【文档说明】专题06 指数函数与对数函数（中档题） 期末常考题型精选（解析版）-2021-2022学年上学期高中数学期末常考题精选（人教A版2019） .docx，共(30)页，1.882 MB，由管理员店铺上传

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专题06指数函数与对数函数（中档题）期末常考题型精选.一．选择题（共12小题）1．设3log6a=，6log12b=，9log18c=，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abc【解答】解：332log61log213lgalg==+

=+，662log121log216lgblg==+=+，992log181log219lgclg==+=+，0369lglglg，20lg，222369lglglglglglg，abc，故选：D．2．已知6log2a=，12log4b=，18log6

c=，则()A．cbaB．abcC．cabD．acb【解答】解：由对数运算公式得，221log61log3a==+，441log121log3b==+，661log181log3c==+，易知246log3log3lo

g3，cba．故选：A．3．已知函数21()(1)1||fxlnxx=+−+，若实数a满足313(log)(log)2(1)fafaf+„，则a的取值范围()A．[1，3]B．1(0,]3C．(0，3]D．1

[,3]3【解答】解：函数21()(1)1||fxlnxx=+−+，故函数()fx在(0,)+上单调递增，且()fx为偶函数，若实数a满足313(log)(log)2(1)fafaf+„，即33(log)(log)2fafaf+−„（1），3(log)faf„（1），3|

log|1a„，即31log1a−剟，故133a剟，故选：D．4．已知函数221,0()3,0xxxfxlnxx+−=−„，则方程()2fx=−的实数解的个数为()A．0B．1C．2D．3【解答】解：当0x„时，由2212xx+−=−得2210xx++=，解得1x=−，符合

题意；当0x时，由32lnx−=−，得1lnx=，解得xe=，符合题意．综上，方程()2fx=−的实数解的个数为2．故选：C．5．已知函数|2|,0(),0xxfxlgxx+=„，则方程(())10ffx−=的根的个数是()A．4B．5C．

6D．7【解答】解：函数|2|,0(),0xxfxlgxx+=„的图像如图：令()fxt=，则方程(())10ffx−=即为()1ft=对应的t值，则10t=或3t=−或1t=−，10t=时对应的x有2个，3t=−时对应的x有1个，1t=−时对应的x有1个，故方程(

())10ffx−=的根的个数是4个，故选：A．6．当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现4K坑的部分炭屑样品使用

碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约()年．（参考数据：2log0.67900.5585)=−A．3000B．3100C．3200D．3300【解答】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原

来的p，依题意，有57301(1)2p−=，1573012p−−=，设距今约t年，碳14衰减为原来的15730(1)(2)67.90%ttp−−==，结合参考数据：2log0.67900.55855730t−

==−，可得3200t．故选：C．7．若M，N为函数()fx图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对(,)MN为函数()fx的一个“配合点对”（点对(,)MN与点对(,)NM为同一“配合点对”)．现给定函数2

221,0()(,0xexmxfxeexxx++−=+„为自然对数的底数），若函数()fx的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是()A．1me+…B．2(1)me−C．2me„D．21me+…【解答

】解：由题意可知函数221(0)yxexmx=++−„的图像关于原点对称的图像所对应的函数为，221(0)yxexmx=−+−+…，因()fx图像上恰好有两个“配合点对”等价于函数2(0)eyxxx=+与函

数221(0)yxexmx=−+−+…，有两个交点，即方程2221exexmxx−+−+=+有两个不相等的实数根，即22(12)1exexmx+−+=−有两个不相等的实数根，即22()(12)egxxexx=+−+的图像与函数1ym=−图像恰有两个交点，因为22xex−与2exx+

均在xe=处取得最小值，所以()gx的最小值为g（e）22ee=−，212mee−−，解得2(1)me−，故选：B．8．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mgmL．据仪器监测，某驾

驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mgmL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息()（参考数据：20.301lg，30.477)lgA．4.1小时B．4.2

小时C．4.3小时D．4.4小时【解答】解：设经过x小时，血液中的酒精含量为y，则0.3(125%)0.30.75xxy=−=，由0.30.750.09x„，得0.750.3x„，则0.750.3xlglg„，因为

0.750lg，所以0.3310.47715234.1844.20.75340.4770.602125lglgxlglglg−−===−−…，所以开车前至少要休息4.2小时，故选：B．9．设3log

8a=，0.5log0.2b=，4log24c=，则()A．abcB．acbC．bacD．bca【解答】解：3log8(1,2)a=，0.522212510log0.2log52551521

0lglglgbloglglglg−======−，42log2424clog==，2bc．acb．故选：B．10．设函数()fx的定义域为R，1(1)()2fxfx+=，当(0x，1]时，()(1)fxxx=−．若存在[

xm，)+，使得3()64fx=有解，则实数m的取值范围为()A．(−，1]2B．(−，3]2C．(−，9]4D．(−，11]4【解答】解：1(1)()2fxfx+=，当(0x，1]时，()(1)f

xxx=−．当(1x，2]时，1()(1)(2)2fxxx=−−−．当(2x，3]时，1()(2)(3)4fxxx=−−−．当(3x，4]时，1()(3)(4)8fxxx=−−−．根据3()64fx=，结合图象可得，31(2)(3)644xx

=−−−，所以94x=或114x=，所以114m„，所以m的取值范围为11(,]4−．故选：D．11．已知函数248,(0,2]()48,(2,)xxxgxxx−+=−+，()|2|()fx

kxgx=−−在(0,)+上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是()A．(428−，)+B．(428−，1)(1，)+C．(428−，4)D．(428−，1)(1，4)【解答】解：()|2

|()fxkxgx=−−在(0,)+上有3个不同的零点，|2|()kxgx−=在(0,)+上有3个不同的解，当0k=时，()2gx=，显然有3个不同的解，当4k…时，由图可知，函数|2|ykx=−和()ygx=在(0,)+上有2个不同的

交点，如下图所示，不合题意，当14k时，由图可知，函数|2|ykx=−和()ygx=在(0,)+上有3个不同的交点，如下图所示，当1k=时，由图可知，函数|2|ykx=−和()ygx=在(0,)+上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当01k时，由图可

知，函数|2|ykx=−和()ygx=在(0,)+上有3个不同的交点，如下图所示，当0k时，由图可知，要使|2|()kxgx−=在(0,)+上有3个不同的解，必须满足|2|ykx=−与248(02)yxxx=

−+„有两个不同的交点，当|2|ykx=−与248(02)yxxx=−+„相切时，满足2|2|48kxxx−=−+有唯一根，如下图所示，此时2248kxxx−=−+有唯一解，由△0=可求得428k=−或428k=−−（舍去），4280k−，综上所述，4281k−或14k

．故选：D．12．当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现4K坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的68.73%，则该

遗址距今约()年．（参考数据：2log0.68730.541)=−A．3300B．3200C．3100D．3000【解答】解：设该遗址距今约x年，衰减率为p，则有57301(1)2p−=，则1573011()2p−=，故1

573011()2p=−，由题意可得，(1)0.6873xp−=，则57301()0.68732x=，故120.68730.5415730xlog==，所以57300.5413099.933100x==，则该遗址距今约

3100年．故选：C．二．多选题（共9小题）13．已知函数()log(1)2(0afxxa=−+，且1)a的图象过定点(,)st，正数m，n满足mnst+=+，则()A．4mn+=B．228mn+…C．4mn…D．111mn+…【解答】解：由题意得，函数()fx的图象过定点(2,2)，2st

==，所以4mn+=，所以A正确；由重要不等式222mnmn+…可得2222()()16mnmn++=…，故228mn+…，当且仅当2mn==时取等号，所以B正确；由基本不等式可得，2()42mnmn+=„，当且仅当，2mn==时取等号，故C错误；又1111111()()(2

)(22)1444mnmnmnmnmnnmnm+=++=+++=…，当且仅当4mnnmmn=+=，即2mn==时取等号，所以D正确．故选：ABD．14．已知函数22(2)log(1),1()2,1xxxfxx++−=−„，若关于x的方程

()fxm=有四个不等实根1x，2x，3x，41234()xxxxx，则下列结论正确的是()A．12m„B．11sincos0xx−C．3441xx+−D．22122mxxlog++的最小值为10【解答】

解：作出()fx的图像如下：若1x−时，2()|log(1)|fxx=+，令()2fx=，得2|log(1)|2x+=，即2log(1)2x+=或2log(1)2x+=−，所以212x+=或212x−+=，解得3x=或

34x=−，令()1fx=，得2|log(1)|1x+=，即2log(1)1x+=或2log(1)1x+=−，所以12x+=或112x−+=，解得1x=或12x=−若1x−„时，2(2)()2xfx+=，令(

)2fx=，得2(2)22x+=，解得1x=−或3−，令()1fx=，得2(2)21x+=，即2(2)0x+=，解得2x=−，当12m„时，()fxm=有四个实数根，故A正确，由图可知132x−−„，221x−−„，33142x−−„，41

3x„，对于选项:12Am„，()fxm=有4个根，故A正确．对于选项B：因为132x−−„，所以当1334x−−剟，11sincosxx…，即11sincos0xx−…，当1324x−−，11sin

cosxx，即11sincos0xx−，故B错误，对于选项C：由图像可知2324log(1)log(1)xx+=−=，2324log(1)log(1)0xx+++=,所以34(1)(1)1xx++=,所以43111xx+=+

,43111xx=−+,由2|log(1)|1(1)xx+=−,解得1x=或12x=−,由2|log(1)|2(1)xx+=−,解得3x=或34x=−,所以33142x−−„,413x„,所以343333331114414(1)524(1)51111xxx

xxxxx+=+−=++−+−=−+++…①,令14(1)1xx+=+,解得32x=−或12x=−,所以①的等号不成立，即3441xx+−,故C正确；对于选项D：令2212log2myxx=++由于21(2)2xm+=，22(2)2xm++=，则122xlogm=−−，22

2xlogm=−，所以222212222log2(2)(2)log22log8log2mmmyxxlogmlogmm=++=−−+−+=++22222212log82log82logmmlogmlogm=++=++，因为12m„

，所以2log0m，所以2212log828102ymlogm=+++=…，当且仅当2212log2mlogm=，即2m=时，取等号，所以2212log2mxx++的最小值为10，故D正确．故选：ACD．15．已知函数2142,0()1(),03xxxxfx

x+−+=…，若函数()()gxfxm=−恰有3个零点，则m的取值可能为()A．13B．1C．2D．52【解答】解：()gx恰好有3个零点，等价于()fxm=有三个不等实根，如图，作出()yfx=的图象，可得当123m„时，()fx的图

象与ym=有三个交点．故选：BC．16．基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rtIte=描述累计感染病例数

()It随时间t（单位：天）的规律，指数增长率与0R，T近似满足01RrT=+，有学者基于已有数据估计出03.28R=，6T=，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需要的时间，判断错误的有()（参考数据：20.69)lnA．约1.8天B．约2.6天C．约3.5天D．约6.9天

【解答】解：把03.28R=，6T=代入01RrT=+，可得3.2816r=+，解得3.2810.386r−==，所以0.38()tIte=，设感染病例数增加1倍需要的时间为1t，因为感染病例增加1倍，感染病例数变为原来的2倍

，所以10.38()0.382tttee+=，则10.382te=，两边取对数可得10.382tln=，解得120.691.80.380.38lnt=，所以在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8

天，则判断错误的有BCD．故选：BCD．17．已知函数1|log|,042()10,4xxfxxx=„，若方程()fxa=有三个实数根1x，2x，3x，且123xxx，则下列结论正确的为()A．121

xx=B．a的取值范围为5(0,)2C．312xxx的取值范围为[5，)+D．不等式()2fx的解集为1(0,)(4,5)4【解答】解：画出函数()fx的图象，如图示：，()fxa=有3个不等的实根()fx和ya=有3个不同的交点，(0

a，2]，123xxx，111222loglogxx=−，1112112222logloglog()0xxxx+==，121xx=，3102x=，35x=，故312[5xxx，)+，结合图象不等式(

)2fx的解集为1(0,)(4,5)4，故选：ACD．18．已知函数2,()4,xaxafxxaxxa+=−…，若关于x的方程(())0ffx=有3个不同的实数根，则a的值可能为()A．1−B．14C．12D．1【解答】解：若0a„，当xa时，()0fxxa=+恒成

立，当xa…时，由2()4(4)0fxxaxxxa=−=−=，解得：0x=或4xa=（舍)，即()0fx=仅有0x=一个根，故由(())0ffx=可得()0fx=，则0x=，即方程(())0ffx=仅有1个实根，故不满

足(())0ffx=有3个不同的实根，若0a时，画出函数()fx的大致图像如下：由(())0ffx=，可得1()4fxa=，2()fxa=−，又(())0ffx=有3个不同的实根，由0a，则42aa，0a−，由图像可得1()4fxa=有1个根，2()fxa=−有2个根，则23aa−−或

24aa−=−，解得：13a或14a=，综上：13a或14a=，故选：BCD．19．已知函数21,()(44,xexmfxmRxxxm−=−−−…，e为自然对数的底数），则()A．函数()fx至多有2个零点B．函数()fx至少有1个零点C．当3m−时，对12xx，总有122

1()()0fxfxxx−−成立D．当0m=时，方程[()]0ffx=有3个不同实数根【解答】解：作出函数1xye=−和函数244yxx=−−−的图象如图所示，当0m时，函数()fx只有1个零点，当20m−„时，函数()fx有2个零点，当2m−„时，函数()f

x只有1个零点，故选项AB正确；当3m−时，函数()fx为增函数，故选项C正确；当0m=时，()0ft=，12t=−，20t=，当1()2fxt==−时，该方程有两个解，当2()0fxt==时，该方程有两个解，所以方程[()]0ffx=有4个不同的解，故选项D错误．故选：ABC．20．定义

域和值域均为[a−，]a的函数()yfx=和()ygx=的图象如图所示，其中0acb，下列四个结论中正确有()A．方程[()]0fgx=有且仅有三个解B．方程[()]0gfx=有且仅有三个解C．方程[()]0ffx=有且仅有八个解D．

方程[()]0ggx=有且仅有一个解【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，设()tgx=，则由[()]0fgx=，即()0ft=，当0t=时，则()tgx=有三个不同值，由于()ygx=是减函数，所有三个解，A正

确；对于B，设()tfx=，若[()]0gfx=，即()0gt=，则tb=，所以()fxb=，因为0cb，所以对应()fxb=的解有3个，B正确；对于C，设()tfx=，若[()]0ffx=，即()0ft=，tb=−或0t=或tb=，则()fxb=−，或()0fx=，或(

)fxb=，因为0acb，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，C错误；对于D，设()tgx=，若[()]0ggx=，即()0gt=，所以tb=，则()gxb=，因为()ygx=是减函数，所以方程()gxb=只有1解，D正确；故选：ABD．21．已知

函数22|log(1)|,13,()1255,3,22xxfxxxx+−=−+„若关于x的方程()fxm=有四个不同的实数1x，2x，3x，4x满足1234xxxx，则下列结论正确的是()A．121x

x=−B．12111xx+=−C．3410xx+=D．34[21xx，25]【解答】解：依题意，2122|log(1)||log(1)|xx+=+且12103xx−，2122log(1)log(1)0xx+++

=，即12(1)(1)1xx++=，121211xxxx+++=，12111xx+=−，即选项A错误，选项B正确；由题意知，3x，4x是方程21255(02)22xxmm−+=的根，即方程2102520xxm−+−=的两根，3410xx+=，34252(21,25)xxm

=−，即选项C正确，选项D错误．故选：BC．三．填空题（共8小题）22．已知5458，45138，设5log3a=，8log5b=，13log8c=，则a，b，c的大小关系为abc．【解答】解：45138，41358lnln，即1348log8513lnln=，45c

，5458，同理可知，84log55，即45b，53log35lnaln==，22238()3538(5)(5)(2425)(2425)2058585858458lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnablnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln+−+−−=−=

−=，ab，综上45abc故答案为：abc23．已知函数()fx满足xR，有()(6)fxfx=−，且(2)(2)fxfx+=−，当[1x−，1]时，2()(1)fxlnxx=+−．当(1,11)x−时，方程()si

n()2fxx=的所有根的和为30．【解答】解：由题设，知2221()(1)(1)()1fxlnxxlnlnxxfxxx−=++==−+−=−+−，故()fx在[1x−，1]上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2

)fxfxfx+=−=−，即关于21xk=+、(2,0)k，kZ对称，且最小周期为4，由题意，只需确定()fx与sin2xy=在(1,11)x−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，共有6个交

点且关于5x=对称，则16253410xxxxxx+=+=+=，所有根的和为30．故答案为：30．24．已知函数2|2|,[4,0]()2(4),(0,)xxfxfxx−+−=−+，则f（6）=8；若方程()fxxa=+在区间[4−，8]有三个不等实根，实数a的取值

范围为．【解答】解：f（6）2f=（2）22(2)4(2|22|)8f=−=−−+=；作出函数()fx在区间[2−，4]上的图象如图：设直线yxa=+，由图象可知要使()fxxa=+在区间[4−，8]上有3个不等实根，则40a−或2a=．所以实数a的取值

范围是(4,0){2}−故答案为：8；(4,0){2}−．25．已知函数32log(),1()322,1xxfxxxx−−=−++−„，若()fx在区间[m，3]上的值域为[1−，3]，则实数m的取值范围为[81−，1]．【解答】解：函数32log(),1()32

2,1xxfxxxx−−=−++−„，作出函数()fx的图象如图所示，当1x−„时，令3()13xlog−=−，解得1x=−，令3()33xlog−=，解得81x=−，当1x−时，令2221xx−++=−，解得3x=，令2223xx−++=，解得1x=

．因为()fx在区间[m，3]上的值域为[1−，3]，结合图象可得，实数m的取值范围为[81−，1]．故答案为：[81−，1]．26．已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm=−+„，其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程()fxb=有三个不同的根，则m的取值范围是(3

,)+．【解答】解法1：当0m时，函数2||,()24,xxmfxxmxmxm=−+„的图象如下：xm时，2222()24()44fxxmxmxmmmmm=−+=−+−−，y要使得关于x的方程()fxb=有三个不同的根，必须24(0)mmmm−，即23(0)mmm，

解得3m，m的取值范围是(3,)+，法2：注意到函数224()yxmxmxm=−+是在(,)m+上的单调递增函数，如上图，因此，若存在实数b，使得关于x的方程()fxb=有三个不同的根，那么必然有2(||)|(24)|x

mxmxxmxm==−+，解得3m，因此m的取值范围是(3,)+；实际上，0m是多余的条件，因为当0m„时，组成()fx的两段函数均为单调函数，因此关于关于x的方程()fxb=最多只有2个解，不符合题意．故答案为：(

3,)+．27．已知21,()32,xxafxxxxa+=−+„，若0a=，方程()0fx=的解集是{1−，1，2}；若方程()0fx=的解集中恰有3个元素，则a的取值范围是．【解答】解：当0a=时，2

1,0()32,0xxfxxxx+=−+„，当0x„时，()10fxx=+=，解得1x=−；当0x时，2()320fxxx=−+=，解得1x=和2x=．故若0a=，方程()0fx=的解集是{1

−，1，2}；因为21,()32,xxafxxxxa+=−+„，则在同一直角坐标系中，作出函数()1fxx=+的图象，如图蓝色的直线，作出函数2()32fxxx=−+的图象，如图红色的抛物线，将直线xa=从左向右平移，由图象可得，当1a−或12a„时，方程()0fx=有2

个解，不符合题意；当11a−„时，方程()0fx=有3个解，符合题意；当2a…时，方程()0fx=有1个解，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为[1−，1)．故答案为：{1−，1，2}；[1−，1)．28．已知函数2()|3|fxxx=−，xR

，若函数()()|4|gxfxax=+−恰有4个零点，则实数a的取值范围是(−，9)(1−−，0)．【解答】解：函数()()|4|gxfxax=+−恰有4个零点，等价于函数2|3|yxx=−与|4|yax=−−的图象恰有4个交点，当0a−，即0a时，当|4|yax=−−的左半段(4)

x为4yaxa=−，联立方程组243yaxayxx=−=−+，整理可得2(3)40xaxa+−−=，令△2(3)160aa=−+=，解得1a=−或9a=−，当9a=−时，212360xx−+=，解得64x=，不符合题意，所以10a−；当1a−−，即1a−时，|4|

yax=−−的右半段(4)x为4yaxa=−+，联立方程组243yaxayxx=−+=−，整理可得2(3)40xaxa+−−=，令△2(3)160aa=−+=，解得1a=−或9a=−，当1a=−时，2440xx−+=，解得24x=，不符合题意，所以9a−，综上所述，实数a的取值

范围是(−，9)(1−−，0)．故答案为：(−，9)(1−−，0)．29．已知函数|1|,0(),0xxfxlgxx+=„，若方程23()(23)()20mfxmfx−++=有6个不同的实数解，则m的取值范围是33[1,)(,)

22+．【解答】解：因为函数|1|,0(),0xxfxlgxx+=„，作出函数()fx的图象如图所示，令()tfx=，则方程23()(23)()20mfxmfx−++=有6个不同的实数解，等价于关于t的方程23(23)20mtmt−++=在(0，1]上有

两个不等的实数根，令2()3(23)2(1)(32)gtmtmtmtt=−++=−−，则有101123mm„，解得312mm且…，所以m的取值范围是33[1,)(,)22+．故答案为：33[1,)(,)22+．四．解答题（共9小题）30．已知函数()log(3)(0a

fxaxa=−，且1)a．（1）求()fx的定义域．（2）是否存在实数a，使函数()fx在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得30ax−，即3ax，因为0a

，所以解得3xa．故()fx的定义域为3(,)a−；（2）假设存在实数a，使函数()fx在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2．设函数()3gxax=−，由0a，得0a−，所以()gx在区间[1，2]上为减函数且()0gx恒成立，则g（2）0，解得302a

，又因为()fx在区间[1，2]上单调递减，所以1a，即312a，又因为()fx在区间[1，2]上的最大值为2，所以()maxfxf=（1）log(3)2aa=−=，整理得230aa+−=，解得131(0)2aa−=．因为3134，所以1313(1,)22a−=，

所以存在实数1312a−=，使函数()fx在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2．31．已知函数()1(03xbfxaaa=−−且1)a是奇函数，且f（1）2=．（1）求a，b的值及()fx的定义域；（

2）设函数()()2gxkfx=−有零点，求常数k的取值范围；（3）若2(2)(3||)0ftft++−，求t的取值范围．【解答】解：（1）函数()1(03xbfxaaa=−−且1)a是奇函数，若()fx的定义域包含0，则(0)10

3bfa=−=−，即3ba=−．f（1）2=，122ba−=，即2ba=−．由以上解得3a=−，不合题意，舍去．若()fx的定义域不包含0，则30a−=，此时，3a=，1()133xbfx+=−−，133x+

，求得0x，故函数()fx的定义域为{|0}xx．再根据f（1）126b=−=，可得6b=−．综上可得，3a=，6b=−，()fx的定义域为{|0}xx．（2）函数()()2gxkfx=−有零点，即16(1)233xk++=−有解，即2231

xkk−=−有解．311x−−，且310x−，2231x−−，或2031x−，故有22kk−−，或20kk−，求得20k−，或02k，故k的范围(2−，0)(0，2)．（3）由

以上可得，16()133xfx+=+−在其定义域上是减函数，不等式2(2)(3||)0ftft++−，()fx为奇函数，不等式即2(2)(3||)(3||)ftftft+−−=，223||tt+，1||2t，21t−−，或12t，即t的范围为(2−

，1)(1−，2)．32．设函数()2(1)2(,)xxkfxkxRkZ−=+−．（1）若()kfx是偶函数，求k的值；（2）若存在[1x，2]，使得01()()4fxmfx+„成立，求实数m的取值范围；（3）设函数02()()(2)4gxfxfx=−+，若()gx

在[1x，)+有零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）若()kfx是偶函数，则()()kkfxfx−=，即2(1)22(1)2xxxxkk−−+−=+−，即22(1)2(1)2(1)(22)xxxxxxkkk−−−−=−−−=−−，则11k−=，即2k=；（2）存在[1x

，2]，使得01()()4fxmfx+„成立，即2422xxxm−−+„，则242242(2)12xxxxxm−−−−+=+−„，设2xt−=，12x剟，1142t剟，设2242(2)141xxtt−−+−=+−，则2241(2)5yttt=+−=+−，1142t剟当12t=时

，函数取得最大值152144y=+−=则54m„；（3）02()22,()22xxxxfxfx−−=−=+，则2222(2)22(22)2xxxxfx−−=+=−+，则202()()(2)4(22)(22)2xxxxgxfxfx−−=−+=−−−+设

22xxt−=−，当1x…时，函数22xxt−=−，为增函数，则13222t−=…，若()gx在[1x，)+有零点，即22()(22)(22)220xxxxgxtt−−=−−−+=−+=在32t…上有解，即22tt

=−，即2tt=−，2tt−在3[,)2+递增341236−=…，即的取值范围是1[,)6+．33．已知函数2222()(log16log)log64xfxx=+．（1）求函数()fx的

值域；（2）关于x的方程2()0fxax−+=恰有三个解，求实数a的取值集合；（3）若12()()fxfxm==，且2120xx，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）易知()fx的定义域为(0,)x+，

设2logxtR=，则222()(2log4)(log6)(24)(6)2(2)3232fxxxttt=+−=+−=−−−…，所以()fx的值域为[32−，)+；（2）设2logxtR=，由（1）可知，()()(24)(6)fxgttt==+−，令()0gt=，解得

12t=−，26t=，所以2log2x=−或2log6x=，解得14x=或64x=，因为2()0fxax−+=恰有三个解，所以214xax−+=或264xax−+=恰有三个解，即2640xax−+=恰有一解，所以△24640a=−=，解得16a=，所以a的取值集合为

{16，16}−；（3）设211logxt=，222logxt=，因为212xx，所以2221loglog1xx+，即211tt+，则()(24)(6)gtttm=+−=的两根为1t，2t，整理得

228240ttm−−−=，所以124tt+=，12122mtt=−−，所以21141ttt=−+，132t，22121114(2)4122mttttt=−+=−−+=−−，21116(2)24mt+=−解得63(,)2m−+．34．设0a且1a，tR，已知

函数()log(1)afxx=+，()2log(2)agxxt=+．（1）当1t=−时，求不等式()()fxgx„的解；（2）若函数()2()21fxFxatxt=+−+在区间(1−，2]上有零点，求t的取值范围．【解答】解：（1）当1t=−时，不等式

()()fxgx„可化为log(1)2log(21)aaxx+−„，当01a时，则有21(21)210xxx+−−…，解得1524x„，所以不等式()()fxgx„的解集为15(,]24；当1a时，则有201(21)210

xxx+−−„，解得54x…，所以不等式()()fxgx„的解集为5[,)4+．综上所述，当01a时，不等式()()fxgx„的解集为15(,]24；当1a时，所以不等式()()fxgx„的解集为5[,)4+．（2

）函数()222()2112122fxFxatxtxtxttxxt=+−+=++−+=+−+，令2220txxt+−+=，即2(2)(2)txx−=−+，因为(1x−，2]，所以2(1x+，4]，所以0t，220x−，故2122[(2)]422xxtxx−=−=−+++++，设2(1mx

=+，4]，则有12()4mtm=−++，故1102t−„或10422t−„，解得2t−„或224t+…，故t的取值范围为2t−„或224t+…．35．已知函数3()log(91)()xfxkxk

R=++是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若函数()yfxxa=−+没有零点，求实数a的取值范围；（3）若函数()()331fxxxhxm+=−−，[0x，3log5]的最大值为0，求实数m的值．【

解答】解：（1）()fx是偶函数，()()fxfx−=，即33log(91)log(91)xxkxkx−+−=++对任意xR恒成立，23333912log(91)log(91)log3291xxxxxkxlogx−−−+=+−+===−+，1k=−．（2）函数(

)yfxxa=−+没有零点，即方程3log(91)2xxa+−=−无实数根．令3()log(91)2xgxx=+−，则函数()ygx=的图象与直线ya=−无交点，333()log(91)2log(91)log9xxgxx=+−=+−x33911l

og(1)99xxxlog+==+，又1119x+，31()(1)09xgxlog=+，0a−„，则a的取值范围是[0，)+．（3）由题意()93xxhxm=−，[0x，3log5]，令3[1xt=

，5]，2()ttmt=−，[1t，5]，①当32m„，即6m„时，()maxt=（5）2550m=−=，5m=；②当32m，即6m时，()maxt=（1）10m=−=，解得1m=（舍去）．综上可知，实数5m=．36．已知函数()log(22)log(4)aafxxx=−+

+，其中1a．（1）求函数()fx的定义域；（2）若函数()fx的最大值为2，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义，则有22040xx−+，解得41x−，函数()fx的定义域为(4,1)−；（2）函数可化为()log(22)log(

4)aafxxx=−++22325log(268)log[2()]22aaxxx=−−+=−++，41x−，23252502()222x−++„．1a，232525log[2()]log222aax−++„，即25()log2maxafx=，由25l

og22a=，解得522a=．37．已知函数4()log(41)xfxkx=++是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若函数44()log(2)3xgxaa=−，函数()()()Fxfxgx=−只有一个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）()fx为偶函数，()()fxfx

=−，即44log(41)(41)xxkxlogkx−++=+−，所以441241xxlogkx−+=−+，即44(41)241xxxlogxkx+==−+，则(21)0kx+=对xR恒成立，解得12k=−；（2）4414()(

)()log(41)log(2)23xxFxfxgxxaa=−=+−−−只有一个零点，所以方程4414log(41)log(2)23xxxaa+=+−有且只有一个实根，即方程44414log()log(2)23xxxaa+=−有且只有

一个实根，则4203414223xxxxaaaa−+=−令2(0)xtt=，则方程4(1)2103aatt−−−=有且只有一个根，①当10a−时，设4()(1)213ahtatt=−−−，(0)10h=−，恰好有一个正解，故1a符合条件；②当10a

−=，即1a=时，4()103htt=−−=，则34t=−，不合题意；②当10a−时，由△24()4(1)03aa=−+−=，得3a=−或34，当34a=，则2t=−不合题意，舍去；当3a=−，则12t=，符合题意，若方程有两根异号，则1

01a−−，1a，综上，a的取值范围是{3}(1,)−+．38．已知函数()(0,1)xfxaaa=的图象经过点1(,3)2．（1）若函数()3()10Fxfxm=−+−在区间(0,2)内存在零点，求实数m的取值范围；（2）若函数()()()fxgxhx=+，其中()gx为奇

函数，()hx为偶函数，若(0x，1]时，2()()0lnhxlngxt−−…恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）因为函数()(0,1)xfxaaa=的图象经过点1(,3)2，所以123a=，解得3a=，则()3xfx=，因为(0,

2)x，故139x，令3xt=，则19t，函数()3()10Fxfxm=−+−在区间(0,2)内存在零点，即函数()310Gttm=−+−在区间(1,9)内有零点，所以G（1）G（9）0，即(7)(17)0mm

−−−，解得177m−，所以实数m的取值范围为(17,7)−；（2）由题意可得，函数()()()fxgxhx=+，其中()gx为奇函数，()hx为偶函数，可得()()()3()()()3xxfxgxhxfxgxhx−=+=−=−+−=，即()()3()()3xxgxhxgxhx−+=

−+=，解得33()233()2xxxxgxhx−−+=+=，因为2()()0lnhxlngxt−−…，所以22233()()(33)4233()2(33)2xxxxxxxxhxtln

lnlngx−−−−+−+==−−„，设33xxa−=−，因为01x„，且33xxa−=−在R上为单调递增函数，所以803a„，所以2414[()]22atlnlnaaa+=+„，因为4424aaaa+=…，当且仅当4aa=，即

2a=时取等号，所以2tln„，故实数t的取值范围为(−，2]ln．