【文档说明】广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题含答案.doc，共(15)页，643.500 KB，由小赞的店铺上传

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汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合BAxNxBxxA则,2|},2|{()A．22|xxB．2,1C．}2,1,0{D．}2,1,0,1,

2{2．已知复数z满足51)2(izi，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有()A．12B．18C．24D．364．某防疫站对学生进行

健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2000人，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生()人．A．1030人B．97人C．950人D．970人5．鲁班锁是中国传统

的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90。榫卯起来，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为l，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不

计），则该球形容器表面积的最小值为()A．41B．42C．43D．446．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数，I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：)53(23.01teKt

I,其中K为最大确诊病例数．当KtI95.0*)(时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为())319(InA．60B．63C．66D．697．若函数axxxfsin2cos2)(2在]3,6[上的最小值为21，则)(xf在]3,6[上的最大值为(

)A．4B．5C．323D．3258．已知双曲线E的中心为原点，)0,3(F是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为)15,12(N,则E的离心率为()A．23B．23C．25D．553二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9．椭圆1

1622myx的焦距为72，则m的值为()A．9B．23C．716D．71610．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是()（注：结余=收入－支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：lB．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收

入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元11．设随机变量的分布列为)5,4,3,2,1(5kakkP，则()A．115aB．2.0)8.05.0(PC．2.0)5.01.0

(PD．3.0)1(P12．已知函数axxxgxfx2)(,2)(（其中)Ra.对于不相等的实数1x，2x，设212)()(1xxxfxfm，212)()(1xxxgxgn下列说

法正确的是（）A．对于任意不相等的实数21,xx都有0m;B．对于任意的a及任意不相等的实数21,xx，都有0n；C．对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm；D．对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm.三、填空题（本大题共4小题，20分）13．在数列na中，2

,111nnaaa，则6a的值为＿＿＿.14．已知二项式3322103)15(xaxaxaax，则231220aaaa=＿＿＿＿＿15．正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为l，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持0

ACPE，则动点P的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿16．己知数列}{nb的前n项和为nT，且22nnTb,数列}{nb的通项公式为＿＿＿；数列}{na的前n项和为nS，且)(,)(,4为偶数奇数nbnnann，若使1m2m2S

S恰为}{na中的奇数项，则所有正整数m组成的集合为＿＿＿＿.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．(10分)在△ABC中，)6cos(sinBaAb(1)求B；(2)若c=5，＿＿＿＿.求a，从①7b，②4C这两个条件中任选一

个，补充在上面问题中并作答.18．(12分)已知等差数列na满足182,4965aaa，等比数列}{nb的各项均为正数，且54432,2aabbb.(I)求}{na和}{nb的通项公式；(Ⅱ)

设nT为数列nnba的前n项和，求满足2020nT的最大正整数n．19．(12分)我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩

大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对

其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品.现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：总分[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]KN9061442317KN9546473

58(1)试分别估计两种口罩的合格率；(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和

，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．20．(12分)如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，90ABC,,//BCAD侧面△SCD为钝角三角

形，SDCD,平面SCD⊥平面ABCD，点M是棱SA上的动点，.21BCADAB(1)求证：平面MBD⊥平面SCD;(2)若直线SD与底面ABCD所成的角为60，是否存在点M,使得二面角A-MBD余弦值为?

772若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．21．(12分)已知函数).()(Raaxexfx(1)讨论函数)(xf的单调性；(2)若函数)(xf的图象与直线ay交于A，B两点，记A，B两点的横坐标分别为,,21xx且21xx，证明：.ln221axx

22．(12分)已知点)0,2(1F，点P是圆36)2(:222yxF上的任意一点，线段1PF的垂直平分线与直线2PF交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．(I)求曲线C的方程；(Ⅱ)设2.1,ll是分别过点21,

FF的两条平行直线，1l交曲线C于A,B两个不同的点，2l交曲线C于M,N两个不同的点，求四边形ABNM面积的最大值．数学参考答案1．C依题意得}2,1,0{BA，故选C．2．A复数z满足,1)2(5izi则,515322)2)(1(21215iiiiiiiiiz

所以,5153iz复数z在复平面内对应的点)51,53(位于为第一象限.3．D先从4名学生中选择两名组成一个复合元素，然后再将3个元素（包含复合元素）安排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有363324AC种．4．D中

学共有学生2000人，抽取了一个容量为200的样本，抽取比例为101，样本中男生103人，样本中女生97人，中学共有女生970人．5．A由题意，该球形容器的半径的最小值为：241143621，该球形容器的表面积的最小值为.4144146．C由题可知,95.01)53(

23.0KeKt所以191,19201)53(23.0)53(23.0ttee319ln)53(23.0t,解得66t7．D由于，]3,6[x所以,23,21sinx则函数axxaxxxfsin22sin2sin2cos

2)(22,25)21(sin22ax当21sinx时，函数取得最小值为2125a，解得3a.所以21)21(sin2325)21(sin2)(22xxxf由于,23,21sinx所以当23sinx时，函数取得最大值为.32521)21

23(228．B设双曲线的标准方程为)0,0(12222babyax，设),(11yxA，),(22yxB，则有：1,1222222221221byaxbyax，两式作差得：2222122221byyaxx，即)()(212212212

1yyaxxbxxyy，)0,3(F，AB的中点为,541512312015),15,12(2222ababN2254ab，即,94,5)(422222acaac得.23

ace故选：B.9．AB椭圆11622myx的焦距为72，即.7722cc得依题意得,716716mm或解得9m或23m，m的值为9或2310．ABC由图可知，收入最高值为90万元，收

入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确。由图可知，结余最高为7月份，为80-20=60，故B正确。由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同．故C正确。由图可知，前6个月的平均收入为45)6050303

06040(61万元，故D错误。11.ABC由题意可得15432aaaaa，所以151a，故115a，故A正确;2.03151)6.0()8.05.0(pP，故B正确；1.0(P2.015

321511151)4.0()2.0()5.0pp，故C正确;(P3.01151)1，故D不正确．12．AD对于A，由指数函数的单调性可得)(xf在R上递增，即有0m，则A正确；对于B，由二次函数的单调

性可得)(xg在)2,(a递减，在),2(a递增，则0n不恒成立，则B错误；对于C，若nm，可得)()()()(2121xgxgxfxf，即为)()()()(2211xfxgxfxg，设xax

xxh2)(2，则应有)()(21xhxh，而2ln22)('xaxxh，当)(',xha小于0，)(xh单调递减，则C错误；对于,D若nm，可得)]()([)()(2121xgxgxfxf，即为)()(

)()(2211xgxfxgxf设xaxxxh2)(2，则应有)()(21xhxh而2ln22)('xaxxh，对于任意的)(',xha不恒大于0或小于0，即)(xh在定义域上有增有减，则D正确．13．11解：,21nnaa数列}{na是公差为2的等

差数列．,115216a14．-64解：3322103)15(xaxaxaax令1x，则),()()15(312032103aaaaaaaa…①令1x,32103)15(aaaa，…

②，解得16215153320）（）（aa,582)15()15(3331aa.64)58(16)()(22231220aaaa15．32解：如图所示，取DCSC,的中点FM,，则BDEF//,SBME//，所以平面//SBD平面

MEF，而AC平面SBD所以AC平面MEF，则动点P在四棱锥表面上运动的轨迹为MEF，则动点P的轨迹的周长为.32)3322(2121SDBMFEll16．}2{2n解：由题意，当1n时，222111bTb，解得21b，当2n时，由2

2nnTb，可得2211nnTb两式相减，可得nnnbbb122，整理，得12nnbb,数列}{nb是以2为首项，2为公比的等比数列，.,222*1Nnbnnn

)()(4为偶数为奇数nbnnann，即为偶数）为奇数nnnann(2)(4(2)1(3)...()...(S24212312mmmaaaaaammm344441)41(4)212mmmm,344422212

mmmmmmaSS44)4(3431122mmmmmmSS．假设122mmSSkkak,4为正奇数，则kmmmm344)4(343，易知只有当2m时，1k适合题意，故所有正整数m组成的集合为}.2{17．解：(I)

在ABC中，由正弦定理得BbAasinsin，得BaAbsinsin又).6cos(sinBaAb)6cos(sinBaBa即)6cos(sinBB.............

..2分又BBBBBBsin21cos236sinsin6coscos)6cos(sin3tanB...........4分又),0(B,.3B...............5分(Ⅱ)若选①7b则在ABC中，由余弦定理Baccab

cos2222,.............7分可得02452aa解得8a，或3a（舍去），可得8a.......10分若选②,,4C则4264sin3cos4cos3sin)sin(sinCBA,..........7分由正弦定

理CcAasinsin，可得225426a，解得2535a...............10分18．解：(1)设等差数列}{na的公差为d1818324419615daaadaa，..........2分解得1,01da,所以1nan，.......

...........3分设等比数列的公比为q由.124343bb得12)(22qq，.....................1分解得2q，舍去负值，所以11b，.....................1分所以12nnb，................

.....6分(2)12)1(nnnnba当1n时，.01T当2n时，1322)1(232221nnnT，....................7分nnnT2)1(2322212432，..................

..8分nnnnT2)1(2222132,......................9分22)2(2)1(21)21(21nnnnn,1(,22)2(nnTnn也适合）.......

..............11分显然nT在*,1Nnn时单调递增，2020153822688T,2020358622799T,所以满足2020nT的最大正整数8n，...................12分19．解：(1

)由题意知生产90KN口罩合格率为54100731421P，.................1分生产95KN口罩合格率为109100835472P，..................2分(2)①随机变量X的所有可能取值为-3，1，7，11，50110151)3(

XP25250410154)1(XP,50910951)7(XP,2518503610954)11(XP………………6分因此，X的分布列如下：…………………7分)(2.9546)(元XE…………………8分②设“生产4

个90KN口罩所得的利润不少于8元”事件为A事件,A包括“生产4个90KN口罩全合格”和“生产4个90KN口罩只三个合格”，所以(或写为0.8192）……………………11分所以生产4个90KN口罩所得的利润不少于8元的概率为625512………………………12分20．解：(1)证明：取BC中点E，

连接DE,设aADAB,aBC2依题意得，四边形ABCD为正方形，且有aCEDEBE,,2aCDBD所以222BCCDBD………………………2分所以CDBD，………………………3分又平面SCD平面ABCD，平面SCD平面BDCDABCD,平

面ABCD,所以BD平面SCD……………………………4分又BD平面MBD,所以平面MBD平面SCD……………………………5分(2)假设存在点M，使得二面角MBDA余弦值为772，过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH因为平面SCD平面AB

CD，平面SCD平面CDSHSHABCD,平面SCD所以SH平面ABCD,故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即60SDH由(1)得，aSD2，…………………………6分所以在SHDRt中，aSD2,

aDH22,aSH26在ADH中，45ADH.22,aDHaAD由余弦定理得aAH22所以222ADDHAH，从而90AHD，（也可利用CBDA2，求得A点坐标）………………………7分过点D作SHDF//，所以DF平面ABCD．

所以/,,DFDCDB两两垂直，以点D为坐标原点，DB为x轴正方向，DC为y轴正方向，DF为z轴正方向建立空间直角坐标系，……………………8分则),0,2,0(),0,0,2(aCaB,0,22(),0,22,22(),26,22,0

(aSAaaAaaS)26a设)26,0,22()26,0,22(aaaaSASM,0()10(,DS)),1(26,22,22()26,22aaaSMDSDMaa设平面MBD的法向量

00),,(DMnDBnzyxn得0)1(26222202zaayaxax取iz得)1),1(3,0(n，…………………………10分取平面ABD的法向)1,0,0(m,所以7721)1(31|||||,cos|2mnmn

mn………………………………11分解得21或23又当23时，点M不在棱SA上，故21所以当点M是棱SA的中点时，二面角MBDA余弦值为.772…………………………12分21．解：(1)ae

xfx)('，……………………………1分0a时，)(,0)('xfxf在R递增，……………………………3分0a时，令0)('xf，解得：axln，令0)('xf，解得：axln,故)(xf在)ln,(a递减，在),(lna递增；……………………………

5分(2)函数的)(xf的导数aexfx)(',若0a，则0)('aexfx，还是单调递增，则不满足条件，则0a由0)('xf得axln,由0)('xf得axln，即当axln时，还是)(xf取得极小值同时也是最小值naaeaf

a1)(lnln)11(naa……………………………6分axf)(有两个根，0)ln1(aa，即0ln1a，则1lna，即ea……7分要证axxln221，则只需要12ln2xax又axln2，则只需要证明)ln2()(12xafxf，即证)(0

)()ln2(121xfxfxaf，令)ln(),()ln2()(axxfxafxg，……………………………9分则axexaaexgxxa)ln2()(ln2，0)()('22

xxxxeaeaeaeaxg，即)(xg在]ln,(a上单调递减，即0)(ln)(agxg则命题成立.……………………………12分22．解：(I)由题意知||||1QFQP，所以4||6||||||||21221

FFQFQPQFQF.………………………2分所以Q的轨迹是以点21,FF为焦点，6为长轴长的椭圆)0(12222babyax，所以2,3ca，则5222cab所以点Q的轨迹方程为159

22yx.……………………………5分(Ⅱ)直线MN的斜率不为0，设),(),,(2211yxNyxM，直线MN的方程为2myx，由,159,222yxmyx可得02520)95(22myym则9520221mmyy9525,221myy．…

………………………7分所以.95)1(30]4))[(1(||22212212mmyyyymMN．…………………………8分根据椭圆的对称性可知，四边形ABNM为平行四边形，原点O是对角线的交

点，所以四边形ABNM的面积等于OMN的面积的4倍.点O到直线2:myxMN的距离212md.……………………………9分所以OMN的面积951301295)1(3021||2122222

mmmmmdMNS…………………………10分令tm12，则),1(122ttm.453045309)1(53022ttttttS设)1(45)(ttttf，则.4545)('222ttttf因为1t，所以.045)('22tt

tf所以tttf45)(在),1[上单调递增。所以当1t时，)(tf取得最小值，其值为9。所以OMN的面积的最大值为310，四边形ABNM的面积的最大值为340………12分