【文档说明】【精准解析】广东省佛山市第二中学2020届高三下学期第七次月考数学（理）试题.doc，共(30)页，2.422 MB，由小赞的店铺上传

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2020届高三第七次月考理科数学试题命题人：曾庚平审题人：伍春华本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

2|540Axxx，13Bxx，则ABRð（）A.14,35B.14,35C.11,3D.11,3【答案】A【解析】【分析】化简集合,AB，求得BRð，根据交集定义，即可求得答案．【详解】

24|540=|54101,5Axxxxxx41,5A又11,33Bxx1,3RBð故41141,,,5335RAB

ð故选：A.【点睛】本题主要考查了集合运算，解题关键是掌握集合运算的基础知识和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2.已知实数a，b满足14abiii，其中i是虚数单位，若4zabi，则在复平面内，复数z所对应的点

位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案.【详解】实数,ab满足14abiii其中i是虚数单位，4()ababii，可得04abab解得2a

b.422zabii,则在复平面内,复数z所对应的点2,2位于第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.已知实数a，b满足1112

2ab，则（）A.11abB.22loglogabC.abD.sinsinab【答案】B【解析】【分析】首先利用指数函数的性质得到a，b的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.【详解】11122ab由指数函数的单调性,

可得：0ab对于A，由0ab，可得11ab，故A错误；对于B，由0ab，可得22loglogab，故B正确；对于C，由0ab，可得ab，故C错误；对于D，根据sinyx图象可得，由0ab，sina与sinb的大小无法确定

，故D错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.已知非零向量a，b满足4ba，且2aab，则

a与b的夹角为()A.3B.2C.23D.56【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.【详解】由已知可得，设ab与的夹角为，则有，又因为，所以，故选C.【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考

查基本求解能力.5.已知1cos63，则sin26（）A.89B.89C.79D.79【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式求得cos23，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos63227cos22cos

1136997cos2cos2sin2362697sin269本

题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.6.若函数222,1log1,1xxfxxx在,a上的最大值为4，则a的取值范围为（）A.0,17B.,17C.1,17D

.1,【答案】C【解析】【分析】要求函数fx的最大值，可先分别探究函数122,1xfxx与22log1,1fxxx的单调性，从而得到fx的最大值．【详解】易知122,1xfxx在,1上单调递增，22log1,1fxxx

1,上单调递增.因为14f，174f，所以a的取值范围为1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个

是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为10

8的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，512BCAC.根据这些信息，可得sin234（）A.1254B.358C.514

D.458【答案】C【解析】【分析】要求sin234的值，需将角234用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36，正五边形内角108，72ACB，已知三角函数值有1

512cos724BCAC，所以234=272+90=144+90，从而sin234=cos144．【详解】由题可知72ACB，且1512cos724BCAC，251cos1442cos7214

，则51sin234sin14490cos1444.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.8.已知函数233343sincos4sin2222xfxxx，则下列说法错误的是（）A.函数

fx的周期为23B.函数fx的一条对称轴为9xC.函数fx在10,9上单调递增D.函数fx的最小值为4【答案】C【解析】【分析】化简233343sincos4sin2222xf

xxx，可得4sin36xfx，逐项判断，即可求得答案.【详解】233343sincos4sin2222xfxxx1cos323sin3422xx23sin32cos3xx4sin36x对于A，函数fx

的周期为：23T,故A说法正确；对于B，9x时，4sin4936f9x是函数fx的一条对称轴，故B说法正确；对于C，当109x时，21193666x

此时fx不单调，故C说法错误；对于D，()4sin36fxx函数fx的最小值为4，故D说法正确，故选：C.【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9.已知函数

sin0,0,2fxAxA的图象的一部分如下图所示，若0faxa在5,44上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A.30,4B.

40,3C.10,3D.30,2【答案】C【解析】【分析】根已知条件求得()sin23fxx，可得()sin23faxax，根据

0faxa在5,44上是单调递增函数，即可求得答案.【详解】由图可知1A，函数的周期为T则143124T，可得T又2，故可得2则()sin(2)fxx又,03在函数图象上，则2sin0,||32

故3()sin23fxx故函数()sin23faxax的单调增区间为222,232kaxkkZ可得5,,01212kkxkZaaaaa即5,,1212k

kkZaaaa又在5,44上是单调递增函数55412124aa，解得103a故选:C.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图象求解函

数表达式和根据三角函数在指定区间上单调性求参数范围，解题关键是掌握三角形函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.在正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别为1AA，BC，11CD的中点，现有下面三个结论：①EFG为正三角形；②异面直线1AG与1CF所成角为6

0；③//AC平面EFG.其中所有正确结论的编号是（）A.①B.②③C.①②D.①③【答案】D【解析】【分析】①计算出三边是否相等；②平移1AG与1CF，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面EFG内是否有与AC平行的直线．【详解】易证EFG的三边相等

，所以它是正三角形.平面EFG截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC的交点为1CC的中点N，易证//ACEN，从而//AC平面EFG.取11AB的中点H，连接1CH，FH，则11//AGCH，易知

11CHCFHF，所以1CH与1CF所成角不可能是60，从而异面直线1AG与1CF所成角不是60.故①③正确.【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.11.过双曲线22

22:1(0,0)xyEabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与E的渐近线交于,BC两点，若20BCBA，则双曲线E的渐近线方程为（）A.3yxB.4yxC.2yxD.2yx

【答案】D【解析】【详解】直线l:y=-x+a与渐近线1:0lbxay交于2,aabBabab,直线l:y=-x+a与渐近线2:0lbxay交于2,aabBabab,A

,0a,因为20BCBA,所以3ACAB,223,2,aaaabaabab双曲线E的渐近线方程为2yx,故选D.点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点

以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入20BCBA中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中222cab,即可求得离心率.12.设函数3s

inxfxm．若存在fx的极值点0x满足22200xfxm，则m的取值范围是（）A.,66,B.,44,C.,22,D.,11,【答案

】C【解析】由题意知：fx的极值为3，所以203fx，因为00()3cos0xfxmm，所以0,2xkkzm，所以01,2xkkzm即01122xkm，所以02mx，即2200[()]xfx

24m3，而已知22200xfxm，所以224mm3，故2334m，解得2m或2m，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）第13~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：每小题5分，满分20分.其中第15题第一空2分，第二空3分.13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，

假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_________.【答案】0.42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解．

【详解】题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7，则恰有1次发生的概率为120.710.70.42C.【点睛】本题考查独立重复试验，考查应用意识与数学抽象的核心素养.14.设

a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边.已知sin2coscos2coscosaAbACcAB，则tanA______.【答案】2【解析】【分析】要求tanA的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算．【详解】因为sin2coscos2coscosaAb

ACcAB，2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC，所以2sin2cossincoscossin2cossin2cossinAABCBCABCAA，所以tan2A.【点睛】本

题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.15.已知点,xy满足34626xyxyxy，则yx的取值范围为______.【答案】2,1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的

斜率公式进行求解,即可求得答案.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，yx的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最小，OC的斜率最大，由2646xyxy,可得2,2C此时OC斜率1OCk由346xyxy

,可得1,2B此时OB斜率2OBk，则yx的取值范围为2,1故答案为：2,1.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函

数在何处取得最优解.16.如图，在四棱锥PABCD中，PDAC，AB平面PAD，底面ABCD为正方形，且3CDPD.若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_____；当四棱锥PABCD的体积取得最大值时，二面角APCD的正

切值为_______.【答案】(1).6(2).5【解析】【分析】(1)．要求球O的表面积的最小值，需求出球O的表面积的算式，为此又需求出球O的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．(2)．列出四棱锥PABCD的体积的算式，求出体积取得最

大值时变量的取值，从而求出二面角APCD的正切值．【详解】(1)．设03CDxx，则3PDx.∵AB平面PAD，∴ABPD，又PDAC，∴PD平面ABCD，则四棱锥PABCD可补形成一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球O的表面积为

222223431262xxxx.(2)．四棱锥PABCD的体积213033Vxxx，则22Vxx，当02x时，0V；当23x时，0V.故max2VV，此时

2ADCD，1PD.过D作DHPC⊥于H，连接AH，则AHD为二面角APCD的平面角.∵122555DH，∴tan5ADAHDDH.【点睛】本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.当棱锥中有线面垂直的条件时，

可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算．找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．三、解答题：本大题共7小题.共70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足1*3212122222nnnaaaanN

，4lognnba.（1）求数列na的通项公式：（2）求数列11nnbb的前n项和nT；（3）求数列nnab的前n项和nS.【答案】（1）212nna.（2）421nnTn.（3）659594nnnS【解析】

【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，即可求得答案；（2）由212nna，可得21421log22nnnb，111122121nnbbnn，进一步利用裂项相消法求出数列的和，即可求得答案；（3）由212nna

，212nnb，可得21212nnnnab，根据错位相减求和，即可求得答案.【详解】（1）当.1n，12a当2n时，由13212122222nnnaaaa可得3121222

2222nnnaaaa两式相减可得：122nnna即212nna且上式对于1n也成立，数列na的通项公式为：212nna（2）212nna21421log22nnnb114112(2

1)(21)2121nnbbnnnn12231111nnnTbbbbbb11111213352121nn14212121

nnn（3）212nna，212nnb21212122122nnnnnnab2221024123252232212nnnSnn——①21222461

232522322122nnnSnn——②由①②可得：42106223122222222212+2nnnSn121032312244442+21nnnSn

102414312221214+nnnSn14143122143nnnSn14143122143nnnSn

659594nnnS【点睛】本题考查求数列通项公式和求数列和，解题关键是掌握常见数列求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.已知三棱柱111ABCABC中，1222AAABAC，90BAC，1120B

AA.（1）求证：AB平面1ABC；（2）若11BCAA，求平面11ABC与平面1BCB所成二面角的余弦值.【答案】（1）答案见解析.（2）427【解析】【分析】（1）要证AB平面1ABC，只需求证1ABAB，结合已知

，即可求得答案；（2）以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以1AB为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面11ABC的法向量1n和平面1BCB的法向量2n，根据121221cos,nnnnnn，即可求得答案.【详解】（1）1120BAA,160ABB

.在1ABB△中,111,2ABBBAA,由余弦定理得22211112cos3ABABBBABBBABB,22211BBABAB,1ABAB.又90BAC,ACAB,又1ACABA,AB平面1ABC.（

2）由（1）13AB，1AC又112BCAA在1ABCV中，可得12212ABAAAC1ABAC又1ABAB1AB平面ABC；由（1）得AB平面1ABC，又90BAC

以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以1AB为z轴，建立空间直角坐标系，如图：则1(00,,00,0,,3),1,0,(0,1,0)0,BCAB1(,,)Cxyz11BBCC,又1(1,0,

3)BB(1,0,3)(,1,)xyz解得：113xyz，故1(1,1,3)C111(0,0,3),(1,1,3),(1,1,0),(1,0,3)ABACBCBB设平面11ABC法向量为1111,,n

xyz由1111nABnAC，可得111100nABnAC故：11113030zxyz取11y，则1(1,1,0)n设平面1BCB法向量为2222,,nxyz由221nBCnBB，可得22100nBCnBB

故：2222030xyxz取21x可得：2231,3yz231,1,3n1221212cos,12113nnnnnn22771423342平面11ABC与平面1BCB所成二面角的余弦值427.【点睛】本题

主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资

，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2012201320142015201620172018投资金额x（万元）4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y（万元）6.07.07.48.18.99.611.1（1）请用最小二乘法求出

y关于x的回归直线方程（结果保留两位小数）；（2）现从2012—2018年这7年中抽出三年进行调查，记年利润增长－投资金额，设这三年中2（万元）的年份数为，求随机变量的分布列与期望.参考公式：112221

1nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx，aybx$$.参考数据：71359.6iiixy，721259iix.【答案】（1）ˆ1.571.13yx

.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出x，y，根据公式求出ˆb，即可求得答案；（2）由所给数据可得，的可能取值为1，2，3，求得(1)(2)(3)PPP，，即可求得答案.【详解】（1）4.555.5

66.577.5)67x(677.48.18.99.611.1)8.37y2359.6768.3ˆ1.5725976b，ˆ8.31.5761.13a，故y关x的回归直线方程为：ˆ1.571

.13yx，（2）由表格可知，20122018年这7年中年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.6的可能取值为1，2，32112325255333777142(1)(2)(3)777CCCCCPPPCCC

可得：123P17472714215()1237777E【点睛】本题主要考查了求回归直线方程和随机变量的分布列与期望，解题关键是掌握回归直线的求法和统计学基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题

.20.已知椭圆C：222210xyabab的离心率为63，右焦点到直线222ax的距离为22.（1）求椭圆C的方程；（2）过点2,0F作与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在

点M，使得MAB为正三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213xy.（2）在y轴上是存在点M，坐标为20,2，20,2【解析】【分析】（1）因为椭圆C：222210xyabab

的离心率为63，可得63ca，右焦点到直线222ax的距离为22，故22222ac，即可求得答案；（2）设线段AB的中点33,Pxy，若ABM是正三角形，ABPM且3=2PMAB，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）椭圆C：222210xyabab的离心率为6363

ca，可得2223ca故2232ac右焦点到直线222ax的距离为22.22222ac①当22222ac时，将2232ac代入可得2232222cc整理可得：2324220cc即(32)(22

)0cc解得：23c（舍去）或2c由2232ac，可得23a，即3a根据222abc可得：1b2213xy②当22222ac时，将2232ac代入可得2232222cc整理可得：232

4220cc方程无解（2）过点2,0F作与坐标轴不垂直的直线l设直线l的方程为2(0)xmym联立直线l的方程和椭圆C方程可得：22213xmyxy，消掉x可得：22(2)33myy2232210mymy根据韦达定理可得：122

12222313myymyym222121212114ABmyymyyyy22222211433mmmm22222812413mmmm222313mm设线段AB的中

点33,Pxy，则3223mym，3323223xmymABMQV是正三角形ABPM且3=2PMAB根据ABPM，可得1ABPMkk33ppyymxx223232||1013PMmxmm由3=2PMAB可得：

2222323132133=2mmmm可得：21m，解得：1m设0,Mt，将其代入33ppyymxx可得330tymx可得33222232mtmxym故在y轴上是存

在点M，使得MAB为正三角形，坐标为20,2，20,2【点睛】本题主要考查了求椭圆方程和椭圆中的三角形问题，解题关键是掌握圆锥基础知识和椭圆中三角问题的解法，圆锥曲

线与直线位置关系问题，要通过直线和圆锥曲线联立方程，通过韦达定理，建立起直线斜率与目标直线的关系，考查了分析能力和计算能力,属于难题.21.已知函数22112ln1ln242fxxxaxxx.（1）讨论fx的单调性.（2）试问是否存在,ae，使

得13sin44afx对1,x恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在；a的取值范围为2,e.【解析】【分析】（1）lnlnln1fxxxaxaxxax

，0,x，所以0fx得12,xaxe，所以通过对a与0,e的大小关系进行分类讨论得fx的单调性；(2)假设存在满足题意的a的值，由题意需min13sin44afx，所以由(1)的单调性求minfx即可；又因

为13sin44afx对1,x恒成立，所以可以考虑从区间1,内任取一个x值代入，解出a的取值范围，从而将,ae的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）lnlnln1fxxxaxaxxax，

0,x.当ae时，ln10fxxex，fx在0,上单调递增当0a时，0xa，fx在0,e上单调递减，在,e上单调递增当0ae时，fx在,ae上单调递

减，在0,a，,e上单调递增；当ae时，fx在,ea上单调递减，在0,e，,a上单调递增.（2）假设存在,ae，使得13sin44afx对1,x恒成立.则31123sin444afa，即8sin1504a

a，设8sin154xgxx，则存在,xe，使得0gx，因为8cos044xgx，所以gx在,xe上单调递增，因为20g，所以0gx时2x

即2a.又因为13sin44afx对1,x恒成立时，需min13sin44afx，所以由（1）得：当ae时，fx在1,上单调递增，所以min331=2=244fxfae，且3123sin

444ee成立，从而ae满足题意.当2ea时，fx在,ae上单调递减，在1,a，,e上单调递增，所以2113sin,4413sin,444afeafeea所以22,4sin1204aaeae

（*）设24sin1242xhxexexe，4cos044xhxe，则hx在2,e上单调递增，因为228130hee，所以hx的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为2,，

所以2xe即2ea.综上，存在,ae，使得13sin44afx对1,x恒成立，且a的取值范围为2,e.【点睛】求可导函数fx的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求fx；（3）讨论fx的零点是否存在；若

fx的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断fx在每个区间内的正负号，得fx的单调区间.当fxa在区间D上恒成立时，需minfxa.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一

题计分.做答时请写清楚题号.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,22sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为2sin23202

.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知为锐角，直线:lR与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若162OAOB，求l的直角坐标方程.【答案】(1)4sin；(2)2yx【解析】【分析】(1)先消去参数，得到

曲线C的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l是过原点的，所以求出l的斜率k或tan的值即可写出l的方程.【详解】解：（1）由题意知曲线C的直角坐标方程为2224xy，即224xyy

，所以24sin，即4sin，故曲线C的极坐标方程为4sin.（2）因为曲线M的极坐标方程为2sin23202，所以32sin2，将代入，得42sin2OB因为曲线C的极坐标方程为4sin，所以4sinOA

所以2sin16216tan162sin2OAOB，则tan2，故l的直角坐标方程为2yx【点睛】设P为平面上一点，其直角坐标为,xy，极坐标为,，则cosx，siny，222+xyOP，tan0yxx

．选修4-5：不等式选讲23.已知函数120fxxaxaa.（1）当1a时，解不等式1fx；（2）若不等式3fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,1].（2）1,12【解析】【分析】（1）

120fxxaxaa，当1a，1fx，可得|2||1|1xx，即可求得答案；（2）由3fx，可得111||2||||22xaxxaxaaaa，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）120fxxaxaa当1a，1fx

可得|2||1|1xx若2x≤则2(1)1xx，即31，显然成立若21x，2(1)1,xx可得22x，故1x若1x，2(1)1,xx可得31，显然不成立.综上所述，(,1

]x（2）3fx111||2||||22xaxxaxaaaa1112|2|2axaxaaaa要保证不等式3fx恒成立，只需保证123aa，解得112a≤≤综上所述，1,12a

【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.