【文档说明】专题8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（原卷版）.docx，共(17)页，1.564 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-dacf4905b8d8459c139aba10e729a291.html

以下为本文档部分文字说明：

考点1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【知识点的知识】侧面积和全面积的定义：（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．柱体、锥体、台体的表

面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）【例题1】（2021秋•金华期末）正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多

种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为()A．3B．3C．23D．6【例题2】已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面上存在两点A，B，使

得90ASB=，则该圆锥侧面积的最大值为()A．2B．2C．22D．4【例题3】（2022•洛阳模拟）如图，AB，CD分别是圆柱上，下底面圆的直径，且ABCD⊥，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥ABCD−的体积为43，则该

圆柱的侧面积为()A．9B．10C．12D．14【例题4】（2021秋•龙华区校级月考）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为9的正方形，则该圆柱的表面积为()A．252B．272C．12D．13【例

题5】（2021秋•揭东区期末）棱长均为1的正四面体的表面积是()A．3B．23C．33D．43【例题6】（2021春•柳林县月考）正四棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是23，则它侧面积为()A．32B．322C．323D．36例题精讲【例题7】（多选题）（2020秋

•江宁区期末）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A．2B．(12)+C．22D．(22)+【例题8】（多选题）（2020秋•三元区校级月考）已知一个等腰直角三角形

的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A．2B．(12)+C．22D．(22)+【例题9】（2021秋•儋州校级期末）各棱长为1的四面体的表面积为．【例题

10】（2021秋•工农区校级期末）若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90的扇形，则这个圆锥的全面积是．【变式1】（2020秋•潮阳区期末）已知圆锥的底面半径为R，高为4R，在它的所有内接圆柱中，表面积

的最大值是()A．222RB．294RC．283RD．252R【变式2】（2021秋•昭平县校级月考）若圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为()A．12B．23C．32D．2【变式3】

（2021秋•达州月考）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是()A．16B．8C．32D．24【变式4】（2021秋•上高县校级月考）若圆台的高

为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为45，则这个圆台的侧面积是()A．27B．272C．92D．362【变式5】（2021秋•绿园区校级月考）已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于．【变式6】（2021秋•江西期中）已知正三棱锥SABC−

的底面是边长为83的等边三角形，若一个半径为43的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为．【变式7】（2021秋•湖北期中）某圆柱的侧面展开图是面积为24的正方形，则该圆柱一个底面的面积为．举一

反三【例题1】（2021秋•湖北期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为23m，顶角为3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为()A．32mB．33mC．34m

D．36m【例题2】（2021秋•营口期末）在正四棱锥PABCD−中，6PA=，且PA与底面所成的角为60，则该四棱锥的体积为()A．16B．183C．363D．543【例题3】（2021秋•西城区校级期末）

如图，在三棱锥ABCD−中，DA，DB，DC两两垂直，且2DBDC==，点E为BC中点，若直线AE与CD所成的角为60，则三棱锥ABCD−的体积等于()A．23B．43C．2D．223考点2.棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．例题精

讲【例题4】（2021秋•望花区校级期末）如果一个长方体长、宽、高分别是4，4，3，则它的体积为()A．48B．40C．80D．16【变式1】（2021秋•海淀区校级月考）如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，F为线段1BC

的中点，E为线段11AC上的动点，则下列四个结论正确的是()A．存在点E，使//EFBDB．三棱锥1BACE−的体积随动点E变化而变化C．直线EF与1AD所成的角不可能等于60D．存在点E，使EF⊥平面11ABCD【变式2】（2021秋

•昆明月考）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1AA的中点，G在线段1BM上，且11DGBM⊥，则三棱锥11MADG−的体积为()A．415B．15C．215D．115【变式3】（2021秋•房山区期末）正四面体ABCD−的棱长为1，现将正四

面体ABCD−绕着AB旋转，则ABCD−所经过的区域构成的几何体的体积为()A．34B．2C．4D．6【变式4】（2021秋•乐山期末）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为43，则该正方体的棱长为．【变式5

】（2022•奉贤区校级开学）在正三棱锥PABC−中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4，则此三棱锥的体积为．举一反三【变式6】（2021秋•武功县校级期末）已如A，B，C是半径为l的球O的球面上的三个点，且ACBC⊥，1ACBC==，则三棱锥OABC−的体

积为．【变式7】（2022•沈阳一模）已知三棱柱111ABCABC−中，1ABAC==，12AA=，1160AACAAB==，90BAC=，则四面体111ABBC的体积为．【例题1】（2022•长春模拟）

某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后中间剩余部分（球心与正方体中心重合），若其中一个截面圆的周长为2，则该球的表面积为()A．20B．16C．12D．8【例题2】（2021秋•青岛期末）现

有橡皮泥制作的表面积为4的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的母线长为()A．5B．2C．3D．1【例题3】（2021秋•建平县校级期末）已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，ABC为边长为43的等

边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为323，则球O的表面积为()A．100B．72C．64D．48【例题4】（2021秋•眉山期末）在三棱锥PABC−中，1PA=，3PB=，6PC=，且PA，PB，PC两两

垂直．则该三棱锥的外接球的表面积为()考点3.球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体

的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．例题精讲A．4B．43C．8D．16【例题5】（2021秋•内江期末）若球的半径为10cm，一个截面圆的面积是236cm，则球心到截面圆心的距离是()A．5cmB．6cmC．8cm

D．10cm【例题6】（2021秋•乐山期末）如图，在三棱锥SABC−中，22SASCAC===，2ABBC==，二面角SACB−−的正弦值是63，则三棱锥SABC−外接球的表面积是()A．12B．4C．43D．433【例题7】（2021秋•

眉山期末）若一个三棱锥的底面是斜边长为23的等腰直角三角形，三条侧棱长均为23，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．4B．43C．8D．16【例题8】（2021秋•尧都区校级期末）在三棱锥PABC−中，PB⊥平面ABC，ABAC⊥，2PBABAC===，则三棱锥P

ABC−的外接球的表面积为()A．8B．10C．12D．16【变式1】（2021秋•贵阳期末）已知三棱柱111ABCABC−的6个顶点都在球O的表面上，12ABACAA===，120BAC=，则球O的表面积是()A．4B．163C．16D．20【变式

2】（2022•新疆模拟）已知A，B为球O的球面上两点，2AB=，过弦AB作球的两个截面分别为圆1C与圆2C，且△12OCC是边长为3的等边三角形，则该球的表面积为()A．12B．16C．20D．36【变

式3】（2021秋•阿拉善左旗校级期末）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高(h=)A．9cmB．6cmC．3cmD．4.5cm【变式4】（2022•咸阳模拟）已知正四面体SABC−的外接球表面积为6，

则正四面体SABC−的体积为()A．223B．233C．23D．324【变式5】（2021秋•遂宁期末）已知三棱锥SABC−所有顶点都在球O的球面上，且SA⊥平面ABC，若1SAABACBC====，则球O的表面积为()A

．52B．5C．53D．73【变式6】（2021秋•盐湖区校级期末）已知三棱锥PABC−的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，2AB=，1AC=，90ACB=，若该棱锥的体积为233，则此球的表面积为．【变式7】（2021秋•营口期末）在三棱锥PABC−

中，4AB=，8PC=，异面直线PA，BC所成角为3，ABPA⊥，ABBC⊥，则该三棱锥外接球的表面积为．举一反三【例题1】（2021秋•濂溪区校级月考）已知点M是棱长为3的正方体1111ABCDABC

D−的内切球O球面上的动点，点N为线段11BC上一点，112NCBN=，DMBN⊥，则动点M运动路线的长度为()A．3105B．3155C．335D．31510考点4.多面体和旋转体表面上的最短距离问

题【知识点的知识】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋

转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．例题精讲【例题2】（2021•漳州模拟）“墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围在一个中空圆柱里，其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投

影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅“墨卡托投影”绘制出的地图．在地图上保持方向和角度的正确的是“墨卡托投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图．通过地面上任意两点和地球中心作一平面，平面与地球表面相交看到的圆周

就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离．沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”．“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线．如图，11(PB，1)L，22(PB，2)L为地球上的两点((,)PBL中B为

点P的正纬度或负纬度，L为点P的正经度或负经度，1B，2B，1L，2L的符号确定规则如下：10B…，10L…，当2P与1P同在北半球或同在南半球时，20B…，否则20B；当2P与1P同在东经区或同在西经区时，20L…，否则20)L，记

△21LLL=−，12SPOP=，其中O为地球中心，已知有下面等式：1212cossinsincoscoscosSBBBB=+△L．某游轮拟从杭州（北纬30，东经120)沿着大圆航线航行至旧金山（北纬38，西经12

2)，则大圆航程约为()（大圆圆心角1度所对应的弧长约为60)nmile参考数据：sin383cos38sin280.025−−，sin383cos38sin281.256+，sin0.720.0125，cos51.10.628．A．43nmileB．

2334nmileC．3066nmileD．5443nmile【例题3】（2021春•山西月考）如图，在正四棱锥PABCD−中，5PA=，10AB=，从A拉一条细绳绕过侧棱PB和PC到达D点，则细绳的最短长度为()A．10B．310C．13

105D．3885【例题4】（2021春•黄冈期末）如图，正三棱锥ABCD−中，20BAD=，侧棱长为2，过点C的平面与侧棱AB、AD相交于1B、1D，则△11CBD的周长的最小值为()A．22B．23C．4D．2【例题5】（2021春

•瑶海区月考）正三棱锥PABC−中，90APBBPCCPA===，PAPBPCa===，AB的中点为M，若一只小蜜蜂沿锥体侧面经过棱PB由点M爬到点C，则最短路程是()A．1(22)2a+B．22aC．102aD．1(15)2a+【例题6】（2021春•焦作期末）

在正四棱锥VABCD−中，15AVB=，侧棱长为42，一只虫子从A点出发，绕四棱锥的四个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短路程为()A．42B．43C．53D．46【变式1】（2021•曲靖模拟）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫

从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为()A．123B．16C．24D．243【变式2】（2021春•赫山区校级月考）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有

木长三丈五尺，围之4尺．葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺．（注:1

丈等于10尺）()A．37B．39C．41D．43【变式3】（2021•马鞍山二模）如图所示，某圆锥的高为3，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且23AOB=，M是母线PA的中点．则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为()A．3B．21−C

．5D．21+【变式4】（2021秋•陈仓区期末）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2cm，高为2cm，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是cm（结果保留根式）．举一反三【变式5】（2021秋•金山区校级月考）已知

正方体1111ABCDABCD−棱长为1，一只蚂蚁从顶点A出发沿正方体的表面爬到顶点1.C则蚂蚁经过的最短路程为．【变式6】（2021•全国Ⅰ卷模拟）如图，已知圆锥的母线长为2，高为3，O为底面圆心，且12OAOC=−，E

为线段PA上靠近点P的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从E到C的最短路径长度为．