【文档说明】辽宁省沈阳市2020届高三教学质量监测（三）数学（文科）试题【精准解析】.doc，共(24)页，1.834 MB，由小赞的店铺上传

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2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|(1)0}Mxx=−，{|0}Nxx=，则（）A.N

MB.MNC.MN=D.MNR=【答案】B【解析】【分析】先求出集合M，再比较两个集合之间的关系即可得答案.【详解】解：由2(1)0x−，得1x=，所以集合1M=，因为{|0}Nxx=，所以MN，故选：B【点睛】此题考

查两个集间的关系，属于基础题.2.已知a为实数，若复数2(1)(1)zaai=−++为纯虚数，则复数z的虚部为（）A.1B.2iC.D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数z为纯虚数，列方程求出a的值，进而可得复数z的虚部.【详解】由已知21010aa−=

+，解得1a=，故2zi=，其虚部为2，故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3.已知条件p：0ab，条件q：11aba−，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等

式的性质和充分必要条件的定义判断．【详解】因为0ab，所以0aba−，所以11aba−，充分性成立，若4a=−，5b=−，则1ab−=，11aba−，但不满足0ab，必要性不成立因此p是q的充分不必要条件．

故选：A．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握不等式的性质是解题关键．4.已知函数()3sincosfxxx=−（0）的最小正周期为，则=（）A.1B.2C.12D.4【答案】A【解析】【分析】可以把绝对值符号里面式子化

为一个角的一个三角函数形式，然后计算周期可求得．【详解】由已知31()3sincos2sincos2sin226fxxxxxx=−=−=−，∴122T==，1=，故选：A．【点睛】本题考查求函数的周期，对于()sin()fxx=+或()co

s()fxx=+，()fx的周期是()fx周期的一半，但若()tan()fxx=+，()fx的周期与()fx的周期相同．5.已知抛物线22xpy=上一点(,1)Am到其焦点的距离为p，则p=（）A.2B.2−C.4D.4−【答

案】A【解析】【分析】根据抛物线定义，(,1)Am到焦点的距离等于其到准线的距离，代入数据即可求解.【详解】由抛物线的方程可得其准线方程为2py=−，根据抛物线的定义可得(,1)Am到焦点的距离等于其到准线的距离，故

12pp+=，解得2p=，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义及应用，属基础题.6.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a＝15

，b＝12，i＝0，则输出的结果为（）A.a＝4，i＝4B.a＝4，i＝5C.a＝3，i＝4D.a＝3，i＝5【答案】D【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前a，b，i的值，即可得到结论．【详解】解：模拟执行程序

框图，输入a＝15，b＝12，i＝0，i＝0+1＝1，a＞b，a＝15﹣12＝3，i＝1+1＝2，a＜b，b＝12﹣3＝9，i＝2+1＝3，a＜b，b＝9﹣3＝6，i＝3+1＝4，a＜b，b＝6﹣3＝3，i＝4+1＝5，a＝b＝3，

输出a＝3，i＝5，故选：D．【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.7.函数2e1()(1ln)e1xxfxx−=−+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，然后取

特殊值即可得答案.【详解】解：函数()fx的定义域为0xx，因为22e11()[1ln()](1ln)()e11xxxxefxxxfxe−−−−−=−−=−=−++所以()fx为奇函数，因此排除A,C因

为22e1(2)(1ln4)0e1f−=−+，所以排除B故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别，主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断，属于基础题.8.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比512m−=的近似值,黄金分割比还可以表示成

2sin18,则2242cos271mm−=−().A.4B.51+C.2D.51−【答案】C【解析】【分析】把2sin18m=代入2242cos271mm−−中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.【详解】解：由题可知512sin182m−==，所以24sin18m=.

则222242sin1844sin182cos2712cos271mm−−=−−2sin182cos18cos54•=2sin36cos54=2=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．9.设,

为两个不重合的平面，能使//成立的是（）A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.内有无数个点到的距离相等D.,垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】当l=时，可使ACD

的条件也满足，只有B能使//成立.【详解】如图所示：对A，内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与平行，但与可相交于l，故A不一定能使//成立；对C，在内有一条直线平l，则在内有无数

个点到的距离相等，但与可相交于l，故C不一定能使//成立；对D，如图,⊥⊥，但与可相交于l，故D不一定能使//成立；故选：B.【点睛】本题考查了对面面平行的理解与判定，属于基

础题.10.已知O为ABC的外接圆的圆心，且345OAOBOC+=−，则C的值为（）A.4B.2C.6D.12【答案】A【解析】【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定AOB的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得co

sC的值即可确定C的值.【详解】由题意可得：||||||OAOBOC==，且1(34)5OCOAOB=−+，221||(34)25OCOCOCOAOB==+2292416||||252525OAOAOBOB=++224||25OCOAOB=

+，24025OAOB=，∴∠AOB=90°.如图所示，建立平面直角坐标系，设()0,1A，()10B,，由()344,35OAOBOC+==−可知：43,55C−−，则：48,55CA=，93,55CB=，362422525cos245

31055CACBCCACB+===，则4C=.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知双曲线()2222:1,0xyCaba

b−=的离心率为233，O为坐标原点，过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N，且OMN为直角三角形，若332ONMS=△，则C的方程为（）A.221124xy−=B.22162xy−=C.2213xy−=D.22126xy−=【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的离心率得

出33ba=，可得3ab=，2cb=，由OMN为直角三角形可得出直线MN的方程，求出点N的坐标，可得出ON、MN，再由332ONMS=△可求得b、a的值，进而可得出双曲线C的方程.【详解】由于双曲线C的离心率为22313cbeaa==+=，33ba=，可得3ab=

，2cb=，设点M、N分别为直线33yx=、33yx=−上的点，且MNON⊥，则直线MN的方程为()32yxb=−，联立()3233yxbyx=−=−，解得3232xbyb==−，所以点33,22bbN−，则2233322bb

ONb=+−=，易知3MON=，tan3333MNONbb===，所以，213333222ONMSONMNb===，解得1b=，3a=，因此，双曲线C的方程为2213

xy−=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a、b、c的方程组，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()34fxxx=−，过点()2,0A−的直线l与()fx的图象有三个不同的交点，则直线l斜率的取值范围为（）A.()1,8−B.()()1,8

8,−+C.()()2,88,−+D.()1,−+【答案】B【解析】【分析】设直线l的斜率为k，方程为()2ykx=+，由题意可得()324kxxx+=−有三个不等的实根，显然2x=−是其中的一个根，则22kxx=−有两

个不等的实根，且2x−，由判别式大于0，可得所求范围．【详解】函数()34fxxx=−，可得()()()322420f−=−−−=，设直线l的斜率为k，方程为()2ykx=+，由题意可得()()()32422kxxxxxx+=−=+−有三个不等的实根，显然2x=−是其

中的一个根，则22kxx=−有两个不等的实根，且2x−，即8k，由220−−=xxk的，可得440k+，解得1k−，则k的范围是()()1,88,−+.故选：B．【点睛】本小题主要考查根据方程的根、函数图象的交点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某高校有10000名学生，其中女生3000名，男生7000名．为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的22列

表如下，则ab−=________．（用数字作答）男女合计爱好体育运动a9不爱好体育运动28b合计120【答案】29【解析】【分析】由分层抽样求出抽取的男生和女生的人数后可计算出,ab．【详解】由题意抽取的男

生人数为70001208410000=，抽取的女生人数是30001203610000=，所以842856a=−=，36927b=−=，从而29ab−=．故答案为：29．【点睛】本题考查分层抽样，掌握分层抽样的概念是解

题关键．分层抽样中样本的比例与总体的比例相同．14.已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的侧面积为_____．【答案】7524+【解析】【分析】首先把三视图转化为直观图，由一个三棱锥体SABO−和1

4个圆锥组成的几何体，然后再求几何体的侧面积.【详解】由几何体的三视图转换为直观图为：由一个三棱锥体SABO−和14个圆锥组成的几何体，如图所示：所以该几何体的侧面积为14SACSABSSSOCSC=++

侧11321575222222424=++=+.故答案为：7524+【点睛】本题考查根据三视图求几何体的侧面积、锥体的侧面积，属于基础题.15.过点(0,1)−作曲线()lnfxx=（0x）的切线，则切点坐标为________．【

答案】(,1)e【解析】【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.【详解】由()lnfxx=（0x），则2()ln,0fxxx=，化简得()2ln,0fxxx=，则2()fxx=，设切点为00(,2ln

)xx，显然(0,1)−不在曲线上，则0002ln12xxx+=，得0xe=，则切点坐标为(,1)e.故答案为：(,1)e.【点睛】本题考查了过一点的曲线的切线问题，导数值为切线斜率是解决此类问题的关键

，属于基础题.16.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，设ABC的面积为S，若2224sinsins3in2AB+C=，且2bc=，则SABAC=________．【答案】72【解析】【分析】先利

用正弦定理将2224sinsins3in2AB+C=化为222432abc=+，再结合2bc=，可推出2ac=，从而可利用余弦定理求出cosA，进而求出tan2AABASC=的值.【详解】2224sinsi32nsinAB+C=，222432abc

=+，将2bc=代入上式，可得222462acc=+，故2ac=，2222222222214cos,sin1cos24422bcacccAAAbcc+−+−====−=，tan7A=,1sintan72cos22bcAAcbAABACS===

,故答案为：72.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理的运用，综合了三角形面积，平面向量数量积等知识，需要学生能综合运用所学知识，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作

答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{}na的前n项和2nSnpn=+．（1）求数列{}na的通项公式；（2）已知4712,,aaa成等比数列，求p值；（3）若121nnnbaa+=+，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）21n

anp=−+；（2）2p=；（3）261169nnnTn+=+．【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求数列{}na的通项公式；（2）由4712,,aaa成等比数列，得24127aaa=，然后把（1）得到的通项代入可求出p的

值；（3）将（1）得到的21nanp=−+代入121nnnbaa+=+可得数列{}nb的通项，然后利用裂项相消法可求出nT.【详解】解：（1）当2n时，121nnnaSSnp−=−=−+，当1n=时，111aSp==+，也满足21nanp=−+，故21nanp=−+.（2）∵4a，

7a，12a成等比数列，24127aaa=，∴()()()272313++=+ppp，∴2p=，∴21nan=+.（2）由（1）可得()()1111112122232123+=+=+=+−++++

nnnbaannnn，∴2111111161121231355732369+=+−+−++−=+−=++++nnnTnnnnnn.【点睛】此题考查的是由数列的前n项和求数列的通项公式，等比中项，裂项相消求和法等知识，属于中档题.18.某快餐连锁店，每天以200元的价格从总店购进

早餐，然后以每份10元的价格出售．40份以内，总店收成本价每份5元，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收，超过40份的未销售的部分总店成本价回收，然后进行环保处理．如果销售超过40份，则超过40份的利润需上缴总店．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表

：日销售量253035404550频数10162824148完成下列问题：（1）写出每天获得利润y与销售早餐份数x（xN）的函数关系式；（2）估计每天利润不低于150元的概率；（3）估计该快餐店每天的平均利润．【答案】（1）9160,40200,40xxyx−=；（2）0.74；（3）

159.5元．【解析】【分析】（1）按40x和40x≥分类，其中40x≥，利润都是200元，40x时，需扣除未销售部分的损失，由此可得函数关系式；（2）根据表中数据计算利润，可得获利不低于150元的频数，然后可计算出概

率；（3）利用统计表所统计的频数估算出平均利润．【详解】解：（1）54(40),40200,40xxxyx−−=，即9160,40200,40xxyx−=.（2）根据（1）中函数关系完成统计

表如下：日销售量253035404550频数10162824148获得利润65110155200200200所以获利不低于150元的概率为101610.74100P+=−=.（3）10162824148651

10155200()159.5100100100100100100+++++=，所以快餐店每天平均利润为159.5元.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查统计图表的应用、用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．本题考查了学生的数据处理能力，运算求解

能力．19.如图，长方体1111–ABCDABCD的底面ABCD是正方形，点E在棱1AA上，1BEEC⊥．（1）证明：平面CBE⊥平面11EBC；（2）若1AEAE=，2AB=，求三棱锥1CEBC−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）83．【解析】【分析】（1）由11BC⊥平面

11AABB得11BCBE⊥，从而结合已知证得线面垂直后可得面面垂直；（2）由E是1AA的中点，得1BEBE=，从而可求得1AA的长，取1BB中点F，连结EF，可证EF⊥平面11BBCC，这样由11CEBCEBCCVV−

−=可得体积．【详解】解：（1）在长方体1111ABCDABCD−中，因为11BC⊥平面11AABB，BE平面11AABB，所以11BCBE⊥，又1BEEC⊥，1111BCECC=，且1EC平面11EBC，11BC平面11

EBC，所以BE⊥平面11EBC；又因为BE平面BCE，所以平面CBE⊥平面11EBC.（2）设长方体侧棱长为2a，则1AEAEa==，由（1）可得1EBBE⊥；所以22211EBBEBB+=，即2212

BEBB=，又2AB=，所以222122AEABBB+=，即222222(2)aa+=，解得2a=.取1BB中点F，连结EF，因为1AEAE=，则EFAB∥，所以EF⊥平面11BBCC，所以1111111118242332323CEBCEBCCBCCVVSEFBCBBEF−−==

===.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直、线面垂直、线线垂直间的转化是解题关键．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，四点1(2,3)P，2(0,2)P，36(2,)3P−，46(2,)3P中恰有三个点在椭圆C上，左、右

焦点分别为1F、2F．（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点1F且不与坐标轴平行的直线l交椭圆于P、Q两点，若线段PQ的垂直平分线交y轴于点D，求||PQ|OD|的最小值．【答案】（1）22162xy+=；（2）6．【解析】【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶

点2(0,2)P可求出a，点3P或4P的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线PQ的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出||P

Q，求出点N的坐标即可写出直线PQ的垂直平分线的方程，令0x=求出||OD，代入||PQOD得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（1）易知36(2,)3P−，46(2,)3P关于y轴对称，一定都在椭圆上，所以1(2,3)P一定不在椭圆上，根据题意2(0,2)P也在椭圆

上，则2b=，将46(2,)3P代入椭圆方程得2242163(2)aa+==，所以椭圆方程为22162xy+=.（2）由622c=−=知椭圆的左焦点()12,0F−,设直线l的方程为(2)ykx=+（0k），()11,Pxy，()

22,Qxy，PQ的中点为N.联立22162(2)xyykx+==+，可得()222231121260kxkxk+++−=，则21221231kxxk+=−+，212212631kxxk−=

+，所以21226231+==−+Nxxkxk，22262(2)3131=−+=++Nkkykkk，点N22262,3131kkkk−++，22222222212261||14131316311

2kkPQkkkkkk+=+−−=++−++2226(1)31kk+=+，PQ垂直平分线方程为：222216()3131−=−+++kkyxkkk，令0x=，求得2431kyk−=+，则24||||31kODk=

+，所以||PQOD2224||3126(1)31kkkk++=+26(1)61()622kkkk+==+，当且仅当1kk=即1k=时取等号，因此，当1k=，||PQOD取最小值6.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公

式、基本不等式求和的最小值，属于较难题.21.已知函数()xfxemx=−．（1）讨论()fx的单调区间与极值；（2）已知函数()fx的图象与直线ym=−相交于11(,)Mxy，22(,)Nxy两点（12xx），证明：12

4xx+．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数()fx，利用()0fx确定增区间，()0fx确定减区间，从而可得极值；（2）由（1）知只有在0m且(ln)

0fm即me时，函数()fx的图象与直线ym=−才有两个交点，由12()()fxfxm==−得1212(1)(1)xxemxemx=−=−，可得120111xx−−，同时由1212(1)(1)xxemxemx=−=−消去参数m，并设21111xtx−=−，12,xx都可用

t表示，要证不等式124xx+，只要证lnln211ttttt+−−，即(1)ln21ttt+−，只要证4ln201tt+−+，引入新函数4()ln21httt=+−+．利用导数的知识可证．【详解】解：（1）'()xfxem=−，①当0m时，'()

0fx，此时()fx在R上单调递增，无极值；②当0m时，由'()0fx=，得lnxm=.所以(,ln)xm−时，'()0fx，()fx单调递减；(ln,)xm+时，'()0fx，()fx单调递增.此时函数有极小值为(ln)lnfmmmm=−，无极大值.（

2）由题设可得12()()fxfxm==−，所以1212(1)(1)xxemxemx=−=−，且由（1）可知1lnxm，2lnxm，me.1xem，1(1)mxm−，∴111x−，同理211x−，由11(1)xemx=−，可知110x->，所以

120111xx−−.由1212(1)(1)xxemxemx=−=−，得1122lnln(1)lnln(1)xmxxmx=+−=+−，作差得22111ln1xxxx−=−−设211(1)xtx−=−（1t），由22111ln1xxxx−=−−，得1ln(1)(1)t

tx=−−，所以1ln11txt−=−，即1ln11txt=+−，所以2ln11ttxt=+−，要证124xx+，只要证lnln211ttttt+−−，即(1)ln21ttt+−，只要证4ln201tt

+−+.设4()ln21httt=+−+（1t），则22(1)'()0(1)thttt−=+.所以()ht在(0,)+单调递增，()(1)0220hth=+−=.所以124xx+.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间和

极值，证明与方程根有关的不等式．考查转化与化归思想．对于与方程的解12,xx有关的不等式问题，关键是引入新参数t，如12xtx=，21txx=−，象本题2111xtx−=−，此时t的范围是确定的，如(0,1)、(0,)+、(1,)+等等，接着关键是把12,xx用t表示（可用消参

法建立12,xx关系），要证的不等式就变为关于t的不等式，引入新函数后应用导数知识证明．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足4POOM=−，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）曲线C2上两点13A，与点B（ρ2，α），求△OAB面积的最大值．【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝1（y≠0）．（2）334．【解析】【分析】（1）设出P的极坐

标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为22(1)1(0)xyy+−=;（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值为334.【详解】解：（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞0），M的极坐标为

（ρ0，θ）（ρ0＞0）．由题设知|PO|＝ρ，02OMsin==．由POOMPOOMcosPOOM==−=−4，得24sin=，所以C2的极坐标方程ρ＝2sinθ（ρ＞0），因此C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1（y≠0

）．（2）依题意：1233OAsin===，|OB|＝ρ2＝2sinα．于是△OAB面积：S1313223262OAOBsinAOBsinsinsin==−=+−．当23=时，S取得最大值334．所以△OAB面

积的最大值为334．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.已知a，b，

c均为正数，设函数f（x）＝|x﹣b|﹣|x+c|+a，x∈R．（1）若a＝2b＝2c＝2，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若函数f（x）的最大值为1，证明：14936abc++．【答案】（1）12−+，．（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a＝2b＝2c＝2时，将不等式f（x

）＜3化为|x﹣1|﹣|x+1|＜1，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件利用绝对值三角不等式，可得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式，即可证明14936abc++．【详解】（1）当a＝2b＝2c＝2时，a＝2，b＝c＝1不等式f（x）＜3化为|x﹣1|﹣

|x+1|＜1，当x≤﹣1时，原不等式化为1﹣x+1+x＜1，解集为∅；当﹣1＜x＜1时，原不等式化为1﹣x﹣x﹣1＜1，解得112x−＜＜；当x≥1时，原不等式化为x﹣1﹣x﹣1＜1，解得x≥1，∴不等式f（x）＜3的

解集为12−+，．（2）∵()()()fxxbxcaxbxcabca=−−++−−++=++又∵a，b，c＞0，∴()max=1fxabc=++∴()()()()222222149123abcabcabcabc

++++=++++2123()abcabc++=36当且仅当1232abcabc==++=，即12133abc===，，时等号成立，∴14936abc++．【点睛】本题主

要考查绝对值不等式的求解，柯西不等式的应用，属于中档题.