【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练55 椭圆的几何性质.docx，共(11)页，112.511 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十五椭圆的几何性质(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·大连模

拟)椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥222+𝑦26=1的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】选D.椭圆𝑥225+𝑦29=1的焦点在x轴上,长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为45.椭圆𝑥222+𝑦26=1的焦点在x轴上,长轴长为2√22,

短轴长为2√6,焦距为8,离心率为2√2211,所以两椭圆焦距相等.2.(5分)(2022·全国甲卷)椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线

AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为()A.√32B.√22C.12D.13【解析】选A.已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),kAP=𝑦0𝑥0+𝑎,kAQ=𝑦0𝑎-𝑥0,故kAP

·kAQ=𝑦0𝑥0+𝑎·𝑦0𝑎-𝑥0=𝑦02𝑎2-𝑥02=14①,因为𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1,即𝑦02=𝑏2(𝑎2-𝑥02)𝑎2②,②代入①整理得:𝑏2𝑎2=14,e=𝑐𝑎=√1-𝑏2𝑎2=√32.3.(

5分)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-1,则C的方程为()A.𝑥218+𝑦216=1B.𝑥29+

𝑦28=1C.𝑥23+𝑦22=1D.𝑥22+y2=1【解析】选B.依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,-b),𝐵𝐴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,-b),𝐵𝐴1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e=𝑐𝑎=1𝑎=13,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为𝑥29+𝑦28=1.4.(5分)若点O和点F分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的中心和

左焦点,P为椭圆上的任意一点,则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为()A.2B.3C.6D.8【解析】选C.由题意,O(0,0),F(-1,0),设P(x,y),则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y),𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x+1,y),

所以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又𝑥24+𝑦23=1,所以y2=3-34x2,所以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=14x2+x+3=14(x+

2)2+2.因为-2≤x≤2,所以当x=2时,𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗有最大值6.5.(5分)(多选题)已知P是椭圆C:𝑥24+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=14上的动点,则()A.椭圆C的焦距为√3

B.椭圆C的离心率为√32C.圆D在椭圆C的内部D.|PQ|的最小值为√63【解析】选BC.因为椭圆方程为:𝑥24+y2=1,所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,e=𝑐𝑎=√32,焦距为2√3,故A错误,B正确;

由{𝑥24+𝑦2=1(𝑥+1)2+𝑦2=14,得3x2+8x+7=0,因为Δ=82-4×3×7=-20<0,所以椭圆与圆无公共点,又圆心(-1,0)在椭圆内部,所以圆在椭圆内部,故C正确;设P(x,y)(-2≤x≤2),则|PD|=√(𝑥+1)2+𝑦2=√(𝑥+1)2+1-𝑥24=

√34𝑥2+2𝑥+2,当x=2-2×34=-43时,|PD|取得最小值√23=√63,则|PQ|的最小值为√63-12,故D错误.6.(5分)(多选题)(2024·曲靖模拟)已知椭圆Γ:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1

,F2,长轴长为2√3,点P(1,1)在椭圆Γ外,点Q在椭圆Γ上,则()A.椭圆Γ的离心率的取值范围是(√22,1)B.当椭圆Γ的离心率为√32时,|QF1|的取值范围是[√3-32,32+√3]C.存在点Q使∠F2QF1=90°D.1|𝑄𝐹1

|+1|𝑄𝐹2|的最小值为2【解析】选ABC.由题意得a=√3,又点P(1,1)在椭圆Γ外,则13+1𝑏2>1,解得0<b2<32,所以椭圆Γ的离心率e=𝑐𝑎=√3-𝑏23>√22,即椭圆Γ的离心率的取值范围是(√22,1),故A正确;当e

=√32时,c=32,所以|QF1|的取值范围是[a-c,a+c],即[√3-32,32+√3],故B正确;设椭圆的上顶点为A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),由于𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·

𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b2-c2=2b2-a2=2b2-3<0,所以存在点Q使得𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,故C正确;因为点Q在椭圆Γ上,所以|QF1|+|QF2|=2√3,则1|𝑄𝐹1|+1|

𝑄𝐹2|=(|QF1|+|QF2|)(1|𝑄𝐹1|+1|𝑄𝐹2|)·12√3=√33+(|𝑄𝐹2||𝑄𝐹1|+|𝑄𝐹1||𝑄𝐹2|)·12√3≥√33+2√|𝑄𝐹2||𝑄𝐹1|·|𝑄𝐹1||𝑄𝐹2|·12√3=2√33

,当且仅当|QF1|=|QF2|=√3时,等号成立,所以1|𝑄𝐹1|+1|𝑄𝐹2|的最小值为2√33,故D不正确.7.(5分)(2024·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程:𝑥29+𝑦28=1(答案不唯一).①中心为

坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为13.【解析】只要椭圆方程形如𝑥29𝑚+𝑦28𝑚=1(m>0)或𝑦29𝑚+𝑥28𝑚=1(m>0)即可.8.(5分)(2024·大同模拟)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,且四边形PF1QF2的面积为49a2,则C的离心率为√73.【解析】因为点P,Q为C上关于坐标原

点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,所以𝑆四边形𝑃𝐹1𝑄𝐹2=2𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=|PF1|·|PF2|,由椭圆定义与勾股定理知:{|𝑃𝐹

1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=4𝑐2,所以|PF1|·|PF2|=2b2,所以49a2=2b2=2(a2-c2),所以𝑐𝑎=√73,即C的离心率为√73.9.(10分)已知F1,F2是椭圆C:𝑥2𝑎2

+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【解析】(1)连接PF1(图略),

由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=√3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(√3+1)c,故C的离心率为e=𝑐𝑎=√3-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅

当12|y|·2c=16,𝑦𝑥+𝑐·𝑦𝑥-𝑐=-1,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,③由②③及a2=b2+c2得y2=𝑏4𝑐2,又由①知y2=162𝑐2,故b=4;由②③及a

2=b2+c2得x2=𝑎2𝑐2(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4√2.当b=4,a≥4√2时,存在满足条件的点P.故b=4,a的取值范围为[4√2,+∞).【能力提升练】10.(5分)(2024·资阳模拟)如图,已知定圆A的半径为4,

B是圆A内一个定点,且|AB|=2,P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹是()A.面积为π的圆B.面积为2π的圆C.离心率为14的椭圆D.离心率为12的椭圆【解析】选D.连接BQ,AB,因为线段BP的垂直平分

线l和半径AP相交于点Q,所以|BQ|=|PQ|,因为|AQ|+|PQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以|AQ|+|BQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以点Q的轨迹是以A,B为焦点,4为长轴长,焦距为2的椭圆,所以

椭圆的离心率为e=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=24=12.11.(5分)(多选题)已知F1,F2为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,𝐵𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗≥14𝐹1𝐹2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2,则椭圆的离心率的取值可以是()A.12B.√36C.√33D.√32【解析】选ABC.由椭圆的定义可知:|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,则sin∠OBF1=𝑐𝑎=e,所以cos∠F1BF

2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,因为𝐵𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗≥14𝐹1𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2,即(1-2e2)a2≥c2,所以1-2e2≥e2,又0<e<1,所以0<e≤√33.12.(5分)(多选题)“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返

回的月球探测器,是中国探月工程的收官之战,实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示,月球探测器飞到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行,设圆

形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是()A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-rB.椭圆轨道Ⅱ的短轴长为√𝑅𝑟C.若r不变,则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R的增大而增大D.若R不变,则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r的增大而

增大【解析】选AC.在椭圆中,由题图可知{𝑃𝑄=2𝑎=𝑅+𝑟𝑎-𝑐=𝑄𝐹=𝑟,解得a=𝑅+𝑟2,c=𝑅-𝑟2,所以b=√(𝑅+𝑟2)2-(𝑅-𝑟2)2=√𝑅𝑟,所以2c=R-r,2b=2√𝑅𝑟,A正确,B错误;e=𝑐𝑎=𝑅-𝑟𝑅+𝑟=1-

2𝑟𝑅+𝑟,当r不变时,由反比例函数的性质可知,函数f(R)=1-2𝑟𝑅+𝑟在(0,+∞)上单调递增,C正确;e=𝑐𝑎=𝑅-𝑟𝑅+𝑟=-1+2𝑅𝑅+𝑟,当R不变时,由反比例函数的性质可知,函数f(r)=-1+2𝑅𝑅+𝑟在

(0,+∞)上单调递减,D错误.13.(5分)(2024·武汉模拟)若椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)上存在一点M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2分别为椭圆的左、右焦点),则椭圆的离心率e的取值范围为[

√22,1).【解析】方法一:设点M的坐标是(x0,y0),则|x0|<a.因为F1(-c,0),F2(c,0),所以𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-c-x0,-y0),𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c-x0,-y0).因为∠F1MF2=90°,所以𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐹

2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-(c+x0)(c-x0)+𝑦02=0,即𝑥02+𝑦02=c2.又点M在椭圆上,即𝑦02=b2-𝑏2𝑎2𝑥02,所以𝑥02+𝑦02=b2+𝑐2𝑎2𝑥02∈[b2,a2),即c2∈[b2,a2),所以c2≥b2=a2-c2,

即𝑐2𝑎2≥12,又0<e<1,所以√22≤e<1,故椭圆的离心率e的取值范围是[√22,1).方法二:设点M的坐标是(x0,y0),由方法一可得{𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1,𝑥02+𝑦02=𝑐2,消去y0

,得𝑥02=𝑎2(𝑐2-𝑏2)𝑐2,因为0≤𝑥02<a2,所以{𝑎2(𝑐2-𝑏2)𝑐2≥0①𝑎2(𝑐2-𝑏2)𝑐2<𝑎2②,由②得c2-b2<c2,此式恒成立.由①得c2≥b2,即c2≥a2-c2,所

以a2≤2c2,则e2=𝑐2𝑎2≥12.又0<e<1,所以e∈[√22,1).综上所述,椭圆的离心率e的取值范围是[√22,1).方法三:设椭圆的一个短轴端点为P,因为椭圆上存在一点M,使∠F1MF2=90°,所以∠F1PF2≥90°,则c≥b,(∠F1MF2最大时,M为短轴端点),所

以c2≥b2=a2-c2,即𝑐2𝑎2≥12,又0<e<1,所以√22≤e<1,故椭圆的离心率e的取值范围为[√22,1).【加练备选】已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2.点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,△P

F2Q的面积S≥18|PQ|2,则C的离心率的取值范围为[√22,√63].【解析】连接QF1,PF1,由题意得,|OP|=|OQ|,|OF1|=|OF2|,又|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF2QF1为矩形,故𝑆△𝑃𝐹2𝑄=𝑆△𝑃𝐹2𝐹1,所以12|PF1|·|

PF2|≥18(2c)2=12c2,故|PF1|·|PF2|≥c2,又|PF1|+|PF2|=2a,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4c2,|PF1|·|PF2|=2b2,故2b2≥c2,即2a2-2c2

≥c2,故2a2≥3c2,𝑐2𝑎2≤23,解得𝑐𝑎≤√63,又C上存在关于坐标原点对称的两点P,Q,使得|PQ|=|F1F2|,故2b≤2c,所以b≤c,即a2-c2≤c2,所以a2≤2c2,𝑐

2𝑎2≥12,解得𝑐𝑎≥√22,综上,C的离心率的取值范围是[√22,√63].14.(10分)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),左顶点为A,点E的坐标为(0,c),A到直线EF2的距离为√62b

.(1)求椭圆C的离心率;(2)若P为椭圆C上的一点,∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为√3,求椭圆C的标准方程.【解析】(1)由题意得,A(-a,0),直线EF2的方程为x+y=c,因为A到直线EF2的距离为√62b,即|-𝑎-𝑐|√12+12=√62

b,所以a+c=√3b,即(a+c)2=3b2,又b2=a2-c2,所以(a+c)2=3(a2-c2),所以2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,解得e=12或e=-1(舍),所以椭圆C的离心率为12.(2)由(1)知离心率e=𝑐𝑎=12,即a=2c,①因为∠F1PF2=60°

,△PF1F2的面积为√3,则12|PF1||PF2|sin60°=√3,所以|PF1||PF2|=4,由方程组{|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎,|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|c

os60°=4𝑐2,得a2-c2=3,②联立①②得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为𝑥24+𝑦23=1.【素养创新练】15.(5分)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F

1,F2,长轴A1A2,短轴B1B2,椭圆上的动点M满足|𝑀𝐹1||𝑀𝐹2|=2,若△MA1A2面积的最大值为8√2,△MB1B2面积的最小值为2,则该椭圆的离心率为()A.√63B.√33C.√22D.√32【解析】选C.由题意知F1(-c,0

),F2(c,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,设M(x,y),则(|𝑀𝐹1||𝑀𝐹2|)2=(𝑥+𝑐)2+𝑦2(𝑥-𝑐)2+𝑦2=4,整理可得(x-5𝑐3)2+y2=16𝑐29,即点M轨迹是以(5𝑐3,0)为圆心

,4𝑐3为半径的圆,所以|yM|max=4𝑐3,|xM|min=5𝑐3-4𝑐3=𝑐3,所以(𝑆△𝑀𝐴1𝐴2)max=12·2a·4𝑐3=4𝑎𝑐3=8√2,(𝑆△𝑀𝐵1𝐵2)min=12·2b·𝑐3=𝑏𝑐3=2,即ac=6√2,bc=6,所以𝑏𝑎=𝑏�

�𝑎𝑐=66√2=√22,所以离心率e=√1-(𝑏𝑎)2=√1-12=√22.