【文档说明】2024届高中数学一轮复习练习一　集合、常用逻辑用语、不等式 Word版含解析.docx，共(10)页，134.799 KB，由小赞的店铺上传

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练习一集合、常用逻辑用语、不等式一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·广州模拟)若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4，6，7，8}，则(∁UA)∩(∁UB)等于()

A．∅B．{3，4，5，6，7，8，9}C．{9}D．{1，2}2．(2023·镇海中学模拟)已知集合P＝{x|log2x>1}，Q＝xx－3x＋2≤0，则(∁RP)∩Q等于()A．[－2

，2]B．(－2，2]C．[0，2]D．(0，2]3．命题“∃x>0，x2－x＋3>0”的否定是()A．∃x>0，x2－x＋3≤0B．∀x>0，x2－x＋3≤0C．∃x≤0，x2－x＋3≤0D．∀x≤0，x2－x＋3>04．(2023

·淮阳模拟)已知“4x>x2”是“x<m2”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)5.《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的

重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形如图所示：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CD⊥AB于点C，设AD＝a，BD＝b，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为()A．

a2＋b2≥2abB.a2＋b22≥a＋b2C.2aba＋b≤ab(a>0，b>0)D.a＋b2≥ab(a>0，b>0)6．(2022·徐州质检)关于x的不等式(ax－b)(x＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x的不等式

ax＋b>0的解集为()A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)7．若关于x的不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，8)B．(－∞，8

]C．(－∞，27)D.－∞，1128．(2023·鞍山模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，当且仅当ax＝by时等号成立．根

据权方和不等式，函数f(x)＝2x＋91－2x0<x<12的最小值为()A．16B．25C．36D．49二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分)9．若a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是()A．ac>bcB．a－d>b－cC.1d<1cD．a2>b210．下列说法正确的有()A．若x<12，则2x＋12x－1的最大值是－1B．若x，y，z

都是正数，且x＋y＋z＝2，则4x＋1＋1y＋z的最小值是3C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是2D．若实数x，y满足xy>0，则xx＋y＋2yx＋2y的最大值是4－2211．设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是()A.ab≤14B．a2＋b2≥1

2C.12a＋1b≥3D.a＋b≤212．(2022·深圳模拟)对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和．给定集合S＝{1，2，3，4}，定义集合T＝{f(A)|A⊆S，A≠∅}，则下列说法正确的是()A．7∈TB．8∉TC．集合T中有10个元素D．集合T中有11个元素三、填

空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2023·福州模拟)设全集S＝{x|x2－ax＋15＝0，x∈R}，∁SA＝{5}，则集合A＝________.14．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，命题q：∃x∈[－1，1]，

使得2x＋a－1>0成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为________．15．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛的有40人，参加物理竞赛的有40人，参加化学竞赛的有45人，同时参

加物理、化学竞赛的有15人，同时参加数学、物理竞赛的有20人，同时参加数学、化学竞赛的有15人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有________名．16．(2022·复旦附中模拟)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{

x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)(2023·葫芦岛模拟)已知集合A＝{x|x2＋4x＋3＝0}，B＝

{x|x2－2ax＋a2－a－3＝0}．(1)当a＝1时，求A∪B；(2)若A∩B＝{－3}，求a的值．18．(12分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<b或x>2}．(1)求a，b的值；(2)当x>0，y>0，且满足ax＋by＝1时，有4x＋y≥k2

－8k恒成立，求k的取值范围．19．(12分)在①A∩B＝A；②A∩(∁RB)＝A；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|x2－2x－8≤0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值

范围．20．(12分)我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x(千台)电脑需要另投成本T(x)万元，且T(x)＝

ax2＋100x＋1000，0<x<40，601x＋10000x－7450，x≥40，另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润1650万元．(1)求该企业获得年利润W(x)(万元)关于年产量x

(千台)的函数关系式；(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大？并求最大年利润．21．(12分)设不等式|2x－5|≤3的解集为A，关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a≤0(a∈R)的解集为B.(1)求集合A，B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取

值范围．22．(12分)(2023·东莞模拟)对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称实数x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的

集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．(1)对于函数f(x)＝2x－1，分别求出集合A和B；(2)对于所有的函数f(x)，集合A与B是什么关系？并证明你的结论；(3)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1，3}，求集合B.参考答案1

．答案C解析由题意可得∁UA＝{4，6，7，8，9}，∁UB＝{3，5，9}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{9}．2．答案B解析由log2x>1，得x>2，所以P＝{x|x>2}，∁RP＝{x|x≤2}．由x－3x＋2≤0，得－2<x≤3，所以Q＝{x|－2<x≤3}，所

以(∁RP)∩Q＝{x|x≤2}∩{x|－2<x≤3}＝{x|－2<x≤2}．3．答案B4．答案D解析由4x>x2，得0<x<4，由题意，得m2≥4，即m∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．5.答案A解析由题意得

OD≥CD，又OD＝AB2＝a2＋b22，又12AD·BD＝12AB·CD，故CD＝AD·BDAB＝aba2＋b2，故a2＋b22≥aba2＋b2，化简得a2＋b2≥2ab.6．答案A解析由题意可得a<0，且1，－3是方程(ax－b)(x＋3)＝0的两根，∴x＝1为方程ax－b＝0的根，∴a＝b，

则不等式ax＋b>0可化为x＋1<0，即x<－1，∴不等式ax＋b>0的解集为(－∞，－1)．7．答案A解析由不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，等价于不等式a<x＋7x在(2，7)上有实数解，因为函数f(

x)＝x＋7x在(2，7)上单调递减，在(7，7)上单调递增，又由f(2)＝2＋72＝112，f(7)＝7＋77＝8，所以f(x)max<f(7)＝8，所以a<8，即实数a的取值范围是(－∞，8)．8．答案B解析因为0<x<12，所以1－2x>0，于是由题意得f(x)

＝222x＋321－2x≥2＋322x＋1－2x＝25，当且仅当22x＝31－2x，即x＝15时等号成立，所以函数f(x)＝2x＋91－2x0<x<12的最小值为25.9．答案BD解析∵a>b>0

，c<0，∴ac<bc，故A错误；∵d<c<0，∴－d>－c>0，又a>b>0，∴a－d>b－c，故B正确；∵d<c<0，∴dc>0，∴1c<1d，故C错误；由a>b>0可得a2>b2，故D正确．10．答案ABD解析对于A，因为x<12，所以2x－1<0

，所以1－2x>0，所以2x＋12x－1＝(2x－1)＋12x－1＋1＝－1－2x＋11－2x＋1≤－21－2x·11－2x＋1＝－1，当且仅当1－2x＝11－2x，即x＝0时，等号成立，所以2x＋12x－1的最大值为－1，故A正确；对于B，因为x，y，

z都是正数，且x＋y＋z＝2，所以x＋1＋y＋z＝3，所以4x＋1＋1y＋z＝134x＋1＋1y＋z(x＋1＋y＋z)＝135＋4y＋zx＋1＋x＋1y＋z≥135＋24y＋zx＋1·x＋1y＋z＝3，当且仅当4y＋zx＋

1＝x＋1y＋z，即x＋1＝2(y＋z)，即x＝1，y＋z＝1时，等号成立，所以4x＋1＋1y＋z的最小值为3，故B正确；对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤x＋2y22，即2xy≤x＋2y24，当且仅当x＝2y时，等号成立，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－

(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x＋2y24，所以(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4，当且仅当x＝2y＝2时，等号成立，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；对于D，令x＋y＝t，x＋

2y＝s，则x＝2t－s，y＝s－t，因为xy>0，所以x，y同号，则s，t同号，所以xx＋y＋2yx＋2y＝4－st－2ts≤4－2st·2ts＝4－22，当且仅当st＝2ts，即s＝2t时，等号成立．所以xx＋y＋2yx＋2y的最大值是4－22，故D正确．11．答案BD解析对于

A，由a，b>0，得a＋b＝1≥2ab，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故0<ab≤12，故A错误；对于B，由a2＋b2≥a＋b22＝12，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故a2＋b2≥12，故B正

确；对于C，由12a＋1b＝12a＋1b(a＋b)＝32＋b2a＋ab≥32＋2b2a·ab＝32＋2，当且仅当b＝2a＝2－2时，等号成立，故12a＋1b≥32＋2，故C错误；对于D，由a＋b＝1≥a＋b22，当且仅当a＝b＝12时，等

号成立，故a＋b≤2，故D正确．12．答案AC解析∵A⊆S且A≠∅.①当A为单元素集合时，集合A可取{1}，{2}，{3}，{4}，f(A)可取1，2，3，4；②当A中的元素个数为2时，集合A可取{1，2

}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，f(A)可取3，4，5，6，7；③当A中的元素个数为3时，集合A可取{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，f(A)可取6，7，8，9；④当A＝S时，f(A)＝10.综上所述，T＝{1，2，3

，4，5，6，7，8，9，10}，AC选项正确，BD选项错误．13．答案{3}解析因为S＝{x|x2－ax＋15＝0，x∈R}，∁SA＝{5}，所以5∈S，5∉A，所以52－5a＋15＝0，解得a＝8，由x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5，所

以S＝{3，5}，所以A＝{3}．14．答案(－∞，－1]解析命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，若p是真命题，则a≤(x2＋1)min＝2，命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若命题q为真命题，则a>(1－2x)min＝1－2＝－1.

所以当命题q是假命题时，a≤－1，综上，实数a的取值范围为a≤－1，即a∈(－∞，－1]．15．答案5解析不妨设这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有x名，将参加三种竞赛的人数情况画出Venn图，如图所示．故参加竞赛的总人数为5＋x＋5＋x＋15＋x＋15－x＋15－x＋20－x＋

x＝80，解得x＝5.16．答案43，158解析由A中不等式变形得(x－1)(x＋3)>0，解得x<－3或x>1，即A＝{x|x<－3或x>1}，函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，f(1)＝－2a<0，f(－1)＝2a>0，作出f(x)的大

致图象，如图．由对称性可得，要使A∩B恰含有2个整数，则这2个整数为2，3，∴f(2)<0且f(3)≤0，且f(4)>0，即4－4a－1<0，9－6a－1≤0，16－8a－1>0，解得43≤a<158，则实数a的取值范围为43

，158.17．解(1)依题意，A＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－3，－1}，当a＝1时，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，所以A∪B＝{－3，－1，3}．(2)因为A∩B＝{－3}，则－3∈B，于是得(－3)2－

2a×(－3)＋a2－a－3＝0，即a2＋5a＋6＝0，解得a＝－2或a＝－3，当a＝－2时，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－3，－1}，则A∩B＝{－3，－1}，不符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2＋6x＋9＝0}＝{－3}，则A∩B＝{－3}，符合题意，综上，a的值是－3.18．解(

1)由题意可知，x＝b和x＝2为方程ax2－3x＋2＝0的两个根，且a>0，因此ab2－3b＋2＝0，4a－6＋2＝0，解得a＝1，b＝1或b＝2(舍)．(2)因为a＝1，b＝1，所以ax＋by＝1x＋1y＝1，又

因为x>0，y>0，所以4x＋y＝(4x＋y)·1x＋1y＝4xy＋yx＋5≥24xy·yx＋5＝9，当且仅当4xy＝yx，即y＝2x＝3时取等号．由4x＋y≥k2－8k恒成立，得9≥k2－8k恒成立，解得－1≤k≤9.所以k的取值范围为[－1，9]．19．解

(1)当a＝2时，A＝{x|1<x<7}，B＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，因此A∩B＝{x|1<x≤4}．(2)选①，因为A∩B＝A，可得A⊆B.当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝∅⊆

B，符合题意；当a－1<2a＋3，即a>－4时，A≠∅，由A⊆B可得a－1≥－2，2a＋3≤4，解得－1≤a≤12，此时－1≤a≤12.综上所述，实数a的取值范围是aa≤－4或－1≤a≤12.选②，

由(1)可得∁RB＝{x|x<－2或x>4}，因为A∩(∁RB)＝A，则A⊆∁RB.当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝∅⊆∁RB，符合题意；当a－1<2a＋3，即a>－4时，A≠∅，由A⊆∁RB可得2a＋3≤－2或a－1≥

4，解得a≤－52或a≥5，此时－4<a≤－52或a≥5.综上所述，实数a的取值范围是aa≤－52或a≥5.选③，当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝∅，A∩B＝∅，满足题意；当a－1<2a＋3

，即a>－4时，A≠∅，因为A∩B＝∅，则2a＋3≤－2或a－1≥4，解得a≤－52或a≥5，此时－4<a≤－52或a≥5.综上所述，实数a的取值范围是aa≤－52或a≥5.20．解(1)10000台＝10千台，则T(10)＝100a＋2000，根据题意得0．6×1000

0－100a－2000－1350＝1650，解得a＝10，当0<x<40时，W(x)＝0.6×1000x－1350－10x2－100x－1000＝－10x2＋500x－2350；当x≥40时，W(x)＝0.6×100

0x－1350－601x－10000x＋7450＝－x－10000x＋6100.综上所述W(x)＝－10x2＋500x－2350，0<x<40，－x－10000x＋6100，x≥40.(2)当0<x<40

时，W(x)＝－10x2＋500x－2350＝－10(x－25)2＋3900，当x＝25时，W(x)max＝3900；当x≥40时，W(x)＝－x－10000x＋6100≤－2x·10000x＋6100＝5900，当且仅当x＝100时取等号，

此时W(x)max＝5900.因为5900>3900，故当年产量为100千台时，该企业所获年利润最大，最大年利润为5900万元．21．解(1)由|2x－5|≤3可得－3≤2x－5≤3，解得1≤x≤4，所以A＝{x|

1≤x≤4}．由x2－(a＋2)x＋2a≤0可得(x－2)(x－a)≤0，方程(x－2)(x－a)＝0的两根为2和a，当a>2时，不等式的解集为{x|2≤x≤a}，当a＝2时，不等式的解集为{x|x＝2}，当a<2时，不等式的解集为{x|a≤

x≤2}，综上所述，A＝{x|1≤x≤4}，当a>2时，B＝{x|2≤x≤a}，当a＝2时，B＝{2}，当a<2时，B＝{x|a≤x≤2}．(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集，当a>2时，若B是A的真子集，则a≤4，所以2<a≤4；当a＝2时，B＝

{2}符合题意，所以a＝2成立；当a<2时，若B是A的真子集，则a≥1，所以1≤a<2，综上所述，实数a的取值范围为1≤a≤4.22．解(1)由f(x)＝x，得2x－1＝x，解得x＝1；由f(f(x))＝x，得2(2x－1)－1＝x，解得x＝1，∴集合A＝{1}，B＝{

1}．(2)若A＝∅，则A⊆B显然成立，若A≠∅，设t为A中任意一个元素，由f(f(t))＝f(t)＝t∈B，可得A⊆B.(3)∵A＝{－1，3}，∴f－1＝－1，f3＝3，即－12－a＋b＝－1，32＋3a＋b＝3，解得a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝x2－x－3，∴f(f(x

))＝f(x2－x－3)＝(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，即(x－3)(x＋3)(x＋1)(x－3)＝0，解得x＝±3或x＝－1或x＝3，∴B＝{－3，－1，3

，3}．