【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第二册》全书课件4.2.1.2.ppt，共(27)页，997.000 KB，由管理员店铺上传

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第2课时等差数列的性质[教材要点]要点一等差数列的性质(1)在等差数列{an}中，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则______________．(2)若{an}为公差为d的等差数列，则{can}是公差为cd的等差数列．

(3)若{an}为公差为d的等差数列，则{an＋an＋k}(k∈N*)是公差为2d的等差数列．ap＋aq＝as＋at(4)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．(5)若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan

＋pbn}是以________为公差的等差数列．(6)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为________的等差数列．(7)当d________0时，数列{an}为单调递增数列；当d________0时，数列{an}为单调递减数列；当d

＝0时，数列{an}为常数列．2dpd1＋qd2md><状元随笔若{an}是公差为d的等差数列，则还具有其他性质(1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)(2)下标成等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等差数列，公差为kd(m，k∈N*)．(3){an}

是等差数列，则a1，a3，a5…仍成等差数列(首项不一定选a1)．(4)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b为非零常数)也为等差数列．(5){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的

等差数列．(6)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．(7)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．要点二等差数列的实际应用具有等差特征的实际问题，可构造等差数列模型，用

等差数列的知识求解．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(

3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an－1＝an＋an＋2.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()××√√2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()

A．5B．6C．8D．10解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.故选A.答案：A3．在等差数列{an}中，a5＝6，a8＝15，则a14＝()A．21B．32C

．33D．42解析：设公差为d，∴a8＝a5＋(8－5)d，∴d＝15－63＝3，∴a14＝a8＋6d＝15＋6×3＝33.故选C.答案：C4．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析：因为a3＋a4＋a5＋a

6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.答案：180题型一等差数列的性质应用——师生共研例1在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求an.解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，a2＋a5＋a8＝9∴a

5＝3，∴a3＋a7＝6①又a3a5a7＝－21，∴a3·a7＝－7②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1∴当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.∴an＝－1＋(n－3)×2或an＝7＋(n－3)×(－2)即an＝2n

－7或an＝－2n＋13.利用性质：ap＋aq＝as＋at，p，q，s，t∈N*且p＋q＝s＋t，再结合方程的两个根求解．方法归纳利用等差数列的性质“若p＋q＝s＋t，且p，q，s，t∈N＋，则ap＋aq＝as＋at”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量．跟踪训练1(1)在等

差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为()A．20B．30C．40D．50解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(

a7＋6d)＝2a7＝40.故选C.答案：(1)C(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.解析：(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝173.又∵a4＋

a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝a9－a79－7＝7－1732＝23.∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×23，∴k＝18.答案：(2)18题型二等差数列的综合问题——师生共研例2已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d

＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？解析：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－

1)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－

1－a4n－1＝4d＝－20，所以数列{bn}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所

以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．被4除余3的数可以表示为4n－1，故b1＝a3，b2＝a7，bn＝a4n－1.方法归纳(1)已知等差数列{an}的基本量后，求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式，首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成，从而确定数

列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键．(2)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立am＝bn这样的方程，再求一定范围内的整数解．跟踪训练2已知

数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．解析：(1)设等差数列的公差为d.因为a1＋a

2＋a3＝12，所以a2＝4，因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故an＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1

)＝4.所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故bn＝4n.题型三等差数列的实际应用——师生共研例3某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按

照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从

而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．方法归纳解决实际应用问题，首先要认真领会题

意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．跟踪训练3某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘

坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1

.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．易错辨析混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错例4两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？解析：设已知两个数列的所

有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.∴cn＝

11＋(n－1)×12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.得n≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项．【易错警示】出错原因纠错心得混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，

解得n＝3，致错.解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分.