【文档说明】天津市静海区第四中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(14)页，1.206 MB，由小赞的店铺上传

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静海四中2020—2021学年度高二数学第一次月考试卷一､选择题(每题4分，共40分)1.下列说法正确的是（）A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{}abc，，中基向量与基底{}

efg，，基向量对应相等【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断选项可解.【详解】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以A错.B项，空间基底有无数个,所以B错.D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C.【点睛】本题考查

空间向量基本定理.如果三个向量abc、、不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组xyz，，使得pxayzbc=++2.已知(2,3,1)AB=，(4,5,3)AC=，那么向量BC=（）.A.(2,2,2)−−−B.(2

,2,2)C.(6,8,4)D.(8,15,3)【答案】B【解析】【分析】利用向量BCACAB=−即可得出．【详解】向量(4BCACAB=−=，5，3)(2−，3，1)(2=，2，2)，故选：B．【点睛】本题考查

了向量三角形法则、空间向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.直线3330xy+−=的倾斜角为（）A.30−B.30°C.120D.150【答案】D【解析】【分析】由直线斜率的概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.【详

解】因为直线3330xy+−=的斜率为3ktanα3==−，所以倾斜角α150=.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.4.若直线10(0)axbyab+−=与两坐标轴围成的三角形的面积S

为（）A.12abB.1||2abC.12abD.12||ab【答案】D【解析】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝1a，令x＝0，得y＝1b，∴三角形的面积S＝111122abab=.选D.5.已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A

.－2B.－7C.3D.1【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB的中点1(,0)2m+，在直线220xy+−=上，把中点坐标代入直线方程，解得3m=，故选C.6.已知(,2,0)ax=，(3,2,)bxx=−，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）.A(,4)−−B.(4,0)−C.(0,

4)D.(4,)+【答案】A【解析】【分析】夹角为钝角，由0ab求解，但要排除两向量反向的情形．【详解】∵a，b的夹角为钝角，∴0ab，即32(2)040xxxx+−+=+.∴4x−.又当a，b的夹角为

时，存在0，使ba=，∴3220xxx=−==，此方程组无解.综上，4x−.故选：A.【点睛】本题考查用数量积确定向量的夹角，当向量a，b的夹角为180时，0ab也成立，所以求解此类问题时，要注意检验.7.如图所示，在正方体1111AB

CDABCD−中，若E为11DC的中点，则11AC→与DE→所成角的余弦值为（）A.1010B.13C.24D.55【答案】A【解析】【分析】以ABa→=，ADb→=r，1AAc→=为基底，表示出11AC→，DE→，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体的棱长为1，记

ABa→=，ADb→=r，1AAc→=，则||||||1abc===，0abbcca===．因为11ACABADabAC→→→→==+=+，1111112DEDDDEDDDCc→→→→→=+=+=+12a，所以221111111()22222ACDEabcaacbcaaba→→

=++=+++==．又因为11||2AC→=，215||122DE→=+=，所以1111111102cos,105||||22ACACDEACDE→→→→→===

，所以11AC→与DE→所成角的余弦值为1010．故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，数量积的运算，夹角公式，考查了运算能力，属于中档题.8.直线1yaxa=−的图象可能是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论0a和0a时，直

线的位置．【详解】显然不可能是C，0a时，直线的斜率为正，纵截距为负，排除A，0a时，斜率为负，纵截距为正，D不符，只有B符合题意．故选B．【点睛】一种方法直线是由两点确定的，另一种方法直线是由斜率和纵截距确定，因此当直线方程含有参

数时，可确定直线的斜率与纵截距，从而确定直线位置．9.已知平面、的法向量分别为(14)ay=−，，、(12)bx=−−，，且⊥，则xy+的值为（）A.8−B.4−C.4D.8【答案】A【解析】【分析】利用

两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】因为平面、的法向量分别为(14)ay=−，，、(12)bx=−−，，且⊥，所以0ab=，即80xy−−−=，则8xy+=−，故选：A.10.经过点()1,1M且在两坐标轴上截距相等的直线是（）A.2xy+=B.1xy+=C

.2xy+=或yx=D.1x=或1y=【答案】C【解析】【分析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：1xyaa+=，把点M（1，1）代入方程求得a值,即可得直线方程.【详解】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是y-1=x-1

，即y=x；当直线不过原点时，设直线的方程是：1xyaa+=，把点M（1，1）代入方程得a=2，直线的方程是x+y=2．综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2故选C.【点睛】本题考查了直线的点斜式与截距式方程；明确直线方程的各种形式及各自的特点，是解答本题的关键；本题易错点

是易忽略直线过原点时的情况.二､填空题(每题4分，共20分)11.已知直线1l过点(2,1)P且与直线2l：1yx=+平行，则1l的点斜式方程为___________.【答案】12yx−=−【解析】【分析】由12ll//平行即可得出1l的斜率，即可得出点斜式.【详解】12//ll，

直线1l的斜率为1，1l过点(2,1)P，1l的点斜式方程为12yx−=−.故答案为：12yx−=−.12.已知直线l的方向向量为()2,,1m，平面的法向量为11,,22，且l，则m=________________．【答案】8−

【解析】因为直线l的方向向量()2,,1mm=，平面的法向量11,,22n=，//l，所以mn⊥，即12202mnm=++=，解得8m=−，故答案为8−.13.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝__

___【答案】2−【解析】【分析】点A、点B的坐标均不相等，可利用两点式求直线方程，因为点P在直线上，故可将点的坐标代入直线方程，即可求出m.【详解】将点A、点B代入两点式方程可得：()()123241y

x−−−=−−−−，化简得：10xy+−=，将点P代入直线方程，可得：310m+−=，解得：2m=−.【点睛】本题考查两点式求直线方程和点在直线上两个知识点，注意两点式的应用条件，注意计算的准确性.14.已知(2,4,)ax=，

(2,,2)by=，若||6a=，ab⊥，则xy+的值是________.【答案】3−或1【解析】【分析】根据题意，由向量模的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为(2,4,)ax=，(2,,2)by=，||6a=，ab⊥，所以222246442

0axabyx=++==++=，解得：43xy==−或41xy=−=，因此1xy+=或3−.故答案为：3−或1.【点睛】本题主要考查由空间向量的模与数量积求参数的问题，属于基础题

型.15.在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2)A，(1,3,1)B−，点M在y轴上，且点M到点A与其到点B的距离相等，则点M的坐标是________．【答案】(0,1,0)−【解析】【分析】设(0,,0)My，利用

距离公式可得关于y的方程，解方程后可得M的坐标.【详解】设(0,,0)My．由||||MAMB=，得222222(10)(0)(20)(10)(3)(10)yy−+−+−=−+−−+−，解得1y=−．∴(0,1,0)M−．故答案为：(0,1,0)M−

.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，此类问题，根据公式计算即可，本题属于容易题.三、解答题(每题12分，共60分)16.若直线l的方程为220()axyaaR+−−=.（1）若直线l与直线:20mxy−=垂直，求a的值；（2）若直线l在两轴上的截距相等，求

该直线的方程.【答案】（1）1；（2）0xy−=，20xy+−=．【解析】【分析】（1）直线l与直线:20mxy−=垂直，可得220a−=，解得a．（2）当0a=时，直线l化为：1y=．不满足题意．当0a时，可得直线l与坐标轴的

交点2(0,)2a+，2,0aa+．根据直线l在两轴上的截距相等，即可得出．【详解】解：（1）直线l与直线:20mxy−=垂直，220a−=，解得1a=．（2）当0a=时，直线l化为：1y=．不满足题意．当0a时，可得直线l与坐

标轴的交点2(0,)2a+，2,0aa+．直线l在两轴上的截距相等，222aaa++=，解得：2a=．该直线的方程为：0xy−=，20xy+−=．【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.如图，在平行六

面体1111ABCDABCD−中，5AB=，3AD=，14AA=，90DAB=，1160BAADAA==，E是1CC的中点，设1,,ABAbcaDAA===．（1）用,,abc表示AE；（2）求AE的长．【答案】（1）12AEabc=++（2）36【解析

】【分析】（1）根据向量的三角形法则以及平行四边形法则即可．（2）把2AE计算出来开根号即可．【详解】（1）12AEABBCCEabc=++=++（2）由（1）得12AEabc=++，所以2222211224AEabcabcabacbc=++=+++++()25

9402012cos6054=+++++=36AE=【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则、平行四边形法则以及向量的数量积．属于基础题．18.已知ABC的顶点()2,4A，()0,2B−，()4,2C−，求（1）AB边上的中线CM所在直线的方程；（2）求A点关于直线BC对称点坐

标．【答案】（1）560xy+−=；（2）()6,4−−.【解析】【分析】（1）求出AB的中点M的坐标，从而可求CM的直线方程.（2）求出直线BC的方程，设所求对称点的坐标为(),ab，根据中点和垂直两个关系得到关于,ab的方程组，求解后可得

所求的对称点的坐标.【详解】（1）由题设有()1,1M，故211415CMk−==−−−，故直线CM的方程为：()1115yx=−−+即560xy+−=.（2）()22104CBk−−==−−−，故直线BC的方程为：2yx=−−，设A点关于直线BC对称点坐

标为(),ab，则42222412baba++=−−−=−，解得64ab=−=−，故A点关于直线BC对称点坐标为()6,4−−.【点睛】本题考查直线方程以及点关于直线的对称点的求法，后者注意利用中点和垂直来构建关于对称点的坐标

的方程组，本题属于基础题.19.如图，在三棱锥PABC−中，PA⊥底面ABC，3ABAC==，2CEEA=，BDDC=.（1）证明：平面PBC⊥平面PAD；（2）若三棱锥PABD−的体积为94，且ABAC⊥，求平面PAB与平面PDE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析

；（2）31111.【解析】【分析】（1）由ADBC⊥，PABC⊥得到BC⊥平面PAD，从而得证；（2）因为94PABDV−=，所以3PA=.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，求出平面PDE与平面PAB的法向量，代入公式即可得到锐二面角的余

弦值.【详解】（1）证明：因为ABAC=，BDDC=，所以ADBC⊥，又PA⊥平面ABC，则PABC⊥，因为ADPAA=，所以BC⊥平面PAD.又BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAD.（2）因为1119333224PABDVPA−==

，所以3PA=.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则()0,0,0A，()3,0,0B，()0,3,0C，()0,1,0E，33,,022D，()0,0,3P，则31,,022ED=，()0,1,3PE=−.设平面PDE的法向量为()

,,nxyz=，则·0·0nEDnPE==，即3102230xyyz+=−=，令1z=，得()1,3,1n=−，平面PAB的一个法向量为()0,1,0m=，则3311cos,1111mn==，故平面PAB与平面PDE所成锐二面角的余弦值为31111.【点睛】空间向量解答立体几何问题

的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化

为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，ADAB⊥，AB∥DC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC中点．（1）证明：BE平面PAD；（2）求直线BE与平面PB

D所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BFAC⊥，求二面角FABP−−的余弦值.【答案】（1）见解析（2）33（3）31010【解析】【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形

，由此能证明BE∥平面ADP，（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量BF的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代

入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【详解】（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM12=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，∴四边

形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面ADP．（2）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD＝DC＝AP＝2

，AB＝1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∵BD=（﹣1，2，0），PB=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量m=（x，y，z），由00mBDmPB==，得2020xyxz

−+=−=，令y＝1，则m=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ23362mBEmBE===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33．（3）∵BC=（1，2，0），CP=（﹣2，﹣2，2），AC=（2，2，0），由F点在棱PC上，设CF=λCP=

（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故BFBCCF=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得BF•AC=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，解得λ34=，即BF=（12−，12，32），设平面FBA的法向量为n=（a，b，c），由00nABnBF=

=，得01130222aabc=−++=令c＝1，则n=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量i=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα33101010inin===，

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：31010【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．