【文档说明】广东省中山市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.946 MB，由小赞的店铺上传

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中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试数学•文一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2|560Axxx，|210Bxx，则AB

（）A.,23,B.1,32C.1,32D.1,23,2【答案】D【解析】由题意得21|560|23,2102AxxxxxxBxxxx或，∴1|232ABxxx

或．选D．2.已知i是虚数单位，复数z满足132ziii，则3z（）A.29B.33C.26D.5【答案】A【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算求得z，进而求得3z的模.【详解】依题意

3215515iiiiiziiiii，所以223252529zi.故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.3.计算sin133cos1

97cos47cos73的结果为（）A.12B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解．【详解】sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17sin47

cos17cos47sin17sin(4717)1sin302所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题．4.“0k”是直线10xky与圆

22211xy相切的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到k的值，即可

得到结论.【详解】由圆22x2y11，可得圆心为21，，半径r1．∵直线xky10与圆22x2y11相切，∴22k111k，∴k0，∴“k0”是直线xky10与圆2

2x2y11相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问

题的能力.5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是（）A.①③B.②③C.①④D.②④【答案】C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.

利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC如图所示，由于//,//MNACNPBC，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP平面ACB，所以//AB平面MNP.对于②，连接B

C交MP于D，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以在平面ABC内AB与DN相交，所以直线AB与平面MNP相交.对于③，连接CD，则//ABCD，而CD与PN相交，即CD与平面PMN相交，所以AB与平面MNP相交.对于④，连接CD，

则////ABCDNP，由线面平行的判定定理可知//AB平面MNP.综上所述，能得出//AB平面MNP的图形的序号是①④.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.6.若61014log

3,log5,log7abc,则()A.abcB.bcaC.acbD.cba【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为1fxxx的形式，该函数为

0,上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log31log3a，22log51log5b，22log71log7c，令11,011xfxxxx，则fx在0,上是单调增函数.又2220log3log5log7，所以

222log3log5log7fff即abc.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.7.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气

泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A.2018年3月的销售任务是400台B.2018年月销售任务的平均值不超过600台C.2018年第一季度总销售量为830台D.2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】【分析】

根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为1(3245810743413)10045012，所以B正确．对于选项C，由图形得第

一季度的总销售量为130020014001.28302台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算

，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．8.已知,xy满足不等式组240,20,30,xyxyy则1zxy的最小值为（）A.2B.22C.2D.1【答案】D【解析】不等

式组对应的可行域如图所示，因为12,2xyz所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min1.z故选D.点睛：本题的关键是找到1zxy的几何意义，要

找到1zxy的几何意义，必须变形，12,2xyz所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.9.已知函数sin0,0,02fxAxA的最小正

周期是，若1f，则32f（）A.12B.12C.1D.-1【答案】D【解析】【分析】根据fx的最小正周期求得，由1f列方程，利用诱导公式求得32f.【详解】由于fx的最小正

周期为π，所以2ππ0T，所以2.所以sin2fxAx.由1f得sin21fA.所以33sin2sin23πsin2122fAAA

.故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形

，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，ACBC，若12AAAB，当阳马11BAACC体积最大时，则堑堵111ABCABC的外接球体积为（）A.22B.823C.1423D.42π【答案】B【解析】【分析】根据11BAAC

C体积的最大值求得此时,ACBC的长，判断出球心的位置，求得111ABCABC的外接球的半径，进而求得球的体积.【详解】依题意可知BC⊥平面11ACCA.设,ACaBCb，则2224abAB.111111323BAACCVACAABCACBC

22114232323ACBC，当且仅当2ACBC时取得最大值.依题意可知1111,,ABCABAABB是以1AB为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABCABC外接球的直径为1AB，故半径221111222OBABAAAB.所以外接球的体积为34π82π2

33.特别说明：由于BC⊥平面11ACCA，1111,,ABCABAABB是以1AB为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABCABC外接球的直径为1AB为定值，即无论阳马11BAACC体积是否取得最大值，堑堵11

1ABCABC外接球保持不变，所以可以直接由直径1AB的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代

数学文化，属于基础题.11.已知数列na是各项均为正数的等比数列，nS为数列na的前n项和，若2233SaS，则423aa的最小值为（）A.9B.12C.16D.18【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为1,aq的形式，结合基本不等

式求得423aa的最小值.【详解】由2233SaS得232333aSSa，所以2111233,01aqaqaqqq.所以423aa323112333331qqqaqaqq

qq2121431qqq43161qq43216181qq.当且仅当41311qqq时取得最小值.故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的

数学思想方法属于中档题.12.已知函数2xefxx（其中无理数2.718e），关于x的方程1fxfx有四个不等的实根，则实数的取值范围是（）A.0,2eB.2,C.2,2eeD

.224,4ee【答案】C【解析】【分析】利用导数研究fx的单调性和极值，由此画出fx的图像.令tgxfx，将方程1fxfx有四个不等的实根转化为210tt在0,,,22ee

上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知函数2xefxx的定义域为,00,.且'32xexfxx.所以fx在,0,2,上递增，在0,2上递减，

且224ef，由此画出fx的图像如下图所示.令tgxfx，则txg的单调性与fx相同，且22eg.关于x的方程1fxfx有四个不等的实根，所以1tt，即210tt在0,,,22ee

上各有一实根.令21,010httth，所以02eh，即21042ee，所以22ee.所以实数的取值范围是2,2ee.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范围

，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.等差数列na的前n项和为nS，若4a，10a是

方程2810xx的两根，则：13S__________.【答案】52【解析】【分析】利用根与系数关系，等差数列前n项和公式，求得13S的值.【详解】由于4a，10a是方程2810xx的两根，所以4108aa

，所以11341013813131352222aaaaS.故答案为：52【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.14.如图所示，已知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正A

CE，现向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为__________．【答案】23【解析】分析：设正方形的边长为2，则22AC，根据ACE为正三角形，分别求出ACES和阴影部分面积，利用面积比即可求得概率.详解：设正方形的边长为2，则22AC.∵A

CE为正三角形∴21(22)sin60232ACES∴阴影部分面积为123222322S∴向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为2322323222P故答

案为23.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，

二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.15.已知向量a与b的夹角是56，且aab，则向量a与ab的夹角是_____.【答案】23【解析】【分析】首先根据aab，求得3b

a，由此利用夹角公式计算出向量a与ab的夹角的余弦值，由此求得向量a与ab的夹角.【详解】由aab两边平方并化简得22222,20aaabbabb，即25π2cos06abb，即3ba.所以cos,aabaaba

ab2225πcos61abaabaa31122，由于,0,πaab，所以2π,3aab.故答案为：2π3【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹

角公式，考查运算求解能力，属于中档题.16.已知函数2xxxxeefxee，若有()(2)4fafa，则实数a的取值范围是__________．【答案】1,【解析】∵222221(1)22()2223111xxxxxxxxxeeeefxeeeee

，∴函数fx在R上为增函数，由题意得()()2(2)4xxxxxxxxeeeefxfxeeee，∴()4()fxfx，∵24fafa，∴42(2)fafafa

．∴2aa，解得1a．∴实数a的取值范围是1,．答案：1,点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()fxfx是解题的关键，在此基础上将不等式化为fa(2)fa

的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数2xxxxeefxee为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.17.设nS为数列na的前n项和，已知23a，121nnaa.（1）证明1na为等比数列；（2）判断n，na，nS是否成等差数列？并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）成等差数列，理由见解析【解析】【分析】（1）由递推关系求得1a，通过计算

1121nnaa，证得数列1na为等比数列.（2）由（1）求得数列na的通项公式，由分组求和法求得nS，证得2nnnSa，所以n，na，nS成等差数列.【详解】（1）证明：∵23a，2121aa，∴11a，由题意

得10na，1122211nnnnaaaa，∴1na是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nna，∴21nna.∴11222212nnnSnn，∴12222210nnnnnSann

，∴2nnnSa，即n，na，nS成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18.为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时）如下：2482562322431

88268278266289312274296288302295228287217329283分组频数频率频率/组距180,200200,220220,240240,260260,280280,300300,320320,340总计0.05（1）完成频率分布表，

并作出频率分布直方图；（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限.【答案】（1）见解析（2）3.6万台（3）269小时

【解析】【分析】（1）根据题目所给数据求得频数、频率以及频率/组距，填写好表格并画出频率分布直方图.（2）计算出无故障连续使用时限不低于280小时的频率，再乘以8万，求得估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.（3）利用每组中点值成立对应的频率，然后相

加，求得样本的平均无故障连续使用时限的估计值.【详解】（1）频率分布表及频率分布直方图如下所示：分组频数频率频率/组距180,20010.050.0025200,22010.050.0025220,24020.100.0050240,2603

0.150.0075260,28040.200.0100280,30060.300.0150300,32020.100.0050320,34010.050.0025总计201.000.05（2）80.300.100.053.6（万）.答：估计8万台电扇中有

3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.（3）1900.052100.052300.12500.15x2700.22900.33100.13300.05269（小时）.答：样本的平均无故障连续使用时限为269小

时.【点睛】本小题主要考查绘制频率分布直方图，考查利用频率分布直方图计算频率、频数，平均数，考查数据处理能力，属于基础题.19.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）若cos:cos:cos2:2:7ABC，求sinB；（2）若sin

:cos:tan2:2:7ABA，试判断ABC的形状.【答案】（1）15sin4B（2）直角三角形【解析】【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac，再利用余弦定理求得cosB的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sinB的值.（2）

结合已知条件得到sincosAB，2tan7sinAA，结合A为锐角，求得π2AB，由此证得三角形ABC是直角三角形.【详解】（1）∵cos:cos:cos2:2:7ABC，∴ab，222222:2:72

2bcaabcbcab，∴22222:2:722cacaca，∴224720aacc，∴420acac，∴2ac或4ca（舍去），∴2221cos24acbBac，∴215si

n1cos4BB.（2）∵sin:cos:tan2:2:7ABA，∴sincosAB，2tan7sinAA，∴2AB或2AB，2cos07A，A为锐角.∴2AB（舍去），∴2AB，∴ABC为直

角三角形.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起

，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．【答案】

（1）证明见解析（2）线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB＝14【解析】【分析】（1）先计算得BE⊥AE，再根据面面垂直性质定理得结果，（2）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平几知识得A

MFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果.【详解】(1)证明连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝

AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE.(2)解AM＝14AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝14AB，∴FL∥AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL

，因为MF不在平面AD1E上，AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB＝14.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及面面垂直性质定理，考查基本分析论证求解能力，属中档题.21.已知函数

2xfxxe，其中e为自然对数的底数.（1）求函数fx的最小值；（2）若1,12x都有lnxxafx，求证：4a.【答案】（1）minfxe（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究fx的单调区间，由此求得

fx的最小值.（2）由不等式lnxxafx分离常数a，即2lnxaxexx.构造函数2n1l,21,xgxxexxx，利用导数求得gx的最大值，分析这个最大值求得a的取值范围.【详解】（1）∵2xfxxe，

∴'1xfxxe，∴当,1x时，'0fx，函数fx单调递减，当1,x时，'0fx，函数fx单调递增，∴min1fxfe.（2）证明：∵1,12x，都有lnxx

afx，∴lnafxxx即2lnxaxexx，设2lnxgxxexx，1,12x，∴11'111xxxgxxexexx

1111xxxexexxx，令1xhxxe，1,12x，∴'10xhxxe，∴hx在1,12上单调递增，∵110he，11022e

h，∴存在唯一01,12x使得00010xhxxe，∴当01,2xx时，'0gx，函数gx单调递增，当0,1xx时，'0gx，函数gx单调递减，∴00000max2lnxggxxxxex

0000000122ln1lnxxxxxxx，∵0010xxe，001xxe，∴00ln0xx即00lnxx，∴0max0212gxxx，令212xxx

，1,12x，∵222222122220'xxxxxx，∴x在1,12上单调递增，∴142x，∵0maxagxx，04x，∴4a.【点睛】本小题主要

考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数

方程22.在直角坐标系中,曲线221C:xy1经过伸缩变换'2'xxyy后得到曲线2C.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C的极坐标方程为ρ2sinθ.(1)求曲线23C,C的参数方

程;(2)若P,Q分别是曲线23C,C上的动点,求PQ的最大值.【答案】（1）2cossinxy，cos1sinxy（2）4333【解析】(1)曲线221:1Cxy经过伸缩变换'2'xxyy,可得曲线2C的方程为2214xy,∴其参数方

程为2cos(sinxy为参数);曲线3C的极坐标方程为2sin,即22sin,∴曲线3C的直角坐标方程为222xyy,即2211xy,∴其参数方程为cos(1sinxy为参数)

.(2)设2cos,sinP,则P到曲线3C的圆心0,1的距离22221164cossin13sin2sin53sin33d,∵sin1,1,∴当1sin3时

,max433d.∴maxmax43433133PQdr.选修4-5：不等式选讲23.已知函数2fxxaa.（1）若不等式6fx的解集23xx，求实数a的值.（2）在（1）的条

件下，若存在实数x使fxxm成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1a（2）4,【解析】【分析】（1）由6fx根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式6fx的解集，求得a的值.（2）利用绝对值不等式，证得fxfx

的最小值为4，由此求得m的取值范围.【详解】（1）∵函数2fxxaa，故不等式6fx，即216xa，即60626aaxaa，求得33ax.再根据不等式的解集为|23xx.可得32a，∴实数1a.（2

）在（1）的条件下，211fxx，∴存在实数x使fxfxm成立，即21212xxm，由于212121212xxxx，∴2121xx的最小值为2，∴4m≥，

故实数m的取值范围是4,.【点睛】本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.