【文档说明】江苏省常州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.999 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省常州市教育学会2019—2020学年上学期学生学业水平监测高二数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.如果0ab，Rc，那么（）A.0ab−B.acbcC.22abD

.11ab【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】因为ab，所以0ab−，故A错误；因为ab，当0c时，得acbc，故B错误；因为0ab，所以22a

b，故C错误；因为0ab，所以11ab，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.2.在等差数列na中，已知11a=，358aa+=，则7a=（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，根据条件，得到d的值，求出答案

.【详解】设等差数列na的公差为d，因为11a=，358aa+=，所以12148dd+++=，解得1d=所以7167aad=+=故选：C.【点睛】本题考查等差数列通项中的基本量计算，属于简单题.3.经过点()2,4的抛物线的标准方程为（）A.28yx=B.2

xy=C.28yx=或2xy=D.无法确定【答案】C【解析】【分析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程．【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为()220ypxp=或()220xpyp=，将点()2,4代入可得4p=或12p=，所以所求抛物线的标准方程为28y

x=或2xy=.故选C.【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.4.命题“()0,x+，ln1xx=−”的否定是（）A.()0,x+，ln1xx−B.()0,x

+，ln1xx=−C.()0,x+，ln1xx−D.()0,x+，ln1xx=−【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案.【详解】原命题为命题“()0,x+，ln1xx=−”所以命题的否定为“()0,x+，ln1

xx−”故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.5.椭圆()222210xyabab+=的左、右顶点分别是A，B，左右焦点分别是1F，2F，若1AF，12FF，1FB成等比数列，

则此椭圆的离心率为（）A.14B.55C.12D.52−【答案】B【解析】【分析】根据题意表示出1AF，12FF，1FB，根据它们成等比数列，得到a，c的关系式，整理化简得到答案.【详解】由题意，1AFac=−，122FFc=，1FBac=+，因为

1AF，12FF，1FB成等比数列，所以()()()22cacac=+−2224cac=−，即225ca=所以椭圆离心率55cea==.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，属于简单题.6.在下列函数中，最小

值为2的是（）A.55xyx=+（xR且0x）B.()1lg110lgyxxx=+C.()33xxyxR−=+D.1sin0sin2yxxx=+【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式的使用条件，

对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】选项A，当0x时，y0，所以最小值为2不正确；选项B，因为()1,10x，所以()lg0,1x，所以1lglg2yxx=+，当且仅当1lglgxx=，即10x=时等

号成立，而()1,10x，所以等号不成立，所以不正确；选项C，因为30x，所以332xxy−=+，当且仅当33xx−=，即0x=时，等号成立，所以正确；选项D，因为0,2x，所以()sin0,

1x，所以1sin2sinyxx=+，当且仅当1sinsin=xx，即2x=时，等号成立，而0,2x，所以不正确.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.7.已知空间向量()1,3,mx

=，()2,1,2nx=−，则“1x=”是“mn⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.【详解】mn⊥，2230xx+−=，1x=或-

3.故x=1是mn⊥的充分不必要条件.故答案为B.【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础.判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真

命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判

断命题p与命题q的关系．8.若0x，0y，且xyS+=，xyP=，则下列说法中正确的是（）A.当且仅当xy=时S取得最小值2PB.当且仅当xy=时P取得最大值24SC.当且仅当P为定值时S取得最小值2PD.当且仅当S为定值且xy=时P取得最大

值24S【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式的求积的最大值，以及基本不等式的使用条件，得到答案.【详解】因为0x，0y，且xyS+=，xyP=，根据基本不等式使用条件“一正二定三相等”当且仅当S为定值，2224xySPxy+==，当

且仅当xy=时，等号成立.即当且仅当S为定值且xy=时P取得最大值24S故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，基本不等式的使用条件，属于简单题.9.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒

、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（）A.15.5尺B.12.5尺C.10.5尺D.9.5尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通

项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为12312,,,,aaaa，根据题意，有14737.5aaa++=，根据等差数列的性质，有412.5a=，而124.5a=，

设其公差为d，则有11312.5114.5adad+=+=，解得115.51ad==−，所以冬至的日影子长为15.5尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前n项和的有关量的计算，属于简

单题目.10.已知离心率为2的双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点．若AOF的面积为2，则实数a的值为（）A.2B.22C.4

D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意，根据离心率为2，求出双曲线C的渐近线，然后得到AOF为等腰直角三角形，根据其面积为2，得到c的值，再得到a的值.【详解】因为双曲线的离心率为2，所以2ca=，所以得到22222caab==+，所以ab=所以双曲线C：22221xyab−=的渐近线为

yx=取yx=，倾斜角为45，OF为直径，所以90OAF=，所以AOF为等腰直角三角形所以11222AOFccS==，解得22c=所以2a=.故选：A.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.11

.如图，在三棱锥COAB−中，OAOB⊥，OC⊥平面OAB，6OA=，8OBOC==，点D、E分别为AC，AB的中点，点F在线段BC上．若34BFBC=，则异面直线EF与OD所成角的余弦值为（）A.37−B.37C.47−D.47【答案】B【解析】【分析】以O为原点建立空间

直角坐标系，得到各点的坐标，然后得到EF和ODuuur的坐标，根据向量的夹角公式，得到异面直线EF与OD所成角的余弦值.【详解】因为OAOB⊥，OC⊥平面OAB，所以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系，6O

A=，8OBOC==所以()6,0,0A，()0,8,0B，()0,0,8C，点D、E分别为AC，AB的中点所以()3,0,4D，()3,4,0E因为34BFBC=，所以()0,2,6F所以()3,2,6EF=−−，()3,0,4OD=所以异面直线EF与OD所

成角的余弦值为cos,EFODEFODEFOD=924379436916−+==+++故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题.12.已知F为椭圆M：2212xy+=的

右焦点，点A，B，C为椭圆M上三点，当0FAFBFC++=时，称ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A.0个B.1个C.3个D.无数个【答案】D【解析】【分析】根据0FAFBFC++=得到()1,0F为ABC的重心，设

()0,0Axy，则得到BC边中点D的坐标，要求D在椭圆内，且为BC弦中点，即存在满足要求的“和谐三角形”，从而得到答案.【详解】因为F为椭圆M：2212xy+=的右焦点，所以()1,0F因为0FAFBFC

++=，所以()1,0F为ABC的重心，设边BC的中点为D，则2AFFD=所以()001212DDxxyy−=−−=，所以00322DDxxyy−=−=设()11,Bxy，()22,Cxy所以1201203xxxyyy+=−+

=将B，C代入椭圆方程得221122221212xyxy+=+=两式相减，得到()()()()1212121202xxxxyyyy+−+−+=整理得到01212032BCxyykxxy−−==−所以BC方程为000033222yxxyxy−−+=−当

003,22xyD−−在椭圆内时，得()22003184xy−+，而220012xy=−所以得到012x所以当01,22x时，直线000033222yxxyxy−−+=−与椭圆M：

2212xy+=一定有两个交点B和C，满足()1,0F为ABC的重心，即满足0FAFBFC++=，使得ABC为“和谐三角形”，因此满足要求的情况有无数种，所以“和谐三角形”有无数个.故选：D.【点睛】本题考查三角形重心的性质，点差法求弦中点所在的直线，点与椭圆的位

置关系，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.不等式21131xx−+的解集是______【答案】1|23xx−−【解析】【分析】首先将所给的不等式转化

为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.【详解】题中所给的不等式即：211031xx−−+，2031xx−−+，该不等式等价于：()()2310xx−−+，求解二次不等式可得：123x−−，则不等式的解集为1|23xx−−.故答案为1

|23xx−−．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知正数a，b满足41ab+=，则1abab+的最小值为______

_．【答案】25716【解析】【分析】根据41ab+=，利用基本不等式得到ab的范围，再根据对勾函数的性质，得到1abab+的最小值.【详解】因为正数a，b满足41ab+=，根据基本不等式得14244ababab=+=所以10,16ab，设10

,16tab=则1ytt=+在10,16上单调递减所以最小值为1257161616+=.故答案为：25716【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，对勾函数的性质，属于简单题.15.若数列na的通项公式为12nna-=，数列nb满足()2*

21221logloglognnnnnNaaba++=+，则数列nb的前10项和为_______．【答案】50511【解析】【分析】根据na的通项，得到nb的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出nb的前10项和.【详解】因为12n

na-=，所以()2*21221logloglognnnnnNaaba++=+121221log2log2log2nnn−+=+()1111111nnnnnn=−+=−+−++所以nb的前10项和.10111

1110129122310101S=+++++−+−++−+145111=+−50511=.故答案为：50511【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.16.点P为椭圆2212516xy+=上一点，M、N分别是圆()223

4xy++=和()2231xy−+=上的动点，则PMPN+的取值范围是_______．【答案】7,13【解析】【分析】根据椭圆方程，得到焦点()13,0F−，()3,0F，所以P到两圆的圆心距离之和为10，从而得到，最小值为12107rr−−=，最大

值为121013rr++=.【详解】椭圆2212516xy+=，焦点()13,0F−，()3,0F，而圆()2234xy++=和()2231xy−+=的圆心为()3,0−，()3,0所以P到两圆圆心的距离之和为10，而

M、N分别是圆()2234xy++=和()2231xy−+=上的动点所以()12min=107PMPNrr+−−=()12max=1013PMPNrr+++=.所以PMPN+的取值范围是7,13.故答案为：7,13.【点睛】本题考查椭圆

的定义，点到圆的距离的范围，属于简单题.三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知p：27100xx−+，q：22430xmxm−+，其中0m．（1）求使得p为真命题

的实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）|25xx（2）5|23mm【解析】【分析】（1）根据p为真命题，解不等式27100xx−+，得到x的取值范围；（2）根据p是q的充分不必

要条件，得到关于m的不等式组，解得m的取值范围.【详解】解：（1）因为p为真命题，所以27100xx−+，解得：|25xx.（2）由（1）得p：25x，q：22430xmxm−+解得：3mxm

所以q：3mxm，因为p是q的充分不必要条件，所以235mm且等号不能同时成立.解得：523m，所以实数m的取值范围5|23mm.【点睛】本题考查根据命题的真假求变量的范围，根据充分不必要条件求参数的范围，属于简单题

.18.已知数列na的前n项和为nS，且na是nS与2的等差中项．数列nb中，12b=，点()1,nnPbb+在直线2yx=+上．（1）求1a和2a的值；（2）求数列na，nb的通项公式；（3）设nnncab=，求数列n

c的前n项和nT．【答案】（1）12a=，24a=（2）2nna=，2nbn=（3）()2124nnTn+=−+【解析】【分析】（1）根据题意得到22nnaS=+，分别令1n=，2n=，得到1a，2a；（2）当2n时，1nnnaSS−=−，再验证1n=时，得到na的通项，根据点

()1,nnPbb+在直线2yx=+上，得12nnbb+=+，得到nb为等差数列，从而得到其通项；（3）根据nnncab=，得到nc的通项，然后利用错位相减法，得到前n项和nT.【详解】解：（1）由22nnaS=

+当1n=时，得1122aS=+，即1122aa=+，解得12a=；当2n=时，得2222aS=+，即21222aaa=++，解得24a=.（2）由22nnaS=+…①得1122nnaS−−=+…②；

（2n）将两式相减得1122nnnnaaSS−−−=−，即122nnnaaa−−=，所以()122nnaan−=，因为120a=，所以10na−，所以()122nnana−=，所以数列na是首项为

2，公比为2的等比数列，所以1112222nnnnaa−−===.数列nb中，12b=，点()1,nnPbb+在直线2yx=+上，得12nnbb+=+，所以数列nb是首项为2，公差为2的等差数列

，所以()2212nbnn=+−=.（3）12nnnncabn+==，所以()2341122232122nnnTnn+=++++−+()345122122232122nnnTnn++=++++−+上式减下式得

23412122222nnnTn++−=++++−()22212212nnn+−=−−22242nnn++=−−所以()2124nnTn+=−+.【点睛】本题考查由na和nS的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.19.如图，两铁路

线垂直相交于站A，若已知100AB=千米，甲火车从A站出发，沿AC方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B站出发，沿BA方向，以v千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车扔继续行驶）（两车的车长忽略不计

）.（1）求甲、乙两车的最近距离（用含v的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为0t小时，问v为何值时0t最大？【答案】（1）250002500+v；（2）50v=时，0t

最大.【解析】【分析】（1）先设行驶t小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点D，乙车行驶到点E，根据题意，得到100=−AEvt，50=ADt，由勾股定理，表示出2DE，再由配方法，即可得出结果；

（2）先由（1）得201002500=+vtv，根据基本不等式，即可得出结果.【详解】（1）设行驶t小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点D，乙车行驶到点E，则100=−AEvt，50=ADt，则()()()22222

2210050250020010000=+=−+=+−+DEAEADvttvtvt()222210025000000250025002500=+−+++vvtvv，1000tv，因为2100

10002500+vvv，所以当21002500=+vtv时，2DE取到最小值，即DE取到最小值，此时250002500=+DEv海里；所以甲、乙两车的最近距离为250002500+v；（2）由（1）知，当甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为2010010010012

500250025002===++vvvvvvt，当且仅当2500=vv，即50v=时，0t最大.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及由基本不等式求最值，熟记二次函数性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.20.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−

中，侧棱1AA⊥底面ABCD，ABAC⊥，1AB=，12ACAA==，5ADCD==．（1）求二面角11DACB−−的正弦值；（2）点N是线段1DD的中点，点E为线段11AB上点，若直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为36767，求线段1AE的长．【答案】（1）31010（2

）13【解析】【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面1ACD的法向量m，平面1ACB的法向量n，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角11DACB−−的正弦值；（2）设111AEAB=，得到(

)0,,2E，()1,2,1NE=−+，根据公式，表示出NE与n之间的夹角余弦，即直线NE和平面ABCD所成角的正弦值，从而得到关于的方程，求出的值，得到线段1AE的长.【详解】（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、A

B、1AA所在直线分别为x、y、z轴建系，则()0,0,0A，()0,1,0B，()2,0,0C，()1,2,0D−，()10,0,2A，()10,1,2B，()12,0,2C，()11,2,2D−，又因为N分别为1D

D的中点，所以()1,2,1N−.()11,2,2AD=−，()2,0,0AC=，()10,1,2AB=，设(),,mxyz=是平面1ACD的法向量，由100mADmAC==，得22020xyzx−+==，取1z=，得()0,1,1m=，设(),,nxyz=是平面1

ACB的法向量，由100nABnAC==，得2020yzx+==，取1z=，得()0,2,1n=−.211110cos,1052mnmnmn−+===−，设二面角11DACB−−的平面角

为，所以1310sin11010=−=，所以二面角11DACB−−的正弦值为31010.（2）由题意可设111AEAB=，其中0,1，∴()0,,2E，()1,2,1NE=−+，又因为()0,0,1n=是平面ABCD的一个法

向量，所以()21cos,121NEnNEnNEn==+++，设直线NE和平面ABCD所成角为，()213sincos,67121NEn===+++，整理，得213409+−=，所以113033−+=，解得13=或133=

−（舍）.所以线段1AE的长为13.【点睛】本题考查利用空间向量求二面角，根据直线与平面所成的角求线段长，属于中档题.21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，左、右焦点分别为1F，2F，焦距为6.（1）求椭圆C的方程.（2）过椭圆左顶点

的两条斜率之积为14−的直线分别与椭圆交于,MN点.试问直线MN是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【答案】（1）221123xy+=；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到3,23,cac==解得23a=，再由a,b,c的

关系得到结果；（2）设出直线AM，联立直线和椭圆，表示出点M的坐标，设直线AN的斜率为k，则14kk=−，即14kk=−，把点M坐标中k的替换为14k−，得到点N的坐标，利用两点坐标表示出直线MN即可得到直线过定点.【详解】（1）由题意知3,23,cac==解得23

a=.又222abc=+，23b=，椭圆方程为221123xy+=.（2）设左顶点()23,0A−，根据已知得直线,AMAN的斜率存在且不为零，设():23AMykx=+，代入椭圆方程，得()2222141634812

0kxkxk+++−=，设()11,Mxy，则21248122314kxk−−=+，即212238314kxk−=+，()112432314kykxk=+=+，即222238343,1414kkMkk

−++.设直线AN的斜率为k，则14kk=−，即14kk=−，把点M坐标中k的替换为14k−，得222832343,4141kkNkk−−++.当,MN的横坐标不相等，即12k时，2214MNkkk=−，直线MN的方程为222243223831

41414kkkyxkkk−−=−+−+，即2214kyxk=−，该直线恒过定点()0,0.当12k=时，M、N的横坐标为零，直线MN也过定点()0,0.综上可知，直线MN过定点()0,0.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的

重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将

问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.22.已知数列na中，0na，nS是数列na的前n项和，且22nnnaSa+=．（1）求2S，3S，并求数列na的通项公式na；（2）设21nnnbSS+=+，数列nb的前n项和为nT，若220nTk−对任意的正整数n都成立，

求实数k的取值范围．【答案】（1）22S=，36S=，()21nann=−−（2）31k−【解析】【分析】（1）令1n=，得到1S，当2n时，1nnnaSS−=−，所以得到1122nnnnnSSSSS−−−+=−，整理得到()22122nnSSn−−=，从而得

到2nS的通项公式，从而得到na的通项；（2）根据（1）得到nb的通项，然后得到其前n项的和nT，计算1nnTT+−，得到nT在*nN上单调递增，从而得到()min22nkT，得到k的取值范围.【详解】解：（1）在22nnnaSa+=中

，1n=，则11122aSa+=，即11122SSS+=，得12S=，由22nnnaSa+=得：当2n时，1122nnnnnSSSSS−−−+=−，化简得()()112nnnnSSSS−−+−=，即()22122nn

SSn−−=，所以数列2nS是以2为首项，2为公比的等差数列，所以()22212nSnn=+−=.又因为0na，所以2nSn=，所以22S=，36S=.当2n时，()()122121nnnaSSnnnn−=−=−−=

−−，对12a=也成立，所以数列na的通项公式为()21nann=−−.（2）因为()211222222nnnnnbSSnn++−===+++，所以12nnTbbb=+++()131225311222nnnn=−+−+−+

++−−++−()1211222nn=+++−−.因为()1131022nnTTnn+−=+−+，所以nT在*nN上单调递增，所以nT的最小值为()113122T=−.因为220nTk−对任意的正整数n都成立，所以()min22n

kT，即12231kT=−.所以实数k的取值范围是31k−.【点睛】本题考查由na和nS的关系求数列通项，数列求和，数列的单调性求数列中的最小项，数列不等式恒成立问题，属于中档题.