【文档说明】福建省漳州市2022-2023学年高三上学期9月第一次教学质量检测 数学试卷 PDF版含答案.pdf，共(13)页，399.949 KB，由小赞的店铺上传

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准考证号姓名(在此卷上答题无效)福建省漳州市２０２３届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题本试卷:共６页考试时间:１２０分钟满分:１５０分考生注意:１􀆰答题前ꎬ考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名ꎮ考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与

考生本人准考证号、姓名是否一致ꎮ２􀆰回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其它答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ用０􀆰５ｍｍ黑色签字笔将答案写在答题卡上

ꎮ写在本试卷上无效ꎮ３􀆰考试结束ꎬ考生必须将试题卷和答题卡一并交回ꎮ一、单项选择题:本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的ꎮ１.已知集合Ａ＝４ꎬ５ꎬ６ꎬ７{}ꎬＢ＝６ꎬ７ꎬ８{}ꎬ全集Ｕ＝Ａ∪Ｂꎬ则集合Ｕ(Ａ∩Ｂ)中的元素个

数为Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４２.若复数ｚ满足ｚ＋ｉ＝ｚ􀅰ｉ(ｉ为虚数单位)ꎬ则ｚ＝Ａ.２２Ｂ.１Ｃ.２Ｄ.２３.已知ｐ:ｘｙ>０ꎬｑ:ｘ>０ꎬｙ>０ꎬ则ｐ是ｑ的Ａ.充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件４.已知ａ→ꎬｂ→ꎬｃ→均为单位向量ꎬ

且满足ａ→＋ｂ→＋ｃ→＝０→ꎬ则<ａ→－ｂ→ꎬｃ→>＝Ａ.π６Ｂ.π３Ｃ.π２Ｄ.２π３５.已知ｃｏｓ(π４－α)＝５５ꎬ则ｓｉｎ２α＝Ａ.１５Ｂ.－１５Ｃ.－２５Ｄ.－３５数学第一次教学质量检测第１页(共６页)６.已知(ａｘ－１３ｘ)

５(ａ为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等ꎬ则该展开式中的常数项为Ａ.－９０Ｂ.－１０Ｃ.１０Ｄ.９０７.设ａ＝５ｓｉｎ１５ꎬｂ＝ｃｏｓ１１０ꎬｃ＝１０ｓｉｎ１１０ꎬ则Ａ.ｃ<ｂ<ａＢ.ｂ<ａ<ｃＣ.ａ<ｃ<ｂＤ.ａ<ｂ<ｃ８.已知ＡꎬＢ分别为ｘ轴ꎬｙ轴上的

动点ꎬ若以ＡＢ为直径的圆与直线２ｘ＋ｙ－４＝０相切ꎬ则该圆面积的最小值为Ａ.π５Ｂ.２π５Ｃ.４π５Ｄ.π二、多项选择题:本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分ꎮ９.已知函数ｆ(ｘ

)＝ｔａｎ２ｘ－π３æèçöø÷ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)的最小正周期是π２Ｂ.ｆ(ｘ)的图象关于点５π１２ꎬ０æèçöø÷中心对称Ｃ.ｆｘ()在０ꎬπ()上有三个零点Ｄ.ｆｘ()的图象可以由ｇｘ()＝ｔａｎ２ｘ的图象上的所有点向右平移π３个单位长度得到１０.已知椭圆ｘ２＋ｙ

２２＝１的上下焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ左右顶点分别为Ａ１ꎬＡ２ꎬＰ是该椭圆上的动点ꎬ则下列结论正确的是Ａ.该椭圆的长轴长为２Ｂ.使ΔＰＦ１Ｆ２为直角三角形的点Ｐ共有６个Ｃ.ΔＰＦ１Ｆ２的面积的最大值为１Ｄ.若点Ｐ是异于Ａ１、Ａ２的点

ꎬ则直线ＰＡ１与ＰＡ２的斜率的乘积等于－２数学第一次教学质量检测第２页(共６页)１１.如图ꎬ在多面体ＥＦＧ－ＡＢＣＤ中ꎬ四边形ＡＢＣＤꎬＣＦＧＤꎬＡＤＧＥ均是边长为１的正方GEHFDABC形ꎬ点Ｈ在棱ＥＦ上ꎬ则Ａ.该几何体的体积为２３Ｂ.点Ｄ在平面ＢＥＦ内的射影为ΔＢＥＦ的垂心Ｃ.

ＧＨ＋ＢＨ的最小值为３Ｄ.存在点Ｈꎬ使得ＤＨ⊥ＢＦ１２.大衍数列来源于«乾坤谱»中对易传“大衍之数五十”的推论ꎬ主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理ꎬ数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列ａｎ{}满足ａ

１＝０ꎬａｎ＋１＝ａｎ＋ｎ＋１(ｎ为奇数)ａｎ＋ｎ(ｎ为偶数){ꎬ则Ａ.ａ４＝６Ｂ.ａｎ＋２＝ａｎ＋２(ｎ＋１)Ｃ.ａｎ＝ｎ２－１２(ｎ为奇数)ｎ２２(ｎ为偶数)ìîíïïïïïïＤ.数列(－１)ｎａｎ{}的前２ｎ项和为ｎ(ｎ＋１)三、填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎮ１３.树人

中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛ꎬ其中９人比赛的成绩为:８５ꎬ８６ꎬ８８ꎬ８８ꎬ８９ꎬ９０ꎬ９２ꎬ９４ꎬ９８(单位:分)ꎬ则这９人成绩的第８０百分位数是.１４.已知直线ｘ＋ｙ＋ａ＝０是曲

线ｘｙ－１＝０的切线ꎬ则ａ＝.１５.已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２＝１(ａ>０)的左右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过Ｆ１的直线与双曲线的左右两支分别交于ＡꎬＢ两点.若ＡＦ２＝ＢＦ２ꎬ且ＡＢ＝８ꎬ则该双曲线的离心率为.１６.已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱

锥的体积为６４３ꎬ则该球的表面积的最小值为.数学第一次教学质量检测第３页(共６页)四、解答题:本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ꎮ１７.(１０分)已知等比数列ａｎ{}的各项均为正数ꎬ且２ａ１＋３ａ２＝１ꎬａ２３＝９ａ２ａ６.(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)设ｂｎ

＝ｌｏｇ３ａ１＋ｌｏｇ３ａ２＋􀆺＋ｌｏｇ３ａｎꎬ求数列１ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.(１２分)如图ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ四边形ＡＢＣＤ是边长为２的正方形ꎬＡＰ⊥ＢＰꎬＡＰ＝ＢＰꎬＰＤ＝６.记平

面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ的交线为ｌ.DCABP(１)证明:ＡＢ∥ｌꎻ(２)求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的角的正弦值.数学第一次教学质量检测第４页(共６页)１９.(１２分)密铺ꎬ即平面图形的镶嵌ꎬ指用形状、大小完全相同的平面图形进

行拼接ꎬ使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.皇冠图形(图１)是一个密铺图形ꎬ它由四个完全相同的平面凹四边形组成􀆰为测皇冠图形的面积ꎬ测得在平面凹四边形ＡＢＣＤ(图２)中ꎬＡＢ＝５ꎬＢＣ＝８ꎬ∠ＡＢＣ＝６０°.(１

)若ＣＤ＝５ꎬＡＤ＝３ꎬ求平面凹四边形ＡＢＣＤ的面积ꎻ(２)若∠ＡＤＣ＝１２０°ꎬ求平面凹四边形ＡＢＣＤ的面积的最小值.ADBC�12�２０.(１２分)漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间ꎬ甲、乙

、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎ꎬ假设水仙花球茎损坏后便不能使用ꎬ无损坏的全部使用ꎮ已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的２５％ꎬ３５％ꎬ４０％ꎬ甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别

为０􀆰８ꎬ０􀆰６ꎬ０􀆰７５(水仙花球茎的使用率＝能使用的水仙花球茎数采摘的水仙花球茎总数).(１)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次ꎬ每次抽取一颗ꎬ记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为ξꎬ求随机变量ξ的分布列及期望ꎻ(２)已知

采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用ꎬ求它是由丙工作队所采摘的概率.数学第一次教学质量检测第５页(共６页)２１􀆰(１２分)已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘꎬ直线ｌ过点Ｐ０ꎬ１().(１)若ｌ与Ｃ有且只有一个公共点ꎬ求直线ｌ的方程ꎻ(２)若

ｌ与Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｑ在线段ＡＢ上ꎬ且ＡＰＰＢ＝ＡＱＱＢꎬ求点Ｑ的轨迹方程.２２.(１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１()ｌｎｘ＋１()－λｘ.(１)当ｘ≥０时ꎬｆｘ()≥０ꎬ求λ的最大值ꎻ(２)设ｎ∈Ｎ∗ꎬ证明:１－１２＋１３－１４＋􀆺＋１２ｎ－１

－１２ｎ<ｌｎ２.数学第一次教学质量检测第６页(共６页)福建省漳州市２０２３届高三毕业班第一次教学质量检测数学参考答案及评分细则评分说明:１.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定

相应的评分细则ꎮ２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分ꎮ３.解答右端所注分数ꎬ表示

考生正确做到这一步应得的累加分数ꎮ４.只给整数分数ꎮ选择题和填空题不给中间分ꎮ一、单项选择题:本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的ꎮ１２３４５６７８ＣＡＢＣＤＡＤＣ二、多项选择题:本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小

题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分ꎮ９１０１１１２ＡＢＢＣＤＢＤＢＣＤ三、填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎮ１３.９４１４.±２１５.５２１６.

３６π四、解答题:本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ꎮ１７.(１０分)解:(１)设ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ａ２３＝９ａ２ａ６＝９ａ２４ꎬ所以ｑ２＝ａ２４ａ２３＝１９.１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又ａｎ>０ꎬ所以ｑ>０ꎬ所以ｑ＝１３.２分

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺由２ａ１＋３ａ２＝１ꎬ得２ａ１＋３ａ１ｑ＝１ꎬ所以ａ１＝１３ꎬ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ａｎ{}是首项为１３ꎬ公比为１３的等比数列ꎬ

所以ａｎ{}的通项公式为ａｎ＝１３ｎ.５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第一次教学质量检测参考答案第１页(共６页)(２)因为ｂｎ＝ｌｏｇ３ａ１＋ｌｏｇ３ａ２＋�

�＋ｌｏｇ３ａｎ＝ｌｏｇ３(ａ１ａ２􀆺ａｎ)＝ｌｏｇ３３－(１＋２＋􀆺＋ｎ)＝－(１＋２＋􀆺＋ｎ)＝－ｎ(ｎ＋１)２ꎬ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以１ｂｎ＝－２ｎ(ｎ＋１)＝－２(１

ｎ－１ｎ＋１).８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以Ｔｎ＝１ｂ１＋１ｂ２＋􀆺＋１ｂｎ＝－２１－１２æèçöø÷＋１２－１３æèçöø÷＋􀆺＋１ｎ－１ｎ＋１æèçöø÷éëêêùûúú＝－２ｎｎ＋１.１０分􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺１８.(１２分)解:(１)因为ＡＢ∥ＣＤꎬＣＤ⊂平面ＰＣＤꎬＡＢ⊄平面ＰＣＤꎬ所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ.２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又ＡＢ⊂平面ＰＡＢꎬ平面ＰＡＢ∩平面ＰＣＤ＝ｌꎬ所以ＡＢ∥ｌ.４分􀆺􀆺􀆺􀆺(２)解法一:因为ＡＰ⊥ＢＰꎬ所以ＰＡ２＋ＰＢ２＝ＡＢ２＝４ꎬ又ＰＡ＝ＰＢꎬ所以ＰＡ＝ＰＢ＝２ꎬ又ＰＤ＝６ꎬ所以ＰＡ２＋ＡＤ２＝ＰＤ２ꎬ所以ＡＤ⊥ＰＡꎬ又ＡＤ⊥ＡＢꎬＰ

Ａ∩ＡＢ＝ＡꎬＰＡ⊂平面ＰＡＢꎬＡＢ⊂平面ＰＡＢꎬDCABPMO所以ＡＤ⊥平面ＰＡＢ.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺取ＡＢꎬＣＤ中点分别为ＯꎬＭꎬ连接ＭＯꎬＭＰꎬＯＰꎬ则ＭＯ∥ＡＤꎬ所以ＭＯ⊥平面ＰＡＢꎬ又ＯＰ⊂平面ＰＡＢꎬ所以ＭＯ⊥ＯＰ.因为ＰＡ＝ＰＢꎬ所以Ｏ

Ｐ⊥ＡＢ.又ΔＰＡＤ≌ΔＰＢＣꎬ所以ＰＣ＝ＰＤꎬ所以ＭＰ⊥ＣＤ.又ＡＢ∥ｌꎬＣＤ∥ｌꎬ所以ＯＰ⊥ｌꎬＭＰ⊥ｌꎬ所以∠ＭＰＯ为平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的角.１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺在ＲｔΔＰＯＭ中ꎬＯＰ＝１２ＡＢ＝１ꎬＭＯ

＝２ꎬ所以ＰＭ＝５ꎬｓｉｎ∠ＭＰＯ＝ＭＯＰＭ＝２５５ꎬ即平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的角的正弦值为２５５.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺解法二:因为ＡＰ⊥ＢＰꎬ所以ＰＡ２＋ＰＢ２＝ＡＢ２＝４ꎬ又ＰＡ＝ＰＢꎬ所以ＰＡ＝ＰＢ＝２ꎬ又ＰＤ＝６ꎬ所以ＰＡ２＋ＡＤ２＝ＰＤ２ꎬ

所以ＡＤ⊥ＰＡꎬ数学第一次教学质量检测参考答案第２页(共６页)又ＡＤ⊥ＡＢꎬＰＡ∩ＡＢ＝ＡꎬＰＡ⊂平面ＰＡＢꎬＡＢ⊂平面ＰＡＢꎬ所以ＡＤ⊥平面ＰＡＢ.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺取ＡＢꎬＣＤ中点分别为ＯꎬＭꎬ连接ＭＯꎬＭＰꎬＯＰꎬ则ＭＯ∥ＡＤꎬ所以ＭＯ⊥平面ＰＡＢꎬ又ＯＰ⊂平面ＰＡＢꎬ所以ＭＯ⊥ＯＰ.又因为ＰＡ＝ＰＢꎬ所以ＯＰ⊥ＡＢ.如图ꎬ以Ｏ为原点ꎬ分别以ＯＰ→ꎬＯＢ→ꎬＯＭ→为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ

轴的正方向ꎬ并均以１为单位长度ꎬ建立空间直角坐标系ꎬ则Ｐ(１􀆯０􀆯０)ꎬＣ(０􀆯１􀆯２)ꎬＤ(０􀆯－１􀆯２)ꎬ所以ＰＣ→＝(－１􀆯１􀆯２)ꎬＰＤ→＝(－１􀆯－１􀆯２).８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺DCABPMOzxy设ｎ→＝(ｘ􀆯ｙ􀆯ｚ)是平面ＰＣＤ的法向量ꎬ则ｎ→􀅰ＰＣ→＝０ｎ→􀅰ＰＤ→＝０{ꎬ即－ｘ＋ｙ＋２ｚ＝０－ｘ－ｙ＋２ｚ＝０{ꎬ取ｚ＝１ꎬ得ｘ＝２ꎬｙ＝０ꎬ则ｎ→＝(２􀆯０􀆯１).又ｍ→＝(０�

�０􀆯１)是平面ＰＡＢ的一个法向量ꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ｃｏｓ<ｎ→ꎬｍ→>＝ｎ→􀅰ｍ→ｎ→􀅰ｍ→＝１５＝５５ꎬ１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺即平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的角的正弦值为１－(５５)２＝２５５.１２分􀆺􀆺１９.(１２分)ADBC解:(１)如图ꎬ连接ＡＣꎬ在ΔＡＢＣ中ꎬＡＢ＝５ꎬＢＣ＝８ꎬ∠ＡＢＣ＝６０°ꎬ由余弦定理ꎬ得ꎬＡＣ＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢ􀅰ＢＣ􀅰ｃｏ

ｓ∠ＡＢＣ＝７１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺在ΔＡＣＤ中ꎬＡＤ＝３ꎬＣＤ＝５ꎬＡＣ＝７ꎬｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ＡＤ２＋ＣＤ２－ＡＣ２２ＡＤ􀅰ＣＤ＝３２＋５２－

７２２×３×５＝－１２ꎬ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝３２ꎬ∴ＳΔＡＤＣ＝１２×３×５×３２＝１５３４ꎬ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又ＳΔＡＢＣ＝１２×８×５×３２＝１０３ꎬ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴Ｓ四边形ＡＢ

ＣＤ＝ＳΔＡＢＣ－ＳΔＡＤＣ＝１０３－１５３４＝２５３４.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第一次教学质量检测参考答案第３页(共６页)(２)由(１)知ꎬＡＣ＝７.ΔＡＣＤ中ꎬＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２－２ＡＤ􀅰ＣＤ􀅰ｃｏｓ∠ＡＤＣꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴４９＝Ａ

Ｄ２＋ＣＤ２＋ＡＤ􀅰ＣＤ≥３ＡＤ􀅰ＣＤꎬ∴ＡＤ􀅰ＣＤ≤４９３ꎬ９分􀆺􀆺􀆺􀆺∴ＳΔＡＤＣ＝１２ＡＤ􀅰ＣＤ􀅰ｓｉｎ１２０°≤４９３１２ꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝ＳΔＡＢＣ－ＳΔＡＤＣ＝１０３－ＳΔＡ

ＤＣ≥７１３１２ꎬ１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴当且仅当ＡＤ＝ＣＤ＝７３３时ꎬ平面凹四边形ＡＢＣＤ面积取得最小值７１３１２.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺２０.(１２分)解:(１)在采摘的水仙花球茎中ꎬ任取一颗是由甲工作队采摘的概率是１４ꎬ依题意ꎬξ的所有取值为０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ且ξ~Ｂ(３􀆯１４)ꎬ所以Ｐ(ξ＝ｋ)＝Ｃｋ３(１４)ｋ(３４

)３－ｋꎬｋ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺即Ｐ(ξ＝０)＝２７６４ꎬＰ(ξ＝１)＝２７６４ꎬＰ(ξ＝２)＝９６４ꎬＰ(ξ＝３)＝１６４ꎬ所以ξ的分布列为:ξ０１２３Ｐ２７６４２７６４９６４１６４５分􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以Ｅ(ξ)＝３×１４＝３４.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)用Ａ１ꎬＡ２ꎬＡ３分别表示水仙花球茎由甲ꎬ乙ꎬ丙工作队采摘ꎬＢ表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用ꎬ则Ｐ(Ａ１)＝０􀆰２

５ꎬＰ(Ａ２)＝０􀆰３５ꎬＰ(Ａ３)＝０􀆰４ꎬ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺且Ｐ(Ｂ｜Ａ１)＝０􀆰８ꎬＰ(Ｂ｜Ａ２)＝０􀆰６ꎬＰ(Ｂ｜Ａ

３)＝０􀆰７５ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺故ＰＢ()＝Ｐ(ＢＡ１)＋Ｐ(ＢＡ２)＋Ｐ(ＢＡ３)＝Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ｂ｜Ａ１)＋Ｐ(Ａ２)Ｐ(Ｂ｜Ａ２)＋Ｐ(Ａ３)Ｐ(Ｂ｜Ａ３)＝０􀆰２５×０􀆰８＋０􀆰３５×０�

�６＋０􀆰４×０􀆰７５＝０􀆰７１ꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ＰＡ３｜Ｂ()＝ＰＡ３Ｂ()ＰＢ()＝ＰＡ３()ＰＢ｜Ａ３()ＰＢ()＝０􀆰３０􀆰７１＝３０７１.１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺即采摘出的某颗

水仙花球茎经雕刻后能使用ꎬ它是由丙工作队所采摘的概率为３０７１.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第一次教学质量检测参考答案第４页(共６页)２１.(１２分)解:(１)当直线ｌ斜率不存在时ꎬ其方程为ｘ

＝０ꎬ符合题意ꎻ１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当直线ｌ斜率存在时ꎬ设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺由ｙ＝ｋｘ＋１ｙ２＝４ｘ{ꎬ得ｋ２ｘ２＋２ｋ－４()ｘ＋１＝０􀆰３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当ｋ＝０时ꎬ直线ｙ＝

１符合题意ꎻ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当ｋ≠０时ꎬ令Δ＝２ｋ－４()２－４ｋ２＝１６－１６ｋ＝０ꎬ解得ｋ＝１ꎬ∴直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ＋１ꎬ即ｘ－ｙ＋１＝０􀆰５分􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺综上ꎬ直线ｌ的方程为ｘ＝０ꎬ或ｙ＝１ꎬ或ｘ－ｙ＋１＝０.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)解法一:设Ｑ(ｘ􀆯ｙ)ꎬＡ(ｘ１􀆯ｙ１)ꎬＢ(ｘ２􀆯ｙ２)ꎬ不妨令ｘ１<ｘ２ꎬ∵直线ｌ与抛物线Ｃ有两个

交点ꎬ∴ｋ≠０Δ＝－１６ｋ＋１６>０{ꎬ∴ｋ<１ꎬ且ｋ≠０ꎬ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺ｘ１＋ｘ２＝４－２ｋｋ２ꎬｘ１ｘ２＝１ｋ２􀆰８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺由ＡＰＰＢ＝ＡＱＱＢꎬ得ｘ１ｘ２＝ｘ－ｘ１ｘ２－ｘꎬ∴ｘ＝２ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－ｋꎬ∴ｙ＝ｋ２－ｋ＋１＝２２－ｋꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴ｙ＝２ｘ􀆰１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∵ｋ<１ꎬ且ｋ≠０ꎬ∴０<ｘ<１ꎬ且ｘ≠１２ꎬ∴点Ｑ的轨迹方程为ｙ＝２ｘ(０<

ｘ<１ꎬ且ｘ≠１２)􀆰１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺解法二:设Ｑ(ｘꎬｙ)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ不妨令ｘ１<ｘ２ꎬ∵直线ｌ与抛物线Ｃ有两个交点ꎬ∴ｋ≠０Δ＝－１６ｋ＋１６>０{ꎬ∴ｋ<１ꎬ且ｋ≠０ꎬ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺ｘ１＋ｘ２＝４－２ｋｋ２ꎬｘ１ｘ２＝１ｋ２􀆰８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∵点Ｑ在线段ＡＢ上ꎬ设｜ＡＰ

｜｜ＰＢ｜＝｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜＝λꎬ则ＰＡ→＝λＰＢ→ꎬＡＱ→＝λＱＢ→ꎬ∴ｘ１＝λｘ２ｘ－ｘ１＝λ(ｘ２－ｘ){ꎬ∴ｘ＝２ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－ｋꎬ∴ｙ＝ｋ２－ｋ＋１＝２２－ｋꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∴ｙ＝２ｘ􀆰１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺∵ｋ<１ꎬ且ｋ≠０ꎬ∴０<ｘ<１ꎬ且ｘ≠１２ꎬ

∴点Ｑ的轨迹方程为ｙ＝２ｘ(０<ｘ<１ꎬ且ｘ≠１２)􀆰１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第一次教学质量检测参考答案第５页(共６页)２２.(１２分)解:(１)ｆｘ()的定义域为－１􀆯＋¥()ꎬｆ′ｘ()＝ｌｎｘ＋１()－λ＋１􀆯１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺因为ｆ′ｘ()在

０􀆯＋∞[)上单调递增ꎬｆ′０()＝－λ＋１ꎬ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺①当λ≤１时ꎬ对于任意的ｘ∈０􀆯＋∞[)ꎬ有ｆ′ｘ()≥ｆ′０()≥０ꎬ所以ｆｘ()在０􀆯＋∞[)上单调递增ꎬ则对于任意的ｘ∈０􀆯＋∞[)ꎬｆｘ

()≥ｆ０()＝０ꎬ所以λ≤１符合题意ꎻ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺②当λ>１时ꎬ令ｆ′ｘ()>０ꎬ得ｘ>ｅλ－１－１ꎬ令ｆ′ｘ()<０ꎬ得０≤ｘ<ｅλ－１－１ꎬ所

以ｆｘ()在０􀆯ｅλ－１－１[)上单调递减ꎬｆｘ()在ｅλ－１－１􀆯＋∞()上单调递增ꎬ则ｆｅλ－１－１()<ｆ０()＝０ꎬ这与当ｘ≥０时ꎬｆｘ()≥０矛盾ꎬ所以λ>１舍去ꎻ综上ꎬλ≤１ꎬ所以λ的最大值为１.６分􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)由(１)可知ꎬ当ｘ>０时ꎬ有ｘ＋１()ｌｎｘ＋１()－ｘ>０ꎬ即１１＋１ｘ<ｌｎｘ＋１()ꎬ令ｘ＝１ｎꎬｎ∈Ｎ∗ꎬ则１１＋ｎ<ｌｎ１ｎ＋１æèçöø÷＝ｌｎｎ＋

１ｎ＝ｌｎｎ＋１()－ｌｎｎꎬ所以１ｎ＋１<ｌｎｎ＋１()－ｌｎｎꎬ１ｎ＋２<ｌｎｎ＋２()－ｌｎｎ＋１()ꎬ􀆺ꎬ１２ｎ<ｌｎ２ｎ()－ｌｎ２ｎ－１()ꎬ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺将以上不等式左右两边分别相加ꎬ得１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋􀆺

＋１２ｎ<ｌｎ２ｎ()－ｌｎｎ＝ｌｎ２ꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以１－１２＋１３－１４＋􀆺＋１２ｎ－１－１２ｎ＝１＋１２＋１３＋１４＋􀆺＋１２ｎ－１＋１２ｎæèçöø÷－２１２＋１４＋􀆺＋１２ｎæèçö

ø÷＝１＋１２＋１３＋１４＋􀆺＋１２ｎ－１＋１２ｎæèçöø÷－１１＋１２＋􀆺＋１ｎæèçöø÷＝１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋􀆺＋１２ｎ<ｌｎ２.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第一次教学质量检测参考答案第６页(共６页)获得更多资源请扫码加入享学资

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