【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练16 导数的概念及其意义、导数的运算.docx，共(7)页，31.049 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十六导数的概念及其意义、导数的运算(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)已知函数f(x)=√𝑥3+1,则0Δlim→x

𝑓(1-Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥的值为()A.-13B.13C.23D.0【解析】选A.0Δlim→x𝑓(1-Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=-0Δlim→x𝑓(1-Δ𝑥)-𝑓(1)-Δ𝑥=-f'

(1)=-(13×1-23)=-13.2.(5分)(多选题)下列求导运算正确的是()A.(x+1𝑥)'=1+1𝑥2B.(log2x)'=1𝑥ln2C.(5x)'=5xlog5xD.(x2cosx)'=2xcosx-x

2sinx【解析】选BD.A中,(x+1𝑥)'=1-1𝑥2,C中,(5x)'=5xln5,其余正确.3.(5分)(2023·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=12x+2,那么f(1)

+f'(1)=()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由题意得f(1)=12×1+2=52,f'(1)=12,所以f(1)+f'(1)=52+12=3.4.(5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(2023)=()A.1B.2C.12023D.2

0242023【解析】选D.令ex=t,t>0,则x=lnt,所以f(t)=lnt+t,故f(x)=lnx+x(x>0).则f'(x)=1𝑥+1,故f'(2023)=12023+1=20242023.5.(5分)(2023·保定模拟)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的

关系是V=43πr3.当V=4π3L时,气球的瞬时膨胀率(气球半径关于气球体积的瞬时变化率)为()A.14πdm/LB.13dm/LC.3L/dmD.4πL/dm【解析】选A.因为V=43πr3,所以r=√3𝑉4π3,所以r'=13×(3𝑉4π)-23×34π=14π×(3𝑉

4π)-23,当V=4π3L时,r'=14π,所以气球的瞬时膨胀率为14πdm/L.6.(5分)(2023·丹东模拟)若直线y=2x是曲线y=x(ex-a)的切线,则a=()A.-eB.-1C.1D.e【解析】选B.设切点坐标为(x0,x0(e𝑥0-a)

),因为y=x(ex-a),所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a,所以在切点处的切线的斜率为(1+x0)e𝑥0-a,切线方程为y-x0(e𝑥0-a)=[(1+x0)e𝑥0-a](x-x0),即y=[(1+x0

)e𝑥0-a]x-𝑥02e𝑥0,由题意知{(1+𝑥0)e𝑥0-𝑎=2,-𝑥02e𝑥0=0,解得{𝑥0=0𝑎=-1.7.(5分)设函数f(x)=e𝑥𝑥+𝑎.若f'(1)=e4,则a=________.【解

析】f'(x)=e𝑥(𝑥+𝑎)-e𝑥(𝑥+𝑎)2=e𝑥(𝑥+𝑎-1)(𝑥+𝑎)2,则f'(1)=𝑎e(𝑎+1)2=e4,整理可得a2-2a+1=0,解得a=1.答案:18.(5分)(2021·全国甲卷)曲

线y=2𝑥-1𝑥+2在点(-1,-3)处的切线方程为__________.【解析】y'=(2𝑥-1𝑥+2)'=2(𝑥+2)-(2𝑥-1)(𝑥+2)2=5(𝑥+2)2,所以y'|x=-1=5(-1+2)2=5,所以切线方程为y+3=5(x+

1),即5x-y+2=0.答案:5x-y+2=09.(10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求切点P0的坐标;(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y'=3x2+

1,由已知得3x2+1=4,解得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,所以直线l的斜率为-14.因为l过切点P0,点P0的坐标

为(-1,-4),所以直线l的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.【能力提升练】10.(5分)(2023·广州模拟)曲线y=f(x)=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为()A.y=3x+3B.y=3x+1C.y=-3x-1D.

y=-3x-3【解析】选A.因为f'(x)=3x2,所以f'(-1)=3,又当x=-1时,a=(-1)3+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.11.(5分)已

知函数f(x)=alnx,g(x)=bex,若直线y=kx(k>0)与函数f(x),g(x)的图象都相切,则a+1𝑏的最小值为()A.2B.2eC.e2D.√e【解析】选B.设直线y=kx与函数f(x),g(x)的图象相切的切点分别为A(m,km),B(n,kn).由f'(x)=�

�𝑥,有{𝑘𝑚=𝑎ln𝑚,𝑎𝑚=𝑘,解得m=e,a=ek.又由g'(x)=bex,有{𝑘𝑛=𝑏e𝑛,𝑏e𝑛=𝑘,解得n=1,b=𝑘e,所以a+1𝑏=ek+e𝑘≥2√e2=2e,当且仅当a=e,b=1e时等号成立.12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅰ

卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f(32-2x),g(2+x)均为偶函数,则()A.f(0)=0B.g(-12)=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)【解析】选BC.因为f

(32-2x)为偶函数,所以f(32-2x)=f(32+2x),所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称,f(32-2×54)=f(32+2×54),即f(-1)=f(4),故C正确;因为f(x)的图象关于直线x=32对称,所以f(x)=f(3-x),所

以f'(x)=-f'(3-x),即g(x)=-g(3-x),所以g(x)的图象关于点(32,0)对称,所以g(32)=0,g(1)=-g(2),又g(2+x)为偶函数,所以g(2+x)=g(2-x),函数g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(x)的

周期T=4×(2-32)=2,所以g(-12)=g(32)=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误;不妨取f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但f(0)=1,故A错误.13.(5分)设函数f(x)=mex-lnx,参数m>0,过点(0,1)作曲线C:y=

f(x)的切线(斜率存在),则切线的斜率为____________(用含m的式子表示).【解析】由f(x)=mex-lnx,得f'(x)=mex-1𝑥,设切点坐标为(t,met-lnt),则f'(t)=met-1�

�,所以过切点的切线方程为y-(met-lnt)=(met-1𝑡)(x-t),把(0,1)代入,可得1-(met-lnt)=(met-1𝑡)(0-t),整理得met(t-1)+lnt=0,令g(t)=met(t-1)+lnt,g'(t)=mtet+1𝑡>0,g(t)在(0,+∞)上单

调递增,又g(1)=0,所以1-(met-lnt)=(met-1𝑡)(0-t)的根为t=1,所以切线的斜率为f'(1)=me-1.答案:me-114.(10分)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+lnx.(1)求f'(e)

及f(e)的值;(2)求f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程.【解析】(1)因为f(x)=2xf'(e)+lnx,所以f'(x)=2f'(e)+1𝑥,f'(e)=2f'(e)+1e,所以f'(e)=-1e,f(x)=-2𝑥e+ln

x,所以f(e)=-2ee+lne=-1.(2)因为f(x)=-2𝑥e+lnx,f'(x)=-2e+1𝑥,所以f(e2)=-2e2e+lne2=2-2e,f'(e2)=-2e+1e2,所以f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程为y-(2-2e)=

(-2e+1e2)(x-e2),即(2e-1)x+e2y-e2=0.15.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取

值范围.【解析】f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得{𝑓(0)=𝑏=0,𝑓'(0)=-𝑎(𝑎+2)=-3,解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a

)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-12.所以a的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,+∞).【素养创新练】16.(5分)(多选题)定义方程f(x)=f

'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”,则下列函数中只有一个“新不动点”的是()A.g(x)=x·2xB.g(x)=-ex-2xC.g(x)=lnxD.g(x)=sinx+2cosx【解析】选A

BC.对于A,g'(x)=2x+x·2x·ln2,由x·2x=2x+x·2x·ln2,解得x=11-ln2,所以g(x)只有一个“新不动点”,故A符合题意;对于B,g'(x)=-ex-2,由-ex-2=-ex-2x,得

x=1,所以g(x)只有一个“新不动点”,故B符合题意;对于C,g'(x)=1𝑥,根据y=lnx和y=1𝑥的图象(图略)可以看出lnx=1𝑥只有一个实数根,所以g(x)只有一个“新不动点”,故C符合题意;对于D,g'(x)=cosx-2sinx,

由sinx+2cosx=cosx-2sinx,得3sinx=-cosx,所以tanx=-13,根据y=tanx和y=-13的图象(图略)可看出方程tanx=-13有无数个解,所以g(x)有无数个“新不动点”,故D不符合题意.