【文档说明】重庆市巴南区高2024届高考诊断考试（一）数学解析.docx，共(27)页，1.468 MB，由小赞的店铺上传

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高2024届高考诊断考试（一）数学试题（试卷满分：150分120分钟完卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合2|250Axxx=−，0,1,2,3,4B=，则()AB=RIð（）A.1,2B.0,1,2C.1,2,3D.0,1,2,3【答

案】B【解析】【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和B的交集.【详解】因为()25|250,0,2Axxx=−=−+，所以50,2A=Rð，又0,1,2,3

,4B=，所以()AB=RIð0,1,2．故选：B．2.已知复数5i12iz=+，则z=（）A.12i+B.12i−C.2i+D.2i−【答案】D【解析】【分析】根据向量的除法法则求复数z，再由共轭复数定义求z.【详解】∵5i(12i)2i(1

2i)(12i)z−==++−，∴2iz=−．故选：D.3.已知π1sin63x+=−，则2πcos23x−=（）A.79−B.29−C.29D.79【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、余弦的倍角

公式可得答案.【详解】因为π1sin63x+=−，所以22π2πππcos2cosπ2cos212sin3336−=−−+=−+−+−=xxxx2179123=−−−=−.故选：A.4

.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“=⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能

剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）A.13B.512C.12D.712【答案】A【解析】【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.

【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，

76，共12个，其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，所以所求概率为41123P==．故选：A5.若数列na的前n项积2115nTn=−，则na的最大值与最小值的和为（）A.3−B.1−

C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由题可得21217nan+=−，利用数列的增减性可得最值.【详解】∵数列na的前n项积2115nTn=−，当1n=时，11315a=，当2n时，()121115nTn−=−−，()1212

15215122172171115nnnnTnaTnnn−−−===+−−−=−，1n=时也适合上式，∴21217nan+=−，∴当8n时，数列na单调递减，且na1，当9n时，数列na单调递减，且na1，故na的最大值为93a=，最小值为81a=

−，∴na的最大值与最小值之和为2.故选：C.6.如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E，F，G分别是边BC，CD，AD的中点，点P是线段EF上的动点，则GPAP的最小值为（）A.238B.3C.278D.48【答案】A【解析】【分析】

建立平面直角坐标系，设(),Pxy，FPFE=，（0,1），即可得到3yx=−、1x=+，根据数量积的坐标表示得到GPAP，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则(

)0,0A、()0,1G、()2,1E、()1,2F，设(),Pxy，FPFE=，（0,1），则()()1,21,1xy−−=−，所以12xy−=−=−，所以()12xy−=−−，即3yx=−，所以(),1GPxy=−，(),APxy=，所以()()()22213225

6GPAPxyyxxxxx=+−=+−−=−+2523248x=−+，又11,2x=+，所以当54x=时GPAP取得最小值为238.故选：A7.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点为1F，2F，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足1FMMP=，22

ONOPOF=+，若四边形MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率为e=（）A.12B.22C.32D.63【答案】C【解析】【分析】根据1FMMP=，22ONOPOF=+，可得点M为线段1PF的中点，点N为线段2PF的中点，再根据四边形MONP的周长结合椭圆的离心率公式即可

得解.【详解】因为1FMMP=，所以点M为线段1PF的中点，因为22ONOPOF=+，所以2ONOPOFON−=−，即2PNNF=，所以点N为线段2PF的中点，又因点O为线段12FF的中点，所以2//OMPF且212O

MPF=，1//ONPF且112ONPF=，所以四边形MONP的周长为12PFPF+，又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以122PFPFa+=，所以24ab=，即12ba=，故椭圆C的离心率为22312cbeaa==−=.故选：C.8.

已知偶函数()fx满足()()44fxfx+=−，()01f=−，且当(0,4x时，()lnxfxx=.若关于x的不等式()fxa在48,48−上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是（）A.(1,0−B.ln20,2C.ln21,2

−D.ln2ln3,23【答案】B【解析】【分析】分析可知，函数()fx是周期为8的周期函数，由题意可得关于x的不等式()fxa在)0,8上有且只有5个整数解，数形结合可得出实数a的取值范围.【详解】因为偶函数()fx满足()()44fxfx

+=−，则()()44fxfx+=−，即()()8fxfx+=，所以，函数()fx是周期为8的周期函数，当(0,4x时，()21lnxfxx−=，令()0fx=，可得ex=.由()0fx¢>可得0ex，由()0fx

可得e4x.所以，函数()fx在()0,e上单调递增，在(e,4上单调递减，因为关于x的不等式()fxa在48,48−上有且只有60个整数解，则关于x的不等式()fxa在)0,8上有且只有5个整数解，如下图所示：因为()()ln42ln2ln24

2442ff====，且()()62ff=，又因为()()34ff，所以，要使得不等式()fxa在)0,8上有且只有5个整数解，则这五个整数解分别为3、5、2、4、6，所以，()()21faf，即ln202a

，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知函数()22cossinfxxx=−，则（）A.()cos2fxx=B.()fx的最

小正周期为πC.()fx在π0,3上单调递减D.()fx在ππ,36−上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；【详解】()22cossincos2,fxxxx=−=选项A正确；所

以函数()fx的最小正周期为2ππ,2T==选项B正确；根据余弦函数图像性质，()π2π0,,20,0,π33xx（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确；根据余弦函数图像性质，()ππ2ππ,,2,π,03633xx−−−

（余弦函数对应单调递增区间），函数的不单调，选项D错误；故选：ABC.10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议

.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：学校人数平均运动时间方差甲校2000103乙校300082记这两个学校学生一周运动的总平均时间为x，方差为2s，则（）A8.7x=B.8.8x=C.23.36s=D.23.56s=【答案】BC【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.【详解】依题意，总平均时间为200030001088.82000300020003000x=+=++，方差为()()22220003000233108.8288.84.442.643.36200030002000300055s=+−++−=

+=++.故选：BC11.如图，平行六面体1AC中，1145AADAAB==，ADAB=，AC与BD交于点O，则下列说法正确的有（）A.平面11ACCA⊥平面11BDDBB.若1AOAO=，则平行六面体的体积11112BBDDVACS=四边形.C.111122AOABADA

A=++D.若60BAD=，则16cos3AAC=【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由题意可得四边形ABCD为菱形，则可得BDAC⊥，再计算1BDAA，可得1BDAA⊥，从而得BD⊥平面11ACCA，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B

，连接1AC，可得11ACAA⊥，从而可证得1AC⊥平面11BDDB，进而可求出体积，对于C，利用空间向量的加法分析判断，对于C，设1,ABaAAb==，则可得3ACa=3ACa=，然后利用向量的夹角公式计算判断.【详解】对于A，因为在平行四边形ABC

D中，ADAB=，所以四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥，因为1145AADAAB==，ADAB=，所以1111cos45,cos45ADAAADAAABAAABAA==，所以11ADAAABAA=

，因为BDADAB=−，所以()11110BDAAADABAAADAAABAA=−=−=，所以1BDAA⊥，所以1BDAA⊥，因1AAACA=，1,AAAC平面11ACCA，所以BD⊥平面11ACCA，因为BD平面11BDDB，所以平面11ACCA⊥平面11BDDB，所以

A正确，对于B，连接1AC，因为1AOAO=，AOCO=，所以1AOCOAO==，所以1AAC△为直角三角形，即11ACAA⊥，因为1AA∥1BB，所以11ACBB⊥，因为由选项A知BD⊥平面11ACCA，1

AC平面11ACCA，所以1BDAC⊥，因为1BBBDB=，1,BBBD平面11BDDB，所以1AC⊥平面11BDDB，所以平行六面体的体积11111111111131112232322ABDDBADBABDBBDDBBDDVVVSAC

ACS−−====三棱柱四边形四边形，所以B正确，对于C，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，所以1122AOABAD=+，所以1111122AOAAAOAAABAD=+=++，所以C错误，为对于D，设1,ABaAAb==，因为在菱形A

BCD中，60BAD=，所以22cos303ACAOABa===，所以()11112cos456cos333AAABADAAACabAACababAAAC+====，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积的求法，考查空间向量的运算，

解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想能力和计算能力，属于较难题.12.已知函数()()1lnfxxx=−，下列选项正确的是（）A()fx有最大值B.31eeffC.若ex时，()()e0fxa

x−−恒成立，则1aD.设12,xx为两个不相等的正数，且121221lnln11xxxxxx−=−，则12112xx+【答案】ACD【解析】【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利

用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.【详解】对于选项A：由题意可得：函数()fx的定义域为()0,+，且()1ln1lnfxxx=−−=−，令()0fx¢>，解得01x；令()0fx，解得1x；则函数()fx

在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()fx有最大值()11f=，故A正确.对于选项B：因为()32ln333311121ln,1lneeeeeeeeff−=−==−=，则()432ln3

31243ln31eln0eeeeee27ff−−−=−==，所以31eeff，故B错误；对于选项C：构建()()()eFxfxax=−−，则()lnFxxa=−+，因为()0eF=，且当ex时，()0Fx恒

成立，则()e10Fa=−+，解得1a，若1a，则()ln0Fxxa=−+当ex时恒成立，则()Fx在)e+，上单调递减，则()()e0FxF=，符合题意综上所述：1a符合题意，故C

正确；对于选项D：因为121221lnln11xxxxxx−=−，整理得112211111ln1lnxxxx−=−，即1211ffxx=，由选项A可知：函数()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，当x趋近于0时，()fx趋近于0

，且令()0fx，解得0ex，不妨设121101exx，构建()()()()11,0,1gxfxfxx=+−−，因为()()()()()()211ln1ln1ln10gxfxfxxxx=++−=−+−−=−−在()0,1上恒成立，则()gx在()0,1上单调递增

，可得()()00gxg=，所以()()()11,0,1fxfxx+−，即()()()2,0,1fxfxx−，可得2111112fffxxx=−，注意到()fx在()1,+上单调递减，

且1211122,1exx−，所以21112xx−，即12112xx+，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()hx；（3）利用导数研究()hx的单

调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.2()nxx−展开式中的各二项式系数之和为256，则4x的系数是_______

【答案】112【解析】【分析】由二项式系数和等于2,n求得n的值，再利用展开式的通项公式计算即可.【详解】依题意得：2256,n=解得8,n=则()()88281882C12C,N,8,rrrrrrrrTxx

rrx−−−+=−=−由284r−=，解得6,r=从而6628(1)C2112−=.故答案为：112.14.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否

则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.【答案】227【解析】【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游

戏是相互独立，即可得到结果.【详解】设事件A表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，则()2113323CCC233PA==，则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为21133−=，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人

员的概率为21223327=.故答案为：22715.已知等比数列na满足：1220aa+=，2380aa+=.数列nb满足()2lognnban=N，其前n项和为nS，若8nnbS+恒成立，则的最小值为______.【答案】310##0.3【解析】【分析】

设等比数列na的公比为q，求出1a、q的值，可得出数列na的通项公式，可求出nb的通项公式，求出nS，利用对勾函数的单调性求出8nnbS+的最大值，即可得出实数的最小值.【详解】设等比数列na的公比为q，则()23122080aaqaa

q+=+==，解得4q=，所以，12111520aaaaqa+=+==，解得14a=，则114nnnaaq−==，所以，22llogog42nnnbna===，()12122nnbbnn+−=+−=，所以，数列nb为等差数列，所以，()()()1221

22nnnbbnnSnn++===+，则2228881nnbnSnnnn==+++++，因为函数81yxx=++在()0,22上单调递减，在()22,+上单调递增，当2n=时，2222887212bS==+++；当3n=时，2

3363838310bS==+++.又因为23710，故8nnbS+的最大值为310.因此，8nnbS+对任意的nN恒成立，所以，310，故的最小值为310.故答案为：310.16.已知抛物线24yx=上存在两点,AB（,AB异于坐标原点

O），使得90AOB=，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转90与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为________．【答案】80【解析】【分析】设直线AB的方程为xmyt=+，联立方程组，由条件证明4t=，由此可得AB，再

求CD，求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.【详解】由已知直线AB的斜率存在，且不为0，故可设直线AB的方程为xmyt=+，联立24yxxmyt==+，消x得，2440ymyt−−=，方程244

0ymyt−−=的判别式216160mt=+，设()()1122,,,AxyBxy，则12124,4yymyyt+==−，所以222121244yyxxt==因为90AOB=，所以0OAOB=，所以12120xxyy+=，所以240tt−=，又,AB异于坐标原点O，所以1

20yy，所以0t，所以4t=，所以直线AB的方程为4xmy=+，且()()2222221111664414ABmyymmmm=+−=++=++所以直线AB与x轴的交点为()4,0，所以点M的坐标为()4,0，所以直线CD的方程为14xym=−+

，联立2414yxxym==−+，消x得，24160yym+−=，方程24160yym+−=的判别式216640m=+，设()()3334,,,CxyDxy，则34124,16yyyym+=−=−，所以()

()22432222111641164141CDyymmmmmm=+−=++=++，由已知ABCD⊥，所以四边形ACBD面积()()()22228114412mSABCDmmm+==++，设2m=，则0，()

()222141748S+++=，所以()()2222124417118842534S++++==++++，由基本不等式可得12+，当且仅当1=时等号成立，此时1m=，设1=+，可得22258184253484816S

=++=+−，2，所以当2=时，即1m=时，S取最小值，最小值为80，所以四边形ACBD面积的最小值为80.故答案为：80.【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题

设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．四、解答题（共6小题，共70分）17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，(cos3sin)caBB=+．

（1）求角A；（2）若ABC的面积为34，且1a=，求ABC的周长．【答案】（1）π6（2）32+【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到bc与22bc+的值

，从而求得bc+，由此得解.【小问1详解】(cos3sin)caBB=+，由正弦定理得sinsin(cos3sin)CABB=+，即sin()sincos3sinsinABABAB+=+，即sincoscossi

nsincos3sinsinABABABAB+=+，cossin3sinsinABAB=，(0,π),sin0BB，3cos3sin,tan,3AAA==π(0,π)..6AA=【小问2详解】

11π3sinsin,32264ABCSbcAbcbc====，又2222131,cos,422bcaAbcbc+−===+=，所以22()42423(31)bcbc+=+=+=+，即31bc+=+

（负值舍去），又1a=，所以ABC的周长为32abc++=+.18.已知数列na的首项11a=，且满足132nnnaa++=.（1）求证：2nna−是等比数列；（2）求数列na的前项和nS.

【答案】（1）证明见解析（2）1122,23,nnnnSn++−=−为偶数为奇数【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；（2）先根据等比数列的通项公式可得(1)2nnna=−+，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.【小问1详解】因为132nn

naa++=，即132nnnaa+=−+，则111232221222nnnnnnnnnnnnnaaaaaa+++−−+−−===−−−−，又因为11a=，可得11210a−=−，所以数列2nn

a−表示首项为1−，公比为1−的等比数列.【小问2详解】由（1）知121(1)(1)nnnna−−=−−=−，所以(1)2nnna=−+.所以()()1212121)2(12nnnnSaaa=+++=−+++++−+()()()()()()121112122

221111211nnnn−−−−=++++−+++−=+−−−()()112212nn−−=−−，当n为偶数时，可得()111221222nnnS+−=−−=−；当n为奇数时，可得()111221232nnnS++=−−=−；综上所

述：1122,23,nnnnSn++−=−为偶数为奇数.19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样

本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布(,100)N，其中近似为样本平均数x，求9(64)4PX

；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)，[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)

的人数的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①()0.6827PX−+=；②(22)0.9545PX−+=；③(33)0.9973PX−+=．【答案】（1）74（2）0.8186（3）分布列见解析；期望为65【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图以及平

均数的计算方法计算即可；（2）依据(2)(6494)PXPX−+=，利用正态分布的对称性计算即可；（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.【小问1详解】根据频率分布直方图得：(550.01

650.02750.045850.02950.005)1074x=++++=．【小问2详解】由题意知~(74,100)XN，即74,10==，所以0.68270.9545(6494)(2)0.81862PXPX+=−+=

=．【小问3详解】由题意可知[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为0,1,2,3，36310C1(0)C6P===，21643

10CC1(1)C2P===，1264310CC3(2)C10P===，34310C1(3)C30P===，故的分布列为：0123P1612310130所以11316()01236210305E=+++=.20.如图所示，在三

棱锥−PABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）若6PAAB==，3BC=，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角BADC−−的余弦值为105，若存在

，确定点D的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；D是PC上靠近C的三等分点【解析】【分析】（1）过点A作AEPB⊥于点E，由面面垂直性质定理可得⊥AE平面PBC，由此证明AEBC⊥，再证明PA

BC⊥，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ACD，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点D的位置；【小问1详解】过点A作AEPB⊥于点E，因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB平面PBCPB=，AE平面PAB，所以

⊥AE平面PBC，又BC平面PBC，所以AEBC⊥，又PA⊥平面ABC，BC平面PBC，所以PABC⊥，又因为AEPAA=，AE，PA平面PAB，所以BC⊥平面PAB．【小问2详解】假设在线段PC上（不含端点），存在点D，使得二面角BADC−−的

余弦值为105，以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,6,0A，()0,0,0B，()3,0,0C，()0,6,6P，()3,6,0AC=−，()0,0,6AP=，()3,6,6PC=−−，

()0,6,0BA=，设平面ACD的一个法向量为(),,mxyz=，0,0,mACmAP==即360,60,xyz−==取2x=，1y=，0z=，所以()2,1,0m=为平面ACD的一个法向量，因为D在线段PC上（不含端点），所以可设()3

,6,6PDPC==−−，01，所以()3,6,66ADAPPD=+=−−，设平面ABD的一个法向量为(),,nxyz=，0,0,nBAnAD==即()60,36660,yxyz

=−+−=，取22x=−，0y=，z=，所以()22,0,n=−为平面ABD的一个法向量，()()22222100cos,522mn−++=−+，又01，由已知可得()()22222105522

−=−−+解得23=或2=（舍去），所以，存在点D，使得二面角BADC−−的余弦值为105，此时D是PC上靠近C的三等分点．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点1(6,0)F−、2(6,0)F，12MFF△的内切圆与直线12FF相切于点(4,0)D，记点

M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线2x=上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BPAQ，.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cosBAQ与cosBPQ的大小.【答案】（1）221(4)1620

xyx−=（2）coscosBAQBPQ=【解析】【分析】（1）根据内切圆的性质得到121212812MFMFFDFDFF−=−==＜，从而结合双曲线的定义得到轨迹方程；（2）根据条件设25()4ABkkk=，PQ

kk=−，()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到212216845kktxxk−+=−，2122(42)8045ktxxk−+=−，结合弦长公式得到()222460145tTATBkk+=+−，从而证明TPTQ

TATB=，进而可得TPA△相似于TBQ，由四点共圆的知识即可得到答案.【小问1详解】因为点1(6,0)F−、2(6,0)F，12MFF△的内切圆与直线12FF相切于点(4,0)D，所以121212102812MFMFFDFDFF−=−=−==＜，因此根据双曲线的定义可知，点M的轨迹为以

1F，2F为焦点的双曲线的右支，设点M的轨迹C的方程为()22221＞0,＞0xyabab−=，焦距为()20cc＞，所以12212FFc==，1228MFMFa−==，所以4a=，6c=，22220bca=−=，所以点M的轨迹方程C为221(4)

1620xyx−=【小问2详解】由题意，直线ABPQ，的斜率互为相反数，记25()4ABkkk=，则PQkk=−，()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，设(2,)Tt，则直线:(2)ABykxt=−+，:(2)PQykxt=−−+.联立直线AB

和双曲线方程22(2)11620ykxtxy=−+−=，整理得()()()222220166432843200kxkktxkt−+−−−−=.该方程有两个不等实根1x，2x，则()()()2222

220160Δ643242016843200kkktkkt−=−−−−−−＞根据韦达定理可得212216845kktxxk−+=−，2122(42)8045ktxxk−+=−，同理可得234216845kktxxk++=−，2342(42)8045ktxxk+

+=−.又因为()2112TAkx=+−，()2212TBkx=+−.()2312TPkx=+−，()2412TQkx=+−.则()()()()()()22221212122460122124145

tTATBkxxkxxxxkk+=+−−=+−++=+−，同理可得()222460145tTPTQkk+=+−即TPTQTATB=进而可得TPA△相似于TBQ，即TPATBQ=，TAPTQB=，也即A，B，Q，P四点共圆，可得BAQBPQ=从而得coscosBAQBPQ

=.因此coscosBAQBPQ=【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合问题.关键在于直线与双曲线方程的联立，进而通过韦达定理的转化得到TPTQTATB=，进而得到TPA△相似于TBQ，由A，B，Q，P四点共圆，可得BAQBPQ=从而coscosBAQBPQ=

进而得到答案.本题考查学生的数据运算与分析能力、数形结合能力、转化与化归能力，属于难题.22.已知函数2()(sincos)cos(0)fxaxaxxxxax=−+++．（1）当1a=时，（I）求(

π,(π))f处的切线方程；（II）判断()fx的单调性，并给出证明；（2）若()1fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（I）23π2π1yx=−+；（II）()fx单调递增，证明见解析（2）1a【解析】【分析】（1）由导数几何意义可求得切线的斜率，从而

可求切线方程；由()2sincossin(1cos)fxxxxxxxxx=−−=−+−，令()sin(0)mxxxx=−，求导判断单调性得()(0)0mxm=，即可求解；（2）当0a，取πππg(

)(1)10,222aa=−+−判断不成立；当01a时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当1a时，()sinsin2cos(1cos)0gxxxaaxaxaxxx=−−=−+−，可得()(0)

0gxg=，即的()1fx.【小问1详解】当1a=时，2()sin1fxxxx=−+，可得()2sincosfxxxxx=−−.（I）2(π)π1,(π)3πff=+=，所以在(π,(π))f处的切线方程为()()2πππ31yx

+−=−，即23π2π1yx=−+.（II）()2sincossin(1cos)fxxxxxxxxx=−−=−+−，设()sin(0)mxxxx=−，则()1cos0,()mxxmx=−单调递增，所以()(0)0mxm=，即sinxx，所以

当0x时，()0,()fxfx单调递增.【小问2详解】设2()()1(sincos)cos1gxfxaxaxxxxa=−=−+++−，由题意()0gx恒成立.①当0a时，πππg()(1)10,222aa=−+−()0gx不恒成立，不合题意；②当01a

时，设()()2cossinhxgxaxaxxx==−−，(0)0h=，()2cossincoshxaaxaxxx=−+−，(0)10ha=−，ππ()2022haa=+，设()()rxh

x=，π(0,)2x，()2sincossin0rxaxaxxx=++，()hx单调递增，由零点存在定理得π0,2t，使得()0ht=.()hx在(0,)t上()0hx，()(0)0hxh=，即()0gx，所

以()gx在(0,)t上单调递减，()(0)0gxg=，()0gx不恒成立，不合题意；③当1a时，()2cossingxaxaxxx=−−，则()sinsin2cos(1cos)gxxxaaxaxaxxx=−−=−+−，当0x时，1

cos0,sinxxx−，即sin1xx，则()0gxx，所以当0x时，()0,()gxgx单调递增.可得：()(0)0gxg=，即()1fx，所以1a.综上，a的取值范围为)1,+．【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx

即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③分类讨论参数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com