先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）由25sin=得22250,x

yy+−=即()2255xy+−=.直线的普通方程为50xym+−−=，被圆C截得的弦长为2，所以圆心到的距离为32，即0553,22m+−−=解得33mm==−或.（Ⅱ）法1：当3m=时，将l的参数方程代入圆C的直角坐标方

程得，()()223225tt−+=，即223220tt−+=，由于()2324420=−=，故可设12tt，是上述方程的两实根，所以12123221tttt+==，又直线l过点()3,5P，故由上式及t的几何意义得，PAPB+=122(|t|+|t|)=12

2(t+t)=32.法2：当3m=时点()35P，，易知点P在直线l上.又()223555+−，所以点P在圆外.联立()2255350xyxy+−=+−−=消去y得，2320xx−+=.不妨设()()21+51,2+5AB，、，所以PAPB+=

22232+=.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.