【文档说明】山西省临汾市2021届高三高考数学适应性（理科）试卷（二） 含解析.doc，共(21)页，1.359 MB，由小赞的店铺上传

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2021年山西省临汾市高三高考数学适应性试卷（理科）（二）一、选择题（每小题5分）.1．复数的共轭复数是（）A．2+iB．﹣2﹣iC．﹣2+iD．2﹣i2．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝（）A．B．{y|0＜y＜1}

C．D．∅3．若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1或m＞0B．m＞0C．m＜﹣1D．﹣1＜m＜04．已知f（x）＝，则f（f（ln2））＝（）A．B．C．D．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视

图，则该几何体的体积是（）A．3B．6C．9D．186．如图，∠OAB＝∠ABC＝120°，且||＝||＝2||＝2，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣D．7．在（a+x﹣）10的展开式中，x8的系数为170，则正数a的值为（）A．B．C．2D．18．随

着移动互联网的飞速发展，许多新兴行业异军突起，抖音和快手牢牢占据短视频平台的两大巨头，抖音日活跃用户数为4亿，快手日活跃用户数为3亿，且抖音和快手日均时段活跃用户占比分布如图，则（）A．4﹣6点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少B．1﹣3点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少C．

1﹣3点时段抖音与快手的活跃用户数差距最大D．一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段有2个9．已知函数f（x）＝Acos（ω1x+φ）（A＞0，ω1＞0，﹣＜φ＜），g（x）＝Asin（ω2x+）（ω2＞0）且函数

f（x）的图象如图所示，则下列判断不正确的是（）A．A＝2，ω1＝1，φ＝﹣B．若ω1＝ω2，则f（x）＝g（x）C．若g（x）在（，π）上单调递减，则ω2的取值范围为[，]D．如果ω2＝2，且g（x﹣a）为偶函数，则α＝﹣+kπ（k∈Z）10．点

A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．4πC．D．11．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，A＝，E，F分别在边AB，AC上．若线段EF平分△ABC的面积，则EF的最小值为（）A．2B．4

8﹣24C．D．612．已知曲线f（x）＝lnx+2x与曲线g（x）＝a（x2+x）有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知f（x）＝

e1﹣x+x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．14．已知α∈（，），且sinα+cosα＝，则tanα＝．15．已知点B（8，8）在抛物线C：y2＝2px上，C在点B处的切线与C的准线交于点A，F为C的焦点，则直线AF的斜率为．16．

如图，三棱锥A﹣BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，CD＝12，点P在侧面ACD内，且点P到直线AB的距离为4，则点P到平面BCD距离的最小值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取

了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称

为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取10人，再从这10人中抽取3人做进一步调查，设抽到的人中运动达人的人数为X，求随机变量X的分布列及期望．18．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面

、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面

的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用an，bn分别表示在第n个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且a1＝600．（1）证明：数列{an}是常数列；（2）若cn＝，求数列{bn+cn}的前2n项和S2n．19．如图，在半径为的半球O中，平行四边形ABCD是圆O的内接四边形，

AD＝AB，点P是半球面上的动点，且四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）求动点P的轨迹T围成的面积；（2）是否存在点P使得二面角P﹣AD﹣B的大小为？请说明理由．20．若曲线y＝f（x）与y＝g（x）有公共点，且在公共点处有相同的切线，则称y＝f（x）与y＝g（x）相切．已知f（x）＝lnx+ax

与g（x）＝bx2相切．（1）若b＝1，求a的值；（2）对任意a＞0，是否存在实数b＞0，使得曲线y＝f（x）与y＝g（x）相切？请说明理由．21．已知点Q（2，1）在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，且点Q到C的两焦点的距离之和为4．（1）求C的方程；（2）设圆O：x2+y2＝上任意

一点P处的切线l交C于点M，N，求|OM|•|ON|的最小值．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4：

坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）点P为C1上任意一点，若OP的中点Q的轨迹为曲线C2，求C2的极坐标方程；（2）若点M

，N分别是曲线C1和C2上的点，且OM⊥ON，证明：|OM|2+4|ON|2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b为正实数，且满足a+b＝1．证明：（1）a2+b2≥；（2）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的共轭复数是（）A．2+iB．﹣2﹣iC．﹣2+iD．2﹣i解：复数＝＝﹣2﹣i的共轭复数是﹣2+i．故选：C．2．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝（）A．B．{y|0

＜y＜1}C．D．∅解：由题意可得：，∴．故选：A．3．若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1或m＞0B．m＞0C．m＜﹣1D．﹣1＜m＜0解：方程＝1表示双曲线，可得m（m+1）＞0，解得m＜﹣1或m＞0

．故选：A．4．已知f（x）＝，则f（f（ln2））＝（）A．B．C．D．解：∵x＝ln2＜1，∴f（ln2）＝e﹣ln2＝，∴f（f（ln2））＝f（）＝＝，故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．3B．6C

．9D．18解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，把它放入底面边长为3、高为2的长方体中，如图所示：则该三棱锥的体积是V＝S△ABC•h＝××32×2＝3．故选：A．6．如图，∠OAB＝∠ABC＝120°，且||＝||＝2||＝2，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣D．解：如图，延

长OA和CB，相交于O．所以∠OAB＝∠OBA＝60°，所以∠AOB＝60°．所以．则在方向上的投影为：＝2×cos120°＝﹣1．故选：A．7．在（a+x﹣）10的展开式中，x8的系数为170，则正数a的值为（）A．

B．C．2D．1解：由多项式的乘法性质知每个括号里的因式是a，x，﹣，则x8＝x9×＝x8×1×1，共有2种情况，则对应的x8为（﹣）•x9+a2•x8＝（﹣10+45a2）x8，∵x8的系数为170，∴﹣10+45a2＝170，得45a2＝180，得a2＝4，得a＝2，故

选：C．8．随着移动互联网的飞速发展，许多新兴行业异军突起，抖音和快手牢牢占据短视频平台的两大巨头，抖音日活跃用户数为4亿，快手日活跃用户数为3亿，且抖音和快手日均时段活跃用户占比分布如图，则（）A．4﹣6点时段抖音的活跃用户数比快手的活

跃用户数少B．1﹣3点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少C．1﹣3点时段抖音与快手的活跃用户数差距最大D．一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段有2个解：对于A，4﹣6点时间段的活跃用户：抖音是4×17%＝0.68亿，快手是3×21%＝0.63亿＜0.68亿，故选项A错误；对于B，1

﹣3点时段的活跃用户：抖音是4×12%＝0.48亿，快手是3×18%＝0.54亿＞0.48亿，故选项B正确；对于C，1﹣3点时段抖音与快手的活跃用户数的差距为0.54﹣0.48＝0.06亿，而19﹣21点时段抖音与快手的活跃用户数的差距为4×49%

﹣3×54%＝0.35亿＞0.06亿，故选项C错误；对于D，一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段只有1﹣3时，故选项D错误．故选：B．9．已知函数f（x）＝Acos（ω1x+φ）（A＞0，ω1＞0，﹣＜φ＜），g（x）＝Asin（ω2x+）（ω2＞

0）且函数f（x）的图象如图所示，则下列判断不正确的是（）A．A＝2，ω1＝1，φ＝﹣B．若ω1＝ω2，则f（x）＝g（x）C．若g（x）在（，π）上单调递减，则ω2的取值范围为[，]D．如果ω2＝2，且g（x﹣a）为偶函数，则α＝﹣+kπ（k∈Z）解：对于选项A，由函数f（

x）的图象可得其周期T＝2（﹣）＝2π＝，解得ω1＝1，由于点（，A）在f（x）上，可得f（）＝Acos（+φ）＝A，可得+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，由于﹣＜φ＜，可得φ＝﹣，又由于点（0，1）在f（x）上，可得f（0）＝Acos（﹣）＝A＝1，解得A＝2，故A正确；对于

选项B，由于f（x）＝2cos（x﹣），g（x）＝2sin（x+），可知f（x）＝2sin[﹣（x﹣）]＝2sin（x+）＝g（x），故B正确；对于选项C，g（x）＝2sin（ω2x+），所以ω2+≥，πω2+≤，可得≤

ω2≤，故C正确；对于选项D，g（x）＝2sin（2x+），可得g（x﹣a）＝2sin（2x﹣2a+）＝±2cos2x，所以a＝﹣+kπ，k∈Z，故D错误．故选：D．10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，若四面体AB

CD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．4πC．D．解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上，且|AB|＝|AC|＝1，∠ABC＝120°，∴BC＝，∴△ABC外接圆半径2r＝2，即r＝1，∴S△ABC＝×1×1×sin120°＝，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最

大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ＝，∴DQ＝3，设球的半径为R，则在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝12+（3﹣R）2，∴R＝，∴球的表

面积为＝，故选：D．11．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，A＝，E，F分别在边AB，AC上．若线段EF平分△ABC的面积，则EF的最小值为（）A．2B．48﹣24C．D．6解：由题意可得S△ABC＝AB•AC•sin＝×＝12，因为线段EF平分

△ABC的面积，所以S△AEF＝6，令AE＝x，AF＝y，可得S△AEF＝x•y•sin＝xy＝6，可得xy＝24，可得cos∠EAF＝＝，可得x2+y2﹣EF2＝xy，所以EF2＝x2+y2﹣xy＝

x2+y2≥2xy﹣24＝48，可得EF≥6，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以EF最小值为6．故选：D．12．已知曲线f（x）＝lnx+2x与曲线g（x）＝a（x2+x）有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）A．（

0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）解：根据题意，可得函数f（x）的定义域为：x∈（0，+∞）方程lnx+2x＝a（x2+x）有两个实数解，∵x＞0，即得x2+x＞0∴方程有两个实数解，此

时令，则直线y＝a与函数y＝h（x）的图象有两个交点，∵＝令h'（x）＝0，则有，或x＝1∴h'（x）＞0⇒0＜x＜1；h'（x）＜0⇒x＞1∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减∴h（x）max＝h（1）＝1∵当x→0时，h（x）→﹣∞；当x→+∞

时，h（x）＞0∴若使直线y＝a与y＝h（x）有两个交点，则需使0＜a＜1故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知f（x）＝e1﹣x+x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2．解：由f（x）＝e1﹣x+

x，得f′（x）＝﹣e1﹣x+1，∴f′（1）＝﹣e0+1＝0，又f（1）＝e0+1＝2，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2．故答案为：y＝2．14．已知α∈（，），且sinα

+cosα＝，则tanα＝．解：因为α∈（，），所以，因为sinα+cosα＝，所以＝，即sin（）＝，所以＝即，则tanα＝tan（）＝＝．故答案为：．15．已知点B（8，8）在抛物线C：y2＝2px上，C在点B处的切线与C的准线交于点A，F为C的焦点，则直线AF的斜率为．解：把

B（8，8）代入抛物线C：y2＝2px，得82＝2p×8，可得p＝4，则抛物线C为y2＝8x，抛物线的焦点坐标F（2，0），直线方程为x＝﹣2．∴y＝，y′＝，把x＝8代入，可得C在点B处的切线的斜率k＝．设A（﹣2，yA），∴，解得yA＝3，则A（﹣2

，3），∴．故答案为：．16．如图，三棱锥A﹣BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，CD＝12，点P在侧面ACD内，且点P到直线AB的距离为4，则点P到平面BCD距离的最小值为4（）．解：由题

意可知P在以AB为轴，底面半径为4的圆柱的侧面上，与平面ACD的交线是关于P对称是圆弧，设CD的中点为F，AB的中点为E，连接AF，BF，EF，由于AC＝AD＝BC＝BD所以CD⊥平面ABF，AB⊥EF，EF是异面直线AB

，CD的公垂线，与平面ACD的交线是关于P对称是圆弧是椭圆的一部分，点P在直线AF与椭圆的交点的位置时，P到底面距离取得最小值，由题意可知BE＝4，CF＝6，BF＝8，EF＝＝4，P到AB的距离为4，即PG＝4，∠BAF＝

60°，AP＝＝，PF＝8﹣，P到底面的距离PO＝（8﹣）sin60°＝4（）．故答案为：4（）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为

选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：

小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取10人，再从这10人中抽取3

人做进一步调查，设抽到的人中运动达人的人数为X，求随机变量X的分布列及期望．解：（1）频率分布直方图如图所示：由频率分布直方图可知，第一组和第二组的频率之和为0.2+0.25＝0.45＜0.5，前三组的频率之和为0.2

+0.25+0.3＝0.75＞0.5，所以中位数应该在第三组，设中位数为x，则（x﹣4）×0.15＝0.5﹣0.45＝0.05，解得4.3，所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为4.3；（2）每周锻炼时间为6～8小时的人数为300×0.15＝45人，每周锻炼时间为8～10小时

的人数为300×0.1＝30人，由分层抽样可得，抽样的比例为＝，所以6～8小时抽取人数为45×＝6人，8～10小时抽取的人数为30×＝4人，故抽到的人中运动达人的人数X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝

，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝，所以X的分布列为：X0123P故X的数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝＝1.2．18．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有100

0名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用an，bn分别表示

在第n个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且a1＝600．（1）证明：数列{an}是常数列；（2）若cn＝，求数列{bn+cn}的前2n项和S2n．【解答】（1）证明：∵a1＝600，∴b1＝1000﹣600＝400，a2＝600×0.8+400×0.3＝600，根据题意，可得，解之可得，，∵

a1＝600，∴an＝600，即得数列{an}是常数列；（2）由（1）可得，bn＝1000﹣an＝400，∵，∴S2n＝2n×400+（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）＝2n×400+2（1+3+5+…+2n﹣1）+（22+24+…+22n）＝800n

+．19．如图，在半径为的半球O中，平行四边形ABCD是圆O的内接四边形，AD＝AB，点P是半球面上的动点，且四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）求动点P的轨迹T围成的面积；（2）是否存在点P使得二面角P﹣AD﹣B的大小为？请说

明理由．解：（1）由题意可知，平行四边形ABCD为矩形，因为AD＝AB，AB2+AD2＝12，所以，故四边形ABCD的面积为，设点P到地面ABCD的距离为hP，则，所以，所以点P在到底面ABCD距离为的平面内，又因为

点P是半球面上的动点，所以点P的轨迹为半径为r＝的圆，所以T的面积为S＝πr2＝π；（2）存在点P使得二面角P﹣AD﹣B的大小为．理由如下：以底面圆的圆心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设满足题意时，点，可得a2+b2＝1，设

平面ADP的法向量为，因为，所以，令，则z＝b+1，故，由题意可取平面ABCD的一个法向量为，若要满足题目条件，则，解得∈[﹣1，1]，故存在点P使得二面角P﹣AD﹣B的大小为．20．若曲线y＝f（x）与y＝g（x）有公共点，且在公共点处有相同的切线，则称y

＝f（x）与y＝g（x）相切．已知f（x）＝lnx+ax与g（x）＝bx2相切．（1）若b＝1，求a的值；（2）对任意a＞0，是否存在实数b＞0，使得曲线y＝f（x）与y＝g（x）相切？请说明理由．解：（1）∵f（x）＝lnx+ax，g（x）＝

bx2，∴f′（x）＝+a，g′（x）＝2bx，∵b＝1，∴g′（x）＝2x，由题意得，解得a＝1；（2）设曲线y＝f（x）与y＝g（x）相切，切点设为（x0，y0），则lnx0+ax0＝b①，+a＝2bx0②，则由②得a＝2bx

0﹣＞0③，将③代入①得lnx0+2bx02﹣1＝b，即lnx0+bx02﹣1＝0，设h（x）＝lnx+bx2﹣1，则h′（x）＝+2bx＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，而x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→+∞，故h（x）在（0，+∞）存在零

点，故存在实数b＞0，使得曲线y＝f（x）与y＝g（x）相切．21．已知点Q（2，1）在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，且点Q到C的两焦点的距离之和为4．（1）求C的方程；（2）设圆O：x2+y2＝上任意一点P处的切线l

交C于点M，N，求|OM|•|ON|的最小值．解：（1）由题意可得+＝1，且2a＝4，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为+＝1；（2）当直线MN的斜率不存在时，可设切线方程为x＝，代入椭圆x2+4y2＝8，可得M（，），N（

，﹣），则•＝0，且|OM|•|ON|＝；当直线MN的斜率存在时，设切线的方程为y＝kx+m，由切线与圆x2+y2＝相切，可得＝，化为5m2＝8+8k2，由y＝kx+m与椭圆方程联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝﹣

，x1x2＝，•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•+km（﹣）+m2，代入m2＝，可得•＝0，即OM⊥ON，由OP⊥MN，所以|OM|•|ON|＝|OP|•|MN|＝|MN|，而|MN|＝•

＝•＝•＝•＝＝•≥，当k＝0时，上式取得等号．所以|OM|•|ON|的最小值为•＝．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲

线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）点P为C1上任意一点，若OP的中点Q的轨迹为曲线C2，求C2的极坐标方程；（2）若点M，N分别是曲线C1和C2上的点，且O

M⊥ON，证明：|OM|2+4|ON|2为定值．解：（1）曲线C1的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ．设Q（ρ，θ），P（ρ1，θ），则ρ1＝2ρ

，由于点P为C1上的点，所以ρ1＝4sinθ，整理得2ρ＝4sinθ，故ρ＝2sinθ．（2）证明：设M（ρ2，θ），则N（），所以OM|2＝，4|ON|2＝，故：|OM|2+4|ON|2＝16（定值

）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b为正实数，且满足a+b＝1．证明：（1）a2+b2≥；（2）．【解答】证明：（1）∵a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，又a+b＝1，∴；（2）∵a+b＝1，∴＝（）（a+b）＝3++3＝，则，

当且仅当b＝时等号成立．