【文档说明】福建省莆田第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含解析.docx，共(27)页，1.419 MB，由envi的店铺上传

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莆田一中2023～2024学年度上学期期末考试试卷高一数学必修一，必修二6.1、6.2考试时间120分钟试卷满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合216,560MxxN

xxx==−+，则MN=（）A.12xxB.13xxC.23xxD.26xx2.已知函数()322,011,0xxfxxx−=−，则()()1ff=（）A.1B.0C.1−D.2−3.已知0x，()0,yxyR，则“2xy+”是“1xy

”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)＝2cos1xx−，,33x−的图象大致是（）A.B.C.D.5.《周髀算经》中给出的弦图是由

四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（045），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan的值为（）A2524B.2425C.43D.346.已知ABC外接圆圆心为O，半径为1，2AOABAC=+，且3OAA

B=，则向量AB在向量BC上的投影向量为（）A.34BCuuurB.14BCC.14BC−D.34BC−7.已知函数()2fxx=−，()2gxx=，设函数()()()()()()(),,fxfxgxLxgxfxgx

=，则下列说法错误的是（）A.()Lx是偶函数B.函数()Lx有两个零点C.()Lx区间()1,0−上单调递减D.()Lx有最大值，没有最小值8.如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造

函数，利用函数的单调性把方程或不等式化简.利用上述方法解决问题：已知实数(),1,ab+，22loglog3loglog2baab+=+，则（）A.abbB.babC.baaD.aba二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合.在题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()yfx=的图象为如图所示的曲线m和线段n，曲线m与直线l无限接

近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A.()fx的定义域为[3,1][0,2]−−B.()fx值域为)1,+C.在()fx的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应D.在()fx的值域内任取一个值，总有唯一的x值与之对应10.已知平面四边形ABCD，则下列命题正确是（）A.若12A

BDC=，则四边形ABCD是梯形B.若ABAD=，则四边形ABCD是菱形C.若ACABAD=+，则四边形ABCD是平行四边形D.若ABDC=且ABADABAD+=−，则四边形ABCD是矩形11.已知函数()πsin6fxx=+（0），则下列说法

正确的是（）A.若1=，则π,03是()fx的对称中心B.若()π6fxf恒成立，则的最小值为2C.若()fx在π0,2上单调递增，则203D.若()fx在0,2π上

恰有2个零点，则1117121212.已知函数()fx的定义域为R，()2fx+是奇函数，()21fx+是偶函数，且当2,3x时，()2fxx=−，则下列选项正确的是（）的的A.()fx的图象关于直线1x=对

称B.()()()2022202320241fff++=−C.1112fx−+关于点()2,1对称D1112fx−+关于点()1,1对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13

.已知弧度数为3的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________.14.已知2x，则92xx+−的最小值为______.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P、Q从点()1,0A出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q按顺时针

方向每秒钟转11π12弧度，则P、Q两点在第1804次相遇时，点P的坐标是______.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线123ccc、、依次为2222log,log,logyxyxykx===的图

象，其中k为常数，01k，点A是曲线1c上位于第一象限的点，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线2c分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线3c于点C，若四边形ABCD为矩形，则k的值是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤..17.

已知2a=，4b=，且23ab+=.（1）求a与b的夹角；（2）若()()2abakb−⊥+，求实数k的值.18.已知函数()ππcossincos36fxxxx=−+−+（1）当π0,2x

，求()fx的最大值以及取得最大值时x的集合.（2）先将函数()yfx=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数()ygx=的图象，求当xR时，使()1gx成立的x的取

值集合.19.已知函数()1eexxfx=−．（1）若()2fx=，求x的值；（2）若()()e20tftmft+对于0,1t恒成立，求实数m的取值范围．20.已知角为锐角，2−，且满足1tan23=，()72sin10−=（1）证明：04

；（2）求.21.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间

，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min012345水温/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从100℃开始，经过minx后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：①ykxb=+（0k，0x）；②xykab=+（0k

，01a，0x）；③log()ayxkb=++（1a，0k，0x）．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌

龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg20.301，lg30.477．）22.小颖同学在学习探究活动中，

定义了一种运等“”：对于任意实数a，b，都有()lg1010abab=+，通过研究发现新运算满足交换律：abba=.小颖提出了两个猜想：x，y，Rz，①()()xyzxyz=；②()()()xyzxzyz+=++.（1）请你任选其中一个猜想，判

断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设0a且1a，()()log24asxaxa=−−，当02mna时，若函数()()()131lg101fxss=++−−在区间,mn上的值域为log

,logaanm，求a的取值范围.莆田一中2023～2024学年度上学期期末考试试卷高一数学必修一，必修二6.1、6.2考试时间120分钟试卷满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已

知集合216,560MxxNxxx==−+，则MN=（）A.12xxB.13xxC.23xxD.26xx【答案】C【解析】【分析】由集合的交集运算可得.详解】2560

23Nxxxxx=−+=，16Mxx=，所以23MNxx=.故选：C.2.已知函数()322,011,0xxfxxx−=−，则()()1ff=（）A.1B.0C.1−D.2−【答案】B【解析】

【分析】直接计算得到答案.【详解】()322,011,0xxfxxx−=−，则()()()11110fff=−=−=.故选：B.3.已知0x，()0,yxyR，则“2xy+”是“1xy”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

分必要条件D.既不充分也不必要条件【【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】当0.01,2xy==时，则2xy+，但是=0.02<1xy，不是充分条件，当1xy时，因为0x，()0,yxyR，所以1xy，即12xyyy++，当且仅

当1y=等号成立，所以是必要条件，故“2xy+”是“1xy”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）

p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含.4.函数f(x)＝2cos1xx−，,33x−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A的【解析】【分析】判

断函数的奇偶性，以及函数在03x上的符号，利用排除法进行判断即可．【详解】∵f(x)＝2cos1xx−，,33x−∴,,,3333xxxx−−−，()

2cos()()1xxfxfx−=−−−−=，∴函数()fx是奇函数，排除D，当03x时，2cos10x−，则()0fx，排除B，C.故选：A．5.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（045

），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan的值为（）A.2524B.2425C.43D.34【答案】D【解析】【分析】设大正方形ABCD的边长为a，求出小正方形EFMN的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得242sincos25=，再利用弦化切求解可得答案.【详解】如图，

设大正方形ABCD的边长为a，则小正方形EFMN的边长为cossinAFAEAFBFaa−=−=−，所以小正方形与大正方形面积之比为()()222cossin1cossin25aaa−=−=，化简得242sincos25=，且π04，由222

2sincos2tan242sincossincostan125===++，解得3tan4=.故选：D.6.已知ABC外接圆圆心为O，半径为1，2AOABAC=+，且3OAAB=，则向量AB在向量BC上的投影向量为（）A.

34BCuuurB.14BCC.14BC−D.34BC−【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量AB在向量BC上的投影向量为()cosπBCABBBC−．【详解】如图，由2AOAB

AC=+知OBC中点，又O为ABC外接圆圆心，1OAOBOC===，2BC=，ABAC⊥，3OAAB=，3AB=，3cos2B=，∴AB在向量BC上的投影为：()3cosπ2ABB−=−，向量AB在向量BC上的投

影向量为：3324BCBCBC−=−．为故选：D．7.已知函数()2fxx=−，()2gxx=，设函数()()()()()()(),,fxfxgxLxgxfxgx=，则下列说法错误的是（）A.()Lx是

偶函数B.函数()Lx有两个零点C.()Lx在区间()1,0−上单调递减D.()Lx有最大值，没有最小值【答案】B【解析】【分析】画出函数()Lx的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可.【详解】在同一直角坐标系中，画出函数()2fxx=−，()2gxx=的图象，从而

得函数()()()()()()(),,fxfxgxLxgxfxgx=图象，如图实线部分：对于A，因为函数()Lx图象关于y轴对称，所以()Lx是偶函数，正确；对于B，根据零点的定义结合函数()Lx的图象知，函数()Lx有三个零点，分

别为2,0，错误；对于C，从函数()Lx图象观察得()Lx在区间()1,0−上单调递减，正确；对于D，从函数()Lx图象观察得()Lx有最大值，没有最小值，正确；故选：B8.如果一个方程或不等式中出现两个变量，适当变形后，可使得两边结构相同，此时可构造函数，利用函数的单调性

把方程或不等式化简.利用上述方法解决问题：已知实数(),1,ab+，22loglog3loglog2baab+=+，则（）A.abbB.babC.baaD.aba【答案】B【解析】【分析】对22logl

og3loglog2baab+=+结合23loglogbb和23loglogbb变形，得到不等式，构造函数()1fxxx=−，利用单调性化简得到答案.【详解】由22loglog3loglog2baab+=+，log3log2bb变形可知22loglog2

loglog3abab−=−，则22loglog2loglog2abab−−，利用换底公式等价变形，得222211loglogloglogabab−−，令()1fxxx=−，因为yx=，1yx=−在()0,+上单调递增，所以函数()1fxxx=−在()0,+上单调递增，所以2

2loglogab，即ab，排除C，D；其次，因为23loglogbb，得23loglog3loglog2baab++，即23loglog2loglog3abab−−，即332211loglogloglogabab−−，同样利用()1fxxx=−的单调性知，23loglo

gab，又因为323logloglogbbb=，得22loglogab，即ab，所以.bab故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()yfx=的图象

为如图所示的曲线m和线段n，曲线m与直线l无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（）A.()fx的定义域为[3,1][0,2]−−B.()fx的值域为)1,+C.在()fx的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应D.在()fx的值域内任取一个值，总有唯一的x值

与之对应【答案】BC【解析】【分析】A选项，x取不到-3，A错误；B选项，由图象可知值域为)1,+；C选项，由图象及函数的定义可知定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应；D选项，可举出反例.【详解】由题意得：定义域为(3,10,2−−，A错误；

()fx的最小值为1，故值域为)1,+，B正确；由函数定义及图象可知：在()fx的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应，C正确，在()fx的值域内任取一个值02,3y时，此时有两个x值

与之对应，D错误.故选：BC10.已知平面四边形ABCD，则下列命题正确的是（）A.若12ABDC=，则四边形ABCD是梯形B.若ABAD=，则四边形ABCD是菱形C.若ACABAD=+，则四边形ABCD是平行四边形D.若ABDC=且ABADABAD+=−，则四边形ABCD是矩形【答案】ACD【解

析】【分析】根据向量相等及向量模长的判断各个选项即可.【详解】对于A选项：因为12ABDC=，所以1,//2ABDCABDC=,则四边形ABCD是梯形,A选项正确；对于B选项：因为ABAD=相邻两边相等不能得出四

边形ABCD是菱形，所以B选项正确；对于C选项：因为ACABAD=+，所以四边形ABCD是平行四边形,C选项正确；对于D选项：因为ABDC=，所以,//ABDCABDC=,则四边形ABCD是平行四边形,因为ABADABAD+=−,所以22,0,AB

ADABADABADABAD+=−=⊥,则四边形ABCD是矩形,D选项正确；故选：ACD.11.已知函数()πsin6fxx=+（0），则下列说法正确的是（）A.若1=，则π,03是()fx的对称中心B.若()π6fxf

恒成立，则的最小值为2C.若()fx在π0,2上单调递增，则203D.若()fx在0,2π上恰有2个零点，则11171212【答案】BC【解析】【分析】求出π

3f可判断A；由()ππsin66fx+恒成立，可知πππ2π,662kk+=+Z，计算可判断B；由π0,2x可得ππππ,6626x++，求解ππππ6262

+可判断C；由0,2πx可得πππ,2π666x++，求解π2π2π3π6+可判断D.【详解】对于A，若1=，则()πsin6fxx=+，所以π13f=

，所以π3x=是()fx的对称轴，故A错误；对于B，若()π6fxf恒成立，即()ππsin66fx+恒成立，则πππ2π,662kk+=+Z,解得：212,kk=+Z，又因为0，则的最小值为2，故B正确；对于C，π0,2x时，π

πππ,6626x++，因为()fx在π0,2上单调递增，则ππππ6262+，解得203，故C正确；对于D，0,2πx时，πππ,2π666x++

，若()fx在0,2π上恰有2个零点，则π2π2π3π6+，解得11171212，故D错误.故选：BC.12.已知函数()fx的定义域为R，()2fx+是奇函数，()21fx+是偶函数，且当2,3x时，(

)2fxx=−，则下列选项正确的是（）A.()fx的图象关于直线1x=对称B.()()()2022202320241fff++=−C.1112fx−+关于点()2,1对称D.1112fx

−+关于点()1,1对称【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为函数()2fx+是奇函数，所以()fx的图象关于点()2,0对称，所以，()()4fxfx

−=−+；因为()21fx+是偶函数，所以()2fx的图象关于点12x=对称，所以()fx的图象关于点1x=对称，所以，()()2fxfx−=+；所以，()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx周期为4，又因为()()4fxfx−=−+，所以()()fxfx−=

−，即()fx为奇函数，对于A项，因为()fx图象关于直线1x=对称，故A项正确；对于B项，因为()fx的图象关于直线1x=对称，()fx周期为4，2,3x时，()2fxx=−，所以()()()20225054220fff=+==；()()()20235054331ff

f=+==−；()()()()20245064020ffff====；的所以()()()2022202320241fff++=−，故B项正确；对于C项，()fx为奇函数，图象关于点()0,0对称，则()1fx−的图象关于点()1,0对称，112fx

−的图象关于点()2,0对称，1112fx−+的图象关于点()2,1对称，故C项正确，D项错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知弧度数为3的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是________

__.【答案】23【解析】【分析】设圆的半径为r，根据圆心角与弦长、半径关系求r，再由弧长公式求圆心角所对的弧长.【详解】若圆的半径为r，则11sin62r==，可得2r=，∴圆心角所对的弧长2233lr===.故答案为：2314.已知2x，则92x

x+−的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式求最值可得答案.【详解】2x时20x−，则()999222228222+=−++−+=−−−xxxxxx，当且仅当922xx−=−即5x=时等号成立.故答案为：8.15.如图

所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P、Q从点()1,0A出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转π12弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转11π12弧度，则P、Q两点在第1804次相遇时，点P的坐标是______.【答案】13,22−

【解析】【分析】计算相遇时间，再确定P转过的角度，得到坐标.【详解】相遇时间为π11π18042π36081212t=+=秒，故P转过的角度为π2π3608300π123=+，故对应坐标为2π2πcos,sin33，即13,22−.故答案为

：13,22−16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线123ccc、、依次为2222log,log,logyxyxykx===的图象，其中k为常数，01k，点A是曲线1c上位于第一象限的点，过A分别作x轴、y

轴的平行线交曲线2c分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线3c于点C，若四边形ABCD为矩形，则k的值是________.【答案】12##0.5【解析】【分析】设出A点坐标，求得C点坐标并代入2logykx=，从而求得k的值.【详解】设()2,2logAtt，其中1t，则()2,log

Dtt，22logByt=，由222loglogtx=解得2Bxt=，则()22,2logBtt，所以()22,logCtt，将C点坐标代入2logykx=得22221loglog2log,21,2tktktkk===

=故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知2a=，4b=，且23ab+=.（1）求a与b的夹角；（2）若()()2abakb−⊥+，求实数k的值.【答案】（1）2π3（2）12【解

析】【分析】（1）根据数量积的运算律得到ab，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解；（2）依题意可得()()20abakb−+=，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值.【小问1详解】因为2222222421612a

baabbaabbab+=++=++=++=，所以4ab=−.设a与b的夹角为([0,π])，则41cos242abab−===−，又[0,π]，所以2π3=，故a与b的夹角为2π3.【小问2

详解】因为()()2abakb−⊥+，所以()()20abakb−+=，即22220akababkb+−−=，即22220akababkb+−−=，所以84(21)160kk−−−=，即12240k

−=，解得12k=..18.已知函数()ππcossincos36fxxxx=−+−+（1）当π0,2x，求()fx的最大值以及取得最大值时x的集合.（2）先将函数()yfx=图象上所有点的横坐

标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数()ygx=的图象，求当xR时，使()1gx成立的x的取值集合.【答案】18.最大值为2，x的集合为π3.19.ππππ,62xkxkk++Z【解析】【

分析】（1）利用正余弦的两角和与差的展开式化简()fx=π2sin6x+，再根据x的范围可得答案；（2）根据平移规律化简得到()26π2singxx=−，再解不等式可得答案.【小问1详解】由题意：函数()ππcossincos36fxxxx=−

+−+，化简得：()ππππcoscossinsinsincoscossincos3366fxxxxxx=++−+π3sincos2sin6xxx=+=+，因为π0,2x，所以ππ2π,663x+，则

1πsin126x+，当πsin16+=x即π3x=时()π2sin6fxx=+有最大值，且最大值为2，此时x的集合为π3；【小问2详解】将()fx的图象的横坐标缩短到

原来的12得到π2sin26yx=+的图象，再向右平移π6个单位后得到()26π2singxx=−，则()π2sin216gxx=−.即π1sin262x−，ππ5π

2π22π666kxk+−+，（kZ），解得ππππ62kxk++，（kZ），所以()1gx成立的x的取值集合是ππππ,62xkxkk++Z.19.已知函数()1eexxfx=−．（1）若()2fx=，求x的值；（2）若()()e2

0tftmft+对于0,1t恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）()ln12x=+（2）)2,−+【解析】【分析】（1）分别在0x和0x的情况下解方程即可求得结果；（2）由()ft单调性可知(

)10,eeft−；当0=t时，不等式恒成立，可知mR；当(0,1t时，分离变量可得2e1tm−+，结合指数函数单调性可知()2mine12t+=，由此可得m的范围.【小问1详解】当0

x时，()1e0exxfx−=−=，则()2fx=无解；当0x时，()1eexxfx=−，由()2fx=得：2e2e10xx−−=，解得：e12x=，又e0x，e12x=+，则()ln12x=+；综上所述：()ln12x=+.

【小问2详解】当0,1t时，()1eettft=−单调递增，则()10,eeft−；当0=t时，()00f=，则()()0e000fmf+=，则mR；当(0,1t时，()()2221eee

21eeee11eeettttttttttftmft−−==+=+−，()20mine1e12t+=+=，2−m，解得：2m−；综上所述：实数m的取值范围为)2,−+.20.已知

角为锐角，2−，且满足1tan23=，()72sin10−=（1）证明：04；（2）求.【答案】（1）证明见解析（2）3.4=【解析】【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得tantan4即可证明；（2）根据同角三角函

数的关系可得3sin5=，4cos5=，再根据两角和差的正弦公式，结合()sinsin=+−求解即可【小问1详解】证明：因为1tan23=，所以2122tan332tan1tan1441tan129====−−，因为为锐角且函数tan

yx=在0,2上单调递增，所以04【小问2详解】由22sin3tancos4sincos1==+=，结合角为锐角，解得3sin5=，4cos5=，因为2−，且()72sin10−=所以()2722cos11010

−=−−=−.()()()sinsinsincoscossin=+−=−+−3247225105102=−+=又5224++，所以3.4=21.中国茶文化博大精深，

茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间

/min012345水温/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从100℃开始，经过minx后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：①ykxb=+（0k，0x）；②xykab=+（0k，01a

，0x）；③log()ayxkb=++（1a，0k，0x）．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精

确到0.01）；（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg20.301，lg30.477．）【答案】（1）理由见解析，800.920xy=+（2）刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min能达到最佳饮用口感（3）乌龙茶所在实验

室的室温约为20℃【解析】【分析】（1）根据题意，结合一次函数，指数函数以及对数函数的特点，分析判断即可得到结果，然后将点的坐标代入即可得到解析式；（2）结合（1）中结论，然后代入计算，即可得到结果；（3）根据所选函数模型，代入

计算，即可得到结果.【小问1详解】选择②xykab=+（0k，01a，0x）作为函数模型．由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①

．故应选择②xykab=+（0k，01a，0x）将表中前2min的数据代入，得21009284.8kbkabkab=+=+=+，解得800.920kab===，所以函数模型的解析式为：800.920xy=+．【小问2详解】由（1）中

函数模型，有800.92060x+=，即10.92x=，所以0.91log2x=，即lg2lg20.3016.54lg0.912lg3120.477x−==−−，所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min能达到最佳饮用口感．【小问3详解】由8

00.920xy=+为减函数，且当x越大时，y越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．22.小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“”：对于任意实数a，b，都有()lg1010abab=+，通过研究发现新

运算满足交换律：abba=.小颖提出了两个猜想：x，y，Rz，①()()xyzxyz=；②()()()xyzxzyz+=++.（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设0a

且1a，()()log24asxaxa=−−，当02mna时，若函数()()()131lg101fxss=++−−在区间,mn上的值域为log,logaanm，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）2331

(,)24−【解析】【分析】（1）无论选①还是选②，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即可证明结论；（2）根据新运算定义化简可得()fx的表达式，根据复合函数的单调性判断其单调性，结合其值域可得关于,mn的方程，继而推出,mn是()22618610xaxaa−−+−+

=在(0,2)a上的两个不同的根，结合方程根的分布列出不等式组，即可求得答案.【小问1详解】若选①()()xyzxyz=，猜想正确；证明：()lg(1010)lg(1010)lg[1010]lg(101010)xyxyzxyzxyzz+=+

=+=++，()lg(1010)lg(1010)lg[1010]lg(101010)yzyzxxyzxyzx+=+=+=++，故()()xyzxyz=；若选②()()()xyzxzyz+=++，猜想成立；证明：()lg(1010)xyxy

zz+=++，而()()lg(1010)lg[(1010)10]lg(1010)xzyzxyzxyxzyzz++++=+=+=++，故()()()xyzxzyz+=++；【小问2详解】由题意可知

()()()13131lg101lg(1010)1lg101ssfxss++=++−−=+−−12lg[10(110)]1lg1011lg1011lg101sss+=+−−=++−−=()()log2

4axaxa=−−，令22()(2)(4)68gxxaxaxaa=−−=−+，其图象对称轴为3xa=，故()gx在(0,2)a上单调递减，因为()fx在区间,mn上的值域为log,logaanm，故loglogaanm，而0mn，故01a，此

时logayx=在(0,)+上单调递减，所以()log()afxgx=在,mn上单调递增，则()log()logaafmnfnm==，即()()()()log24loglog24logaaaamamannanam−−=−−=，即()()()()2424mamannan

am−−=−−=，整理得226()()mnamnmn−−−=−−，即61mna+−=−，将61nam=−−代入()()24maman−=−，得()22618610mamaa−−+−+=，同理得()22618610nanaa−−+−+=，即,mn是()2

2618610xaxaa−−+−+=在(0,2)a上的两个不同的根，令()22()61861hxxaxaa=−−+−+，则()()()()22208610241061022Δ6148610haahaaaaaaa=−+=−+−=−−

−+，解得114214116232332322aaaaaa−−−+或或，故2331(,)24a−.【点睛】难点点睛：本题给出了新运算的定义，解答时要理解其含义，并根据新定义去运算，解答的难点在于第二问，要结合新运算求得()fx的表达式，并判断其单调性，进而

结合值域得到关于参数的方程，再利用方程根的分布求解即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com