【文档说明】【精准解析】高中数学北师大必修4一课三测：2.3.1数乘向量含解析【高考】.docx，共(14)页，244.137 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

§3从速度的倍数到数乘向量3．1数乘向量填一填1.数乘向量(1)一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λα.它的长度为|λa|＝|λ||a|，它的方向：当λ>0，λa与a的方向________；当λ<0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(2)几何意义λ

a的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上________(|λ|>1)或________(|λ|<1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量，λ，μ为实数．①λ(μa)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝________；④特别地(－λ)a＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(4)线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．(5)a|a|表示a方向上的单位向量．2．

向量共线定理判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa判一判1.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍．()2．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5

a的模的25.()3．λa与a同向．()4．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之也成立．()5．若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在同一条直线上．()6．实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．()

7．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反．()8．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．()想一想1.如何从代数和几何角度看数乘运算？提示：(1)代数角度．λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝

0.(2)几何角度．对于向量的长度而言，①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍．②当0<|λ|<1时，有|λa|<|

a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍．2．为什么向量共线定理中规定a≠0?提示：若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.(2)若b＝0，则对任意实数λ，

都有b＝λa.思考感悟：练一练1.4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b2．点C在直线AB上，且AC→＝3AB→，则BC→等于()A．－2AB→B.13AB→C．－13AB→D．2AB→3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向

量a与向量b的关系为b＝________a.4．点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝________AB→，BC→＝________AB→.知识点一向量数乘的定义及线性运算1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论

正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a2．化简：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)．(2)13(a＋2b)＋14(3a－2b)－12(a－b)．(3)1312(2a＋8b)－(4

a－2b).知识点二向量的表示3．如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若AB→＝a，AD→＝b，则DE→＝()A.12a－bB.12a＋bC．a＋12bD．a－12b4．三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝AB→，b＝AC→，用向量

a，b表示AD→＝________.知识点三向量共线定理5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.6．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．综

合知识三点共线问题7.已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.基础达标一、选择题1．

已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e22．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：①m(a－b)＝ma－mb②(m－n)a＝ma－na③若ma＝mb，则a＝b④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中，正确的说法是()A．

①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D.1x－ye(x，y∈R，且x≠y)4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD→＝()A．－BC→＋12BA→

B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D.BC→＋12BA→5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→6．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝AB→，b＝AC

→，则CG→＝()A.13a－23bB.13a＋23bC.23a－13bD.23a＋13b7．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量AB→＝a－kb，CB→＝2a＋b，CD→＝3a－b，若A，B，D三

点共线，则实数k的值等于()A．10B．－10C．2D．－28．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交AB的延长线，AC于不同的两点M，N.若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为()A．1B.32C.12D．2二、填空题9．已知

点P在线段AB上，且|AB→|＝4|AP→|，设|AP→|＝λPB→，则实数λ＝________.10．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.11．已知|a|＝6，b与a

的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.12．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．三、解答题13．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一

点，若OP→＝xOA→＋yOB→，求x＋y的值．14.在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且CDDA＝AEEB＝12，设BC→＝a，CA→＝b.求证：DE→＝13(b－a)．能力提升15.如图所示，四边形OADB是平行四边形，OA→＝a，OB→＝b，又BM→＝13BC→，

CN→＝13CD→，试用a、b表示OM→、ON→、MN→.16．设O为△ABC内任一点，且满足OA→＋2OB→＋3OC→＝0.(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线；(2)求△ABC与△AOC的面积之比．3．1数乘向量一测基础过关填一填1．(1)相同相反(2)伸长缩短(3)

λa＋μaλa＋λb判一判1．√2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.√练一练1．D2.D3.24.35－25二测考点落实1．解析：当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边

表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.答案：C2．解析：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b.(2)13(a＋2b)＋14(3

a－2b)－12(a－b)＝13＋34－12a＋23－12＋12b＝712a＋23b.(3)1312(2a＋8b)－(4a－2b)＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(－3a＋6b)＝－a＋2b.3．解析：因为E是BC的中点，所以CE

→＝12CB→＝－12AD→＝－12b，所以DE→＝DC→＋CE→＝AB→＋CE→＝a－12b.答案：D4.解析：因为D为BC的三等分点，当BD＝13BC时，如图1，BD→＝13BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB

→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.当BD＝23BC时，如图2，BD→＝23BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→＝13a＋23b.答案：13a＋23b或23a＋13b5．解析：由

题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13.答案：－136．解析：因为a与b是共线向量，所以a＝λb，所以2e1－e2＝λ(ke1＋e2)

＝λke1＋λe2，所以λk＝2，λ＝－1，所以k＝－2，λ＝－1.所以k＝－2.7．证明：(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)·OB→＝OB→＋m(OA→－OB→)，∴OP→－OB→＝m(OA→－OB→)，即BP→＝mBA→，∴B

P→与BA→共线．又∵BP→与BA→有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．又OP→＝mOA→＋nOB→，故有mOA→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，即(m－λ)OA→＋(n＋λ

－1)OB→＝0.∵O，A，B不共线，∴OA→，OB→不共线，∴m－λ＝0，n＋λ－1＝0，∴m＋n＝1.三测学业达标1．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e

1＋2e2＝8e2.答案：D2．解析：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，

即m＝n.答案：B3．解析：|3a|是向量3a的模，是实数而不是向量．答案：C4．解析：CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.答案：A5．解析：EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.答案：A6．解析：∵G为△ABC

的重心，∴AG→＝13(AB→＋AC→)＝13a＋13b，∴CG→＝CA→＋AG→＝－b＋13a＋13b＝13a－23b.答案：A7．解析：因为A，B，D三点共线，所以AB→＝λBD→＝λ(CD→－CB→)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.答案：

C8．解析：连接AO，AO→＝12(AB→＋AC→)＝m2AM→＋n2AN→，∵M，O，N三点共线，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2.答案：D9．解析：因为|AB→|＝4|AP→|，则AP→的长度是PB→的长度的13，二者的方向相同，所以AP→＝13P

B→.答案：1310．解析：由已知得x＋y－1＝0，x－y＝0，解得x＝y＝12.答案：121211．解析：|a||b|＝63＝2，所以|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.答案：－212．解析：OB→＋

OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形13．解析：设λAB→＝BP

→，则OB→＝OA→＋AB→，则OP→＝OB→＋BP→＝OA→＋AB→＋BP→＝OA→＋OB→－OA→＋λ(OB→－OA→)＝OB→(1＋λ)－λOA→，所以x＋y＝1＋λ－λ＝1.14．证明：∵CDDA＝AEEB＝12，∴DA→＝23CA→＝23b，AE

→＝13AB→＝13(AC→＋CB→)＝13(－b－a)＝－13b－13a.∴DE→＝DA→＋AE→＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a)．15．解析：因为BA→＝OA→－OB→＝a－b，所以BM→＝13BC→＝16BA→＝16(a－b)所以OM→＝OB→＋BM→＝b＋16(

a－b)＝b＋16a－16b＝16a＋56b.又由OD→＝OA→＋OB→＝a＋b，得ON→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23a＋23b.所以MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a＋56b＝12a－16b.16.解析：(1)证明：如

图，OB→＋OC→＝2OD→，OA→＋OC→＝2OE→，∵OA→＋2OB→＋3OC→＝(OA→＋OC→)＋2(OB→＋OC→)＝2(2OD→＋OE→)＝0，即2OD→＋OE→＝0，∴OD→与OE→共线，即D，

E，O三点共线．(2)由(1)知2|OD→|＝|OE→|，∴S△AOC＝2S△COE＝2×23S△CDE＝2×23×14S△ABC＝13S△ABC，∴S△ABCS△AOC＝3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com